VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Золотое сечение

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Анисимова В.Г. 1

---

1МАОУ * Гимназия №1 *

Дятел О.И. 1

---

1МАОУ * Гимназия №1 *

Работа в формате PDF

1.7 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Геометрия владеет двумя сокровищами:
одно из них — это теорема Пифагора,
а другое — деление отрезка в среднем
и крайнем отношении.

И. Кеплер (1571—1630)

Показано, что проблемой золотого сечения занимались с древних времен – начиная с древних архитектурных строений и живописных полотен и до наших дней. Тема «Золотого сечения» актуальна при изучении классического наследия и при искусствоведческом анализе произведений всех видов искусств. Издревле в пропорции художники видели объективную основу красоты, по крайней мере формы прекрасного. Не все художники желали рассматривать искусство лишь как плод безудержной фантазии и чистой интуиции. И те из них, кто пытался постигнуть объективные законы прекрасного, находили их прежде всего в пропорции. Таким образом, будучи мерой, законом природы, Золотое сечение становится и мерой человеческого творчества, законом красоты. Спор о том, должна или не должна наука вторгаться в заповедные области искусства, идет давно. И спор этот носит явно схоластический характер. Во все эпохи процветания искусство вступало в союз с наукой. Художники-мыслители, теоретики и педагоги, размышлявшие над проблемами обучения молодых, всегда приходили к выводу, что без науки искусство развиваться и процветать не может. Художник и педагог Н. П. Крымов писал: «Говорят: искусство не наука, не математика, что это творчество, настроение и что в искусстве ничего нельзя объяснить — глядите и любуйтесь». По-моему, это не так. Искусство объяснимо и очень логично, о нем нужно и можно знать, оно математично... Можно точно доказать, почему картина хороша и почему плоха. В. И. Суриков утверждал, что в композиции есть какой-то непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика.

Объект исследования: Золотое сечение, Золотые фигуры

Цель: исследование «Золотого сечения» в живописи

Задачи:

Исследовать способы построения Золотого сечения

Исследовать принципы проецирования Золотого сечения на картины художников

Рассмотреть и изучить Золотые фигуры

Исследовать Золотое сечение в современном творчестве художников

Определение «Золотого сечения»

Золотое сечение – гармоническая пропорция. В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b= c : d.

Отрезок прямой АВ (рис.1) можно разделить на две части следующими способами:

- на две равные части – АВ : АС= АВ : ВС

- на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют)

таким образом, когда АВ : АС= АС : ВС

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b= b : c или с : b= b (рис. 2)

Рис.2

Определение- деление в крайнем и среднем отношении -становится более понятным, если мы выразим его геометрически (рис. 3), а именно а : Ь как

Ь : с. Из рис. 3 понятно, почему астроном Иоганн Кеплер называл золотую пропорцию продолжающейсаму себя. «Устроена она так,- писал И. Кеплер, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности» . Как видим, построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). В последнем случае необходимо от большего отрезка вычесть меньший, получим еще меньший: b - a = d, и т. д. Практическое знакомство с золотым сечением обычно начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции геометрическим способом (рис.4).

Геометрическое изображение «золотой пропорции»

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE= 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ= 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства «Золотого сечения» описываются уравнением:

x² – x – 1= 0

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

История «Золотого сечения»

История золотого сечения интересна и увлекательна. Она еще раз подтверждает, что тайны природы скрыты и ревниво ею охраняются. Тайна золотого сечения - не исключение.

В 1911 г. французский художник Анри Матисс (1869- 1954) посетил Россию. В Москве он увидел старинные русские иконы. «Русские и не подозревают, какими художественными богатствами они владеют... Ваша учащаяся молодежь имеет здесь, у себя дома, несравненно лучшие образцы искусства..., чем за границей. Французские художники должны ездить учиться в Россию: Италия в этой области дает меньше»,- писал художник позже.

Много лет спустя Матисс вспоминал, как «тронуло» его древнерусское искусство и какое воздействие оказало на его творчество: «Ему предаешься тем сильнее, чем яснее видишь, что его достижения подкреплены традицией - традицией древней». Матисс, несомненно, имел в виду традиции искусства Греции классической поры. Он увидел, что Русь через Византию унаследовала живую традицию античного искусства и в своих исторических и национальных условиях продолжала ее. Пока Италия возрождала античность, пытаясь из обломков и развалин составить цельное представление о древности, искусство живописи и архитектуры на Руси достигло больших высот.

