VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Признаки делимости и их практическое применение в обучении школьников
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
С древних времен человечество интересовалось числами. Люди научились считать еще в каменном веке. Конечно, это были весьма примитивные приемы счета – на пальцах, с помощью зарубок и так далее.
С развитием цивилизации познания людей в математике расширялись. Развивалась торговля, людям нужно было уметь считать товар и деньги, чтобы не быть обманутыми.
Постепенно стали возникать математические принципы, например такие:
- Два любых натуральных числа всегда можно сложить, а также умножить.
- Из одного натурального числа можно вычесть другое, но лишь тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого.
- С делением несколько сложнее. Деление без остатка можно выполнить только для некоторых чисел, причем бывает довольно трудно заранее узнать, делится ли одно число на другое. Помимо того, есть числа, которые делятся только на единицу или сами на себя. Они называются «простыми» числами. А делить на ноль и вовсе нельзя.
В современной жизни у нас часто возникает необходимость узнать, делится ли одно число на другое без остатка. Не всегда под рукой имеются технические средства, чтобы это быстро рассчитать. Для подсчета без калькулятора можно использовать признаки делимости.
Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление. [1]
Признаки делимости на 2, 3 и 5 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признак делимости на 9 был известен грекам в третьем столетии до нашей эры. Впервые признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (около 1179 – 1228). Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623 – 1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки. [2]
Значимость признаков делимости в математике бесспорна. Ведь именно с помощью признаков делимости можно узнать, делится ли одно число на другое без остатка, не производя фактического деления. Также знание признаков делимости позволяет быстро находить НОК (Наименьшее Общее Кратное) и НОД (Наибольший Общий Делитель), а это не менее важно.
Я выбрал эту тему, потому что она является актуальной для меня и моих одноклассников, а значит – и для других школьников. Сейчас, в 5-м классе, мы изучаем основные признаки делимости на уроках математики.
Но существуют еще и другие признаки делимости, которые в школе не изучают. Меня заинтересовала эта тема, и я нашел много интересного материала по ней, которым хочу поделиться. В своей работе я постараюсь доказать, что признаки делимости – это важное и существенное понятие в математике, значительно облегчающее процесс расчетов.
Цель проекта и его практическая ценность – создание буклета со справочным материалом по признакам делимости натуральных чисел в помощь учащимся 5 – 9-х классов, и его применение в школьном курсе математики. (Приложение 1)
Предмет проекта: изучение и классификация признаков делимости натуральных чисел.
Методы исследования: поиск и изучение информации, обработка данных, анализ и систематизация материала по признакам делимости натуральных чисел.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. Признаки делимости, изучаемые в школе
В математике существует несколько основных признаков делимости. Это признаки делимости на: 2, 3, 4, 5, 6, 9 и на 10. Именно их мы изучаем в школе. Повторим их.
Чтобы был понятен признак делимости на 2, нужно разобраться в чётных и нечётных числах. Итак, чётные числа – это те числа, которые делятся на 2 – то есть числа 0, 2, 4, 6, 8 и так далее, а вот нечётные – это числа, не делящиеся на 2 – то есть 1, 3, 5, 7, 9 и так далее.
Признак делимости на 2 предельно прост:
на 2 делятся только числа, оканчивающиеся на чётные цифры, включая 0.
Например: число 348 делится на 2 , потому что оно оканчивается на 8 – чётное число. Число 585 – не делится на 2 , потому что оно оканчивается на 5 – нечётное число.
Признак делимости на 4:
На 4 делятся только те числа, две последние цифры которых делятся на 4 или две последние цифры - нули.
Например: 584 делится на 4, потому что число 84 делятся на 4. число 351 не делится на 4, потому что число 51 не делится на 4 без остатка.
Признак делимости на 5:
На 5 делятся только те числа, которые оканчиваются на цифры 5 или 0.
Например: число 745 делится на 5, потому что оно оканчивается на 5. Число 957 не делится на 5, потому что оно оканчивается на цифру 7. Число 370 делится на 5, потому что оно оканчивается на 0.
Признак делимости на 6:
На 6 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.
Например: число 354 делится на 6, потому что сумма цифр этого числа делится на 3, а также оканчивается на четное число, и поэтому делится и на 2 тоже.
Признаки делимости на 3 и на 9 очень похожи.
Признак делимости на 3:
На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.
Например: число 426 делится на 3, потому что сумма цифр этого числа 4+2+6=12 – число, делящееся на 3 без остатка. Число 572 не делится на 3, потому что сумма цифр данного числа 5+7+2=14 – число, которое не делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 9:
На 9 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 9 без остатка.
Например: число 738 делится на 9, потому что сумма цифр данного числа 7+3+8=18 – число, делящееся на 9. Число 623 не делится на 9, потому что сумма цифр этого числа 6+2+3=11– число, не делящееся на 9.
Признак делимости на 10:
На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0, то есть круглые числа.
Например: число 40 делится на 10, потому что оно оканчивается на 0, то есть круглое число. Число 27 не делится на 10, потому что оно не круглое.
