VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Рисунки по координатам
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В 5 классе, когда мы только начинали изучать тему «Координаты и координатная плоскость», мне и одноклассникам безумно понравилась эта тема. Она заинтересовала нас тем, что из хаотичных точек, можно было составлять интересные и разнообразные рисунки. Но была одна проблема, нам не хватало задач такого типа из учебника. Поэтому мы и захотели придумать свои занимательные задачи на построение рисунков в координатной плоскости.
Мы очень надеемся, что учителя будут использовать наш сборник на уроках математики, а ученики использовать его во внеурочное время, в своё удовольствие!
Цель проекта: разработать различные рисунки по координатам.
Задачи проекта:
●Проанализировать информационные источники по теме «Координаты и координатная плоскость»;
●Изучить историю возникновения координат и систему координат;
●Рассмотреть виды систем координат;
●Разработать задания на построение рисунков в координатной плоскости;
Объект исследования: координата.
Предмет исследования: рисунки по координатам.
Гипотеза: если использовать различные задания на построение рисунков в координатной плоскости, то можно разнообразить изучение темы «Координатная плоскость».
Методы исследования:
●Изучить литературу по данной теме;
●Составление задач на построение рисунков в координатной плоскости.
Ожидаемый результат: планируем разработать задания на построение рисунков в координатной плоскости, интересные как для учителей, так и для учеников, с возможностью использования его на уроках математике в 5-6 классах при изучении и повторении темы “Координатная плоскость”.
Теоретическая часть
1. История возникновения координат и систему координат.
История начала координат и системы координат начинается давно, оригинальная идея метода координат возникла в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческий ученый Анаксимандр из Милета считается создателем первой географической карты. Он четко описал широту и долготу места, используя прямоугольные выступы. Более 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил окружить земной шар с помощью Параллелей и меридианов на карте и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и пометить их цифрами.
Следы использования идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палитры) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта. Главная заслуга в создании современного метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. К нашему времени дошла такая история, которая привела его к открытию. Принимая места в театре, в соответствии с купленными билетами, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил метод номера мест в рядах и местах, которые стали обычным явлением в нашей жизни. Оказывается, эта идея осенила знаменитого философа, математика и натуралиста Рене Декарта , имя которого называется прямоугольными координатами. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться беспорядкам, ссорам и иногда вызовам дуэли, вызванным отсутствием элементарного порядка распределения аудитории в аудитории. Он предложил систему нумерации, в которой каждое место получало номер и серийный номер от края, сразу же сняли все причины спора и сделали всплеск в парижском обществе.
Рене Декарт впервые сделал научное описание прямоугольной системы координат в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат также называют декартовой системой координат. Кроме того, в своей работе «Геометрия» (1637), которая открыла взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт впервые представил понятие переменной и функции. «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получена реальная интерпретация отрицательных чисел. В дополнение к математике интересы Декарта распространялись на физику, где он дал четкую формулировку закона инерции, обнаружил закон преломления световых лучей на границе двух разных сред («Диоптрик», 1637). Вклад в развитие метода координат, также введенный Тихо Браге, однако, его работа была впервые опубликована после его смерти. Декарт и Ферма использовали метод координат только на плоскости. Метод координат для трехмерного пространства был впервые применен Леонардом Эйлером в XVIII веке.
Виды систем координат.
Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.
В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.
В географии координаты выбираются как (приближённо) сферическая система координат — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана).
В астрономии небесные координаты — упорядоченная пара угловых величин (например, прямое восхождение и склонение), с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой сферическую систему координат (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной фундаментальной плоскостью и началом отсчёта. В зависимости от выбора фундаментальной плоскости система небесных координат называется горизонтальной (плоскость горизонта), экваториальной (плоскость экватора), эклиптической (плоскость эклиптики) или галактической (галактическая плоскость).
Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).
Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.
Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел (x, y):{\displaystyle (x,y):}((
{\displaystyle x}X — расстояние от точки P до оси y с учетом знака
{\displaystyle y}Y — расстояние от точки P до оси x с учетом знака
В пространстве необходимо уже 3 координаты (x, y, z):{\displaystyle (x,y,z):}
{\displaystyle x}X — расстояние от точки P до плоскости yz
{\displaystyle y}Y — расстояние от точки P до плоскости xz
{\displaystyle z}Z — расстояние от точки P до плоскости xy
В полярной системе координат, применяемой на плоскости, положение точки P определяется её расстоянием до начала координат r = |OP| и углом φ её радиус-вектора к оси Ox.