Приехав в Советский Союз, американский художник Антон Рефрежье восторженно воспринимает сохранившиеся росписи, выполненные древнерусскими художниками. «Я смотрю на величественные росписи древнерусских храмов, и меня снова и снова потрясает глубина гуманизма искусства, которое поднялось над церковной догмой до уровня выражения эмоционального духа народа. И я с изумлением смотрю на построение композиции, на пропорции фризов на стенах. Здесь также мы можем учиться знанию закона динамической симметрии, абсолютной вере художников в эти законы, раскрытые древними греками и подтвержденные во все великие периоды архитектуры и живописи»,- писал он в статье «На языке, понятном массам», опубликованной в газете «Советская культура» 21 мая 1974 г.

В той же статье Антон Рефрежье отмечает достоинства творений художников эпохи Возрождения: «Я бы назвал два таких качества - глубокий гуманизм (это содержание) и ответственное, уважительное отношение к специфике настенной живописи, знание геометрии, динамической симметрии, правил «золотой середины» (это форма) ... Художник, не будучи осведомленным в геометрии, в законе динамической симметрии, самое большее, что может сделать, это расположить все в определенном порядке, иначе - создать «коллаж». Такая высокая оценка золотого сечения и его проявления в русском искусстве, безусловно, побуждает нас к изучению этого феномена.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Ранее уже упоминалась плита фараона Нармера (рис. 5), построенная в пропорциях золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников (рис. 6, а).

Платон (427—347 гг. до н. э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления (рис. 6, б).

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н. э.), Папп (III в. н. э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В историю золотого сечения косвенным образом вплетено имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится?» Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд цифр 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. стал известен в науке какряд Фибоначчи. Его особенность состоит в том, что каждый его член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 2 + 3=5; 3+5 = 8; 5 + 8=13; 8+13 = 21; 13+21 = 34 и т. д., а отношение чисел ряда все больше и больше приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34:55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение-0,618:0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом (случаем), если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном мире, а также и в животном, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его называют творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. Они стали друзьями. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого). На золотую пропорцию был наброшен мистический покров.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится в науке до сих пор как самое популярное.

Характерно, что в то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «...Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Дюрер сетует, что секреты древних утеряны, что отцы церкви не должны так яростно уничтожать все, что осталось от древних. Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т. д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения.

Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8=1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5=1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д.

Верность своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю. Ф. В. Характерно, что в этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теорий о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Анархия капиталистического производства привела в XX в. к тому, что продукция, изготовленная одним предприятием, сильно отличалась от аналогичной продукции других предприятий. При перевозке такой продукции нередко оказывалось, что она не соответствует размерам транспортных средств. Такое же положение наблюдалось и в строительном деле.

Французский архитектор Ле Корбюзье (1887 -1965) разрабатывает единую систему величин. За основу был взят средний рост человека, равный 175 см. Была построена шкала золотого сечения, которая и дала необходимые размеры. Эту шкалу Ле Корбюзье назвал модулором. Пользуясь своим «модулором», Ле Корбюзье строил отдельные здания и целые комплексы сооружений.

На девятой выставке «Триеннале» в Милане в 1951 г. три дня были посвящены золотому сечению. В эти дни было проведено первое международное совещание на тему пропорций в искусстве, а выставка «Триеннале» 1954 г. была полностью посвящена «божественной пропорции» и явилась восхвалением золотого сечения - «древнейшей тропы человечества, указанной Пифагором» (Ле Корбюзье). К сожалению, речь там шла в основном об архитектуре.

Следует упомянуть заслуги Г. Б. Борисовского. В книге «Наука. Техника. Искусство» (М., 1969) автор отдает должное золотому сечению, но указывает на его слабую сторону: золотое сечение характеризует только количественные отношения. Он приводит слова Жолтовского о колбасе (сказанные в шутку), что если разрезать тухлую колбасу в золотом сечении, то она не станет вкуснее. Отношения, свойственные золотой пропорции, выраженные арифметически или геометрически, действительно определяют только количественные отношения. Но эти же отношения, воплотившиеся в живых формах листьев, цветов, животных, доставляют нам эстетическое удовлетворение, радость, мы наслаждаемся красотой формы. Тем более они приятны нам в произведениях рук человеческих: зданиях, статуях, картинах, коврах, вазах и т. д., которые мы пробуем не на вкус, а смотрим на них глазами.

В нашей стране в довоенные годы были изданы книги о золотом сечении в архитектуре: Н. Врунов. Пропорции античной и средневековой архитектуры.-М., 1935; Г. Д. Гримм. Пропорциональность в архитектуре. -Л.; М., 1935. Осуществлялись переводные издания: Г. Е. Тимердинг. Золотое сечение.- М., 1924; М. Гика. Эстетика пропорций в природе и искусстве.- М., 1936; Д. Хэмбидж. Динамическая симметрия в архитектуре. -М., 1936. И в этих книгах проявление закона золотого сечения в живописи не затрагивалось.

