VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Бином Ньютона
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Вступление
Формула бинома Ньютона для целых положительных показателей была известна задолго до Исаака Ньютона, но он в 1676 году указал на возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя. Строгое обоснование указанных Ньютоном возможностей дал Н. Абель в 1826 году. В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Бином Ньютона играет роль во многих областях математики, в частности в алгебре и теории чисел.
Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена (a+b)n в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» (a+b)2 и «куба суммы» (a+b)3,но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности, которые я рассматриваю в своей работе.
План
1. Вступление
2. Цели и задачи
3. История бинома Ньютона
4. Бином Ньютона
5. Свойства разложения бинома Ньютона
6. Решение задач с применением бинома Ньютона
7. Заключение
8. Список используемой литературы
Цели и задачи
Изучить бином Ньютона и его свойства
Показать применение данных свойств при решении задач
Показать применение бинома Ньютона при решении технических задач
История бинома Ньютона
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (англ.), жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.
Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
Что означает фразеологизм «Бином Ньютона»?
Шутливая фраза, применяется по отношению к плевому делу, простой задаче, которую некоторые ошибочно считают непосильной для выполнения или архисложной.
Возникновение фразы: из романа Михаила Булгакова (1891 - 1940 гг.) «Мастер и Маргарита» (1940 г.).
Слова Коровьева, которые решил прокомментировать разговор Воланда с буфетчиком Соковым. Буфетчик жалуется на зрителей, которые расплатились с ним фальшивыми деньгами, чем «на сто девять рублей наказали буфет».
« - Ну, конечно, это не сумма, - снисходительно сказал Воланд своему гостю, - хотя, впрочем, и она, собственно, вам не нужна. Вы когда умрете?
Тут уж буфетчик возмутился.
- Это никому не известно и никого не касается, - ответил он.
- Ну да, неизвестно, - послышался все тот же дрянной голос (Коровьева) из кабинета, - подумаешь, бином Ньютона! Умрет он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвертой палате».
В художественной литературе
В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.
В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.
В романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова:
«подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».
Позже это же выражение «Подумаешь, бином Ньютона!». упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
Роман Е. Н. Вильмонт получил название «Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!».
Бином Ньютона
Рассмотрим произведения двух, трех и четырех биномов (двучленов) вида х-{- а. После умножения и приведения подобных членов по х получим
(х + а) (х + b) = x2 + (а + Ь) х + ab
(х + а) (х + b) (х + с) = x3 + (а + Ь + с) х2 + (аb + ас + bс) х + abc
(х + а) (х + b) (х + с) (х + d) = x4 + (а + Ь + с + d) x3 + (ab + ac + ad + bc + bd + cd) x2 + (abc + abd + acd + bcd) x + abcd.
Рассматривая эти произведения, легко заметить, что произведение биномов, отличающихся только вторыми членами, есть многочлен, упорядоченный по убывающим степеням первого члена х, степень которого равна числу перемножаемых биномов. Коэффициент первого члена многочлена равен 1, а последующие образуются так: второй коэффициент равен сумме всех вторых членов биномов, третий — сумме всевозможных произведений вторых членов по два, четвертый — сумме всевозможных произведений вторых членов по три и т. д. 11оследний член многочлена равен произведению всех вторых членов биномов.
Методом математической индукции можно доказать, что правило образования произведения биномов, отличающихся только вторыми членами, установленное из рассмотрения произведений двух, трех II четырех биномов, верно для произведения любого конечного числа биномов.
Для произведения n биномов справедлива формула:
(x+a1) (x+a2) (x+a3)… (x+an-1) (x+an)=xn+S1xn-1+S2xn-2+…Sn-1x+Sn
(x+a1) (x+a2) (x+a3)… (x+an-1) (x+an)=xn+S1xn-1+S2xn-2+…Sn-1x+Sn
S1=a1+a2+a3+…+an
S2=a1a2+a1a3+…+an-2an+an-1an
S3=a1a2a3+a1a2a4+…+an-2an-1an
……………………………………………..
Sn-1=a1a2a3…an-1+…+a2a3a4…an
Sn=a1a2a3…an-1an
Эта формула верна и в том случае, если вторые члены равны между собой.
Если в формуле для произведения n биномов положить a1=a2=a3=…=an=a, то получим
(x+a)n=xn=S1xn-1+S2xn-2+…+Sn-1x+Sn
Окончательныйвидформулы
(x+a)n=xn+C1naxn-1+…+Cknakxn-k+…+Cn-1nan-1x+an
Это формула называется формулой бинома Ньютона, а правая ее часть - разложением бинома.
