VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Разные методы решения задач на концентрацию
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Человеку часто приходится смешивать разные жидкости, порошки, газообразные или твёрдые вещества или разбавлять что-то водой. Поэтому в современном мире множество отраслей, например таких, как пищевая, фармацевтическая, тяжёлая промышленность, связаны с химией. Однако все они связаны не только с химией, но и с математикой .
Эти задачи при первом знакомстве с ними вызвали у меня затруднения. Я решила самостоятельно разобраться с решениями таких задач.
Просматривая открытый банк заданий ЕГЭ, я обратила внимание, что в 30% работ в качестве текстовой задачи предлагается задача на смеси, сплавы или растворы.
Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления. Поэтому я считаю, что на сегодняшний день тема решений таких задач является актуальной.
Цель исследовательской работы: выявить способы решения задач на смеси и сплавы, узнать можно ли решить любую задачу данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов. Подготовиться к сдаче выпускного экзамена.
Для достижения поставленной цели требуется выполнить ряд следующих задач:
1. Рассмотреть различные способы решения задач на проценты, включая традиционный и нетрадиционные методы;
2. Выделить основные особенности и преимущества каждого из методов;
3. Создать рекомендацию по решению задач на смеси, растворы и сплавы.
Чтобы решить любую задачу, надо создать математическую модель. В каждом типе задач я использую удобные для меня схемы. В начале своей работы я покажу способы, которыми обычно решаю данного вида задачи, а затем перейду к способам, которые нашёл в дополнительной литературе и интернете.
Гипотеза: существуют другие способы решения задач на смеси и сплавы кроме тех, которые мы изучили в школе.
Определения и обозначения.
Массовая доля растворенного вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе раствора.
где - массовая доля растворенного вещества в растворе;
- масса растворенного вещества в растворе;
- масса раствора.
Следствия формулы (1):
Введем обозначения:
- массовая доля растворенного вещества в первом растворе;
- массовая доля растворенного вещества во втором растворе;
- массовая доля растворенного вещества в новом растворе, полученном при смешивании первого и второго растворов;
m1(в-ва), m2(в-ва), m(в-ва) - массы растворенных веществ в соответствующих растворах;
m1(р-ра), m2(р-ра), m(р-ра) - массы соответствующих растворов.
Основные способы решения
1. Табличный метод
По условию задачи заполняют таблицу.
|
1-й раствор |
2-й раствор |
Смесь двух растворов |
|
|
Масса растворов |
m1 |
m2 |
m1 + m2 |
|
Массовая доля растворенного вещества |
ω1 |
ω2 |
|
|
Масса вещества в растворе |
ω1∙m1 |
ω2∙m2 |
ω∙(m1 + m2) |
А затем составляют уравнение:
ω1∙m1 + ω2∙m2 = ω∙(m1 + m2) (4)
2. “Правило смешения”
Воспользуемся формулой (4):
тогда
Отсюда
Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно отношению разности массовых долей смеси и второго раствора к разности массовых долей первого раствора и смеси.
Аналогично получаем, что при
Замечание: Формула (5) удобна тем, что на практике, как правило, массы веществ не отвешиваются, а берутся в определенном отношении.
1.3. “Правило креста”(конверт Пирсона)
“Правилом креста” называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами.
Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов. На пересечении отрезков – итоговая массовая доля раствора. Справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы.
1.4. Графический метод
Отрезок прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости
Полученная функциональная прямая позволяет решать задачи по определению массы смешанных растворов и обратные, по массе смешанных растворов находить массовую долю полученной смеси.
Построим график зависимости массовой доли растворенного вещества от массы смешанных растворов. На одной из осей ординат откладывают точку, соответствующую массовой доли , а на другой - . Обозначим на оси абсцисс точки А и В с координатами (0,0) и (m1 + m2,0), соответственно. На графике точка А(0,0) показывает, что массовая доля всего раствора равна , а точка В(m1 + m2,0) - массовая доля всего раствора равна . В направлении от точки А к точке В возрастает содержание в смеси 2-го раствора от 0 до m1+ m2 и убывает содержание 1-го раствора от m1+ m2 до 0. Таким образом, любая точка на отрезке АВ будет представлять собой смесь, имеющую одну и ту же массу с определенным содержанием каждого раствора, которое влияет на массовую долю растворенного вещества в смеси.
Замечание: Данный способ является наглядным и дает приближенное решение. При использовании миллиметровой бумаги можно получить достаточно точный ответ.
Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы уравнений.
2.Примеры решения задач
Задача 1
К 120 граммам 25% раствора соли добавили 350 грамм 45% раствора. Какова концентрация нового раствора?
|
m1(р-ра)=120гр m2(р-ра)= 350гр ω1=0,25 ω2=0,45 ω-? |
Воспользуемся формулой (4) получаем Ответ: 39,8% |
Графический
Путем последовательных вычислений
Сколько растворенного вещества содержится:
а) в 120 г 25%-ного раствора; [120•0,25 = 30(г)]
б) в 350 г 45%-ного раствора? [350•0,45 = 157,5(г)]
Сколько вещества содержится в образовавшемся растворе?
157,5 г + 30 г = 187,5 г
Чему равна масса образовавшегося раствора?