В редакционном примечании к книге М. Гика «Эстетика пропорций в природе и искусстве» указывается, что многие ученые, занимавшиеся золотым сечением, не идут дальше простой констатации факта: «Между тем, задача заключается в том, чтобы объяснить его причины. Такую попытку делает советский исследователь Ф. И. Зубарев, работы которого о золотом сечении подготовляются сейчас к печати». Неизвестно, были опубликованы работы Ф. Зубарева или нет.

В послевоенные годы заметно расширение и углубление внимания ученых различных специальностей к проблеме золотого сечения. В 1974 г. И. И. Шафрановский публикует работу «Динамическая симметрия в кристаллографии, минералогии, петрографии и органическом мире» (Записки Ленингр. горн, ин-та им. Г. В. Плеханова.- Т. XII, вып. 2). В 1977 г. напечатана книга А. П. Стахова «Введение в алгоритмическую теорию измерения», а в 1979 г.- его же «Алгоритмическая теория измерения» (М., Знание), в которых изложено применение чисел ряда Фибоначчи и золотой пропорции для улучшения работы аналого-цифровых преобразователей. В 1979 г. И. Шмелев в журнале «Архитектура СССР» публикует статью «Канон. Ритм, пропорция, гармония» (№ 2), в которой излагает дальнейшее развитие идеи «модулора» Ле Корбюзье, что позволило ему раскрыть механизм гармонии ритмических взаимосвязей в пропорциях мужского и женского тела, их динамическую дополнительность по отношению друг к другу, что снимает недоверие к золотому сечению на том основании, что пропорции тела женщины не соответствуют золотым.

Линии золотого сечения и диагонали на картине

При переносе геометрического способа деления на картину или эскиз поступают так: половину длины картины или эскиза откладывают на высоту или продолжение высоты, если эскиз узкого формата. Полученную точку С соединяют с левым нижним углом картины и т. д. (рис. 7). Линия золотого сечения в левой части картины будет находиться на таком же расстоянии от левого края, как и в правой от правого (показано пунктиром). Указанные выше две пропорции золотого деления - равные величины и неравные, при этом пропорциональные, широко используются в искусстве.

Фигура А. С. Пушкина в картине И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 г.» помещена художником на линии золотого сечения в правой части картины (рис. 8). Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы А. С. Пушкина до головы Г. Р. Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения. В нижней части картины глаз улавливает деление на три равные части. Их образуют стол в левой части картины, нога Пушкина правее линии золотого сечения и правый край картины.

Если необходимо найти линию золотого сечения на картине или эскизе по горизонтали, то новое деление геометрическим способом высоты картины производить нет необходимости. Достаточно провести диагонали картины. Их пересечения с линиями золотого сечения по вертикали укажут точки, через которые следует провести горизонтальные линии золотого сечения (рис. 9). Эти линии могут понадобиться при построении пейзажа. Художники-пейзажисты из опыта знают, что нельзя отводить половину плоскости холста под небо или под землю и воду. Лучше брать или больше неба, или больше земли, тогда пейзаж «лучше смотрится».

Из пропорции золотого сечения вытекает, что если высоту или ширину картины разделить на 100 частей, то больший отрезок золотой пропорции равен 62, а меньший -38 частям. Эти три величины позволяют нам построить нисходящий ряд отрезков золотой пропорции: 100 - 62 = 38; 62 - 38 = 24; 38 -24=14; 24-14=10.

100, 62, 38, 24, 14, 10 - это ряд величин золотой пропорции, выраженных арифметически. Так же находят отрезки золотой пропорции и на картине, если линия золотого сечения по вертикали уже проведена (рис. 9). Переносим линию золотого сечения в левый край картины. Расстояние между линиями золотого сечения в середине картины равно 24 частям. Отрезок, равный 24 частям, откладываем на отрезок, равный 38 частям, и получаем остаток, равный 14 частям. Последний отрезок накладываем на отрезок, равный 24 частям, и получаем отрезок, равный 10 частям. Все отрезки нисходящего ряда золотой пропорции для данной картины мы получили. Ту же операцию проводим и с высотой картины. Полученные отрезки переносим на полоску плотной бумаги или картона - для ширины с лицевой стороны и для высоты с оборотной. Этот простейший инструмент назовем пропорциональной линейкой. Такая пропорциональная линейка пригодна только для данного эскиза или эскиза такого же размера. Изготовление ее занимает несколько минут, но в дальнейшем облегчит работу над эскизом в поисках интервалов между фигурами или группами фигур, между предметами, поможет найти их размеры и, в конечном итоге, гармонизовать линейное построение картины.