Свойства разложения бинома Ньютона
1) Количество членов разложения бинома на единицу больше показателя степени бинома.
2) Все члены разложения имеют одну и ту же степень n относительно первого и второго членов бинома, т. е. разложение есть однородный многочлен, причем показатели первого члена убывают от n до 0, а показатели второго члена возрастают от 0 до п.
3) Коэффициенты разложения следуют так: первый равен 1 = C0n и последующие соответственно равны C1n ,C2n,… Cnn = 1 т. е. коэффициент (k + 1)-го члена равен Ckn. Эти коэффициенты называются биномиальными. Заметим, что биномиальные коэффициенты всегда натуральные числа, если показатель бинома есть натуральное число.
4) Биномиальные коэффициенты, равноотстоящие от концов разложения, равны между собой: C0n= Cnn, C1n= Cn-1n , Ckn= Cn-kn
5) Из свойств 1 и 4 следует, что если показатель бинома четный, то в разложении бинома средний член имеет наибольший биномиальный коэффициент, а если показатель бинома нечетный, то в разложении имеется два средних члена с одинаковым наибольшим коэффициентом.
6) Последующий биномиальный коэффициент разложения равен предыдущему, умноженному на показатель первого члена бинома и предыдущем члене и деленному на число предыдущих членов
Ck+1n= n-1/k+1 * Ckn
Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2п, где п — показатель бинома.
Если в формуле бинома Ньютона положить х = а = 1, то получим
2n= C0n+ C1n+…+ Cnn
Если в формуле бинома Ньютона заменить а на -а, то получим
(x-an)=xn-C1naxn-1+C2naxn-2-…+(-1)kCknakxn-k+…+(-1)nan
Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
Для определения биномиальных коэффициентов удобно пользоваться так называемым треугольником Паскаля или арифметическим треугольником. Это треугольная таблица биномиальных коэффициентов, составленная так, что каждый ее элемент равен сумме двух над ним стоящих.
Решение задач с применением бинома Ньютона
Пример 1
Возведите в степень: (u - v)5.
Решение У нас есть (a + b)n, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u - v)5 = [u + (-v)]5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 - 5u4v + 10u3v2 - 10u2v3 + 5uv4 - v5.
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.
Пример 2
Возведите в степень: (2t + 3/t)4.
Решение У нас есть (a + b)n, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем
Пример 3
Найдите 5-й член в выражении (2x - 5y)6.
Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет
Пример 4
Найдите 8-й член в выражении (3x - 2)10.
Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет
Пример 5 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр}.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?
Решение:
Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно
Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.
Решение технических задач
Задача 1
Тяга воздушного винта и потребляемая им мощность вычисляются по формулам: P=apn2sD4N=bpn3sD5
Где D-диаметр винта; ns-число оборотов винта в секунду, p- плотность воздуха , a и b – коэффициенты зависящие от конструкции винта.
При ремонте винта для удаления с его концов царапин и зазубрин пришлось уменьшить его диаметр на величину ∆D, которая значительно меньше диаметраD.
Определить, на сколько снизилась тяга этого винта и потребляемая им Мощность при тех же секундных оборотах, если полагать все остальные параметры, входящие в формулы, неизменными.
Решение:
Пусть Q2=Q1+ ∆Q, T2=T1-∆T, где ∆T-искомое уменьшение долговечности.
Тогда T1/T1-∆T =(Q1+∆Q/Q1)9= (1+∆Q/Q1)9
откуда ∆T= T1[1- 1/(1+∆Q/Q1)9]=T1[1-1/1+9∆Q/Q1+36(∆Q/Q1)2+82(∆Q/Q1)3+126(∆Q/Q1)4+126(∆Q/Q1)5+82(∆Q/Q1)6+36(∆Q/Q1)7+9(∆Q/Q1)8+(∆Q/Q1)9]
Если ∆Q/Q1<<1 формула может быть упрощена, так как степени ∆Q/Q1 выше первой очень малы. В Этом случае ∆T≈T1(1-1/1+9∆Q/Q1)= 9T1 *∆Q/Q1 /1+9∆Q/Q1
Задача 2
Газ сжимается в сосуде, стенки которого хорошо проводят тепло. При этом абсолютная температура и давление газа связаны следующим уравнением:
p2/p1=(T2/T1)n/n-1
где п= 1,2—показатель политропы; р1 и р2 — соответственно давления первого и второго состояния; T1и T2— соответственно абсолютные температуры первого и второго состояния.
