Рыбка в решётке

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Рыбка в решётке

Каргапольцев Э.В. 1
1МОУ СОШ №1
Лаврова О.С. 1
1МОУ СОШ №1 г. Малоярославца, Калужской области
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда требуется смешать различные жидкости, растворы, порошки, разбавлять что – либо водой, либо уксусом.

Задачи на сплавы и смеси сложны и запутанны, не только для меня, но и для моих одноклассников. Это тип задач, охватывающий довольно большой круг разнообразных ситуаций. Сюда входят задачи, связанные со сплавлением веществ с различным содержанием в них некоторого металла или соединением кислот разной концентрации и так далее. В процессе решения задач часто приходится сталкиваться с такими понятиями, как «концентрация вещества» и «процентное содержание вещества», «масса вещества» и «масса раствора». Мне очень захотелось найти более простой способ решения задачи на сплавы и смеси. Химию я ещё не изучаю, а вот задачи по данной теме на уроках алгебры уже решаем. Принцип решения таких задач следующий – мы берем одну часть за Х, составляем уравнения, если нужно, вводим вторую переменную, решаем и получаем нужные значения.

Насколько я знаю задачи такого типа достаточно старинные. Ещё в средние века алхимики пытались с помощью сплавов получить золото, а то и философский камень. Я задался вопросом: «А как же они делали расчеты и подбирали концентрацию веществ»? Для получения нужной и заранее задуманной смеси, необходимо четко знать в каком соотношении, или в каком количестве нужно взять исходные компоненты. Я узнал, что раньше такие задачи можно было решать, не вводя переменные, и меня это заинтересовало. Этот способ называется «РЕШЕТКА».

Гипотеза: данным способом я смогу решить все задачи на сплавы и смеси

из учебников по алгебре 7,8,9классов.

Цель: показать возможность решения задач на смеси и сплавы из учебников алгебры 7-9 классов старинным способом «РЕШЕТКА».

Задачи:

1) прочитать соответствующую литературу;

2) разобраться со старинными способами решения задач на смеси и сплавы;

3) применить полученные знания при решении задач этого вида из учебников по алгебре 7-9 классов ;

4) познакомить одноклассников и учеников старших классов с новым подходом в решении задач на смеси и сплавы.

Практическая значимость-при решении задач на смеси и сплавы прослеживается взаимосвязь математики с другими различными школьными дисциплинами, например, такими, как физика, химия и экономика. А значит, умение решать такие задачи позволит легче ориентироваться и в других предметах. Метод этот может сильно облегчить решения данного вида задач.

Задачам на смешивание (сплавление) любого числа веществ подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого (1703 г)— русского математика и педагога. Преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве (с 1701 по 1739), автор первой в России учебной энциклопедии по математике.

В эти времена, еще не было принято использование переменных, был предложен остроумный графический метод решения таких задач. Способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с минимальными усилиями.

Если надо смешать два раствора a% и b% содержания какого- либо вещества для того что бы получить раствор с % содержания этого же вещества, то можно составить следующую схему (см. рис.1). Условие: а <b; b<с. Кстати, сам рисунок напоминает « РЫБКУ» [5,79].

рис. 1 Макет «РЕШЕТКИ»

Пример

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50% и раствор 70% кислоты, что бы получить 65% раствор кислоты.

Решение: составляем РЕШЕТКУ ( см. рис.2).

рис. 2 Решение примера.

Определяем соотношение полученных справа величин между собой. Мы видим, что рядом с 50% раствором получается число 5, а рядом с 70% раствора стоит число 15. Понятно, что первого раствора надо взять одну часть, а второго 3 части.

Современный способ решения задачи (см. таблицу 1):

Таблица1.

 

Масса раствора

Масса вещества

Концентрация вещества

1 раствор

Х

0,5Х

50%

2 раствор

У

0,7У

70%

3 раствор

Х+У

0,65(Х+У)

65%

Составляем уравнение:

0,5Х+0,7У = 0,65(Х+У)

0,7У-0,65У= 0,65Х-0,5Х

5У=15Х

Х/У= 1/3.Ответ тот же.