Фигура А. С. Пушкина в картине Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском» поставлена художником на линии золотого сечения в левой части полотна (рис. 10). Все остальные величины по ширине вовсе не случайны: ширина печи равна 24 частям от ширины картины, этажерки -14 частям, расстояние от этажерки до печи также равно 14 частям и т. д. Такие же величины есть и в картине И. Е. Репина (см. рис. 8): от левого края картины до головы Державина - 24 части; от стола до носка сапога правой ноги Пушкина - 24 части. Такое же расстояние от головы Пушкина до головы военного, с восторгом слушающего чтение поэта (его голова находится на второй линии золотого сечения в таком же повороте, как и голова Пушкина).

От голов Пушкина до головы молодой женщины в право части картины, с умилением слушающей декламацию, тоже - 24 части, а от ее головы до пpaвого края картины - 10 частей и т. д.

Повторение равных величин, чередование paвных и неравных величин в пропорциях золотое сечения создает в картине определенный ритмический строй, вызывающий у зрителя то или иное настроение и втягивающий его в рассматривание изображения. Порядок и последовательность этого рассматривания предопределены художником.

Ряд отрезков золотой пропорции

Достоинство пропорции золотого сечения заключено в том, что, раз поделив отрезок прямой или сторону картины геометрическим способом, получают отрезки любого уменьшения. В практической же работе художника достаточно величин, соответствующих числовым значениям 62, 38, 24, 14 и 10 (рис. 11).

Отрезки золотой пропорции нисходящего ряда при известной величине отрезка АВ или ширине эскиза, картины, репродукции - если мы желаем их проанализировать, получают путем вычисления. Например, ширина эскиза равна 14 см. Одна сотая часть от 14 составит 0,14 см. 0,14 умножаем на 62 и получаем больший отрезок золотой пропорции, равный 8,68 см. Следовательно, 100 частей = 14,00; 62 части = 8,68; 38 частей = 5,32; 24 части = 3,36; 14 частей = 1,96; 10 частей = 1,4 см.

Откладываем эти значения на пропорциональной линейке, как показано на рис. 7, и дальнейшую работу над эскизом проводим с помощью этой линейки. Интуитивное сочетается с математикой и расчетом.

Случается так, что размер эскиза равен 10 см (100 мм) по ширине и высоте (квадрат). Тогда золотая пропорция на эскизе или пропорциональной линейке откладывается по линейке: 62, 38 и 24 мм. При размере картины 100x100 см поступают аналогичным образом. Если же одна из сторон картины равна 100 см, то, отложив на ней с помощью линейки отрезки золотой пропорции, проводим линии золотого сечения. Пересекаем их диагоналями и получаем данные для нахождения отрезков золотого сечения для другой стороны картины, не равной 100 см, как показано на рис. 7. Когда эскиз не очень большой, применяют метод нахождения золотых пропорций на одной из его сторон при помощи проведения вспомогательной линии размером в 10 см (100 мм) под произвольным углом к разделяемой линии (рис. 12). На вспомогательной линии, которую проводят в плоскости эскиза или за его пределами, откладывают значения в миллиметрах - 62, 38, 24, 14 и 10. Крайняя точка вспомогательной линии соединяется с краем эскиза. Остальные линии проводятся параллельно первой. Все остальное построение проводится, как показано на рис. 7. Этот метод предложен художником В. Скубаком. Этот же метод применяют и на небольшой картине, когда вспомогательная линия в 100 см располагается на ее поверхности.

Если размер эскиза не задан, его построение начинают с квадрата (рис.13, а). Разделив нижнюю сторону квадрата на две равные части и проведя линию от полученной точки в правый верхний угол квадрата, принимаем эту линию за радиус и описываем дугу до пересечения с продолжением нижней стороны квадрата. Из полученной точки восставляем перпендикуляр до пересечения его с продолжением верхней стороны квадрата. В результате такого построения получаем прямоугольник золотого сечения, или золотой прямоугольник (рис. 13, б). Если ширину такого прямоугольника принять за 100 частей, то его высота равна 62 частям. Линия золотого сечения по вертикали определится сама собой. Далее проводим диагонали, получаем точки для проведения линий золотого сечения по горизонталям (рис. 13, в). На основании золотого прямоугольника производят построение эскиза любого формата, вытянутого по горизонтали или вертикали (рис. 13, г).

