VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Доказательство группы соотношения для значении дзета-функции
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Современная математика непредставима без гигантского наследия, оставленного нам многовековой историей научных открытий в этой области. Современные научные исследования опираются на множество доказанных фактов и всесторонне изученных проблем, многие из которых стали актуальны еще во времена Пифагора и не теряют актуальности до сих пор. Популяризация математики – важная часть педагогической работы, так как утверждение в ученике правильного понимания научных процессов прежде всего связано с тем, насколько человек математически развит; при этом популяризация большей частью связана с освещением результатов деятельности ведущих математиков современности и прошлого [1].
Таким образом актуальность выбранной темы напрямую вытекает из задач, которые преследуются обществом в части развития в ученике научного склада ума.
Восприятие какого-либо математического факта – теоремы, теории, решения задачи – напрямую связано с наглядностью доказательств этого факта. Зачастую в современной математике доказательство в тысячу раз длиннее и сложнее для понимания по сравнению с постановкой задачи. Достаточно вспомнить наиболее яркий случай из современных доказательств – доказательство гипотезы Гольдбаха российским геометром Григорием Перельманом, достоверность которого была проверена только через несколько лет после публикации им решения задачи [2]. Связано это с непрекращающимся углубленным изучением всех разделов математики, на каждом этапе которого остается так мало нерешенных проблем, что действительно "крепкие орешки" требуют, по всей вероятности, нового подхода к их решению, что естественно влечет за собой громоздкость доказательства.
Гипотеза, выдвигаемая мной в данной научной работе, следующая: нетривиальный подход к задаче позволяет найти наиболее простое и наглядное ее решение; применение нетривиальных методов позволяет осуществить доказательство наиболее классическим методом.
Цель моего исследования – применить классический метод для доказательства выбранных теорем.
Объект и предмет исследования – бесконечные ряды, дзета-функция Эйлера.
1. Понятие дзета-функции
В области математического анализа главной проблемой, названной одной из проблем тысячелетия, является гипотеза Римана.
Гипотеза Бернхарда Римана тесно переплетена с теорией чисел, в ней рассматривается бесконечный обобщенный гармонический ряд или частный вариант ряда Дирихле:
Данный ряд (дзета-функция Эйлера) рассматривался Леонардом Эйлером, и выше было показано найденное им значение для случая . Позже глубокий анализ этой функции произвелБернхард Риман, в своей работе он рассматривал значения этой функции для комплексных значений s и обнаружил факт зависимости нулевых значений этой функции с распределением простых чисел[3].
Гипотеза Римана состоит в том, что помимо отрицательных четных значений s, функция (отныне называемая дзета-функцией Римана) принимает нулевое значение только в точках, для которых действительная часть равна 1/2: .
Гипотеза Римана проверена для огромного числа значений s, однако общего доказательства этой теории не найдено.
В случае верности гипотезы Римана автоматически приобретают доказательство многие другие теории, основанные на факте ее правдивости. Поэтому гипотеза Римана является краеугольным камнем современной аналитической математики.
Бесконечный степенной ряд (1) имеет главное свойство: для значений s> 1 этот бесконечный ряд всегда имеет конечную сумму, а для значения s< 1 этот ряд расходится, то есть сумма его членов постоянно увеличивается. Наглядный пример этого факта демонстрирует график дзета-фукнции, построенный с помощью программного комплекса MathCad[4] (взята сумма 10000 первых членов этого ряда):
Рис. 1. График дзета-функции для количества членов 10000
В попытках доказать гипотезу Римана и вообще в процессе исследования дзета-функции Римана (для комплексных значений аргумента) или дзета-функции Эйлера (для положительных значений) было открыто много замечательных фактов, связанных с ними: найдены значения дзета-функции в положительных целых четных точках ; найдено представление суммы членов дзета-функции в виде произведения (тождество Эйлера); найдены зависимости между значениями дзета-функции и количеством простых делителей каждого порядкового числа и другие.
