VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Симметрия в математике и в природе
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Симметрия - понятие, отражающее существующий в природе порядок, пропорциональность и соразмерность между элементами какой-либо системы или объекта природы, упорядоченность, равновесие системы, устойчивость, т.е. некий элемент гармонии
Симметрия - основополагающий принцип устройства мира.
Я выбрал именно эту тему для своей работы, потому что это понятие хорошо знакомо человеку и играет важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук умышленно придаётся симметричная форма как из эстетических, так и практических соображений. Но мало кто задумывается о том, что абсолютная симметрия встречается только в математике, а в жизни, в природе и вообще вокруг нас симметрия только внешняя.
Цель моей работы выяснить существование связи между симметрией и окружающим миром.
Задачи проекта:
Разобраться в вопросах:
Что такое симметрия в математике, её виды.
Увидеть проявления симметрии в окружающем нас мире.
Выбранная мной тема актуальна, потому что я, как и большинство наших друзей, мало знаем о многогранности симметрии, что не дает возможности раскрыть красоту и совершенство симметрии вокруг нас; увидеть необычное в обычном. Поэтому мне захотелось углубить знания по математике и другим учебным предметам. Научится определять виды симметрии и находить симметрию в окружающем мире.
Объект исследования: симметрия.
Предмет исследования: симметрия в математике и вокруг нас.
Симметрия в математике. Виды симметрии.
Симметрия – это идея, которую долгие века пытается понять обычный человек, ведь именно она создает совершенную красоту через уникальный порядок.
Г. Вейль
Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”.
В математике рассматриваются основные виды симметрии:
осевая симметрия (симметрия относительно прямой)
центральная симметрия (симметрия относительно точки)
зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости).
поворотная (симметрия относительно оси вращения)
1. Осевая симметрия
Начертим треугольник АВС и проведем ось а. Из точки А проведем перпендикуляр к оси а и построим точку А1, так чтобы расстояние от точки А1 до оси было равным расстоянию от точки А до оси. Аналогично построим точки В1 и С1. Соединим полученные точки А1В1С1, получим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно оси а.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a, также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб.
Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.
2 Центральная симметрия
Теперь возьмем тот же треугольник АВС, построим точку О. Проведем луч из точки А через точку О и отметим точку А1 на расстоянии, равном АО. Аналогично поступим с другими вершинами треугольника. Соединим точки А1В1С1, получим треугольник, симметричный треугольнику АВС, относительно точки О.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
Центр симметрии может быть не только за пределами фигуры, но и внутри неё. Простейшими фигурами, обладающими такой симметрией, является окружность и параллелограмм.
Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.
3. Зеркальная симметрия
Вернемся к нашему треугольнику АВС. Приставим перпендикулярно к нему зеркало. В отражении мы увидим симметричный треугольник, находящийся в другой плоскости.
4. Поворотная симметрия
Вырежем из картона треугольник, закрепим его на электродвигатель, и начнем вращение. В результате, при повороте вокруг оси вращения, треугольник совмещается сам с собой. В этом случае говорят о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью.
Симметрия в природе.
Для чего нужна симметрия живому и как она возникла?
Живые организмы формировали свою симметрию в процессе эволюции. Зародившиеся в водах океана, первые живые организмы имели правильную сферическую форму. Внедрение организмов в другие среды заставляло их адаптироваться к новым специфическим условиям. Один из способов такой адаптации – симметрия на уровне физической формы. Симметричное расположение частей органов тела обеспечивает живым организмам равновесие при движении и функционировании, жизнестойкость и адаптацию. Довольно симметричны внешние формы крупных животных, человека. Растительный мир организмов также наделен симметрией, что связано с борьбой за свет, физической устойчивостью к полеганию (закон всемирного тяготения). Например, конусообразная крона ели имеет строго вертикальную ось симметрии – вертикальный ствол, утолщенный книзу для устойчивости. Отдельные ветви симметрично расположены по отношению к стволу, а форма конуса способствует рациональному использованию кроной светового потока солнечной энергии, увеличивает устойчивость. Таким образом, благодаря притяжению и законам естественного отбора ель выглядит эстетически красиво и «построена» рационально. Внешняя симметрия насекомых и животных помогает им держать равновесие при движении, извлекать максимум энергии из окружающей среды и рационально ее использовать.
Но так ли всё абсолютно симметрично в жизни, как в математике?
Рассмотрим несколько примеров.
Человек так же является объектом живой природы. И мне стало интересно, а симметрично ли лицо человека? Для того, чтобы найти ответ на этот вопрос, мы проведем эксперимент.
Сделали фото:
Проводим вертикальную ось симметрии:
Копируем левую половинку. Так же поступили и с правой.
Совместили две левые половинки:
Совместили две правые половинки:
Проведя эксперимент, мы пришли к выводу, что лицо человека не симметрично, как кажется на первый взгляд.
В нутреннее расположение отдельных органов в живых организмах также часто асимметрично.
Природа тяготеет к симметрии, и не может ее достичь. Взглянув более внимательно на лица окружающих людей, можно заметить, что в них практически не найти абсолютной симметрии, хотя очевидно стремление к ней. Чем более симметрично лицо собеседника, тем он кажется красивее.
Теперь рассмотрим цветок орхидеи на нашем подоконнике дома.
Внешне он также имеет симметричную форму листьев. Но при более детальном рассмотрении, мы видим, что с математический точки зрения лист ассиметричен.
Асимметрия в математике – понятие, противоположное симметрии, отражающее разупорядочение системы, нарушение равновесия, что связано с изменением и развитием системы.
Асимметрия также широко распространена в мире. Она преобладает при переходе от неживой к живой природе.
Заключение
В данной работе рассмотрены различные виды симметрии. Они нашли широкое применение не только в различных областях математики, но и в природе и жизни вокруг нас.
Мы считаем всё симметричное красивым, потому что симметрия — это порядок и устойчивость, а человек всегда стремится к порядку и гармонии. Но в окружающем нас мире нет абсолютной симметрии, и это мы выяснили в ходе нашей работы.
Исследователи доказали, что небольшие отклонения от симметрии придают индивидуальность объекту и делают его более интересным. Небольшие отклонения от симметрии допускаются и в архитектуре, одежде, прическах, украшения и т.д. Значительные же отклонения от симметрии считаются некрасивыми и часто не принимаются человеком.
Для неживой природы характерно преобладание симметрии, при переходе от неживой к живой природе на микроуровне преобладает асимметрия.
Таким образом, симметрия играет роль в сфере математического знания, асимметрия — в сфере биологического знания. Поэтому принцип симметрии — это единственный принцип, благодаря которому есть возможность отличать вещество биогенного происхождения от вещества неживого. Парадокс: мы не можем ответить на вопрос, что такое жизнь, но имеем способ отличать живое от неживого.
Список используемой литературы
Вейль Г. Симметрия.
Гончарова С.Г., Кукин Г.П. Конструктор «В мире симметрии» //Математика в школе. – 1996. - № 3. – С. 60.
Кошелев А.И. Проявление симметрии в различных формах материи.
Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982г.
Ресурсы сети Internet.