Рис.1

Рис.3

Рис.4

Рис.7

Рис.9

Рис.8

Рис.10

Рис.12

Рис.11

Рис.5

Рис.6

Рис.12

Рис.13

В русской Академии художеств знали о законе золотого сечения. Этому есть письменные свидетельства. В книге «Далекое - близкое» И. Е. Репин описывает встречу знаменитого критика В. В. Стасова с учениками Академии художеств. На встрече присутствовали, кроме Репина и Стасова, М. М. Антокольский, Г. И. Семирадский, К. А. Савицкий и др. Разговор шел о новом реалистическом искусстве и устаревшем академизме.

Илья Ефимович отмечает, что Семирадский щеголял перед Стасовым знанием греческого искусства, эстетических трактатов и золотого сечения, и замечает, что все это прекрасно знал и В. В. Стасов.

Золотое сечение применялось художниками при композиционном построении картин. Был разработан упрощенный метод, когда плоскость картины делилась на 10 частей по вертикали и горизонтали. Линия золотого сечения намечалась в отношении 6 и 4 частей (рис. 14, а). Это не давало отношения 62:38, но давало близкое к нему 60:40. Практически этого было достаточно, чтобы ориентироваться и расположить главную фигуру или группу фигур в наиболее выгодном для этого месте картины. Академик А. Н. Лаптев в статье «Некоторые вопросы композиции» так пишет о золотом сечении: «...Хочу упомянуть о давно известном, особенно в классическом искусстве, законе пропорций золотого сечения. В силу некоторого свойства нашего зрительного восприятия, эти пропорции (примерно 6 и 4) являются наиболее гармоническими и наиболее отвечающими общему понятию красоты, а потому и наиболее часто употребляемыми».Тот же результат получали и художники Мюнхенской академии делением картины на 5 частей. Золотая пропорция бралась в отношении 3 : 2, что одно и то же, так как сокращение 10; 6 и 4 в два раза дает 5; 3 и 2. Главная фигура картины или группа помещались на линии золотого сечения (рис. 14,б).

Рис.14

Рис.14

В картине Джованни Тьеполо «Пир Клеопатры» голова Клеопатры помещена художником в правой верхней точке на пересечении линий золотого деления по вертикали и горизонтали. Этим обеспечивается легчайшее восприятие глазом всей картины и ее зрительно-смыслового центра - центра внимания. Центр внимания может быть в правой части картины или в левой, в нижней или верхней. Эти четыре точки — наилучшие места для расположения главного предмета картины. Это связано "с устройством глаза, работой мозга и закономерностями зрительного восприятия, о чем будет сказано ниже.

Деление картины

«Боярыня Морозова» хорошо видны деления правого вертикального края эскиза на 10 частей (рис.15). Затем отсчитаны 6 делений снизу или 4 сверху и проведена линия золотого сечения, являющаяся предполагаемым горизонтом. Репродукция этого эскиза опубликована в книге С. Каплановой «От замысла и натуры к законченному произведению». В ранней картине В. И. Сурикова «Милосердный самарянин» (1874) голова раненого помещена художником в правой нижней точке картины, ладонь правой руки самарянина - в левой верхней, где слуга льет в нее воду из кувшина. Обе эти точки находятся на диагонали. Устойчивость композиции придает и то, что голова самарянина находится на средней линии картины по вертикали (рис. 16).

Недостаток деления картины на 10 или 5 частей заключен в том, что оно дает довольно приблизительные отрезки золотого сечения — 60, 40, 20 (табл. 1, ряд 1). Более точные значения пропорциональных величин золотого сечения (62 и 38) дают возможность образовать 5 величин золотого ряда (табл. 1, ряд 2), еще более точные исходные величины —61,8; 38,2 или 61,803 и 38,196 дают возможность продолжить нахождение величин нисходящего ряда золотой пропорции до 9 значений или даже до бесконечности (табл. 1, ряды 3 и 4). В практической работе художника над эскизом или картиной достаточно величин 2-го и 3-го рядов. Формат картины или монументальной росписи иногда задают. Но чаще всего художник сам определяет формат в соответствии со своим замыслом. Например, художник начинает разрабатывать эскиз пейзажа форматом 8x12 см. Эскиз имеет формат 8X12 см. Для нахождения линии золотого сечения по вертикали и отрезков золотого сечения

Рис.15

Рис.16

Построение пейзажа по золотому сечению и нахождение отрезков золотой пропорции при помощи вспомогательной линии

По нисходящему ряду можно воспользоваться проведением вспомогательной линии длиной 10 см за пределами поля эскиза (рис. 17). На основании наблюдений, зарисовок, этюдов у автора возник замысел: показать на картине опушку леса. Внимание зрителя в первую очередь привлекает ель. Все остальные деревья дополняют пейзаж и образуют стройное гармоническое целое, легко воспринимаемое глазом. Такое гармоническое целое создается благодаря расположению ели на линии золотого сечения, а остальных деревьев или групп деревьев - в должном порядке. Подсказывают этот порядок (ритм) отрезки нисходящего ряда золотого сечения для данной картины, найденные при помощи вспомогательной линии и отложенные на пропорциональной линейке (для ширины и высоты). Дальнейшая работа над пейзажем пойдет «на глаз», по чувству. Пусть художественный вкус автора, опыт и талант поведут его к успешному завершению картины, к наилучшему выражению замысла. Как в архитектуре, так и в живописи геометрию привлекают для нужд пропорционирования, для создания предварительной схемы, композиционного каркаса, но не более.

