VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Гармония
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Музыка и математика – это два совершенно разных, на первый взгляд, полюса человеческой культуры. Слушая музыку, человек погружается в безграничный мир различных звуков, которые помогают достичь внутренней гармонии и отвлечься от собственных мыслей. Решая математические уравнения или задачи, человек наоборот полностью погружается в строго обусловленный мир чисел. У истоков современной музыки, как это ни удивительно, стоял известный всем древнегреческий ученый Пифагор. Точнее, музыка существовала задолго до Пифагора, но он был первым, кто в математических терминах описал, что такое ноты, а также приятные и неприятные слуху созвучия. До его открытия, которое он сделал, придумав музыкальную шкалу, в мире не существовало никакой теории, которая могла бы объяснить, почему некоторые тона гармоничны, когда звучат вместе, а другие производят ужасающие шумы.
Цель: Определить связь между математикой и музыкой с помощью Пифагорейского учения о гармонии.
Задачи:
1 познакомиться с пифагорейским учением о связи между музыкой и математикой;
2 разобрать основные правила консонанса и доказать их математическую природу;
3 проследить историческое изменение музыкального строя с помощью математики;
4 доказать благотворное влияние изучения музыки на математические способности и наоборот.
Методы исследования:
1) поиск, анализ и синтез различных источников информации: книг, статей, Интернет-ресурсов;
2) математический анализ музыкального строя;
Актуальность темы
Сегодня практически каждый знает, какие клавиши нужно нажать и какие ноты можно написать, чтобы появилась музыка. Однако, не многие вспоминают, что ещё совсем недавно, нот было не 12, а всего только 7 или даже меньше, а ещё раньше никаких нот не было вообще. Знать и хорошо понимать базовые принципы музыкального строя необходимо не только учащимся музыкальных училищ, но и рядовым школьникам из общеобразовательной школы.
Ещё в древности, когда не было разделения на гуманитарные и естественные науки, наука рассматривалась как одно целое. Например, древнегреческий учёный Пифагор и его последователи занимались изучением арифметики, геометрии, астрономии, музыки. Каждая дисциплина исследовала число в разных аспектах: математика – число само по себе, геометрия – число в пространстве, музыка – число во времени, а астрономия – число в пространстве и времени. И всё это учение называлось «математа», что значит науки. Пифагор считал число сущностью вещей. И именно числа, по его мнению, управляют гармониями в музыке. Таким образом, он утвердил музыку как точную науку. Нам стало интересно узнать, что же общего между таким прекрасным видом искусства как музыка и такой сложной, наукой, как математика
Гипотеза
"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства."
Г. Нейгауз
Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.
Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.
Понятие гармонии
В Древней Греции развивалась музыкальная теория и музыкальная эстетика. Пифагор и пифагорейцы научно сформулировали ряд акустических законов музыки. Учёный поднял искусство до истинно достойного состояния, продемонстрировав его математические основания.
Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы. Именно он и его последователи Пифагорейцы и обнаружили существенную связь музыки и числа, которые, открыв числовые соотношения, лежащие в основе музыкальных созвучий, явились, собственно говоря, родоначальниками музыкальной теории. Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства – музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сестра гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга.
Гармония как структура числовых отношений
1. О том, что музыкальной гармонией в собственном смысле этого слова пифагорейцы называли сначала замкнутую структуру созвучий, а переход к числовым соотношениям, характеризующим эти созвучия, был следующим шагом математизации гармонии, имеется следующее свидетельство АРИСТОТЕЛЯ в трактате О душе : Говоря о гармонии, мы имеем в виду два её значения: прежде всего это сочетание величин, имеющих движение и положение, когда они так сопряжены, что больше уже не могут принять в себя ничего однородного; а затем уже это отношение частей смеси. Мысль приписать созвучным интервалам определённые числовые отношения несомненно возникла у пифагорейцев из наблюдений за размерами звукоизвлекающих органов в некоторых музыкальных инструментах, таких как флейта Пана и струнный инструмент под названием «пандурос», у которого высота извлекаемого звука менялась прижатием струны к грифу. Важнейший и легко обнаруживаемый опытный факт состоит в следующем: чтобы поднять на октаву звук струны, нужно пережать эту струну ровно посредине и заставить звучать её половину. Аналогичное соотношение наблюдаются и у некоторых других звукоизвлекающих устройств. В Музыкальных проблемах, входящих в корпус сочинений АРИСТОТЕЛЯ, об этом говорится так: Почему два равных и подобных сосуда, из которых один пуст, а другой наполовину наполнен, дают созвучие октавы? Не потому ли, что наполовину наполненный образует двойное отношение к пустому? Это происходит и в сирингах. Ведь чем быстрее движение, тем выше кажется голос, и большое наполняется воздухом медленнее, а именно двойное — в два раза, и пропорционально в других случаях. И если из двух винных мехов один в два раза больше другого, они дают созвучие октавы.