Температура в сосуде измеряется посредством помещенной в нем термопары. Пусть во втором состоянии при сжатии температура получила небольшое приращение ∆t = 5° против первого состояния. Определить, какое приращение получило при этом давление. Температура Т1 = 300° и давление р1 = 2 кГ/см2 — первого состояния известны.
Решение:
Подставляя значения T2и p2 в формулу, получаем:
p1+∆p/p1 = (T1+∆t/T1)1.2/1.2-1=
(1+∆t/T1)6=1+6+∆t/T1+15(∆t/T1)2+20(∆t/T1)3+6(∆t/T1)5+(∆t/T1)6
Так как ∆t<<T1 ,то ∆t/T1<<1, следовательно, все степени ∆t/T1 выше первой малы сравнительно с единицей и ими можно пренебречь без ущерба для точности расчета. Тогда p1+∆p/p1 = 1+∆p/p1≈1+∆t/T1 , откуда ∆p≈6 p1/T1 *∆t= 6* 2/300 *5 = 0.2 кГ/ см2
Задача 3
Известно, что Т1—долговечность вала, вращающегося с постоянной угловой скоростью, при приложении к нему поперечной нагрузки , равной Q1. Определить, на сколько уменьшится долговечность вала, если нагрузка увеличится на ∆Q. Зависимость между нагрузкой и долговечностью устанавливается формулой: T1/T2=(Q2/Q1)9
Решение:
Пусть Q2=Q1+ ∆Q, T2=T1-∆T, где ∆T-искомое уменьшение долговечности.
Тогда T1/T1-∆T =(Q1+∆Q/Q1)9= (1+∆Q/Q1)9
откуда ∆T= T1[1- 1/(1+∆Q/Q1)9]=T1[1-1/1+9∆Q/Q1+36(∆Q/Q1)2+82(∆Q/Q1)3+126(∆Q/Q1)4+126(∆Q/Q1)5+82(∆Q/Q1)6+36(∆Q/Q1)7+9(∆Q/Q1)8+(∆Q/Q1)9]
Если ∆Q/Q1<<1 формула может быть упрощена, так как степени ∆Q/Q1 выше первой очень малы. В Этом случае ∆T≈T1(1-1/1+9∆Q/Q1)= 9T1 *∆Q/Q1 /1+9∆Q/Q1
Задача 4
Усилие в ходовом конце каната полиспаста: P=kn(k-1)*Q/ kn-1
где Q—вес поднимаемого груза; k= 1,02 — коэффициент сопротивления блока; n — число ветвей полиспаста. Вывести упрощенную формулу для вычисления Р и, применив ее, определить Р, если Q = 1500 кГ и п = 5.
Решение:
P=1.02n(1.02-1)Q/1.02n-1=1.02n*0.02*Q/(1+0.02)n-1=
1.02n*0.02*Q/1+n*1*0.02+n(n-1)/2 * 1*0.022….0.02n-1
Заметим, что 0.022=0.0004; 0.023=0.000008 и т.д.
Видно, что члены разложения по формуле Ньютона быстро убывают. Для практики достаточно учесть первые 3 числа разложения, пренебрегая следующими. Тогда получаем:
P≈1.02n *0.02*Q/n*0.02+n(n-1)/2 *0.622 = 1.02n*Q/n[1+(n-1)0.01]
Использование этой приближенной формулы обеспечит точность и простоту в расчетах, так как в ней нет высоких степеней, близких величин (kn-1)n имеющихся в точной формуле и крайне не удобных для расчетов.
Для нас получаем : P=1.025*1500/5[1+(5-1)*0.01]≈ 318 кГ
Заключение
При изучении математики решение задач играет огромную роль. И не только потому,что необходимо выработать умение применять полученные знания на практике (а ведь это одна из основных целей изучения математики в школе). Без решения задач нельзя владеть и теорией. Именно в процессе решения задач математические понятия, аксиомы и теоремы, формулы и правила, геометрические фигуры предстают перед нами в самых разнообразных ракурсах, не в застывшем виде, а в движении, в различных связях и взаимозависимостях, которые отображают диалектику самой действительности. Подобно тому, как грамматическими правилами можно овладеть лишь в процессе живой языковой практики, так и математическую теорему, определение, формулу можно усвоить по-настоящему, научиться применять на практике только в процессе решения задач.
Используемая литература
1. А.Б. Шкарин, А.М. Федянов, Б.Г. Сандлер «алгебраические задачи в технике»
2. А.П. Савин «Энциклопедический словарь»
3. Г.И. Глейзер «История математики в школе»
4. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко «Алгебра и элементарные функции»
5. Интернет-энциклопедия ru.wikipedia.org