Рис.17

Ряд Золотой пропорции

Ряд

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой (рис. 18). Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471 - 1528) (рис. 18, а). Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получаем пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму (рис. 18, б). Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Проводим прямую произвольной длины, откладываем на ней отрезок m, ниже откладываем отрезок М. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов (рис. 18, в).

Если размер эскиза не задан, берут любые два значения шкалы как ширину или высоту эскиза и находят все остальные величины, как было показано ранее.

Из всего сказанного вытекает, что художник, желающий осуществить гармонический пропорциональный строй своей картины на основании золотого сечения, обязательно находит первые два отрезка золотой пропорции. Решению этой задачи способствует и золотой треугольник. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Для построения золотого треугольника не требуется даже транспортир (рис. 19, а). Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ ,на перпендикуляре вправо И влево От точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d\ соединяем прямыми с точкой А.Отрезок dd\ откладываем на линию Ad\, получая точку С. Она раз- делила линию Ad₁ в пропорции золотого сечения. Линиями Ad\ и dd\ пользуются для построения золотого прямоугольника (рис. 19, б).

Рис.18

Рис.19

Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863—1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление- это асимметричная симметрия. Сейчас в науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая — движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и даже застылость. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она - свидетельство жизни. Симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков (или их уменьшение), и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Художественная форма, в основе построения которой лежат пропорции золотого сечения, и особенно сочетание симметрии и золотого сечения, является высокоорганизованной формой, способствующей наиболее ясному выражению содержания, наилегчайшему зрительному восприятию и появлению у зрителя ощущения красоты.

Очень часто в одном и том же произведении живописи встречается сочетание симметричного деления на равные части по вертикали и деление на неравные части по золотому сечению по горизонталям.

Картина Леонардо да Винчи «Мадонна в гроте» не строго симметрична, но в основе ее построения - симметрия (рис. 20, а). Все содержание картины выражается в фигурах, которые разместились в нижней ее части. Они вписываются в квадрат. Но художник не довольствовался таким форматом. Он достраивает над квадратом прямоугольник золотого сечения (рис. 20, б). В результате такого построения вся картина получила формат золотого прямоугольника, поставленного вертикально. Радиусом, равным половине стороны квадрата, он описал окружность и получил полукружие верхней части картины.

Внизу дуга пересекла ось симметрии и указала размер еще одного прямоугольника золотого сечения в нижней части картины (рис. 20, в). Затем радиусом, равным стороне квадрата, описывается новая дуга, которая дала точки на вертикальных сторонах картины. Эти точки помогли построить равносторонний треугольник, который и явился каркасом для построения всей группы фигур. Все пропорции в картине явились производными от высоты картины. Они образуют ряд отношений золотого сечения и служат основой гармонии форм и ритма, несущих в себе скрытый заряд эмоционального воздействия. Аналогичным образом построена картина Рафаэля «Обручение Марии» (рис. 21).

Если мы обратимся к древнерусской живописи, иконам XV—XVI вв., то увидим такие же приемы построения изображения. Иконы вертикального формата симметричны по вертикали, а членения по горизонталям осуществлены по золотому сечению. Икона «Сошествие во ад» Дионисия и мастерской (рис. 22) с математической точностью рассчитана в пропорциях золотого сечения.

В иконе конца XV в. «Чудо о Флоре и Лавре» осуществлено тройное отношение золотого сечения. Сначала мастер разделил высоту иконы на две равные части. Верхнюю отвел под изображение ангела и святых. Нижнюю часть он разделил на два неравных отрезка в отношении 3 : 2. В итоге получилось соотношение трех величин золотого сечения: а : Ь, как b : с. В числах это будет выглядеть так: 100, 62, 38, а уменьшенные вдвое — 50, 31, 19.

