Эксперименты с односторонними поверхностями

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Эксперименты с односторонними поверхностями

Шутова А.С. 1Докучаева Н.И. 1Панфилова Ю.А. 1
1МБОУ гимназия 2
Митрофанова Е.Б. 1
1МБОУ гимназия 2
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

«Глядя  на  мир,  нельзя  не  удивляться».

(К.Прутков)

Введение

На одном из занятий кружка мы занимались исследованиями листа Мебиуса. В результате мы узнали, что лист Мёбиуса – односторонняя поверхность, и он обладает некоторыми удивительными свойствами. В этом году мы заинтересовались, есть ли ещё подобные листу Мебиуса объекты? И, как оказалось, да! Односторонним объектом считается бутылка Клейна. Мы решили провести опрос среди 6 и 7 классов, который показал, что большинство учащихся не знает, что это такое (Приложение 1). Нам захотелось исследовать этот объект, сравнить этот объект с его «родственником» листом Мебиуса и поделиться знаниями с другими.

Актуальность: Актуальность темы нашей работы определяется тем, что многие учащиеся считают математику скучным предметом, хотя на самом деле все, что нас окружает, в той или иной степени взаимосвязано с математикой. Начав изучение геометрии в этом году, мы видим, что нас окружают геометрические объекты, где форма, геометрические свойства фигур играют огромную роль. Но тем еще интереснее рассмотреть раздел математики такой, как топология – необычный, новый, таящий много загадочного, способствующий развитию нестандартного мышления у учащихся. В наше время востребованы люди, обладающие нестандартным мышление, которые умеют ставить и решать поставленные задачи.

Объект исследования: лист Мёбиуса и бутылка Клейна, как модели односторонних поверхностей.

Предмет исследования: свойства листа Мебиуса и бутылки Клейна

Гипотеза: предполагаем, что бутылка Клейна и лист Мебиуса схожи по своим свойствам

Цели:

- сравнить изученные ранее разнообразные свойства ленты Мёбиуса и бутылки Клейна,

- сконструировать различными способами модель бутылки Клейна.

Задачи:

- изучить литературу по односторонним поверхностям;

- изготовить лист Мёбиуса и проверить опытно-экспериментальным путём свойства листа Мёбиуса;

- изготовить модель бутылки Клейна и исследовать ее свойства

- провести опрос на знание этих объектов среди 6 и 7 классов и показать результаты в виде диаграммы.

Методы исследования:

- исследовательский (анализ литературы);

- опрос и обработка данных;

- практический эксперимент.

Наша работа может быть использована на уроках, занятиях кружка , на внеклассных мероприятиях, посвященных математике.

В процессе работы над проектом, мы использовали такие книги, как «Наглядная геометрия» И.Ф. Шарыгина, «Математические чудеса и тайны» М.Гарднера, ресурсы Интернета.

1.1. Из истории изобретения листа Мебиуса.

Мёбиусу принадлежит честь ошеломляющего открытия: существуют поверхности, у которых имеется только одна сторона. Простейшая из таких поверхностей есть так называемая лента (или лист) Мёбиуса. Лист Мебиуса изобрели независимо друг от друга в 1858 году немецкие ученые – математик и астроном Август Фердинанд Мебиус и математик и физик Иоганн Бенедикт Листинг.

1.2. Лист Мебиуса и начало новой науки топологии.

С того момента, как немецкий математик обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией.

Топология это одна из разделов геометрии и является самым «молодым» из разделов современной геометрии. В ней изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях, (растяжение, сжатие), и не допускают разрывов и склеивания.

С точки зрения топологии баранка и кружка одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар – уже будут разными объектами: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

1.4. Из истории изобретения бутылки Клейна

Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики. Его работы очень разнообразны. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, сделал открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это прекрасный и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя.

2. Исследовательская часть.

2.1. Изготовление листа Мебиуса.

Возьмем бумажную полоску и соединим концы полоски, предварительно повернув один из них на 180 0.

Интересно, что из квадрата бумаги лента не получится (если только не сложить его гармошкой). Обязательно должно быть соотношения ширины и длины почти в два раза больше.

Различают левые и правые листы Мебиуса (в зависимости от направления).

2.2. Эксперименты с бумажным кольцом и листом Мебиуса

опыта

Описание опыта

Результат

Фото

1.

Кольцо, имеющее 2 стороны, разрезали посередине вдоль.