120 г + 350 г = 470 г
Какова процентная концентрация полученного раствора?
(187,5/470)100 = 39,8(%)
Ответ: 39,8%
Задача 2.
Смешали 15%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 5 кг 20%-ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?
Решение: Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг 20%-ного раствора.
Алгебраический
а) C помощью уравнения:
Пусть х (кг) - масса 1-го раствора, тогда 5-х (кг) - масса 2-го раствора.
0,15•х (кг) содержится соли в 1-ом растворе,
0,25•(5-х) (кг) содержится соли в 2-ом растворе,
0,2•5 (кг) содержится соли в смеси.
Учитывая, что масса соли в 1-ом и 2-ом растворах равна массе соли в смеси, составим и решим уравнение:
0,15•х + 0,25•(5-х) = 0,2•5;
0,1х = 0,25;
х = 2, 5кг-масса 1-го раствора
5- х = 5 – 0,25 =2,5 (кг) - масса 2-го раствора.
Ответ: 2,5 кг, 2,5 кг.
б) С помощью системы уравнений
Пусть х (кг) - количество первого раствора, у (кг) - количество второго раствора. Система уравнений имеет вид:
Ответ: 2,5 кг; 2 ,5кг.
Графический.
Ответ: 2,5кг; 2,5кг.
“Правило смешения”
|
m(р-ра)= 5кг ω =0,2 ω1=0,15 ω2=0,25 m1 , m2 -? |
Воспользуемся формулой (5) Подставим ω,ω1,ω2, получаем: =0,01:0,01 =1:1 Следовательно, m1=2,5кг,m2=2,5кг Ответ: 2,5кг, 2,5кг |
“Правило креста”
Составим диагональную схему
массовые части II раствора
II раствор 0,25
массовые части I раствора
0,2
I раствор 0,15
Следовательно, m1 =2,5кг,m2=2,5кг
Ответ: 2,5кг, 2,5кг.
Задача 3
С осуд емкостью 5 л содержит 2 л р% (по объёму) раствора соли. Сколько литров 20% раствора такой же соли надо налить в сосуд, чтобы процентное содержание соли в сосуде стало наибольшим?
Решение (графический способ)
Заметим, что по условию, объём второго раствора не превышает трёх литров.
Если р < 20, то для того, чтобы получить максимальную массовую долю вещества в растворе, необходимо добавить 3 л 20% - ного раствора соли; Если р = 20, то при добавлении 2-го раствора, процентное содержание соли в растворе не изменится, следовательно, можно прилить от 0 л до 3 л 20% - ного раствора соли; Если р > 20, то при добавлении 2-го раствора, процентное содержание соли будет уменьшаться, т. е. прилить нужно 0 л.
Ответ: 3 л, если 0 < р < 20, [0,3], если р = 20, 0л, если 20 < р 100.
Задача 4
При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
х
20%
у
50%
х
30%
+ =
х/у=?
20х+50у=30(х+у)
-10х=-20у
х/у=2/1. Ответ:2/1
Графический способ:
50
х
30
20
у
20
10
20у=10х
у/х=1/2. Ответ:2/1
3 способ:
20%
m1
20
30%
50%
m2
10
Ответ: Ответ:2/1
Задача 5: Пчёлы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мёд — 20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчёлам для получения одного килограмма мёда?
Решение:
1 способ: В меде содержится 20% воды, следовательно, 80% чистого нектара. Тогда, в 1 кг меда 1*0,8=0,8 кг чистого нектара. При этом в обычном нектаре 84% воды, следовательно, 16% чистого нектара, тогда:
0,8 кг=16%
x кг -100%
Получим , что x=
Ответ: 5кг.
2 способ:
нектар мед
|
Сухое вещество |
|
Вода 20% |
100%-84% =16% 100%-20%=80%
|
Сухое вещество |
|
Вода 84% |
хкг 1кг
16х=1∙80
х=5кг Ответ: 5кг
Графический способ:
1000
Х%
84
20
80
хкг
1кг
m(кг)
16х=1∙80
х=5кг. Ответ: 5кг
3 способ: Рыбка:
сухого вещества 80%
1 кг меда
Вода 20%
сухого вещества 16%
х
Вода 84%
кг нектар
1∙80=х∙16
х=5кг . Ответ: 5кг
Заключение
В данной работе я рассмотрела несколько различных методов решения задач на смеси, растворы и сплавы. При этом практически я доказала, что прийти к верному ответу задачи можно, используя любой из рассмотренных выше способов решения.
Однако стоит отметить, что, несмотря на внешние различия в ходе решения задач различными способами, все они в своей основе имеют общую схему. Как уже отмечалось ранее, каждый из рассмотренных методов опирается на знание понятий «концентрация вещества» и «процентное содержание вещества в растворе».
Литература:
1. Задачи на смеси, растворы и сплавы / Библиотека «Первое сентября». –
2009. - №31
2. Водингар, М.И. Решение задач на смеси, растворы, сплавы / М. И. Водин-
гар, Г. А. Лайкова. – Математика в школе. - 2001. - №4.
Интернет-ресурсы:
http://mathege.ru/or/ege/
http://himik.pro/rastvory/pravilo-kresta
http://dok.opredelim.com/docs/index-64453.html
http://egemaximum.ru