О симметричности «Троицы» Андрея Рублева написано много. Но никто не обратил внимания на то, что по горизонталям и здесь осуществлен принцип золотых пропорций (рис. 23). Высота среднего ангела относится к высоте боковых ангелов, как их высота относится к высоте всей иконы. Линия золотого сечения пересекает ось симметрии по середине стола и чаши с жертвенным тельцем. Это - композиционный замок иконы. На рисунке показаны и более мелкие величины ряда золотого сечения. Наряду с плавностью линий, колоритом пропорции иконы играют значительную роль в создании того общего впечатления, которое испытывает зритель при ее рассматривании.

Могучим хоралом представляется нашему взору икона Феофана Грека «Успение» (рис. 24). Симметрия и золотое сечение в построении придают этой иконе такую мощь и стройность, какую мы видим и ощущаем при виде греческих храмов и слушании фуг Баха. Легко заметить, что композиция «Успения» Феофана Грека и «Троицы» Андрея Рублева одна и та же. Исследователи творчества древнерусских художников отмечают, что заслуга Феофана Грека состоит не столько в том, что он писал фрески и иконы для русских соборов и церквей, сколько в том, что он научил античной мудрости Андрея Рублева.

Завершим хвалу содружеству симметрии и золотого сечения рассмотрением пропорций победной плиты египетского фараона Нармера (3-е тыс. до н. э.). Прямоугольник золотого сечения - исходная форма плиты Нармера (рис. 5). Плита разбита на пояски, высота которых выдержана в пропорциях золотого сечения. Высота фигуры фараона -от верхнего пояска до нижнего - равна 62 частям высоты. Нижняя часть плиты от пояска до края равна 24 частям, а верхняя, от верхнего пояска до верхнего края,- 14 частям. Ритмический строй оборотной стороны плиты несколько иной, потому что содержание изображения потребовало иного сопоставления пропорциональных величин. Пропорции золотого сечения и симметрия дают бесконечное разнообразие композиционных построений как в самой природе, так и в произведениях искусства всех родов и видов.

Рис.20

Рис.21

Рис.22

Рис.23

Рис.24

Рис.23

Рис.24

Второе Золотое сечение

Особый интерес представляет статья М. А. Марутаева «О гармонии как закономерности» в сборнике «Принцип симметрии» (М., 1978). Он отмечает, что в современной науке существуют три проблемы: 1) природа золотого сечения, 2) загадка числа 137 и 3) природа приблизительной симметрии, которая относится к живой природе, искусству, а в последнее время и к физике. Далее он показывает, что все три проблемы представляют собой одну проблему: нарушенная симметрия (приблизительная симметрия), число 137 и золотая пропорция взаимосвязаны. Это подтверждает, по мнению автора, фундаментальность принципа золотого сечения и позволяет объяснить многие факты, которые раньше рассматривались как противоречащие принципу золотого сечения.

Болгарский журнал «Отечество» (1983.—№ 10) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша о «втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает новое отношение 44 : 56.

Эта пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций картин удлиненного горизонтального формата.

Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения (рис. 25, а). Из точки С восставляется перпендикуляр СД. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой < АСД делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

На рис. 24, б показано нахождение линии второго золотого сечения на картине. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией картины.

Рис.25

Естественнонаучные основы теории композиции

Принципы формообразования в природе

Когда-то не было деревьев, рек, полей, гор. Земля представляла из себя огнедышащий шар, где все кипело, бурлило, постепенно охлаждалось, что-то с чем-то соединялось, распадалось, синтезировалось в новом виде. И так миллионы проб и ошибок. Остыла Земля, образовалась твердая кора. Природа «скомпоновала» воздух, камни, воду, глину, растения, насекомых, рыб, животных. Высшим проявлением сил творящей материи явился человек. Природа осуществила здесь сочетание симметрии по вертикали и золотого сечения по горизонталям. Природа творила, строго соблюдая свои собственные законы: развитие (эволюция) и сохранение материи. Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Живой организм, вытянутый в длину, таит для его владельца много опасностей. Змея погибает чаще всего из-за своего длинного тела. Ящерица отбрасывает свой хвост, если ее схватил ястреб. Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см.

Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание еще древнегреческого ученого Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется спиралью Архимеда. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Она сыграла определенную роль и в развитии телевидения.

Еще Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д. Однако только совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удиви- тельные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Исследователь золотого сечения в растительном мире Ю. Урманцев в своей статье «Золотое сечение» пришел к такому выводу: «...золотое сечение царит в некоторых процессах, протекающих в живой природе» '.