Если не касаться функциональных уравнений для дзета-функции, выраженных через интегральное исчисление, и обратиться к классическому виду дзета-функции в целых положительных точках, то основные свойства по-видимому можно выявить, используя школьные понятия геометрической прогрессии и элементарных свойств преобразований многочленов.
Дзета-функция Эйлера для ряда натуральных значений s выбрана мною для исследования ввиду простоты ее определения и ее большого научного значения.
Множество известных свойств дзета-функции собрано в статье "Вычислительные стратегии дзета-функции Римана" [5]. Из большого ряда свойств дзета-функции мною выбрана группа следующих свойств:
- сумма всех дробных частей значений дзета-функции равна 1;
- сумма дробных частей значений дзета-функции в четных точках равна 3/4;
- сумма дробных частей значений дзета-функции в нечетных точках равна 1/4.
Данные факты выбраны мною не только из-за легкости формулировки и понимания, но и ввиду отсутствия доказательств этих фактов в русскоязычном интернете. В статье [5] этот факт также приведен без доказательства.
2. Доказательство группы соотношений для значений дзета-функции
Любой научный результат строиться на экспериментах и догадках. Эксперименты по нахождению суммы различных рядов я производил с помощью программного комплекса MathCad, а главной догадкой стало использование в эксперименте известного бесконечного ряда[6] с конечной суммой:
Доказательство того, что эта сумма равна единице, несложно, но использует элемент первого нетривиального подхода, своего рода фокуса. Суть его состоит в том, что каждое слагаемое в этом ряду разбивается на разность двух дробей следующим образом:
Следующим шагом становится представление суммы (2) в виде слагаемых (3) и перегруппировка получившихся дробей:
Несложно догадаться, что слагаемые в скобках (4) одинаковые по значению и разные по знаку, а значит их сумма равна нулю. Если представить, что такой процесс сложения происходит до бесконечности, то все такие слагаемые сократятся, и получившаяся сумма рассматриваемого ряда будет равна 1. Это второй нетривиальный подход – рассмотрение суммы ряда при бесконечном количестве слагаемых.
Следующей догадкой, позволившей вплотную приблизиться к решению задачи, стало использование для эксперимента комбинации дзета-функции и рассмотренного ряда (2). Рассмотрим следующий ряд:
Нетрудно увидеть, что при бесконечном увеличении s начиная со второго каждое слагаемое будет бесконечно малым, а значит конечное значение такого ряда будет определяться только первым членом 1/2.
Однако с помощью программного комплекса, который позволяет не только находить численные значения для любого выражения, но и символьные, мною была обнаружена удивительная закономерность для значений рассматриваемой функции :
В этом выражении неожиданно возникают знакопеременные значения дзета-функции во всех положительных точках, при этом в каждом случае, для каждого s из суммы всех четных значений дзета-функции вычитаются все ее нечетные значения, или наоборот, и в зависимости от четности/нечетности начального аргумента в конце к этой разности прибавляется или отнимается от нее единица. Но так как выше было доказано, что ряд (5) стремиться к значению 1/2, то из данных эксперимента логично предположить, что выражение (6) в пределе равно 1/2. А это означает, что существует явная зависимость суммы четных значений дзета-функции от суммы нечетных, и их разность в пределе равна 1/2.
Чтобы доказать такой удивительный факт не экспериментально, а математическими методами, необходимо применить к ряду (5) тот же алгоритм, что и для ряда (2) – разложение каждого члена на разность простых дробей. Такой метод носит в алгебре название разложения выражения на простые дроби методом неопределенных коэффициентов.
