VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Необычные фигуры в геометрии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Введение.
Лист Мёбиуса - желтая страница,
Односторонний сказочный маршрут,
Летит метелью, песенкой, синицей,
Бульварной лентой, склеенный лоскут.
Эх, Мёбиус, спасибо за науку!
Поверхность одинокой стороны
Подобна закольцованному звуку,
Вибрацией неоновой струны.
За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии – топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.
Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы[1]
1. Планиметрия (лат. слово, планум - поверхность, плоскость + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т. д.)[1]
2. Стереометрия (греч, стереос - пространство + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т. д.)[1]
З. Топология (гр. топос - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания.[1]
Топология (от греч. tоpos — место и логия) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела) [1]
Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными.
Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади.
Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны.
Топология не имеет границ. Она проникает не только во все области математики, но и во многие другие науки. Топологию нельзя заключить ни в какие рамки и поэтому я взял наиболее интересные (как мне кажется) факты.
У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии?
Да! Это односторонняя поверхность.
Пример топологии - таинственный и знаменитый лист Мебиуса.
Меня очень заинтересовала эта тема. Я решил углубить свои познания в этой области.
Цель моей работы:
Исследовать лист Мебиуса как один из объектов топологии.
Мною были поставлены задачи:
1. Собрать всевозможную информацию о листе Мебиуса
2. Исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса.
3. Показать применение ленты Мёбиуса в жизни.
2. Необычные фигуры в геометрии
Фрактал
Главное свойство этой сложной геометрической фигуры – самоподобие, то есть она состоит из нескольких частей, каждая из которых подобна целому объекту. Именно это свойство отличает фракталы от объектов классической (или, как говорят, евклидовой) геометрии. [3]
При этом сам термин «фрактал» не является математическим и не имеет однозначного определения, поэтому может применяться к объектам, которые являются самоподобными или приближенно самоподобными. Его придумал в 1975 г. Бенуа Мандельброт, позаимствовав латинское слово «fractus» (ломанный, дробленный).
Фрактальные формы как нельзя лучше подходят для описания реального мира и часто встречаются среди природных объектов: снежинок, листьев растений, системы кровеносных сосудов человека и животных.
Полимино
Это плоские геометрические фигуры, которые образуются за счет соединения нескольких квадратов равных размеров по их сторонам.[3]
Названия полимино зависят от количества квадратов, из которых они сформированы:
мономино – 1;
домино – 2;
тримино – 3;
тетрамино – 4 и т. д.
При этом для каждой разновидности существует разное количество типов фигур: у домино 1 тип, у тримино – 3 типа, у гексамино (из 6 квадратов) – 35 типов. Число различный вариаций зависит от количества используемых квадратов, но при этом еще никому из ученых не удалось найти удивительную формулу, которая будет выражать эту зависимость. Из деталей полимино можно выкладывать как геометрические фигуры, так и изображения людей, животных, предметов. Несмотря на то, что это будут схематичные силуэты, основные признаки и формы предметов делают их вполне узнаваемыми.
Полиамонд
Наряду с полимино, существует еще одна удивительная геометрическая фигура, используемая для составления других фигур – полиамонд. Он представляет собой многоугольник, сформированный из нескольких равносторонних треугольников равного размера.[3]
Название придумал математик Т. О’Бейрн на основании одного из названий ромба в английском языке – диамонд, который можно составить из 2-х равносторонних треугольников. По аналогии, фигуру из 3-х равносторонних треугольников О’Бейрн назвал триамондом, из 4-х – тетриамондом и т. Д.
Главным вопросом их существования остается вопрос о возможном количестве полиамондов, которые можно составить из определенного количества треугольников. Применение полиамондов в реальной жизни также аналогично использованию полимино. Это могут быть разного рода головоломки и логические задачи.
Треугольник Рело
Как ни удивительно звучит, но с помощью дрели можно просверлить квадратное отверстие, а помогает в этом треугольник Рело. Он представляет собой область, образованную посредством пересечения 3 равных окружностей, центры которых являются вершинами правильного треугольника, а радиусы равны его стороне.[3]
Сам треугольник Рело назван по фамилии немецкого ученого-инженера, который первым наиболее детально исследовал его особенности и использовал для своих механизмов на рубеже XIX-XX в. в., хотя его удивительные свойства были известны еще Леонардо да Винчи. Кто бы ни был его первооткрывателем, в современном мире эта фигура нашла широкое применение в виде:
сверла Уаттса, которое позволяет сверлить отверстия практически идеальной квадратной формы, только с чуть закругленными краями;
медиатора, необходимого для игры на музыкальных щипковых инструментах;
кулачковых механизмов, используемых для создания зигзагообразных швов в швейных машинах, а также немецких часах;
стрельчатых арок, характерных для готического стиля в архитектуре.
