VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Линейная зависимость величин в практическом применении
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Введение
В нашей жизни часто встречаются ситуации, в которых значение одной величины зависит от другой. Например, время, за которое будет пройден путь, зависит от скорости; стоимость товара зависит от количества товара. Прирост вклада в сберегательном банке зависит от суммы вклада при одном и том же проценте; производство продукции и расход материала, содержание вещества в предмете зависит от массы предмета и т. д. При этом, значению одной величины по какому-то правилу соответствует определенное значение другой величины. Также мои родители планируют летом поехать отдыхать. И спорят по этому поводу, как выгоднее поехать? Мне стало интересно, можно ли использовать линейную зависимость двух величин в данной ситуации и узнать самый выгодный способ поездки.
Проблема: Как можно использовать понятие линейной зависимости одной величины от другой в реальной ситуации, например для расчёта выгодного способа поездки.
Для решения этой проблемы поставим следующую цель.
Цель: научится определять и задавать линейную зависимость величин по реальным условиям, использовать понятие линейной зависимости и ее графического изображения для решения практических задач.
Чтобы достичь поставленной цели необходимо выполнение следующих задач:
Изучить понятие линейной функции и ее графика.
Привести случаи из реальной жизни с линейной зависимостью величин.
Научиться задавать линейную зависимость формулой вида у = кх+в по реальным условиям.
Изучить способ линейного программирования в задачах экономического содержания.
Научиться применять график линейной зависимости при выборе оптимального значения величины, заданной линейными условиями.
Методы выполнения проекта:
Наблюдение
Анализ и синтез
Сравнение
Обобщение
Определение понятий
Математические расчеты
Объект исследования: задачи реальных ситуаций с линейными зависимостями.
Предмет исследования: использование линейной зависимости и графиков линейной функции в реальных ситуациях.
2. Основная часть
2.1 Теоретическая часть.
2.1.1 История появления понятия функции.
В математике зависимость одной величины от другой, при которой каждому допустимому значению одной величины соответствует определенное единственное значение другой величины, называют функцией или функциональной зависимостью. Идея функциональной зависимости восходит из древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга зависит от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S = 3 r2. В данном случаи, говорят об аналитическом задании функции, то есть вычисляют значение площади круга с помощью формулы. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев.
После введения декартовой прямоугольной системы координат — это система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости, стало возможным изображать на ней пары значений взаимосвязанных величин в виде множества точек – графика зависимости. Прямоугольная система координат -наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Её обычно называют декартовой по имени её создателя французского философа, математика, механик, физика и физиолога, Рене Декарта.
Идея изображать числа в виде точек, а точкам давать числовые обозначения зародилась в далекой древности. Первоначальное применение координат связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.
Основная заслуга в создании современного метода координат и принадлежит французскому математику Рене Декарту. До наших времён дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)– того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.
Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — декартова система координат. Кроме того, в своей работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики, в частности, понятия функциональной зависимости.
В 1671 году английский физик, математик, механик и астроном, автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», создатель многих других математических теорий, Исаа́к Ньютон в своей статье под функцией определял переменную величину, которая изменяется с течением времени.
2.1.2 Понятие функции.
Зависимость одной величины от другой, при которой каждому допустимому значению независимой переменной х соответствует определенное единственное значение зависимой переменной у, называют функцией или функциональной зависимостью. Обозначение y = f ( x ) как раз и выражает такую зависимость одной величины от другой. Величина у зависит от величины x по определенному правилу, обозначаемому f. Другими словами, чтобы вычислить значение величины у, надо по некоторому правилу f выполнить действия со значением величины х. В этом случаи х является независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией.
Линейная зависимость или функция - это функция вида y = kx+b, где х- независимая переменная, k и b – любые числа (коэффициенты).
Приведем примеры линейных зависимостей в реальных ситуациях.
Формула {FT= gm} – это зависимость силы тяжести FT от массы m, где g-это постоянное значение.
Чем больше глубина, тем больше давление жидкости (воды). Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.
При вычислении расходов проезда на машине учитывают расходы на бензин в сумме с затратами на питание.
С = 45х+ 1500, где к =45(цена в рублях литра бензина), х- количество литров, b = 1500 – затраты на питание. Поэтому стоимость проезда на легковом автомобиле –это линейная функция, где х- независимая величина, а С- зависимая переменная.
Рассмотрим линейную функцию, где k =2, b =1, тогда у=2х+1 и каждой паре чисел (х ; у) поставим в соответствие точку с координатами (х ; у) на координатной плоскости. Множество таких точек будет задавать график этой функции.
