О преимуществах нестандартных способов решения уравнений

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

О преимуществах нестандартных способов решения уравнений

Караванова В.А. 1Саввина С.М. 1
1МБОУ СОШ №1
Кузнецова Л.В. 1
1МБОУ СОШ №1
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

I. Введение

Цель работы: найти и освоить приемы решения уравнений способами, позволяющими значительно сократить время нахождения корней уравнений.

Задачи исследования:

-изучить информацию по теме: «способы решения тригонометрических, иррациональных, логарифмических уравнений»

-найти наиболее рациональные приемы решения уравнений, содержащих корни, тригонометрические, логарифмические, показательные функции.

В наших школьных учебниках алгебры в основном изучаются такие методы и приемы решения уравнений как возведение в степень, замена переменной, применение тождественных преобразований. Но использование этих способов при решении некоторых видов уравнений приводит к довольно долгим и сложным преобразованиям, особенно, если уравнения в левой и правой частях уравнения находятся функции, имеющие различную природу.

На первом этапе нашей работы мы изучили теорию по нашей теме из следующих источников: учебное пособие «Учимся решать уравнения и неравенства. 10-11 класс» автор - Денищева Л.О.; учебное пособие «Задачи по математике. Уравнения и неравенства» Вавилова В.В.; справочное пособие «Математика – абитуриенту. Все о вступительных экзаменах в ВУЗы» Ткачука В.В.

На втором этапе нами были выбраны и изучены рациональные приемы решения уравнений с применением свойств монотонности, ограниченности функций, а также области определения и значений функций, позволяющие эффективно (практически устно) решать некоторые виды уравнений. Следующим шагом в работе стал отбор и решение наиболее интересных примеров, иллюстрирующих найденные нами способы нахождения корней уравнений, при этом мы использовали источники, указанные ранее, а некоторые были взяты из сборника задач по алгебре для 8-9 классов Галицкого М.Л.

II. О преимуществах нестандартных способов решения уравнений

1. Использование ОДЗдля решения уравнений

Начнем с уравнений, которые можно решить, найдя область допустимых значений переменной (ОДЗ). Напомним, что множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения имеют смысл, называют областью допустимых значений уравнения. Рассмотрим такие уравнения, которые можно решить просто найдя ОДЗ.

Рассмотрим уравнение:

​​​ = 3−x

Алгоритм традиционного способа решения

Алгоритм использования ОДЗ

1) Возведем обе части уравнения в квадрат, при условии, что 3−x≥0

получаем квадратное уравнение:
,

2)решаем квадратное уравнение, приведя это уравнение к виду

и, найдя его корни , =3,

3) отберем тот, который удовлетворяет условию 3−x≥0.

И этот корень равен 3.

Пусть f(x) = .

1)Найдем D (f), она определяется неравенством 2х – 60, т.е.   x3, а

2) E(f) = [0; +∞ ), значит правая часть уравнения должна быть неотрицательной, т.е. должно выполнятся условие 3−x 0 или x ≤ 3

3) тогда ОДЗ определяется системой двух неравенств:

Получаем, что ОДЗ уравнения: х=3.

4) проверка: легко видеть, что 3 будет корнем исходного уравнения.

В приведенном примере преимущество способа решения с использованием ОДЗ пока не столь очевидно, хотя на наш взгляд решить систему двух линейных неравенств проще, чем выполнять преобразования, приводящие к квадратному уравнению, находить корни этого уравнения и каждый из них проверять на соответствие условию. В следующем примере уже явно прослеживается преимущество способа решения с использованием ОДЗ .

Решим уравнение:

​​+​ ​​​= 27x−15

Алгоритм традиционного способа решения

Алгоритм использования ОДЗ

1) возведем обе части уравнения в квадрат. Получаем:

+ -7x – 15)2

Уже на этом этапе видно, что далее после приведения подобных слагаемых и уединения корней, опять обе части уравнения возводить в квадрат, что приведет к уравнению восьмой степени, решить которое будет непросто.

