VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Комбинаторика в лоскутной технике
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов разложения некоторых предметов. Разные варианты, которые приходится выбирать, складываются в самые различные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопрос: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.
Комбинаторика - раздел математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. На уроках технологии при изготовлении рисунка на кухонных прихватках, из лоскутков ткани геометрической формы, меня заинтересовало сколько разных прихваток можно сшить из трех лоскутков, из четырех лоскутков.
Актуальность:
Сегодня выбором объектов и расположением их в том, или ином порядке приходится заниматься всем. Современный человек должен самостоятельно мыслить, сопоставлять факты, уметь находить различные варианты решения проблем. Умение решать комбинаторные задачи пригодиться ученикам в разных жизненных ситуациях и на многих уроках в школе. Лоскутное шитье во времена экономического кризиса помогает многим людям сохранить семейный бюджет. Комбинации лоскутков различной геометрической формы применяются для создания одежды и предметов интерьера. Накопление опыта решения комбинаторных задач расширяет кругозор, показывает использование комбинаторики в смежных дисциплинах.
Гипотеза:
Комбинаторика имеет широкую практическую направленность в лоскутной техники.
Объект исследования:
Область математики «Комбинаторика» и вид прикладного искусства «Лоскутная техника».
Цель:
Показать широкое применение комбинаторики в одном из видов прикладного искусства – «Лоскутной техники». Выяснить какие комбинаторные методы применяются для перебора вариантов построения комбинаций геометрического рисунка.
Задачи:
Подобрать и изучить литературу о истории развития комбинаторики.
Изучить историю развития «Лоскутной техники».
Провести перебор вариантов построения комбинаций геометрического рисунка при изготовлении кухонных прихваток, а так же объёмных фигур в виде сов.
Проанализировать результаты перебора и результаты подсчета по формулам комбинаторики.
Составить комбинаторные задачи на основе материала с урока технологии.
1. История развития Комбинаторики
Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации.
В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, – возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Процессы, имевшие атомистическую природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применить к ним развитый аппарат математики. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. В эпоху расцвета дискретной математики изменилась и роль древнейшей области дискретной математики – комбинаторики.
2. История развития «Лоскутной техники» и лоскутного шитья.
2.1. История развития лоскутной техники
Гурама... Пэчворк.. . Квилт. .. Все это - лоскутная техника, корни которой в очень далеком прошлом. Некоторые исследователи называют примерную дату зарождения этого вида бытовой деятельности человека, отсылая нас к девятому веку. Впрочем, некоторые из них считают, что на самом деле это было гораздо раньше. Однако, как бы там ни было, мы знаем, что «лоскутная техника» - это один из видов прикладного искусства, чрезвычайно востребованный сегодня.
В традиции очень многих народов Европы, Азии, Америки это практичное изобретение человечества было связано, прежде всего, с бедностью большей части населения, которая пыталась таким образом решить свои житейские проблемы. И, конечно, нетрудно догадаться, что изобретательницей техники сшивания лоскутков была женщина. Именно она, решая домашний вопрос - во что одеть мужа и детей, додумалась до абсолютно экономичного и оправданного действия: из лоскутков старой, вы шедшей из обихода одежды, создавать новую, а также предметы домашнего обихода в виде одеял, навесов, сумок, подушек и занавесей. Многие из исследователей склонны предполагать, что впервые этот метод применили англичанки; сшивая из кусочков кожи одежду. Другие утверждают, что этот вид творчества возник все-таки на Востоке и былизвестен в Японии и Китае много тысячелетий назад. Впрочем, это уже дело исследователей - докапываться до самых фантастических деталей и подробностей исторического хода событий - в возникновении и распространении этого рукотворчества по всей планете и отличительных национальных особенностей, ставших основополагающей частью того или иного рисунка. Понятно, что в Африке, Японии или Древней Руси все это выглядело абсолютно по-разному. Но все же объединяющие моменты существуют. Например, практически во всех техниках отмечено наличие геометрического рисунка: квадрат, круг, прямоугольник, треугольник и т.д.
2.2. История развития
Лоскутная мозаика известна очень давно. Ее применяли вместе с другими технологиями шитья, когда создавали одежду и предметы интерьера из ткани. Были найдены аппликации, сделанные 3000 лет назад. Однако лоскутная техника как самостоятельный вид декоративно-прикладного искусства начало развиваться в Англии в первой половине восемнадцатого века.