Значит если:
х=1, то у=2∙1+1=3 (1;3), х=2, то у=2∙2+1=5 (2;5), х=0, то у=2∙0+1=1 (0;1)
Можно заметить, что точки выстраиваются по прямой. Значит график линейной функции y= kx+b – это прямая линия.
рис.1
Эта прямая(рис.1) графически показывает зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у=2х+1.
рис.2
На рисунке 2 закрашенная часть плоскости графически показывает зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у > 2х+1. То есть, все точки из закрашенной части плоскости имеют значение ординаты у больше, чем значение ординат точек, лежащих на графике прямой для линейной функции у=2х+1.
Рис.3
На рисунке 3 закрашенная часть плоскости графически показывает зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у< 2х+1. То есть, все точки из закрашенной части плоскости имеют значение ординаты у меньше, чем значение ординат точек, лежащих на графике прямой- линейной функции у=2х+1.
2.1.3 Понятие линейного программирования.
Линейное программирование — это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума (максимума или минимума) в задачах, в которых условия зависимости величин описываются линейными уравнениями или неравенствами.
Рассмотрим пример:
Издержки при перевозке груза двумя видами транспорта вычисляются по формуламу1=100+40х, у2=200+20х, где х - расстояние перевозок в сотнях километров, а у рублей - транспортные расходы по перевозке груза первым и вторым способом. Найти: на какие расстояния и каким видом транспорта перевозки груза будут более экономичными.
Решение:
На одной координатной плоскости построим графики транспортных расходов. Известно, что график линейной функции есть прямая линия, а положение прямой определяется двумя точками. Найдем координаты этих точек.
Издержки по перевозке груза на любые расстояния как первым, так и вторым видом транспорта достаточно просто определяются, по величине у из графика функций. Координатами точки пересечения А являются х=5 , у=300. То есть, при перевозке на 500 км издержки одинаковы и составляют 300 рублей.
Ответ: если груз нужно перевести на расстояние менее чем пять сотен километров, то его выгодно будет перевозить первым видом транспорта. А если груз нужно перевести на расстояние больше, чем пять сотен километров, то выгоднее будет перевозить вторым видом транспорта.
2.1.4 Понятие системы уравнений.
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Например, система двух линейных уравнений с двумя переменными х и у.
Решим эту систему графически:
1) -2у=12-3х, у=1,5х-6
если х=4, то у=0
если х=6, то у=3
2) 2у=-4-х, у=-0,5х-2
если х=2, то у=-3
если х=-8, то у=2
Далее начертим графики обоих линейных функций. Координаты точки пересечения двух прямых задают пару значений (х;у), которая является решением данной системы.
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.
Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании.
2.2 Практическая часть
Задача 1: Автомобиль, выехавший из пункта А, в настоящее время находится от него в 10 км. На каком расстоянии S от пункта А будет находиться автомобиль через t часов, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 60 км/ч?
Зависимость будет выражаться линейной функцией вида S=60t+10. Для наглядности можно изобразить график пути в зависимости от времени.
Если
t=1, то S=60х1=10 =70 (1; 70)
t=0, то S=60x0+10 =10 (0;10)
Задача 2: Задать зависимость длины окружности от длины её радиуса.
Опытным путём на уроке математики было установлено, что длина окружности зависит от её радиуса. Эта зависимость выражается формулой C=2πR и является прямопропорциональной зависимостью с угловым коэффициентом к =2 π. Функцией здесь является длина окружности, которая зависит от радиуса окружности.
Если:
R=1,то C=2π1 =2π =6,28 (1;6.28)
R=0, то C=2π0 =0 (0;0)
Задача 3. В контейнере находятся коробки и ящики общим числом более 16. Если вдвое увеличить количество коробок и на 20 увеличить количество ящиков, то ящиков будет больше, чем коробок. Если же, не меняя количества коробок, удвоить количество ящиков, то их будет все - таки меньше, чем коробок. Сколько коробок было в контейнере?
Если взять количество коробок за Х, а количество ящиков в контейнере за У , то условие задачи можно записать системой (т.е. условия должны выполняться одновременно при одних и тех же значениях переменных)
Построим графики по формуле линейной зависимости у = kx+m
1)у = -x+16
2) у = 2х-20
3) у = 1/2х
На координатной плоскости найдем множество точек (х ; у), удовлетворяющих одновременно этим трем условиям. Точки, лежащие внутри треугольника АВС, будут удовлетворять данным условиям. Только одна точка с натуральными координатами (12;5) находится внутри треугольника, то есть коробок 12 , а ящиков 5.
