VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Траектории замечательных точек треугольника, вписанного в окружность
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Замечательные точки в треугольнике — это следующие четыре точки в треугольнике, сохранившие еще по традиции название «замечательных»: 1) центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; 2) центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения биссектрис его; 3) ортоцентр треугольника — точка пересечения высот его; 4) центроид треугольника — точка пересечения медиан его; центроид треугольника также называется центром масс треугольника.
Рассмотрим следующую задачу: даны две фиксированные точки окружности A и B и «переменная» точка окружности C. По какой траектории движутся точки пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника ABC, когда точка C «пробегает» окружность?
Цели исследования: изучить свойства замечательных точек треугольника, исследовать траектории замечательных точек треугольника, вписанного в окружность, в программе «Живая геометрия».
Гипотеза:множеством точек пересечения медиан является окружность с центром в точке пересечения медиан треугольника AOB и радиусом, втрое меньшим радиуса исходной окружности.
Объект исследования: траектории замечательных точек треугольника.
Предмет исследования: геометрические построения замечательных точек.
Множество точек пересечения медиан
Нарисуем окружность, вписанный треугольник ABC, его медианы, достаточно двух (рис. 1). «Покрутим» точку C по окружности и проследим за точкой пересечения медиан M. Траектория похожа на окружность.
Рисунок 1. Траектория точек пересечения медиан
Докажем утверждение: множеством точек пересечения медиан будет окружность с центром в точке пересечения медиан треугольника AOB и радиусом, втрое меньшим радиуса исходной окружности.
Доказательство. Заметим, что поскольку точки A и B фиксированы, то и К − середина отрезка AB − также фиксирована. По теореме о медианах точка M делит отрезок CK в отношении 2 : 1, считая от точки C. То есть получается гомотетия с центром K и коэффициентом 1/3. Образом окружности будет также окружность радиусом втрое меньше. Центр окружности O при этой гомотетии перейдёт в центр новой окружности. Это будет точка, делящая отрезок OK в отношении 2 : 1, считая от точки O, т. е. точка пересечения медиан треугольника AOB.
Справедливо и обобщение: если «пустить» точку C не по окружности, а по произвольной кривой l, то точка пересечения медиан M также опишет кривую, гомотетичную l с центром K и коэффициентом 1/3.
Множество точек пересечения высот
Рисуем окружность, вписанный треугольник ABC, его высоты. При перемещении вершины С замечательная точка опять описывает окружность. Она проходит через точки A и B. Радиус такой же, как у исходной окружности. Получается окружность, симметричная данной относительно AB (рис. 2).
Рисунок 2. Траектория точек пересечения высот
Прежде чем доказывать это утверждение, заметим, что, если взять треугольник ABC, то его высоты пересекутся в точке H. А если взять треугольник ABH, то его высоты пересекутся в точке C.
Докажем это. AH и BH становятся сторонами. Им перпендикулярны отрезки AC и BC − значит, они будут высотами треугольника ABH.
Докажем, что траекторией точки пересечения высот является окружность, симметричная данной относительно АВ.
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную задачу. В треугольнике ABC угол C обозначим через χ. Найдем угол между высотами AH и BH. Рассматривая четырёхугольник с двумя прямыми углами и вершиной C, легко подсчитать, что искомый угол равен 180 – χ. По теореме о вписанном угле угол C при движении точки по дуге окружности фиксирован. Значит, фиксирован и угол AHB. Значит, точка H также движется по дуге окружности. При пересечении прямой AB угол C меняется с χ на 180- χ, а угол AHB тем самым меняется с 180- χ на χ. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то и получаем две симметричные окружности.
Таким образом, точка пересечения высот треугольника симметрична точке описанной окружности относительно стороны.
Множество точек пересечения биссектрис. Теорема о трилистнике
Строим чертёж аналогично предыдущим задачам (рис. 3).
Рисунок 3. Траектория точек пересечения биссектрис
Докажем, что множество точек L есть множество точек двух дуг окружностей.
Доказательство. Аналогично предыдущему разделу рассмотрим вспомогательную задачу. В треугольнике ABC угол C равен χ. Найдем угол между биссектрисами AL и BL.
Сумма углов A и B треугольника ABC равна 180- χ. Значит, сумма половин этих углов равна .
Тем самым в треугольнике ALB на угол L приходится .
На каждой из двух дуг окружности угол С фиксирован по теореме о вписанном угле, значит, и угол ALB фиксирован и описывает две дуги окружности (рис. 4). Интересно, что в отличие от случая высот эти две дуги не составят окружность.
Рисунок 4. Угол ALB фиксирован и описывает две дуги окружности.
Определить радиусы у этих дуг. Проведём биссектрису CL. Она пересечёт окружность в точке P (или Q), так как равные вписанные углы ACP и PCB должны опираться на равные дуги, поэтому дуги AP и BP равны. Получаем, что точки A, B и L лежат на окружности с центром в точке P. Тем самым, AP = BP = LP. Значит, радиус одной дуги равен AP, а другой – AQ (рис. 3).
Теорема (о трилистнике). Пусть в треугольнике ABC точка L – точка пересечения биссектрис, P – точка пересечения биссектрисы угла С с описанной окружностью. Тогда AP = BP = LP.
Доказательство. Докажем, что в треугольнике ALP AP = LP (рис. 5).
Рисунок 5. Доказательство теоремы о трилистнике
Для этого докажем, что угол LAP равен углу ALP. Угол LAP состоит из двух вписанных углов. Один из них опирается на дугу SB, а другой −на дугу PB. Значит, угол LAP равен полусумме градусных мер этих дуг. Теперь заметим, что дуга SB равна дуге CS, а дуга BP равна дуге AP (так как CP и AS − биссектрисы соответствующих углов). Но угол ALP между хордами AS и CP равен полусумме градусных мер дуг CS и AP1, т. е. равен углу LAP.
Заключение
Исследуя задачу о траекториях замечательных точек треугольника, вписанного в окружность, были изучены свойства замечательных точек, определены траектории в программе динамической геометрии «Живая геометрия», доказана гипотеза.
Действительно, множеством точек пересечения медиан является окружность с центром в точке пересечения медиан треугольника AOB и радиусом, втрое меньшим радиуса исходной окружности. Траекторией точек пересечения высот является окружность, симметричная данной относительно AB, а траекторией точек пересечения биссектрис есть множество точек двух дуг окружностей. Попутно доказано вспомогательное утверждение – теорема о трилистнике.
Список литературы
1. «Геометрия». Учебник для 7-9 классов Л.С. Атанасян и другие. М.: «Просвещение», 2018.
2.Факультативный курс по математике 7-9. Составитель И. Л. Никольская. М.: «Просвещение», 1991.
3.Маркушевич А.И. Замечательные кривые, М., 2003.
4.Савин А.П. Энциклопедия юного математика. Электронная библиотека «Альтернативная наука», 2008.
5.Сгибнев А.И. Исследовательские задачи для начинающих. МЦНМО, 2015.