Признак делимости на 100:
На 100 делятся только числа, оканчивающиеся на 00.
Например: 300 делится на 100, потому что оканчивается на 00. Число 845 не делится на 100, потому что оно оканчивается не на 00.
Признак делимости на 1000 аналогичен:
На 1000 делятся только числа, оканчивающиеся на 000.
Например: число 9000 делится на 1000, потому что оно оканчивается на 000. Число 7564 не делится на 1000, потому что оканчивается не на 000.
2. Классификация признаков делимости
Помимо основных признаков делимости существует множество других, знание которых может быть очень полезно. Я нашел много интересного материала по этой теме и хочу им поделиться в своей работе.
Признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:
1 группа - когда делимость чисел определяется по последним цифрам числа - это признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125, а также 10, 100, 1000 и т.д.
2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа - это признаки делимости на 3, 7, 8, 9, 11, 37, 75.
3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения математических действий с цифрами числа - это признаки делимости на 7, 13, 17, 19, 29, 33.
4 группа – признаки делимости на составные числа - это признаки делимости на 6, 12, 14, 15, 18, 30.
2.1 Признаки делимости по последним цифрам числа
Признаки делимости на 2 и 5 мы уже рассмотрели в предыдущем разделе.
Признак делимости на 4:
На 4 делятся только те числа, две последние цифры которых делятся на 4 или две последние цифры - нули.
Например: 584 делится на 4, потому что число 84 делятся на 4. число 351 не делится на 4, потому что число 51 не делится на 4 без остатка.
Признак делимости на 8:
На 8 делятся только те числа, у которых три последние цифры, образующие целое число, делятся на 8, или три последние цифры являются нулями.
Например:
Число 6824 делится на 8, потому что и цифра 8, и число 24 делятся на 8.
Число 7000 делится на 8, потому что три последние цифры - нули.
Число 5387 не делится на 8, потому что ни 3, ни 7 не делятся на 8.
Признак делимости на 20.
Число делится на 20, если две его последние цифры делятся на 20 или равны нулю.
Например:
Число 2220 делится на 20, так как 20 делится на 20.
Число 600 делится на 20, так как число оканчивается нулями.
Признак делимости на 25.
Число делится на 25, если оно заканчивается на: 00, 25, 50, 75.
Например:
Число 475 делится на 25, так как его последние цифры равны 75.
Признак делимости на 50.
Число делится на 50, если оканчивается на 50 или 00.
Например:
Число 6950 делится на 50, так как последние цифры это 50.
Число 4000 делится на 50, так как заканчивается двумя нулями.
Признак делимости на 125.
Число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.
Например:
Число 225000 делится на 125, т.к. три последние цифры – нули.
Число 589250 делится на 125, т.к. число 250 делится на 125.
2.2 Признаки делимости по сумме цифр числа
Признаки делимости на 3 и на 9 мы рассмотрели в предыдущем разделе и убедились, что они полностью соответствуют признакам делимости по сумме цифр числа.
Признак делимости на 7.
Число делится на 7, если утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
Например: число 112 делится на 7, так как 11*3+2=35
Еще один признак делимости на 8.
Трёхзначное число делится на 8, если число единиц, сложенное с
удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Например: число 776 делится на 8, так как 7*4+2*7+6=28+14+6=48.
Признак делимости на 11. [3]
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11 или если эти суммы равны.
Например:
Число 2310 делится на 11, так как 2+1=3 и 3+0=3. Суммы равны, значит число делится на 11.
Число 9482 делится на 11, так как 9+8=17 и 4+2=6, а 17-6=11. 11 делится на 11, поэтому и число делится на 11.
Признак делимости на 37.
Число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Например: число 21312 делится на 37, так как 21+312=333. Число 333 делится на 37, значит и число 21312 делится на 37.
Признак делимости на 75.
Число делится на 75, если сумма его цифр делится на 3 и две последние цифры этого числа делятся на 25.
Например:
Число 1275 делится на 75, так как 1+2+7+5=15, 15 делится на 3; также число 75 делится на 25. Итог – число 1275 делится на 75.
2.3 Признаки делимости с помощью математических действий с цифрами числа
Признак делимости на 7.
Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Например:
343 делится на 7, так как 34 - (2*3) = 34-6=28 делится на 7;
259 делится на 7, так как 25 - (2*9) = 7 делится на 7 .
Признак делимости на 13.
Число делится на 13, если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Например:
Число 351 делится на 13, так как 35+1*4 = 39 – делится на 13.
Число 1313 делится на 13, так как 131+3*4 = 143. Если трудно определить, делится ли полученное число на 13, то можно сократить его ещё: 14+3*4 = 26 – делится на 13.
Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда, когда разность числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Например:
Число 221 делится на 17, т.к. 22-5*1 = 17 – делится на 17.
Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Например:
Число 2128 делится на 19, так как 212+ 2*8 =228, 22 + 8*2 =38 – делится на 19.