Лента Мебиуса
Это одна из самых необыкновенных трехмерных фигур в геометрии, которую легко сделать в домашних условиях. Для этого достаточно взять бумажную полоску, ширина которой в 5-6 раз меньше ее длины, и, перекрутив один из концов на 180°, склеить их между собой.[3]
Если все сделано правильно, то можно проверить самостоятельно ее удивительные свойства:
Наличие только одной стороны (без разделения на внутреннюю и внешнюю). Это легко проверить, если попробовать закрасить карандашом одну из ее сторон. Независимо от того, в каком месте и направлении будет начато закрашивание, в результате вся лента будет закрашена одним цветом.
Непрерывность: если вести ручкой линию вдоль всей поверхности, ее конец соединится с начальной точкой без пересечения границ поверхности.
Двухмерность (связность): при разрезании ленты Мебиуса вдоль она остается цельной, просто получаются новые фигуры (к примеру, при разрезании надвое получится одно кольцо большего размера).
Отсутствие ориентированности. Путешествие по такой ленте Мебиуса всегда будет бесконечным, оно приведет к начальной точке пути, только в зеркальном отображении.
Лента Мебиуса широко используется в промышленности и науке (в ленточных конвейерах, матричных принтерах, механизмах для заточки и пр.). Кроме этого существует научная гипотеза, по которой сама Вселенная также представляет собой ленту Мебиуса невероятных размеров.
Рассмотрим подробнее Ленту Мебиуса.
3. Историческая справка.
Т аинственная и знаменитая Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.[8]
Август Фердинанд Мёбиус годы жизни г. г., немецкий геометр. Родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования; получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования; исследовал коррелятивные преобразования. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий. Установил (1858г.) существование односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.
Открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.
Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик – профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.
Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее! А можете проследить путешествие человека по листу Мёбиуса на рисунке.
Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени.
Свойство геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, изучает математическая наука топология. Любопытно, что это название ей дал Иоганн Листинг. Начало этой современной науки положили исследования листа Мёбиуса. Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии[8]
4. Исследовательская деятельность проекта
Анкетирование учащихся
Чтобы узнать, что же знают мои одноклассники о листе Мёбиуса и его свойствах, я решил провести в своём классе анкетирование. В анкетировании принимало участие 23 человека, учащиеся 7А класса
Анкета
Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
1.Знаете ли Вы, что такое топология?
- нет
- да, это - ______________________
2. Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»?
- я знаю, что это такое
- только слышал о таком понятии
- не знакомо
3. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса?
- нет
- да, это следующие свойства - ______________________
4. Знаете ли Вы, где применяется Лист Мёбиуса?
- нет
- да, он применяется - _______________________________
Результаты анкетирования
Знают, что такое топология – 1 человек (4%)
Не знакомы с понятием-22человека (96%)
Знают, что такое лист Мёбиуса – 1 человек (4%)
Только слышали о листе Мёбиуса – 2 человек (8%)
Не знакомы с понятием – 20 человек (88%)
Вывод исследования: Анкетирование показало, что мои одноклассники не
знают, что такое лист Мёбиуса и всё, что с ним связано.
5. Изготовление листа Мёбиуса.
Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ*А*, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А*В*, т. е. так, что совместятся точки А и В* и точки А* и В.
Получим перекрученное кольцо. И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите?
Хотите - проверьте. Убедимся в этом: возьмём кисти и краски, начнём постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лист у нас полностью будет окрашен.[6]
Или представьте себе, что по ленте Мебиуса путешествует муравей, то пройдя весь путь, он вернется в исходную точку. При этом он обойдет обе поверхности - наружную и внутреннюю, не пересекая ребра. Это доказывает, что лента Мебиуса является односторонней поверхностью.
У листа Мёбиуса — всего одна сторона!
6. Практическая часть
Эксперименты с листом Мёбиуса.