В семнадцатом веке в Англию начали привозить индийские хлопчатобумажные ткани прекрасных расцветок и узоров. Иметь в доме одеяло индийского производства, богато декорированное вышивкой или набивным рисунком, стало считаться признаком достатка. Появились и подделки - одеяла из хлопчатобумажных индийских тканей, но выполненных на английских мануфактурах. В 1721 г. Правительство Англии издало Акт о сохранении и развитии шерстяных и шелковых мануфактур, запрещающий продавать ситец и изделия из него, произведенные в Индии. Конечно, контрабанду ситца это не остановило, однако он стал дефицитен и очень дорог. Экономные хозяйки, выкроив из дорогого ситца одежду, стали использовать его остатки для других изделий. Так, яркие элементы узора ткани шли на аппликации: их нашивали на льняные или шерстяные полотна. А из мелких лоскутков разноцветных тканей создавали единое полотно по принципу мозаики. Таком образом, лоскутная техника первоначально возникла как способ изготовления рукодельницами модных текстильных предметов интерьера (например, парадных одеял) в домах без большого достатка.
2.3. Лоскутное шитье в Рооссии
Первоначально это было не столько лоскутное шитье в современном понимании этих слов, сколько перешивание, подновление одежды и предметов убранства жилища из лоскутков отслуживших свой срок вещей. Старые вещи разрезались, лоскутки сортировались: все, что годилось для шитья, шло на лоскутные одеяла, занавески; из очень поношенного плели дорожки, шили махровые коврики – половички. Поскольку «мелкоте» - так на Руси называли мальчиков и девочек до шести – восьми лет – новый одежды не полагалось, то русские крестьянки перешивали старые рубашки, на рубашечки для самых маленьких. Да и одежды более взрослых детей шили преимущественно из старой одежды родителей или просто давали донашивать свою. Такая традиция была распространена не только в бедных семьях, но и в зажиточных и даже богатых. Сейчас это может показаться странным, но если учесть, что вся одежда состояла только из натуральных волокон и шилась натуральными нитками, то становится понятным, почем у вещи, послужившие одному поколению, не только не выбрасывались, но и могли пригодиться детям и внукам. Следует сказать, что до восемнадцатого века одежда на Руси была в основном домотканой, то есть изготавливалась из полотна, сотканного на ткацком станке, который был почти в каждой избе.
3.Методы решения Комбинаторных задач
«Особая примета» комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: «Сколькими способами».
В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.
Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7 ?
Решение. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 2 и, наконец, с цифры 7:
11,14,17,41,44,47,71,74,77.
Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Дерево возможных вариантов
В задаче мы искали свой способ перебора всех возможных вариантов решения. Однако существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название — дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.
Вернемся к задаче о составлении двузначных чисел из цифр 1, 4 и 7. Для ее решения построена специальная схема.
Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак * изображает корень дерева, ветви дерева — различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для этого есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7. Затем надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.
Посмотрим, как построение дерева помогает решить самые разные комбинаторные задачи.
Задача 2. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. В справочном бюро они получили следующие сведения: из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву — на самолете, теплоходе, поезде или автобусе.
Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие?
Решение. Изобразим все возможные способы совершить путешествие при помощи дерева. При построении дерева использованы следующие обозначения: Т — теплоход, П — поезд, С — самолет, А — автобус.
Таким образом, имеется 8 возможных способов добраться из Волгограда в Нижний Новгород и затем в Москву. Из них ребята могут выбрать подходящий по времени и по стоимости.
4. Изготовление кухонных прихваток и объёмных сов
4.1. Перебор вариантов комбинаций геометрического рисунка
На уроке технологии мы решили изготовить кухонные прихватки. Рисунок на прихватках мы будем выполнять из лоскутков ткани, имеющих форму различных геометрических фигур. Я выполняла рисунок из прямоугольников и квадратов разного размера и цвета. Мне стало интересно, сколькими способами я могу составить рисунок на кухонных прихватках.
Первая серия прихваток: я взяла 3 лоскутка в форме прямоугольников разного цвета (синий, красный, зеленый). При изготовления рисунка я комбинировала лоскутки по цвету и выбирала для рисунка 2 прямоугольника из 3 прямоугольников.
Чтобы подсчитать все возможные комбинации я составила схему:
У меня получилось 6-ть способов изготовления рисунка на кухонной прихватке.
Вторая серия прихваток: я взяла 3 лоскутка в форме прямоугольников разного цвета (синий, красный, зеленый). При изготовления рисунка я комбинировала лоскутки по цвету и выбирала для рисунка 3 прямоугольника. Для подсчета всевозможных комбинации я снова составила схему ( дерево возможных комбинации)
Первый лоскуток я могу выбрать тремя способами, второй – двумя способами, а третий – только одним. Всего получилось 6 комбинаций.