Число 4009 делится на 19, так как 400 + 2*9 =418, 41 + 8*2 = 57 – делится на 19.
Признак делимости на 29.
Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.
Например:
Число 6119 делится на 29, так как 611+ 9*3 = 638, 63 + 8*3 = 87 – делится на 29.
Признак делимости на 33.
Число делится на 33, если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.
Например:
Число 396 делится на 33, так как 96+3 = 99 – делится на 33.
2.4 Признаки делимости на составные числа
Признаки делимости на составные числа строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число. Это признаки делимости на 6, 12, 14, 15, 18.
Признак делимости на 6:
На 6 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.
Например: число 354 делится на 6, потому что сумма цифр этого числа делится на 3, а также оканчивается на четное число, и поэтому делится и на 2 тоже.
Признак делимости на 12:
На 12 делятся только числа, делящиеся и на 3, и на 4.
Например: число 3648 делится на 12, потому что сумма цифр данного числа делится на 3, а также на 2, потому что оканчивается на чётное число.
Признак делимости на 15 – аналогичен:
На 15 делятся только числа, делящиеся и на 5 и на 3.
Например: 375 делится на 15, потому что сумма цифр данного числа делится на 3, а также данное число делится на 5, потому что оно оканчивается на 5 . Число 251 не делится на 15, потому что оно не делится ни на 3, ни на 5.
Признак делимости на 14.
Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.
Например:
Число 826 делится 14, так как оно делится на 2 и на 7.
Число 126 делится на 14, так как оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 18
Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.
Например:
Число 414 делится на 18,так как последняя цифра 4 четная и сумма цифр – 4 + 1 + 4 = 9 - делится на 9.
Число 162 делится на 18, так как сумма цифр – 1+6+2=9 – делится на 9.
Признак делимости на 30.
Число делится на 30, когда оно одновременно делится на 10 и на 3.
Например:
Число 12750 делится на 30, так как оно оканчивается 0, то есть делится на 10, и сумма цифр числа 1 + 2 + 7 + 5 = 15, то есть делится на 3.
3. Занимательные факты и задачи
Число на гробнице «2520»[4]
В Египетской пирамиде археологи нашли саркофаг с числом «2520» без какого-либо пояснения к нему. Математик Кордемский Б.А. в своей работе «Математическая смекалка» указал, что число это примечательно, как наименьшее общее кратное первых 10-ти чисел, то есть это самое маленькое число, которое можно без остатка поделить на все целые числа, начиная с 1 и заканчивая 10.
Необычное число 37
Любое число, состоящее из 3-х одинаковых цифр, делится на 37.
Например: числа 111, 222, 333 и все остальные, кратные 111 – делятся на 37.
Также, шестизначное число делится на 37, если при разложении его на две группы (по 3 цифры) сумма чисел этих групп делится на 37, либо составляет число из трех одинаковых цифр.
Например:
Число 259185 делится на 37, так как 259 + 185 = 444.
Число 346209 делится на 37, так как 346 + 209 = 555.
Случай в магазине
Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 33 рубля, пачку творога стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?
Решение:
Стоимость приобретенных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (у молока и творога цена кратна 3-м, цена остальных товаров не известна, но их количество кратно 3-м). Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Вспоминаем признак делимости на 3: На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.
Число 296 (2+9+6=17) на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.
Задача про тарелки
В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их по 10, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?
Решение:
Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это значит, что, как и при раскладывании по 12 тарелок, оставалось 7 тарелок. Значит, число тарелок за вычетом семи штук делится без остатка на 10 и на 12, то есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 = 547.
Ответ: 547 тарелок.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе работы над проектом я узнал много нового о признаках делимости, а также о возможности их классификации,
Я узнал, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 25, 30, 33, 37, 50, 75, 125 и многие другие числа. Я понял, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись. Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной жизненной ситуации. Также я уверен, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным и функциональным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.
Результатом моей проектной деятельности стал разработанный мной буклет «Признаки делимости и их практическое применение в обучении школьников». (Приложение 1) Его можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях, в помощь учащимся 5-9-х классов.
Я постарался изложить материал по признакам делимости доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять разработанный мной буклет и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Воробьев, К.Н. Признаки делимости / Воробьев К.Н.: М.: Издательство «Наука», 4-е изд., 1988. 94 с.
2. Депман, И.Я. История арифметики / Депман И.Я. – М.: Издательство Просвещение, 1965. – 142 с.
3. Перельман, Я.И. Занимательная Алгебра / Перельман Я.И. – М.: Триада-Литера, 1994.- 199 с.
4. Кордемский, Б.А. Математическая смекалка /Кордемский Б.А. – Л.: Издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 231-241 с.
5. Депман, И.Я За страницами учебника математики. / Депман И.Я. Виленкин Н.Я. – М. Просвещение. 1989. – 97 с.
6. Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.- 352 с.
7. http://www.math.com.ua/articles/priznaki-delimosti-chisel.html
8.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8_%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8
Приложение 1.