VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Дельтоид
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
На уроках геометрии в первой четверти 8 класса мы изучали различные четырехугольники, такие как параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб и трапеция. Мы доказывали их свойства и признаки, с помощью которых потом решали различные задачи. Возник вопрос: все ли виды четырехугольников мы изучили? Пытаясь ответить на этот вопрос, в сети Интернет я наткнулась на еще один четырехугольник – дельтоид. Проведя анализ привычных школьных справочников, а также заглянув в знаменитый справочник Бронштейна, я не нашла никаких сведений о дельтоиде. Между тем эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире, например, крона дерева туя (рис.1), тело рыбы (рис.2), человеческий мозжечок (рис.3), соединенные человеческие руки (рис.4), воздушный змей (рис.5), лист дерева (ри.6), а также форма носа и глаза.
рис.1 рис.2 рис.3 рис. 4
рис.5 рис.6
Меня очень заинтересовал данный четырехугольник, и я решила глубже узнать, что это за дельтоид, сформулировать и доказать его свойства и признаки, решить различные задачи с ним, а потом представить свои разработки в виде сайта для своих одноклассников и всех тех, кто интересуется геометрией.
Цель: изучение четырехугольника дельтоид и создание сайта «Все о дельтоиде».
Задачи:
- познакомиться с литературой по данной теме;
- сформулировать различные определения дельтоида;
- сформулировать свойства и признаки дельтоида;
- составить и решить задачи с дельтоидом;
- составить тесты для проверки знаний о дельтоиде;
- создать электронный образовательный ресурс - сайт «Все о дельтоиде», содержащий теоретический и практический материал по данной теме.
Объект исследования: четырехугольник дельтоид.
Предмет исследования: определение, свойства и признаки дельтоида.
Методы исследования: работа с научной литературой, анализ и систематизация теоретического материала, решение задач.
Глава 1. Дельтоид – один из видов четырехугольников
1.1 Определение дельтоида
Дельто́ид (от др.-греч. δελτοειδής — «дельтовидный», напоминающий заглавную букву дельта).
Изучив различную литературу по данной теме, я выделила два определения дельтоида (рис.7):
- Дельтоид - четырёхугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон.
- Дельтоид – это четырехугольник, симметричный относительно одной из своих диагоналей. [4,5,6,8]
рис.7
Из определения дельтоида следует, что ромб и квадрат также являются дельтоидами.
Главная диагональ дельтоида - это отрезок, соединяющий вершины неравных углов дельтоида. Неглавной диагональю дельтоида называют вторую диагональ дельтоида.
Средняя линия дельтоида это – отрезок, соединяющий середины соседних сторон дельтоида.
Есть два вида дельтоидов: выпуклый (рис.7) и невыпуклый (рис.8).
рис.8
Все углы выпуклого дельтоида меньше развёрнутого угла, а один из углов невыпуклого дельтоида больше развёрнутого угла.
1.2 Свойства дельтоида
Изучив литературу, по данной теме, мною были выделены следующие свойства дельтоида (табл.1).
Табл.1 Свойства дельтоида
|
1) Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину |
|
|
2) Диагонали дельтоида перпендикулярны друг другу, одна из них делит другую на две равные части |
|
|
3) Во всякий выпуклый дельтоид можно вписать окружность, и только одну |
|
|
4) Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника |
|
|
5) Главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов |
|
|
6) Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника |
|
|
7) Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида |
|
|
8) Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей |
|
|
9) Площадь дельтоида равна произведению двух его неравных сторон на синус угла между ними |
S = absinɸ |
Проведя сравнительный анализ со свойствами изученных четырехугольников, я выделила общие свойства дельтоида, ромба и квадрата:
- диагонали взаимно перпендикулярны;
- площадь равна половине произведения диагоналей;
- средние линии образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.
Также в любой выпуклый дельтоид, как и в квадрат, можно вписать окружность, и только одну.
Мною были определены и различия в свойствах дельтоида и других изученных четырехугольников. У дельтоида:
- только одна пара равных противолежащих углов (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – две);
- только одна диагональ точкой пересечения диагоналей делится пополам (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);
- только главная диагональ делит на два равных треугольника (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);
- только главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов (у ромба – обе диагонали);
- только неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника (у квадрата и ромба – обе диагонали).
1.3 Признаки дельтоида
Можно выделить четыре признака дельтоида (табл.2).
Табл.2 Признаки дельтоида
|
1)Если у четырёхугольника только одна ось симметрии, проходящая через диагональ, то это дельтоид |
|
|
2) Если четырёхугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид |
|
|
3) Если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны и только одна из них делит другую пополам, то это дельтоид |
|
|
4) Если в четырёхугольнике только одна диагональ является биссектрисой противоположных углов, то это дельтоид |
1.4 Задачи с дельтоидом
Изучив некоторые российские учебные пособия по математике [1], я не встретила системы задач про дельтоид. Однако мы встречались с этой геометрической фигурой на уроках геометрии еще в 7 классе (УМК по ред. А.Г.Мерзляка [2,3]), когда решали задачи на применение признаков равенства треугольников (№161 (рис.9), №176 (рис.10)) и задачи по теме «Касательная к окружности» (№523 (рис.11)).