Мы решили усложнить задачу, изготовив не плоские, а объёмные фигуры (в виде сов) с помощью метода комбинаторики. Для изготовления (Приложение 1) сов мы использовали 3 прямоугольных лоскута, которые разрезали на 8 треугольников каждый. Из полученных теоретических знаний и практических навыках на кухонных прихватках мы знаем, что должно получиться 6 комбинаций сов, отличающихся только раскраской. В итоге нами получены 6 симпатичных сов. Они такие похожие, но такие разные!
4.2. Подсчет вариантов комбинаций геометрического рисунка по формулам
При подсчете возможных комбинаций геометрического рисунка на кухонных прихватках способом составления схем я затратила много времени. А если применить формулы комбинаторики, то вычисление можно упростить и затратить меньше времени.
В зависимости от правил составления комбинаций можно выделить 3 типа комбинаций:
1. Перестановки;
2. Размещения;
3. Сочетания.
Определение: Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
…2*1
При изготовлении рисунка из трех прямоугольников разного цвета можно применить эту формулу
способов
Определение: Размещением из п элементов по к называется любое множество, состоящие из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.
По этой формуле можно рассчитать количество комбинаций при изготовлении кухонных прихваток, выбирая из 3-х лоскутков прямоугольной формы по 2 прямоугольника.
способов
При изготовлении кухонных прихваток из 2 квадратов и 2 прямоугольников количество комбинаций можно рассчитать по формуле перестановок
способа
Результаты перебора возможных комбинаций геометрического рисунка на кухонных прихватках и результаты подсчета этих комбинаций по формулам комбинаторики совпали. Использование формул комбинаторики сокращает время подсчета комбинаций.
4.2. Задачи с урока технологии
1. На уроке технологии в нашем классе занимаются 14 девочек. Сколькими способами можно рассадить из на 14 мест?
2. Для изготовления рисунка на круглом коврике взяли лоскутки в виде 6 треугольников разного цвета. Сколькими способами можно составить рисунок из 6 треугольников?
3. К 8 марта были сшиты 10 фартуков. Сколькими способами можно их подарить 10 мамам?
4. В олимпиаде по технологии участвовало 20 учеников. Сколько существует вариантов распределения 3-х призовых мест и одного поощрения?
5. Сколькими способами можно выбрать 3 цветных полоски разного цвета для коврика из 9 лоскутков?
6. Сколькими способами можно рассадить учениц за ручную, ножную и электрическую швейные машины, если всего в группе занимается 14 девочек.
7. Из 14 учениц класса, нужно выбрать 3 ученицы на олимпиаду по технологии. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
8. Для изготовления рисунка на лоскутном одеяле взяли 15 кругов и семь квадратов. Рисунок нужно составить из 5 кругов и трех квадратов. Сколькими способами это можно сделать?
Заключение
Работая над этим проектом я расширила свои знания о комбинаторике и лоскутной технике. Я рассмотрела, как можно комбинировать рисунок из нескольких лоскутков различной геометрической формы. Я приобрела опыт решения комбинаторных задач при изготовлении кухонных прихваток с геометрическим рисунком и при изготовлении объёмных фигур, на примере сов.
Рассмотрев использование комбинаторики в одном из видов прикладного искусства – «лоскутной технике», мы показали практическую значимость комбинаторики как области математики. Таким образом мы подтвердили гипотезу: комбинаторика – это раздел математики, который имеет широкую практическую направленность в лоскутной технике.
Я надеюсь, что моя работа заинтересует учащихся, поможет развитию их кругозора, мышления, будет способствовать развитию творчества и умению решать комбинаторные задачи в разных ситуациях в жизни.
Литература
Айгенер М. Комбинаторная теория. М.:Мир,1982.
Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл.с глуб. изуч. математики/ Н.Я. Виленкина-М.: Просвещение,1999
Бородин А.И.,Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в облости математики. Киев: Ряданськая школа, 1979
Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе// Математика.-2004.-№31.
Виленкин Н.Я. Комбинаторика. –М: Просвещение, 1969
Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004- №15.
Шейнина О. С., Соловьева Г. М. Математика/О. С. Шейнина, Г. М. Соловьева – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2007. – 208с.
Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / Глав. ред, М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. – 688 с.: ил.
Приложение 1
Изготовление сов используя свойства комбинаторики