Найдем ОДЗ выражения, стоящего в левой части, решив систему неравенств

Решая неравенства этой системы, получим следующую

А эта система имеет решение х=5. Таким образом, уравнение если и имеет корни, то только один. Подставив x=5 в исходное уравнение, убеждаемся, что получаем верное равенство. Значит 5 – корень данного уравнения.

Таким образом, нахождение ОДЗ уравнения наиболее рациональный способ решения для рассматриваемых уравнений подобного вида.

2. Монотонность функции и наличие корней уравнения

Рассмотрим, как такое свойство функции как монотонность, позволяет быстро и эффективно решать уравнения. Для успешного решения уравнения этим способом необходимо знать следующие утверждения: 1) Если функция f (х) на некотором промежутке возрастает, а функция g(х) убывает на этом же промежутке, то уравнение f(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня; 2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то  уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)). Применение свойства продемонстрируем на следующих примерах:

Рассмотрим уравнение: x1991 +1 =

Алгоритм традиционного способа решения

Алгоритм использования применения свойства монотонности функции

1) Поскольку в правой части уравнения стоит выражение под знаком квадратного корня, то нужно возвести обе части уравнения в квадрат. Получим:

+2 +x – 4=0

2)Подбором находим, что 1 – корень уравнения.

3) далее, если знать теорему Безу, придется делить многочлен, стоящий в левой части уравнения на двучлен (x-1), получив многочлен, корни которого будет найти весьма проблематично.

1) В левой части этого уравнения стоит возрастающая функция на R
в правой – убывающая  на промежутке (-∞;5]. 
Если уравнение и будет иметь корень, то только на промежутке (-∞;5]. Легко заметить, что этот корень 1, и он, согласно теореме, единственный.

Можно еще привести несколько примеров уравнений, корни которых можно легко находить с помощью 1и 2 утверждений. Например, с помощью первого уравнения решаем следующие уравнения: 1) + = 2.

2) 2x15 + 3x=5/х; 3) 2= 9/х – 1; 4) lg(5х)= -3х+7. А вот уравнение 5x19+4x3+3х=12 решаем, используя второе утверждение. Продемонстрируем решение этих уравнений.

1) + =2. Областью определения функции, стоящей в левой части, является промежуток [-1; ∞). На этом промежутке функция возрастает. Следовательно, корень, равный -1 – единственный.

2) 2x15 + 3x=5/х.

Функция f(x) = 5/х на каждом из промежутков (-∞;0) и (0:∞) убывает, а функция g (х) = 2x15+ 3x возрастает на каждом из них, поэтому наше уравнение на каждом из этих промежутков имеет не более одного корня. Убеждаемся, что это числа 1 и -1.

3) 2= 9/х – 1.

Функция f(x)= 2 на промежутке [2; ∞) возрастает, а функция g (х) = 9/х – 1 на этом же промежутке убывает, значит уравнение имеет не более одного корня на этом промежутке. И этот корень равен 3.

4) lg(5х)= -3х+7.

Функция возрастает на (0; ∞) . а функция g (х)= -3х+7 на этом промежутке убывает. Значит, уравнение будет иметь корни только на промежутке (0; ∞). Подбором находим корень уравнения – это число 2.

5) 5x19+4x3+3х=12.

Функция, стоящая в левой части уравнения является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

3. Метод мажорант как альтернатива графическому способу решения уравнений

Рассмотрим, как можно применить к решению уравнений такое свойство функции как ограниченность. Метод, с помощью которого решаются уравнения с применением ограниченности функции, получил название метода мажорант. Ну, а само название метода происходит от французского слова majorer - объявлять большим. Для применения этого метода надо знать определение мажоранты функции и утверждение, выражающее суть метода мажорант. Определение: мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р. Основная идея метода состоит в следующем утверждении: пусть имеется уравнение f(х) = g(х)и существует такое число М, что для любого х из области определения f(х) и g(х) имеем f(х) ≤ М и g(х)≥ М. Тогда уравнение f(х) = g(х) равносильно системе

Метод применим к уравнениям, в которых используются функции, множество значений которых ограниченно. Рассмотрим алгоритм применения метода. Пусть требуется решить уравнение:

.