рис.9 рис.10 рис.11
Изучив признаки и свойства дельтоида, я попыталась составить достаточное количество разнообразных и интересных задач с дельтоидом вычислительного характера. Примеры таких задач приведены ниже, для некоторых из них рассмотрено решение. [7]
Задача 1
Одна из диагоналей дельтоида равна 16 см, а его площадь – 120 см2. Чему равна длина второй диагонали дельтоида?
Решение.
S = d1d2
120 = ·16· d2; 120 = 8· d2; d2 = 120 : 8; d2 = 15 см
Ответ: 15 см
Задача 2
|
Найти стороны дельтоида, если его периметр равен 116 см, а разность боковых сторон равна 3 см. Решение (рис.12): Р=2(АВ + AD) 2(х+3+х)=116 |
рис.12 |
2(2х+3)=116
4х+6=116
4х=110
х=27,5
DC=AD=27,5 см
АВ=ВС=27,5+3=30,5 см
Ответ: АВ=30,5 см; ВС=30,5 см; CD=27,5 см; AD=27,5 см
Задача 3
|
На сторонах АВ и ВС прямоугольника АВСD взяты точки К и О соответственно так, что КВ = ВО, а на стороне АD взята точка Е так, что КЕ = ОЕ. Найти АВЕ. Решение (рис.13): 1)В = 90°, так как АВСD - прямоугольник. 2)Рассмотрим четырёхугольник КВОЕ. КВ=ОВ (по условию); КЕ=ОЕ (по условию). Значит, КВОЕ – дельтоид по определению. |
р ис.13 |
3)ВЕ – главная диагональ дельтоида, следовательно, она является биссектрисой противолежащих углов дельтоида, т.е. АВЕ= В. Значит, АВЕ= · 90° = 45°.
Ответ: АВЕ=45°
Задача 4
|
На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки F, D и E такие, что ЕС : АЕ = 2 : 1, FЕ = DЕ, АF = 2 см, DС = 5 см, FВ = ВD. Найдите FВ. Решение (рис.14): 1) Так как FE = DE, FB = BD по условию, то BDEF – дельтоид по определению. |
рис.14 |
2) BE – главная диагональ дельтоида, а, значит, и биссектриса B (по свойству дельтоида).
По свойству биссектрисы или .
Пусть FB = BD=х, тогда
2(х+2)=х+5
2х+4=х+5
х=1
FB = BD = 1 см
Ответ: FB = 1 см
Задача 5
Равные стороны АВ и ВС дельтоида АВСD перпендикулярны и равны
2 см, К – точка пересечения диагоналей АС и ВD, АК = КС. Из точки К проведен перпендикуляр КЕ к стороне СD, СЕ = 1 см. Найдите ЕD.
|
Решение (рис.15): ∆ ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник, т.к. AB = BC и АВ ВС. По теореме Пифагора + = , AC = 4 см |
2) Т.К. АК = КС по условию, то АК = КС = 2 см. рис.15
3) AC BD по свойству дельтоида, значит, ∆ KCD – прямоугольный.
КС² = CE ∙ CD (по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике)
2²=1 ∙ (1 + ED)
4=1 + ED
ED = 3 см
Ответ: ED = 3 см
1.5 Тесты по теме «Дельтоид»
Рассмотрев свойства и признаки дельтоида, изучив возможность их применения для решения задач, я составила тесты для проверки знаний по теме «Дельтоид».
Обобщающий тест «Всё о дельтоиде»
Форму какого из четырехугольников имеет мозжечок человека:
Ромб
Прямоугольник
Дельтоид
Трапеция
Ответ: 3
Выберите верное утверждение:
Дельтоид – это четырехугольник, у которого стороны попарно равны
Дельтоид – это четырехугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон
Дельтоид – это четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны
Дельтоид – это четырехугольник, у которого две стороны равны
Ответ: 2
Выберите неверное утверждение:
Главная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины неравных углов дельтоида
Дельтоид – это четырехугольник, в котором две пары соседних сторон равны
Неглавная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины равных углов дельтоида
Средняя линия дельтоида – это отрезок, соединяющий стороны дельтоида
Ответ: 4
Какой четырехугольник может быть невыпуклым:
Ромб
Трапеция
Дельтоид
Параллелограмм
Ответ: 3
Выберите верное утверждение:
Если в четырехугольнике две стороны равны, то это дельтоид
Если четырехугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид
Если в четырехугольнике диагонали является биссектрисами противолежащих углов, то это дельтоид
Если в четырехугольнике есть пара равных соседних сторон, то это дельтоид
Ответ: 2
Выберите неверное утверждение:
Все углы дельтоида равны
Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину
Площадь дельтоида равна половине произведения его диагоналей
Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника
Ответ: 1
Выберите верное утверждение:
Около всякого выпуклого дельтоида можно описать окружность
Все стороны дельтоида равны
Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника
В выпуклом дельтоиде один из углов больше развёрнутого
Ответ: 3
У какого четырехугольника только одна диагональ является биссектрисой противолежащих углов:
Квадрат
Ромб
Прямоугольник
Дельтоид
Ответ: 4
В дельтоиде смежные стороны относятся как 3 : 5. Найдите большую сторону дельтоида, если его периметр равен 48 см.