Получили 2 кольца, ширина которых в 2 раза уже, длина равна прежней.

 

2.

Лист Мебиуса разрезали посередине вдоль.

Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза меньше, Лента перекручена на 1 полный оборот.

 

3.

Лист Мёбиуса шириной

6 см разрезали вдоль на расстоянии 1см от края.

Получили 2 сцепленных друг с другом кольца: 1) одно кольцо равно длине исходно, ширина 4 см; второе кольцо ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота – афганское кольцо.

 

4.

Лист Мёбиуса шириной

6 см разрезали вдоль на расстоянии 2см от края.

Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1) одно кольцо равно длине исходно, ширина 2 см; второе кольцо ширина 2 см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.

 

5.

Лист Мёбиуса разрезали на 3 полоски по 2 см.

Получили 2 сцепленных друг с другом кольца: 1) одно кольцо равно длине исходно, ширина 2 см; второе кольцо ширина 2 см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.

 

6.

Лист Мебиуса шириной 4 см разрезали на 4 частей

Получили 2 сцепленных друг с другом кольца, оба из которых в 2 раза длиннее исходного и шириной 1 см.

 

7.

Лист Мебиуса шириной 5 см разрезали на 5 частей

Получили 3 кольца: первое кольцо - лист Мёбиуса шириной 1 см, равно длине исходного кольца. Второй и третий - кольца, перекрученные в два раза шириной 1 см, длиннее исходного 2 раза. Все кольца сцеплены между собой.

 

8.

Лист Мебиуса длиной 6 см разрезали на 6 частей

3 сцепленных между собой больших кольца.

 

9.

Два кольца склеили перпендикулярно друг другу и разрезали вдоль.

Получили квадрат.

 

10.

Два листа (левый и правый) Мебиуса склеили перпендикулярно друг другу и разрезали.

Получили два сердца, скрепленных между собой.

 

В итоге этих экспериментов мы пришли к выводу:
1. При разрезании листа Мебиуса на четное количество полосок получаются только большие сцепленные кольца, причем их количество в два раза меньше, чем количество полосок.
2. Если же разрезать лист Мебиуса на нечетное количество полосок, то получаются одно маленькое кольцо Мебиуса и несколько больших афганских колец, сцепленных с маленьким.

Мы еще выполнили несколько интересных экспериментов. В бумажной полоске прорезали щель и продели сквозь нее один конец, повернув на пол-оборота. Затем разрезали вдоль всей ленты и вот результат – в итоге мы видим ленты с двумя перекрутами.

.

И, конечно, нас не оставила равнодушными, древняя головоломка о трёх колодцах и трёх домах.

Условие: В ряд стоят 3 дома, напротив каждого из них есть по колодцу. Нужно от каждого дома сделать тропинки к каждому из колодцев так, что бы никакие не пересекались.

На двухсторонней поверхности она не имеет решения, но, оказывается на односторонней поверхности - имеет! Лист Мебиуса нам помог разобраться с этой задачей. Решение приведено в Приложении 3. Изюминка найденного нами решения заключается в том, что задача, во первых, решается на листе Мебиуса, выполненного на не обычной бумаге. Лист должен быть выполнен из прозрачного материала, то есть тропинки должны просматриваться «насквозь».

2.3. Экспериментальное исследование топологических свойств листа Мебиуса.

Лента Мебиуса – односторонняя непрерывная поверхность с одним краем.

опыта

Свойство

Описание

Фото

1

односторонность

Двигаясь по поверхности ленты в одном направлении, попадаем в место, перевернутое по отношению к исходному

 

2

непрерывность

Любая точка может быть соединена с любой другой точкой, и при этом не придется пересекать границу

 

3

связность

При разрезании ленты вдоль (опыт 2) получается одна фигура, а не несколько.

 

4

Ориентированность

Объект, следующий по ленте, вернется к началу своего пути в зеркальном отражении самого себя.

