VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Лист Мёбиуса
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В наше время актуально изучение различных свойств нестандартных явлений. В своем проекте я хотел бы исследовать необычные свойства удивительного изобретения, ленты Мёбиуса. Это так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция была открыта немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом во второй половине 19 века и, естественно, была названа в его честь.
Ходит молва, что Мёбиусу пришла в голову идея об этой необычной геометрической фигуре, когда он увидел горничную, неправильно повязавшую свой шейный платок. Справедливости ради, надо заметить, что сама фигура, называемая всеми лентой Мёбиуса, одновременно и независимо в том же 1858 году была построена и другим немецкими математиком Иоганном Бенедиктом Листингом (1808-1882), который пустил в математический обиход и термин «топология».
Лента Мёбиуса - один из объектов области математики под названием «топология». Топология (по другому – «геометрия положения») является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях.
Проблема: какими же удивительными свойствами обладает лента Мёбиуса и как они используются в нашей жизни?
Цель работы: исследование поверхности ленты Мёбиуса и её свойств.
Задачи работы:
познакомиться c понятием ленты Мёбиуса и выявить ее свойства;
экспериментально подтвердить изученные свойства;
выявить области применения ленты Мёбиуса в нашей жизни.
Объект исследования: лента Мёбиуса.
Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.
В процессе исследовательской деятельности были использованы такие методы, как анализ базовых понятий, анализ продуктов деятельности, моделирование, сравнение и сопоставление, эксперимент.
Основная часть
1. Понятие о листе Мёбиуса
Л ист Мёбиуса (лента Мёбиуса, петля Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.
Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.
Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология". Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.
В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.
2. Свойства листа Мёбиуса
Основными свойствами ленты Мёбиуса являются:
односторонность;
непрерывность;
связность;
ориентированность;
“хроматический номер”.
Односторонность.
Лента Мёбиуса имеет одностороннюю поверхность. Проверить это можно закрашиванием поверхности ленты. Возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре мы вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот любопытное свойство.
Непрерывность.
Т ополог может, как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.
Представьте себе, что по наружной поверхности обычного кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся в исходную точку, обойдя наружную поверхность. На ленте Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю.
Связность.
Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
Ориентированность.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у ленты Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.
Хроматический номер.
“Хроматический номер” равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.
Примером односторонней поверхности является Бутылка Клейна.
Бутылка Клейна может быть получена путем склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
3. Параметрическое описание листа Мёбиуса
О дним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества является параметризация:
где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x-y с центром в (0,0,0). Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.
В цилиндрических координатах (r, θ, z), неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:
где функция логарифма имеет произвольное основание.
4. Экспериментальная проверка свойств листа Мёбиуса
Лист Мёбиуса обладает интересными свойствами,которые относят к математическим фокусам. Проведем эксперименты и проверим эти фокусы на практике.
Запасемся несколькими листами обычной бумаги, клеем и ножницами.
Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С (предварительно повернув один из них на 180о). И тогда в ваших руках окажется лист или лента Мёбиуса.
Зададимся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? А ничего подобного. У него ОДНА сторона. Не верите? Хотите – проверьте: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны.
Вырежьте бумажного человечка и отправьте его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса.
Он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом!
А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное » путешествие. Проверьте!
Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «Афганская лента».
Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.
Проведение эксперимента:
Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа.
А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (это и есть лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине?
Два кольца половинной ширины? А ничего подобного. Получилась длинная лента, перекрученная два раза – «Афганская лента».
Р азрежем полученную «Афганскую ленту» еще вдоль посередине. Получили две ленты, намотанные друг на друга.
Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).
Проведение эксперимента:
Теперь сделаем новый лист Мёбиуса и посмотрим, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю? То же самое? А ничего подобного!
Получилось две ленты: короткая и длинная.
Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.
Проведение эксперимента:
Разрешим ленту Мёбиуса на три части? Что получится? Три ленты?
Получим два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе - лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.