Ответ: В контейнере было 12 коробок и 5 ящиков.
Задача 4:
Лабораторные испытания модели речного глиссера новой конструкции проводятся в испытательном бассейне, причем предусмотрена возможность варьирования, как собственной скорости глиссера, так и скорость течения.
Каковы должны быть эти скорости, чтобы модель глиссера двигалась равномерно, прошла 60м по течению за время, не меньшее 5,4сек., а такое же расстояние против течения – за время, не превышающее 7,2 сек.?
Обозначим абсолютные значения собственной скорости глиссера и скорости течения соотвецтвено через у и х. Таким образом, получим следующую систему неравенств:
(1)
Умножим обе части неравенства на (у+х) >0 и получим:
Дальше умножим обе части неравенства на ,и получим:
Теперь построим график линейной зависимости
3)
Умножим обе части неравенства на (у-х) >0 и получим:
Дальше умножим обе части неравенства на и получим:
Теперь построим график линейной зависимости У=30+х
Из всех приведённых выше вычислений системы (1) следует следующий вывод
Ответ: (30+х) ≤у≤ (40-х) ; 0<х≤5 .
Числовой пример. Пусть х=2 , тогда 32 или на рисунке точка с координатами (2;38).
Данный рисунок даёт геометрическую интерпретацию решения системы (1). Как видно из этого рисунка, условиям данной задачи удовлетворяют координаты тех точек, которые лежат внутри треугольника, образованного прямыми у=40-х, у=х+30 и осью ординат, причем из точек контура этого треугольника исключаются точки, принадлежащие оси ординат.
Задача 5:
Семья из трех человек планирует поездку на море. Они могут поехать двумя способами: первый- это поездка на машине по путёвке в санаторий, а второй - поездка на поезде с самостоятельным заселением и покупкой продуктов. Известно, что если семья едет в санаторий, то стоимость питания и проживания на семью в день составит 6000 руб, а стоимость проезда на машине туда и обратно составит 20000 рублей. А если они едут самостоятельно, то стоимость питания на семью в день составит 4500 руб, а проезд на поезде составит 44000 руб.
Какой из выше перечисленных способов поездки выгодней, и для какого количества дней?
Данный график показывает графически решение данной задачи.
Ответ: если поездка будет длиться менее 16 дней то выгоднее ехать первым способом, а если время поездки больше 16 дней, то выгоднее ехать вторым способом. Также если ехать на 16 дней то оба способа будут одинаково выгодными.
3.Заключение
В заключении можно сказать что, я рассмотрел ситуации, некоторые задачи, встречающиеся в реальной жизни, в том числе рассчитал выгодный способ семейной поездки, используя умения определять и задавать линейную зависимость величин, использовать понятие линейной зависимости и ее графического изображения для решения практических задач. Соответственно цель данного проекта выполнена.
Выбранная мною тема достаточно актуальна для школьников, ведь в школьном курсе алгебры изучаются различные функциональные зависимости, на основании которых строятся математические модели реальных ситуаций. В дальнейшем данные знания помогут мне в алгебре при изучении линейных уравнений с двумя переменными и решении их в целых числах, а также при решении уравнений, неравенств и их систем графическим способом, при решении задач на нахождение оптимального значения. В курсе естественных наук рассматриваются различные реальные процессы, изучение которых основывается также на различных зависимостях, в том числе и линейных.
Также в профессиональной деятельности в задачах производства линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. Например, этим способом решают задачи рационального использования сырья и материалов; составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи); управления производственными запасами; и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.
4. Рефлексия
В ходе выполнения этого проекта я изучил понятие линейной функции и ее графика, научился задавать линейную зависимость формулой вида у=кх+в по реальным условиям, а также применять график линейной зависимости при выборе оптимального значения величины, заданной линейными условиями при решении практических задач с экономическим и физическим содержанием.
5. Список источников информации.
"Прикладная направленность школьного курса математики" Н. А. Терешкин
(Что такое функция)
Сборник математических задач с практическим содержанием П. Т. Апанасов
(Линейная функция) https://ru.wikipedia.org/wiki/
(Линейная функция ) Автор не известен https://ru.wikipedia.org/wiki
(Линейное программирование) Автор не известен https://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/86544
(Ньютон, Исаак) Автор не известен https://ru.wikipedia.org/wiki
(Развитие математики в период Средневековья) Автор не известен https://studwood.ru/1648010/meditsina/razvitie_matematiki_v_period_srednevekovya
(График функции) Автор не известен https://ru.wikipedia.org/wiki/%