Обстоятельно изучал золотое сечение С. М. Эйзенштейн (1898—1948). Он пришел к выводу, что если идет речь об органичности, то там есть в пропорциях золотое сечение. Именно С. М. Эйзенштейн указывает на роль золотого сечения в живописи, приводит примеры проявления золотой пропорции в поэзии, подробно излагает строение по золотому сечению своего фильма «Броненосец Потемкин». Останавливается он и на строении спирали золотого сечения, так называемой логарифмической спирали  (рис. 26). Суть строения этой спирали состоит в том, что, начинаясь с точки О, ее шаги каждый раз увеличиваются в пропорциях золотого сечения (возрастающий ряд): ОА = 10, 0Б=14 ОВ = 24, ОГ = 38, ОД = 62 и т. д.

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. План города Ауровилля (Индия)-свидетельство спиралевидной застройки. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гёте называл спираль «кривой жизни».

Рис.26

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение -цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения* (рис. 27). В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции: длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Сон и бодрствование человека в пределах суток, удары сердца и его отдых, кровяное давление в норме - все имеет тенденцию проявляться в золотой пропорции.

Рис.27

Рис.28

Великий Гёте, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология (учение о форме).

Великий французский ученый Пьер Кюри (1859-1906) в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Советский ученый И. И. Шифрановский, излагая идеи учения о симметрии, объясняет, что симметрия проявляется во всем, что окружает нас.

Она пронизывает Землю и Вселенную, создавая удивительную гармонию материального мира.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Художника более всего интересуют внешние формы природных тел, видимые глазом и оцениваемые без геометрического измерения. Его с малых лет в школе, художественном училище и институте учат на глаз определять пропорции человека, человека и здания, здания и дерева и т. д. Он должен уметь изобразить все это на плоскости, чтобы на глаз определить отношения светлого и темного, желтого и синего. Это, безусловно, нужно. Но очень плохо, когда художник на этом и заканчивается. Великие художники прошлого были великими еще и потому, что они были и учеными, и мыслителями, и поэтами. Они видели в вещах значительно больше, чем только пропорции и отношения светлого и темного.

Суммируя известные данные о формообразовании в природе, можно сделать такие выводы:

«золотое число» 1,618 передает математически своеобразную ритмичность функциональных структур;

филотаксис (листорасположение) демонстрирует оригинальные формы симметрии

числа Фибоначчи математически выражают собой определенные принципы природного развития, связанные с общим законом сохранения; эти принципы имеют место как на организменном, так и на молекулярном уровне развития живых систем;

принцип «золотой симметрии» действует и на уровне неживой природы как определенный инструмент ее упорядочения и прогрессивной эволюции;

в то время, когда ряды Фибоначчи математически характеризуют прогрессивную тенденцию природного отбора, т. е. «стремления» природы к оптимальному функционированию ее систем, принцип «золотого сечения» -экстремальное (высшее) проявление структурного и функционального совершенства этих систем;

«золотая» спираль с модулем Ф является математическим смыслом тайны жизни, которая оптимально выявляет себя и в растительном, и в животном мире, потому что она - проявление закона гармонического возрастания пульсаций.

Итак, мы делаем вывод, что среди бесчисленного разнообразия форм в природе, с которыми встречается художник, царит закономерность и системность, связующей нитью которых является пропорция золотого сечения.

Заключение

Все существующее в природе и воспринимаемое глазом человека имеет величину и форму. Всякий природный объект является чем-то единым, целостным. Нетрудно заметить, что природа всегда создает что-то целое: человека, дерево, рыбу, лошадь, собаку и т. д. От этого целого нельзя ничего отнять, убавить, не нарушив целостность. Нельзя ничего и прибавить. Оно будет лишним и тоже нарушит целостность и гармонию. Например, шесть пальцев на руке человека, три рога у быка.

Целое всегда состоит из частей. Части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Это и есть пропорции. С математической точки зрения мы отмечаем повторение измеримых равных величин и неравных, соотносящихся друг с другом как величины золотой пропорции. 39

Это - два вида пропорциональных отношений.

Все другие величины, если они возникли в результате нарушения формообразования по каким-либо причинам, пропорции не составляют. Пропорциональные отношения ведут к симметрии, ритму, к гармонии и красоте. Непропорциональные отношения ведут к нарушению порядка, нарушению симметрии и ритма, что воспринимается человеком как некрасивое и даже уродливое.

Таким образом, определяются пять принципов формообразования в природе: 1) целостность, 2) пропорции, 3) симметрия, 4) ритм и 5) главное в целом. Эти пять принципов выступают в виде законов формообразования. К чему бы мы ни обратились в природе, везде обнаруживаются эти пять принципов формообразования.

Список литературы:

Волошинов А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 1999 г.

Волков Н.Н. Композиция в живописи. – М.: Искусство,1977 г.

Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. – Киев: Выща школа 1989 г.

http://www.abc-people.com/data/leonardov/zolot_sech-txt.htm