Возьмем общий член последовательности (5):
и разложим его на простые дроби методом неопределенных коэффициентов:
Соберем сумму из правой части выражения (8) обратно в цельную дробь, домножая числитель и знаменатель каждого слагаемого до выражения :
Так как числители в правой и левой частях равенства (9) одинаковы и равны 1, из этого следует, что при всех степенях n коэффициенты равны нулю, а коэффициент равен единице. Так как , следовательно , далее . Из найденных коэффициентов конструируем разложение (8):
Теперь функцию (5) можно представить следующим образом, где все строки под скобкой суммируются между собой:
Таким образом, применив методы разложения многочлена на простейшие дроби, а также сокращения идентичных членов и объединения характерных членов из одного бесконечного ряда (по горизонтали) с другими членами бесконечного ряда (по вертикали), получилось доказать результат (6), найденный экспериментальным путем с помощью программного комплекса.
Из сравнения результатов (11) и (5) видно, что сумма четных значений дзета-функции минус единица равна 1/2 плюс сумма нечетных значений дзета-функции – все это для случая, когда s – четное, при этом количество четных слагаемых на одно больше, чем нечетных. Во втором случае, когда s – нечетное, сумма нечетных слагаемых плюс 1 равно 1/2 плюс сумма четных, в этом случае количество четных и нечетных слагаемых одинаково. Если убрать из каждого значения единицу, то сумма не изменится, а значение как раз равно дробной части : . Отсюда следует, что (12).
Аналогично разложению (11) докажем, что сумма всех дробных значений ("четных" и "нечетных") дзета-функции равна единице, то есть, что :
В нахождении суммы выражения (13) также применено разложение каждого члена в бесконечный ряд по "горизонтали", а затем суммирование по "вертикальным" элементам. Таким образом из (13) следует, что . Решим систему (12) и (13) относительно неизвестных величин:
Получим: , . Что и требовалось доказать.
Рис. 2. Визуальное представление сумм значений дзета-функции
Заключение
В данной работе мною были рассмотрены три доказанных факта из группы соотношений для значений дзета-функции: сумма всех дробных частей значений дзета-функции равна 1; сумма дробных частей значений дзета-функции в четных точках равна 3/4; сумма дробных частей значений дзета-функции в нечетных точках равна 1/4. Данные факты не освещены в отечественных открытых интернет-источниках, упоминание об этих фактах наличествует только в зарубежных статьях. Эти факты были выбраны мною для доказательства тривиальными методами, используемыми в школьной программе. Новизной доказательства этих фактов считаю применение интерполяции широко известного числового ряда на обобщенный гармонический ряд (дзета-функцию Эйлера), при этом получившийся числовой ряд был исследован на частичные суммы с помощью программного комплекса MathCad, и был обнаружен характерный наглядный способ возникновения этих сумм. Последний факт был доказан с применением методов разложения членов исследуемого ряда на простые дроби, их перегруппировки и соединения в необходимые бесконечные числовые ряды. Доказательство всех трех выбранных фактов производится абсолютно классическими тривиальными методами, что позволяет судить о том, что простое доказательство, во-первых, возможно, во-вторых, чем оно проще и нагляднее, тем более полезно для использования в целях популяризации математики. Таким образом нетривиальный подход к задаче позволяет найти наиболее простое и наглядное ее решение; применение нетривиальных методовпозволяет осуществить доказательство наиболее классическим методом. Гипотеза подтверждается.
Математические выкладки, представленные в работе, носят оригинальный характер; доказательство выбранных фактов является первым в отечественной научной литературе.
Список литературы
1. Математика для гуманитариев. Живые лекции. Алексей Савватеев: Русский Фонд Содействия Образованию и Науке, 2018. – 304 с.
2. Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре. Олег Арсенов. – М.: Эксмо, 2010. – 256 с.
3. Джон Дербишир. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике: Астрель: CORPUS, 2010
4. Кирьянов Д. В. Самоучитель MathCad 11. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 560 с.
5. Computational strategies for the Riemann zeta function. Jonathan M. Borwein etc. – Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 274-296
6. Теория рядов. Воробьев Н.Н. 4 изд., перераб. и доп., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979, 408 с.