При сравнении современного метода решения задач на смешение веществ и метода Магницкого видим простоту «РЕШЕТКИ». Способ решения без ввода переменных намного легче и нагляднее.

Основная часть.

Я решил провести эксперимент: воспользоваться старинным способом и порешать задачи из учебников алгебры 7,8,9, и 10 классов. Для наглядности и достоверности моего эксперимента я буду приводить решение задачи из учебника и скан ответов на данную задачу .

Учебник 7 класса авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др

№ 648 [2,140]

В 190г водного раствора соли добавили 10 г. соли. В результате концентрация раствора повысилась на 4,5%. сколько соли было в растворе первоначально.

Решение. Пусть первоначально концентрация соли в растворе равна Х%, тогда добавили чистой соли концентрации 100%. Зная, что концентрация соли после этого увеличилась на 4,5% ,составляем решетку (см. рис.3).

рис.3 Решение задачи № 648

№ 649 [2,140]

В сплав олова и меди массой 16 кг добавили 2 кг олова. После этого содержание олова в сплаве повысилось на 5%. Сколько олова было в сплаве первоначально?

Решение . Пусть первоначально концентрация олова в сплаве равна Х%, тогда добавили чистого олова концентрации 100%. Зная, что содержание олова в сплаве после этого увеличилась на 5% ,составляем решетку (см. рис.4).

Рис.4 Решение задачи № 649

№ 755 [2,158]

Два сосуда были наполнены растворами соли, причем во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в первом. Концентрация соли в первом растворе составляла 10%, а во втором -30%. после того, как в растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация соли в котором оказалась равной 25%. сколько раствора было в первом сосуде первоначально?

Р ешение. Пусть масса первого раствора Х кг, тогда масса второго - (Х+2) кг.

Из решения видно (см. рис.5), что на одну часть первого раствора приходится -Х кг, а на 3 части второго раствора (Х+2) кг. составляем пропорцию и находим ответ.

рис.5 Решение задачи № 755

№ 766 [2,159]

В водный раствор соли массой 480 г добавили 20г соли. в результате концентрация раствора повысилась на 3,75%. Сколько соли было в растворе первоначально?

рис.6. Решение задачи №766.

Учебник 8 класса авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.

В алгебре 8 класса только 4 задачи на смеси и сплавы.

№630,631 [3,145] (см. рис.7)

рис.7. Условие задач №630,631

В условии задач не дано массы раствора, если принять её за –Х г, тогда первоначальная концентрация вещества в задаче 630 будет равна (3000/Х)% . «РЕШЕТКА» получается следующей:

0 1 соответствует 100г

соответствует Х г

Составляем пропорцию

Получилось в итоге квадратное уравнение : Х2-300000+100Х=0, решенное с помощью учителя оно имеет корни 500 и -600. Ответ 500г.

Задача 631 решается аналогично.

Задача 717,718 [3,159] (см. рис.8). В первой задаче говорится только о двух сплавах, нет возможности составить решетку, во второй задаче, если принять массу меди в сплаве за Х кг, то получается очень громоздкое решение.

рис.8. Условие задач №717,718

Учебник 9 класса авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.

В учебнике 9 класса я нашел двенадцать задач данного вида.

Задачи №324 стр. 89, №340 стр.92, №476,477 стр. 119, №878,879,880 (а, б ) стр. 221,970,971 стр.233 (см. приложение 1)

Задача № 475 [3,119]

После того как смешали 12г одной жидкости с 14 г другой жидкости большей плотности, получили смесь, плотность которой равна 1,3 г/см3. Какова плотность каждой жидкости, если известно, что плотность одной из них на

0,2 г/см3 больше плотности другой?

Решение. Пусть плотность первой жидкости Х г/см3, тогда второй- (Х+0,2)г/см3.

Составляем «РЕШЕТКУ»

Х Х+0,2-1,3=Х-1,1 соответствует 12г

1,3

Х+2 1,3-Х соответствует 14г

Решаем пропорцию

Задача № 878 [3,221]. К 200г 40%-ного раствора соли долили 300г воды. какой стала концентрация раствора соли.