Первый музыкальный инструмент Пифагора.
Первым музыкальным инструментом Пифагора был монохорд. Инструмент под названием монохорд в переводе означает «однострун».
Более подробно опыт с монохордом описывает Гауденций: «Он натянул струну на линейку и разделил ее на 12 частей. После этого он заставил звучать сначала всю струну, а затем ее половину, т. е. 6 частей, и нашел, что вся струна была в консонансе со своей половиной, причем музыкальный интервал представлял октаву. После того же, как он заставил сначала звучать всю струну, а затем 3/4 ее, он услышал консонанс кварты, и аналогично для квинты».
Зажимая струну монохорда в отмеченных местах, Пифагор обнаружил, что между длиной получаемых отрезков и длиной целой струны существует определенное математическое соотношение.
Монохорд менялся следующим образом. Сначала к его единственной струне добавили еще одну, а затем стали натягивать все большее число струн. Позднее играли на нескольких струнах. Появился инструмент цилибалы, на Руси – гусли. В средние века (XIV в.) знали и пользовались органом. Вот и пришла к кому-то в голову замечательная мысль: приспособить клавиатуру к многострунному монохорду. Так появились клавикорд, клавесин, а затем фортепиано.
Опыт со струнами.
Ещё один подъём на октаву даёт уменьшение длины в 2 × 2 = 4 раза. Стало быть, сложению интервалов соответствует перемножение отношений. В древнегреческой математике такое действие называлось «составлением сложных отношений». Возьмём теперь три струны одинаковой длины A, B, C и настроим их в унисон. Затем пережмём струну C посредине, чтобы она звучала в октаву со струной A. Посмотрим теперь, что получится, если пережать струну B таким образом, чтобы длина её звучащей части оказалась средним арифметическим между длинами струн A и С (рис. 3). Опыт показывает, что струна B звучит теперь в квинту со струной C и в кварту со струной A. При этом отношение длин струн B : C = 3 : 2, A : B = 4 : 3.
А теперь пережмём струну B таким образом, чтобы она звучала в кварту со струной C и в квинту со струной A. При этом должно быть B : C = 4 : 3, A : B = 3 : 2. Чтобы получить точку пережатия, надо разность между длинами струн A и C разделить пропорционально длинам этих струн в отношении 2 : 1 (рис. 4). Получившееся среднее называется средним гармоническим; его свойства будут подробно обсуждены ниже.
Числовая структура гармонии.
В соответствии с описанными выше опытами, числовое представление гармонии (рис. 5) задаётся четвёркой взаимно простых чисел, из которых самое меньшее должно делиться на 3 и 4, а стало быть, равно 6. При этом 4 /3 от 6 — это 8, 3 /2 от 6 — это 9, два раза по 6 — это 12. Сами греки говорили, что 12 к 6 находится в двойном отношении 12 к 8 и 9 к 6 — в полуторном отношении, 12 к 9 и 8 к 6 — в эпитритном отношении
Стандартное описание числовой структуры гармонии приведено в следующем отрывке из трактата СЕКСТА ЭМПИРИКА:
Гармония есть система трёх созвучий — кварты, квинты и октавы. Численные пропорции этих трёх созвучий находятся в пределах указанных выше четырёх чисел, то есть в пределах единицы, двух, трёх и четырёх. А именно, созвучие кварты является в виде эпитритного отношения, квинты — полуторного и октавы — двойного. Отсюда число четыре, будучи эпитритным от трёх, поскольку оно составляется из трёх и его третьей доли, обнимает созвучие кварты. Число три, будучи полуторным от двух, поскольку содержит два и его половину, выражает созвучие квинты. Число же четыре, будучи двойным в отношении двух, и число два, будучи двойным в отношении единицы, определяют созвучие октавы.
Заключение
Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства».
Таким образом, о взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы.
Список литературы:
Щетников А. И. “Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита”/Новосибирск: АНТ, 2005.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://infourok.ru
http://studopedia.org
http://multiurok.ru
http://rcmuzyka.com
http://nsportal.ru
http://studbooks.net