Эксперимент 1. Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно – два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого колечка. А если вы разрежете лист Мебиуса вдоль его средней линии, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами.[3]
Эксперимент 2. Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна-более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами.[3]
Эксперимент 3. Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две ленты с двумя полуоборотами.[3]
Эксперимент 4. Зацепим лист Мёбиуса и простое кольцо и разрежем каждое звено этой цепочки по средней линии вдоль. Получится лента с двумя полуоборотами. И за эту ленту зацеплены два кольца, каждое из которых в два раза уже исходного.[3]
Такие эксперименты можно продолжать до бесконечности! И получать всё новые и новые результаты!
Предлагаю провести самостоятельно эксперименты:
1. Если разрезать ленту на шесть равных частей, то мы получим три ленты с двумя полуоборотами завязанные в узел.
2. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в
узел трилистника.
А сейчас я хочу предложить очень удивительное на мой взгляд превращение листа Мебиуса!
3. Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. Вы поразитесь тому, что получится, если разрезать двойное кольцо.
Получилась квадратная рамка!
Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиус
Мы убедились в том, что лист Мёбиуса обладает такими топологическими свойствами как односторонность, непрерывность, связность.
7. Применение листа Мебиуса в жизни.
1) В технике
Кинолента
В 1923году выдан патент №1442632 знаменитому американскому изобретателю Ли де Форс, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса [5]
Шлифовальная лента
В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин получил авторское свидетельство №236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающими обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мёбиуса на два вращающих ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Такая лента служит в двое больше обычной.
Ленточный конвейер в виде ленты Мебиуса может работать дольше, он равномерно изнашивается с двух сторон.[5]
Матричный принтер
Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. [5]
Силовая конструкция
Силовая конструкция (квадратная), мешалка (большая круглая), винты, испытывающиеся на модели судна (два маленьких круглых).[5]
2) В архитектуре
Аттракцион “Американские горки” напоминает форму листа Мебиуса. В Москве находятся самые большие в мире горки такого вида. [5]
Книжная полка Infinity: Дизайнер Джобс Келевий сломал форму, когда разрабатывал свой книжный шкаф Инфинити. Используя знак бесконечности и что-то похожее на ленту Мебиуса, в полке Инфинити
дизайнер воплотил физическое представление о бесконечности. Это значит, что если вы прочитали все книги этой полки, считайте, что вы постигли всю бесконечность литературы. [5]
Грандиозная библиотека в Казахстане
Компания BIG Architects представила невероятный проект новой библиотеки, который будет служить в качестве многофункционального культурного центра Астаны, Казахстан.
Названная в честь Нурсултана Назарбаева, первого президента республики Казахстан, новая библиотека будет охватывать не только книги, но и пространство и время. Проект включает 4 архетипа – круг, ротонда, арка и юрта – которые сливаются в форму листа Мёбиуса. В процессе проектирования BIG так же применяла высокотехнологическое моделирование для вычислений теплового воздействия на оболочку здания и максимального затенения.
Само по себе здание сложное сопоставление различных идей и концепций. Оно образует спиральную окружность вокруг крепкого вертикального стержня, который позволяет посетителям библиотеки передвигаться между этажами. Изгибы здания образуют лист Мёбиуса, таким образом, внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно. Подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения. [5]
В китайской провинции Хунань построили огромный пешеходный мост в виде ленты Мебиуса. Его проектировщики, голландское архитектурное бюро Next, утверждают, что ничего подобного в мире еще не было.
Предполагается, что Мейкси-Лейк станет идеальной зеленой зоной с экологичными зданиями и оживленным деловым районом. Город построен на множестве искусственных рек, над одной из которых и появился мост.
Мост построен из стали, выкрашенной в красный цвет, и составил 24 метра в высоту и 150 метров в длину. У него несколько уровней на разных высотах, переходящих друг в друга. Несмотря на свою экзотичность, мост очень практичный и удобный для прогулок.[5]
3) Скульптура
В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт» находится памятник “Ленте Мёбиуса”. Памятник был установлен в 1997 году [5]
4) Шарф Мёбиуса
Интересная вещь шарф Мёбиуса появившаяся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому, связав концы шарфа, перекрутив на один оборот.
5) Символ математики
Лист Мёбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям.[5]
6) Лист Мёбиуса в физике и астрономии
Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой…правильно, зеркального своего двойника.
Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.[5]
7) Лист Мёбиуса в фантастике
Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно – фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.
В рассказе автора А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в лист Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.[5]
8) В цирке
Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам.
Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).[5]
9. Ленты Мёбиуса в природе
Как зарождаются ленты Мебиуса, наверняка можно наблюдать где-то в природе. Где может происходить вращение по кругу с заворотом во внутрь?
Возможно, это водовороты, образованные при слиянии двух рек, одной стремительной, а другой тихой. Медленное течение тормозит быстрее, вода заворачивается по кругу и уходит вглубь. Это место очень опасное, человека, попавшего в такую воронку, может затянуть на глубину. Смерчи, ураганы и тайфуны – это пересечение ветров. Тогда возможно и такое: встретятся две линии магнитных потоков и образуют магнитную систему в форме вращающегося диска. Если на него падают лучи Солнца, он воспринимается, как летающая тарелка. Эти магнитные волчки могут катиться по поверхности, подпрыгивать, раскачиваться, проникать вглубь, подниматься вверх и улетать в Космос, они то и могут оставлять рисунки на полях. Если в такой путешествующий магнитный клубок врежется самолет, у него могут отказать приборы. Бермудские треугольники, путешествующие по океану, Черные Дыры в Космосе – все это те же пространственные магниты.
Человек – это тоже вихрь, стоящий на пересечении двух направлений: вертикальной линии взаимодействия между Землей и другими планетами и горизонтальной линии вращения Земли. Выходит, что и любой предмет – это разновидность одной и той же организации.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение.
Создаваемые системы в пространстве далеко не всегда имеют правильную форму.
Их могут заворачивать не только два пересекающихся направления. Здесь может происходить нечто более сложное, мудреная конфигурация предмета определяет совокупность составляющих его систем.
Система «летящих чисел» – когда по дате строительства дома, по его расположению относительно частей света можно установить зоны положительной и отрицательной энергии. Определяются области помещения, где идет восхождение энергии, и районы, где она направлена вниз. Вычисляются периоды, когда одна энергия переходит в другую, то есть когда происходит разворачивание ленты Мебиуса. По дате рождения человека можно определить его удачные и неудачные дни, строятся гороскопы. Можно так же просчитать, находится ли жилище в гармонии с его обитателем.
Если у человека есть сердце, то Сердце есть и у Вселенной. Кровеносная система устроена таким образом, что путь любой клетки крови обязательно проходит через сердце. Сердце должно быть соединено с каждой точкой своей системы лентой Мёбиуса.
Почему она названа лентой, ведь через точку может проходить только линия? Но тогда мы не сможем наблюдать, как эта замкнутая линия разворачивается. Лента – это линия, но обладающая свойствами плоскости. Что же производит разворачивание этой ленты на сто восемьдесят градусов? Вращательное движение. То самое движение, которое запущено во всей Вселенной: вращает Луну вокруг Земли, Землю вокруг Солнца, электрон вокруг ядра атома и т.д.
Любое поступательное перемещение должно всегда быть вращательным – это движение по ленте Мёбиуса большого радиуса. Любая лента Мёбиуса тоже в свою очередь вращается относительно определенной оси.[5]
Международный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса.
Кроме того именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны. [5]
Очень интересны памятники, посвящённые ленте Мёбиуса.
Ювелиры посвятили свои работы ленте Мёбиуса.
Итак, в заключении я хочу сказать, что лист Мёбиуса обладает многими интересными свойствами.
1. Лист Мебиуса имеет один край.
2. Лист Мебиуса имеет одну сторону.
3. Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
4. Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния
8. Заключение.
Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.
В этой работе я пытался описать свойства прекрасной поверхности-листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса - топологическая фигура.
Топология изучает не только односторонние поверхности. К топологическим задачам относятся задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. Сеть таких кривых называют графами. Но об этом другой разговор.
Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:
q У математиков - идут дальнейшие исследования;
q У школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;
q В технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.
Мною не исчерпаны опыты с листом Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.
9. Литература.
1. , "Математика и искусство" издательство:"Просвещение"
2. Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября»,№14 1999г., №г.
3. Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978г
4. , «Математическая разминка»
5. интернет - ресурсы сайта: http://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0 25.12.2007
6. Кордемский опыты своими руками Квант, 1974, №3
7. Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь «Педагогика»,1987
8. , , «Я познаю мир математика»
9. Стинрод Ю.. и Чинн У. «Первые понятия топологии», Москва, из-во «Мир», 1967 год.
Итоговый продукт проекта:
1. Плакат – «Применение ленты Мёбиуса»
2. Шлифовальная лента.
3. Шарф Мёбиуса