Решение. Пусть искомая концентрация равна Х%. Составляем «РЕШЕТКУ».

0 40-Х соответствует 300г

Х

40 Х соответствует 200г

Решаем пропорцию

Задача № 879(а, б-аналогично) [3,222].

Некоторое количество 15%- ного раствора соли смешали с таким же количеством 45% раствора этой же соли. Какова концентрация получившегося раствора?

Решение. Пустьискомая концентрация равна Х%. Составляем «РЕШЕТКУ».

15 45-Х соответствует одной части

Х

45 Х -15 соответствует одной части

Решаем пропорцию

Интересной показалась задача № 880 [3,222].Имеется два сорта сливок- жирностью 10% и 20%. Их смешали в отношении 3:1. какова жирность получившихся сливок. Решаем пропорцию

Решение задач дело увлекательное и я решил попробовать задачи из учебника Алгебра 10 класс авторов С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников.

Семь задач № 225(а, б, в),227 (а, б)228 (а, б) стр.392 решены способом «РЕШЕТКА» Они похожи на предыдущие задачи. Причем некоторые решаются в несколько действий и данный способ как одно из них.

Задача №228 (б). Сплав меди с оловом массой 10 кг, содержащий меди на 2 кг больше, чем олова, сплавили с 10 кг чистой меди. Определите процентное содержание меди в полученном сплаве.

1) Пусть масса олова Х кг, тогда масса меди (Х+2) кг, составляем уравнение

Х+Х+2=10 Х=4, масса меди 6 кг.

2) Концентрация меди в сплаве 60%

3) Составляем «РЕШЕТКУ», причем концентрация чистой меди 100%.

60 100-Х соответствует 10 кг

Х

100 Х-60 соответствует 10 кг.

Решаем пропорцию и получаем ответ 80%.

Заключение

В результате эксперимента я выяснил, что в учебнике алгебры 7 класса из 7 задач способом решетка решаются четыре. Решение задач № 1119,1121,1122 стр.222 легче решить системой уравнений, введя две переменные ( в задачах не указана изначальная масса раствора или вещества).

В учебнике алгебры 8 класса всего 4 задачи на смеси и сплавы. Три из них однотипны. Во всех задачах изначально не известна масса самого раствора и её следует принять за Х, получается квадратное уравнение (решение с помощью учителя). Задача 717 не содержит условия по соединению сплавов.

В учебнике алгебры 9 класса 12 задач данной темы. Их них все решаются способом решетка.

В учебнике « Алгебра и начала математического анализа» 10 класса, автора С.М. Никольского 20 задач на смеси и сплавы. Многие из вступительных экзаменов при поступлении в ВУЗ. Из них решено «РЕШЕТКОЙ» семь задач. Причем некоторые задачи требуется решать в три этапа (№228), сначала найти массу вещества, затем концентрацию и только после этого применить способ «РЕШЕТКА».

Моя гипотеза подтвердилась. Задачи на смеси и сплавы можно решать, используя старинный способ «РЕШЕТКА».

Для этого в условиях задач должна быть следующая ситуация: смешиванием двух компонентов (смеси или сплавов, газы) получаем третий компонент. Обязательно в условии должна быть либо известная концентрация, либо дана масса растворов и масса вещества в нем, иначе задачи, решаемые таким

способом, получаются громоздкими. Проще решать уравнением.

Проделанная работа была представлена на школьной- научно практической конференции и получила массу положительных откликов со стороны учителей и учеников- старшеклассников. Поступили предложения дать мастер- класс для учеников 9 , 10 и 11 классов

Литература

1.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра 9 класс.- М.: Просвещение,2014.-287с.

2.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра 7 класс.- М.: Просвещение,2014.-256с.

3.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра 8 класс.- М.: Просвещение,2014.-290с.

4.Никольский С.М.,Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа 10 кл. М.: Просвещение,2014.-431с.

5.Сергеев И.Н., Олехник С.Н. Примени математику. - М. Наука, 1989г- 240 с.

Приложение1.

Решение задач из учебника 9 класса.

Приложение2.

Задачи из учебника 10 класса

Просмотров работы: 74