Исследуйте дальше эту поразительную одностороннюю поверхность, и вы получите море удовольствия. Это очень успокаивает расстроенные трудными уроками нервы, уверяю вас.
5. Применение ленты Мёбиуса
У же сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мёбиуса. Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.
В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.
Е сть авторское свидетельство на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мёбиуса вдвое дольше, чем обычную.
Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”.
Л ента Мёбиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.
Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую.
Ч удесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научно-популярных книг «Библиотека Квант».
Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты».
Целую серию скульптур в виде листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мёбиуса.
М отив Ленты Мёбиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах.
Л ента Мёбиуса является символом современной математики. Ее изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.
Е сть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.
Лента Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.
Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна, замкнута в ленту Мёбиуса.
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.
6. Идея использования ленты Мёбиуса на рынке канцелярских товаров.
В се мы, школьники, пользуемся такой канцелярской принадлежностью, как штрих-корректор. Штрих-корректор бывает трех видов: ручка-корректор, корректирующая жидкость, корректирующий роллер.
Рассмотрим устройство корректирующего роллера.Он состоит из двух катушек: на одной уже намотана тончайшая лента с нанесенной на ней с одной стороны белой краской, на другую наматывается уже использованная лента без краски.
Во время выхода ленты за пределы корпуса под действием силы руки человека краска с ленты остается на листе бумаге, а чистая лента возвращается в корпус.
Я предлагаю производителям немного изменить форму находящейся внутри ленты. Намотать ее не в виде двусторонней поверхности, а в виде односторонней поверхности – ленты Мёбиуса. Краска будет нанесена на всю поверхность, которая окажется в два раза длиннее. Лента будет дважды возвращаться на большую катушку и дважды проходить маленькую катушку, пока не закончится вся краска. Подобное устройство используется в струйных принтерах.
Этот метод позволит производителю увеличить срок службы такого корректора в 2 раза и снизить затраты ресурсов на производство. Покупателям такой штрих-корректор тоже будет выгоден, так как его придется покупать гораздо реже.
В основе возможности использования ленты Мёбиуса в механизме корректирующего роллера лежат три главных свойства этой поверхности: односторонность, непрерывность и отсутствие ориентированности.
Заключение
Лента Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыли ученые. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая положила начало целому направлению в геометрии «топологии». Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни.
В ходе данного проекта-исследования был прочитан и переработан огромный объем информация, посвященный объекту моего исследования, различные источники сети Интернет. Я познакомился с историей создания ленты Мёбиуса. В работе описаны свойства этой прекрасной поверхности – листа Мёбиуса, ее математическая модель в пространстве, показаны ее области использования в нашей жизни. Лента Мёбиуса находит свое применение в технике, быту, архитектуре, искусстве, генетике, философии, физике, астрономии, сферах развлечения: цирке и аттракционах. Все свойства этой поверхности проверены и подтверждены экспериментально.
В ходе данного проекта-исследования была предложена собственная идея использования ленты Мёбиуса на рынке канцелярских товаров, а именно: в механизме корректирующего роллера. В основе этой идеи лежат главные свойства этой поверхности: односторонность, непрерывность и отсутствие ориентированности. Такой подход позволит и производителю, и покупателю увеличить срок службы такого корректора в 2 раза и снизить затраты ресурсов на производство и приобретение.
Я получил интересный математический материал, с которым поделился со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Данная работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной работе. Здесь не исчерпаны опыты с лентой Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.
Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках.
Список использованных источников и литературы
http://ru.wikipedia.org/wiki/
Гарднер М.К. Математический досуг. – М: Мир, 1999. – 258 с.
Гарднер М.К. Математические чудеса и тайны. – М: Наука, 1995. – 320 с.
Левитин К.С. Геометрическая рапсодия. – М: Знание, 2002. – 250 с.
Смирнова Е.С. Курс наглядной геометрии 8-9 классы. – М: Наука, 2000.-400 с.
Шейнина О.М. Математика, занятия школьного кружка. – М: НЦ ЭНАС, 2003. – 280 с.