15 см
3 см
9 см
30 см
Ответ: 1
Одна из диагоналей дельтоида равна 18 см, а его площадь – 234 см2. Чему равна длина второй диагонали дельтоида?
13 см
26 см
450 см
99 см
Ответ: 2
Какого из перечисленных элементов нет у дельтоида?
Диагональ
Угол
Радиус описанной окружности
Радиус вписанной окружности
Ответ: 3
АВСD – дельтоид. Треугольник АВС равносторонний, и его периметр равен 30 см. Треугольник АСD – равнобедренный, и его периметр равен 46 см. Найдите периметр дельтоида АВСD.
76 см
18 см
180 см
56 см
Ответ: 4
1.6 Создание электронного образовательного ресурса – сайт «Все о дельтоиде»
Проделав работу по формулированию и доказательству свойств и признаков дельтоида, составлению и решению задач на вычисление различных величин в дельтоиде, созданию тестов по теме «Дельтоид», весь разработанный материал я оформила в виде сайта «Все о дельтоиде», размещенного по адресу https://sites.google.com/view/deltoid-na5.
Данный сайт можно использовать для объяснения материала о дельтоиде на уроках геометрии и во внеурочной деятельности, для самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе решения интерактивных тестов.
Данный сайт состоит из шести разделов:
1 раздел - Главная страница (рис. 16) - содержит общую информацию о создателе сайта, а также рассмотрены примеры дельтоидов из окружающей обстановки.
рис.16
2 раздел - «Что такое дельтоид» (рис.17), в котором приведены различные определения дельтоида, рассмотрены его элементы.
рис.17
3 и 4 разделы - «Свойства дельтоида» и «Признаки дельтоида» (рис.18. рис.19). В этих разделах сформулированы характерные для дельтоида свойства и признаки.
рис.18 рис.19
5 раздел – «Задачи и дельтоидом» (рис.20). На этой странице приведены решения некоторых задач на вычисление различных элементов дельтоида, а также предложены задачи для самостоятельного решения.
рис.20
6 раздел – «Тесты по теме «Дельтоид» (рис.21, рис.22). В этом разделе можно проверить свои знания по данной теме с помощью предложенных интерактивных тестов.
рис.21 рис.22
На одном из уроков геометрии я предложила своим одноклассникам познакомиться с дельтоидом, изучив материал на сайте «Все о дельтоиде» (рис.23, рис.24, рис. 25).
рис.23 рис.24 рис.25
Мне было очень интересно узнать мнение ребят о моем электронном образовательном ресурсе – сайте «Все о дельтоиде». Вот некоторые из высказываний.
Таня Т.: «Очень интересно было узнать об еще одном четырехугольнике – дельтоиде».
Оля П.: «Информация изложена доступно и понятно. Понравилось самостоятельно решать задачи с дельтоидом».
Антон Р.: «Оказывается, что дельтоид окружает нас повсюду».
Настя К.: «Изучив определение, свойства и признаки дельтоида и решив задачи для самостоятельной работы, я практически без ошибок прошла интерактивное тестирование».
Заключение
В данной работе изучена неизвестная в школьном курсе математики геометрическая фигура – дельтоид, которая, однако, встречается очень часто в нашей жизни. Была проделана работа по формулированию свойств и признаков этого четырехугольника, составлено достаточное количество разнообразных задач на вычисление различных элементов дельтоида, также были разработаны тесты для оценки знаний по данной теме. Весь накопленный материал я оформила в виде электронного образовательного ресурса – сайта «Все о дельтоиде», который был предложен моим одноклассникам на одном из уроков геометрии и получил положительные отзывы.
Таким образом, цели, стоящей перед нами, мы достигли – изучен четырехугольник дельтоид. Я бы порекомендовала использовать созданный электронный продукт на урочной и внеурочной деятельности для объяснения материала по данной теме, самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе выполнения интерактивных тестов.
Литература
Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева.-М.:ФИЗМАТЛИТ,2013.-328с.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2017
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2018
Перельман Я.И. Занимательная алгебра, геометрия. М.: Книга, 2005
Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо, 2008.-304с.
Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.-400с.
Шноль Д, Сгибнев А, Нетрусова Н. Система открытых задач по геометрии: 8 класс – М.: Чистые пруды, 2009. – 32 с.: ил. – (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 29).
Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин. -М.:Педагогика,1989.-352с.
http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html
http://www.resolventa.ru/
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%B4