Не зная метода Мажорант, можно попытаться решить это уравнение графически, так как в этом уравнении в левой и правой частях уравнения находятся функции, имеющие различную природу. Но построение графика функции, стоящей в правой части, займет достаточно много времени. Используя же утверждение метода мажорант, мы достаточно быстро решим это уравнение.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов, получим:

=

Оценим левую часть уравнения. Для этого представим дробь в виде, и используя неравенство Коши оценим выражение, стоящее под знаком логарифма. Получаем (x +   ) ≥ 4, а значит log2 (x +   ) ≥ 2. Таким образом, левая часть уравнения не меньше 2.

Рассмотрим правую часть уравнения. В правой части уравнения стоит квадратный трехчлен, выделив из него квадрат двучлена, получим, что данное выражение принимает значения не больше 2:

– x– 2 = – x+ 4 x – 2 = – ( – 4 x + 4 – 2) = – (x - 2)+ 2 = 2 – ( x - 2)2

Получили, что правая часть уравнения не больше 2, т.к. (x - 2)≥ 0 при любых х. Значит, равенство левой и правой частей уравнения достигается, если они одновременно равны 2, то есть

Из первого уравнения системы находим корень х = 2. Убеждаемся, что этот корень удовлетворяет и второму уравнению системы. Следовательно, решением исходного уравнения будет х = 2.

Ответ: х = 2

Преимущество этого метода прослеживается и в примерах, приведенных ниже.

2)

Решение:

В левой части уравнения стоит тригонометрическая функция, а в правой – сумма показательных. Формул, позволяющих находить корни в таких случаях, не существует. Оценим каждую из частей уравнения. Очевидно, что левая часть уравнения не больше 2. И так как

 , то

Поскольку 0, то  причем равенство достигается только при  x = 0. В данном случае

Получили, что левая часть уравнения не больше двух, а правая часть – больше или равняется двум. Таким образом, уравнение имеет решение, только если имеет решение система уравнений:

Следовательно,  .

Проверкой убеждаемся, что x = 0 – корень уравнения:  . Значит число 0 – корень исходного уравнения.  Получили: x = 0.

3)

Решение:

,тогда

Рассмотрим две функции

Так как

Так как

Уравнение имеет решение, если наибольшее значение функции f(х) равно наименьшему значению функции g(х). Таким образом, уравнение имеет решение, только если обе части равны 2. И наше уравнение равносильно системе:

Решим первое уравнение системы:

Подставив данный корень во второе уравнение системы, получим верное равенство. Значит, решением исходного уравнения будут числа вида  .

4) +8) = sin

Решение:

+8)=sin

Функция y(х) = (квадратичная функция) имеет наименьшее значение при , равное y(2)=4

Функция у(х) = является возрастающей и, следовательно, принимает наименьшее значение при x=2

Правая часть уравнения, в силу ограниченности функции принимает значения не больше 2, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Так как 2 - корень первого уравнения, то убедимся, что число 2-корень второго уравнения. Получаем:

Таким образом, 2 - корень исходного уравнения.

III. Заключение

В ходе наших поисков мы познакомились с одним из эффективных способов решения уравнений вида f(x)=g(x) - способом решения уравнений с использованием свойств функций. В нашей работе мы продемонстрировали его преимущества на основе выбранных нами примеров, и убедились, что приемы, основанные на свойствах и характеристиках функций значительно упрощают процесс нахождения корней уравнений некоторых видов, а значит, дают выигрыш во времени, которое ограничено при решении конкурсных задач и прохождении тестов. Кроме того эти приемы достаточно просты в применении при некоторой тренировке их легко освоить.

Используемая литература

Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. Москва «Наука» Главная редакция физико –математической литературы 1988 год.

Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва «Просвещение» 1995

Денищева Л.О. и другие. Учимся решать уравнения и неравенства. 10-11 класс. Учебное пособие. «Интеллект-Центр», Москва 1999 год.

Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. Все о вступительных экзаменах в ВУЗы, МЦНМО, 1998 год.

Просмотров работы: 181