В пространстве применяются обобщения полярных координат — цилиндрические и сферические системы координат.
Цилиндрические координаты — трёхмерный аналог полярных, в котором точка P представляется упорядоченной тройкой {\displaystyle (r,\varphi ,z).} В терминах декартовой системы координат,
{\displaystyle 0\leqslant {r}} (радиус) — расстояние от оси z до точки P,
{\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }} (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и отрезком, проведённым от полюса до точки P и спроектированной на плоскость xy.
{\displaystyle z} (высота) равна декартовой z-координате точки P.
Полярные координаты имеют один недостаток: значение φ не определено при r = 0.
Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных относительно некоторой оси. Например, длинный цилиндр с радиусом R в декартовых координатах (с осью z, совпадающей с осью цилиндра) имеет уравнение {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2},} тогда как в цилиндрических координатах оно выглядит гораздо проще, как r = R.
Сферические координаты — трёхмерный аналог полярных.
В сферической системе координат расположение точки P определяется тремя компонентами: {\displaystyle (\rho ,\varphi ,\theta ).} В терминах декартовой системы координат,
{\displaystyle 0\leqslant \rho } (радиус) — расстояние от точки P до полюса,
{\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }} (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») полуосью x и проекцией отрезка, проведённого из полюса до точки P, на плоскость xy.
{\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }} (широта или полярный угол) — угол между положительной («плюсовой») полуосью z и отрезком, проведённым из полюса до точки P.
Географическая система координат обеспечивает возможность идентификации любой точки на поверхности земного шара совокупностью цифробуквенных обозначений. Как правило, координаты назначаются таким образом, что один из указателей обозначает позицию по вертикали, а другой или совокупность других — по горизонтали. Традиционный набор географических координат — широта, долгота и высота. Географическая система координат с использованием трёх перечисленных указателей является ортогональной.
Широта точки на поверхности Земли определяется как угол между плоскостью экватора и прямой, проходящей через эту точку в виде нормали к поверхности базового эллипсоида, примерно совпадающего по форме с Землей. Эта прямая обычно проходит в нескольких километрах от центра Земли, за исключением двух случаев: полюсов и экватора (в этих случаях она проходит непосредственно через центр). Линии, соединяющие точки одной широты, именуются параллелями. 0° широты соответствуют плоскости экватора, Северный полюс Земли соответствует 90° северной широты, Южный — соответственно, 90° южной широты. В свою очередь, долгота точки на поверхности Земли определяется как угол в восточном или западном направлении от основного меридиана к другому меридиану, проходящему через эту точку. Меридианы, соединяющие точки одной долготы, представляют собой полуэллипсы, сходящиеся на полюсах. Нулевым считается меридиан, проходящий через королевскую обсерваторию в Гринвиче, близ Лондона.
В своей работе я составляю рисунки в прямоугольной системе координат.
Практическая часть
Составление рисунков по координатам
В своей работе я рассмотрел три вида заданий:
Задание №1. Построить рисунок по заданным координатам.
Задание № 2. Выписать координаты по заданному рисунку.
Задание № 3. Достроить симметрично рисунок.
Кроме того, я разработал и другие рисунки, по которым можно придумать другие задания.
Заключение.
Мне было очень интересно работать над этой темой. Главным итогом моей работы над проектом стало создание трех типов задач по теме: «Координаты и координатная плоскость», с помощью которой можно сделать изучение данной темы гораздо увлекательней.
В свободное время тоже можно порисовать. Красивые рисунки будут получаться даже у тех учеников, которые не умеют хорошо рисовать, потому что эти задания просты по формуле и разнообразны по внешнему выражению.
Выполнение таких заданий заставляют увидеть связь красоты и математики, соприкоснуться с миром прекрасного. Применение такого подхода в процессе обучения даст свои плоды - уроки математики станут интересными и красивыми.
Распределение заданий по уровням сложности и по прикладной тематике позволит выбрать ученику задания в соответствии со своими способностями и познавательными интересами.
Познавательной деятельности ученика можно придать еще большую привлекательность, если при выполнении заданий использовать компьютер.
Я надеюсь, что этот проект будет полезным для учеников и учителя математики.
Список литературы.
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика 5-е изд., пер. и доп. Учебник для СПО. – М.: Юрайт, 2017
Савин А., Координаты // Квант. 1977. №9
Сайт википедии http://ru.wikipedia.org/wiki
Журнал Математика в школе №10 от 2001 г.