 

5

Хроматический номер

Номер равен 6.Задача о трех домиках позволяет это увидеть. Раскрашиваются 6 областей

 

2.4. Различные способы конструирования бутылки Клейна

1. Получение бутылки Клейна из бумаги. Прежде всего, нужно взять бумажный квадрат, перегнуть его пополам и соединить клейкой лентой его стороны. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой, протащите нижний край трубки сквозь прорезь и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки. (Приложение 3)

2. Получение бутылки Клейна из одного цилиндра. Один из краёв цилиндра изгибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. Удобней всего брать мягкую бумагу. (Приложение 3)

3. Получение бутылки Клейна из ткани. Можно взять кусок носка и проделать с ними то же, что и с цилиндром. (Приложение 3)

4. Получение бутылки Клейна склеиванием двух листов Мёбиуса. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно. Поэтому Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространствоR3, но вкладывается вR4. (Приложение 3)

5. Получение бутылки Клейна из пластилина. Этот способ отличается от других тем, что бутылку Клейна надо делать снизу. (Приложение 3)

2.5. Эксперименты с бутылкой Клейна

Разрезая бумажную модель разными способами, можно с легкостью демонстрировать многие удивительные свойства бутылки Клейна. Число Бетти для нее равно 2. Это нетрудно доказать, с помощью двух замкнутых разрезов, если их провести вдоль склеенных сторон квадрата. Разрезав бутылку пополам вертикально, получим два листа Мебиуса (сделанных из квадратного листа), переходящих друг в друга при зеркальном отражении. Это свойство бутылки Клейна удобнее всего демонстрировать на высокой "стройной" бутылке, склеенной не из квадрата, а из узкого длинного прямоугольника. Разрезав такую бутылку пополам вдоль пунктирной прямой, вы обнаружите, что каждая половина представляет собой лист Мебиуса, имеющий в том месте, где ранее была прорезь, самопересечение. Однако, вынув каждый лист из принадлежащей ему половинки прорези, вы можете совсем заклеить ее, ибо она не влияет на топологические свойства листа Мебиуса. (Приложение 4)

2.6. Топологические свойства бутылки Клейна

опыта

Свойство

Описание

1

односторонность

Двигаясь по поверхности бутылки в одном направлении, попадаем в место, перевернутое по отношению к исходному.

2

непрерывность

С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.

3

связность

При разрезании бутылки

4

ориентированность

Вообразите, что обитатели – несимметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Тогда вы увидите, что они вернутся в зеркальном отображении (если обитатели живут в бутылке, а не на ней).

2.7.Сравнительная характеристика бутылки Клейна и листа Мебиуса

Мы решили сравнить бутылку Клейна с листом Мебиуса. И результат был удивителен – все свойства двух фигур абсолютно идентичны. Следовательно, бутылка Клейна, подобно листу Мебиуса является топологическим объектом. Значит, бутылка Клейна обладает топологическими свойствами: хроматический номер, непрерывность, ориентируемость.

Заключение

Создание проекта вызвало у нас интерес к этой теме. Мы узнали много нового и интересного. В ходе нашего исследования мы установили, что бутылка Клейна — это топологический объект и обладает топологическими свойствами: хроматический номер, непрерывность, ориентируемость. Мы изготовили бутылку Клейна разными способами, экспериментально проверили топологические свойства этих объектов.

Использование данного материала на уроках и внеурочной деятельности поможет расширить кругозор учеников, развить их воображение, влюбить в математику. Как показал опрос, многие учащиеся мало что знают о односторонних поверхностях, поэтому нам было в радость рассказать им об интересен математикам, он вдохновляет художников и музыкантов. Независимый художник комиксов Джим Вудринг создал небольшую историю на реальной ленте Мебиуса (Приложение 5). Был проведен эксперимент с музыкальной партитурой в форме ленты Мёбиуса. Ноты нужно выдавливать компостером на бумажной ленте. Если сделать из партитуры ленту Мёбиуса, то мелодия, по утверждению Вай Харт, будет бесконечно проигрываться в двух версиях — простой и перевернутой.

Литература

И.Ф. Шарыгин. Л.Н. Еранжиева «Наглядная геометрия» 5-6 класс, «Дрофа» 2000г.; стр. 69 – 76.

Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978 г., стр. 43 – 48.

Б.А. Кордемский «Топологические опыты своими руками», научно-популярный журнал «Квант» 1974 г., №3, стр. 73-75.

Квант: научно-популярный журнал. -1975, № 7; 1977, № 7.

Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112.

Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября», №14 1999г., № 24 2006г.

Интернет-ресурсы:https://studfiles.net/preview/2281108/

https://im-possible.info/russian/articles/klein-bottle/

https://ru.wikipedia.org/wiki/Бутылка_Клейна

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://www.kvant.info/

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/
http://www.mebius.spb.ru/content/view

http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000027/st127.shtml

Приложение 1

Приложение 2

 

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Лента Мебиуса в искусстве.

Просмотров работы: 255