Удивительная математика

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Удивительная математика

Мамлеев М.К. 1
1ФГКОУ «Санкт-Петербургский кадетский военный корпус»
Золотцева Т.В. 1
1ФГКОУ «Санкт-Петербургский кадетский военный корпус»
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

«Чувство удивления – могучий источник желания знать:

от удивления к знаниям – один шаг». Сухомлинский В.А.

Недавно мы познакомились с видео – часовым стендап-шоу известного английского популяризатора математики Метта Паркера [10]. Видео с русским переводом опубликовано в интернете 01 октября 2018 года. Наибольшее впечатление на нас произвела лента Мёбиуса и извлечение корней из многозначных чисел.

Цель исследования:

- расширить познания в области математики;

- исследовать и изучить необычные геометрические фигуры;

- доказать простоту извлечения квадратного и кубического корня из многозначных чисел;

- увлечь окружающих удивительной математикой.

Задачи исследования:

- изучение и исследование свойств ленты Мёбиуса;

- изготовление различных вариантов моделей, основанных на ленте Мёбиуса;

- изучение алгоритма извлечения квадратного и кубического корней из многозначных чисел;

- развитие познавательного интереса к изучению математики у сверстников. Методы исследования: анализ литературы по данной теме, сравнение, обобщение, опытно-экспериментальное моделирование.

Глава 1. Лента Мёбиуса.

Введение в топологию.

Лента Мёбиуса – удивительная фигура (Рис.1). У обычного листа всегда имеются две поверхности, разграниченные краями. Если берем бумажную ленту прямоугольной формы и соединяем её концы, то получаем цилиндр. У него есть две поверхности – внешняя и внутренняя. Но если мы перевернем концы на 180 градусов, то при соединении получим перекрученную ленту. Существует два типа лент Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (Рис.2) [1] .

Рис.1 Рис.2

В 1858 году лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик К.Ф.Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он ждал рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус – в 1862 году (Рис.3, 4) [8]. Так два математика независимо друг от друга открыли понятие изогнутого трехмерного объекта, обладающего только одной стороной и одной гранью, который получил впоследствии название «лента Мебиуса (лист Мёбиуса или петля Мёбиуса).

Любопытно, что лента была открыта ещё в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой (Рис.5) [7] .

Рис.3 Рис.4 Рис.5

Лента Мёбиуса относится к топологическим объектам, то есть объектам непрерывным [6]. Такие объекты изучает топология – математическая дисциплина, исследующая непрерывность среды и пространства, свойства фигур и тел, которые не меняются при деформациях [1], как будто они сделаны из резины. Топология не входит в школьную программу, её изучают в ВУЗах. Этот самый «молодой» раздел геометрии также называют геометрией непрерывности, а в шутку «резиновой геометрией». Мы знаем, что можно сделать карту какой-либо поверхности Земли, например, карту полушария, но, с точки зрения топологии, невозможно составить единую (без разрывов) карту всей поверхности [1].

С точки зрения топологии все эти фигуры (Рис.6) считаются одинаковыми (равными), т.к. сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел к другому. Одинаковы накачанный мяч и ненакачанный мяч, сфера и яйцо, куб и деформированный куб. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Баранка и гайка эквивалентны, т.к. любую из этих фигур можно деформировать и получить другую. А кружка и бублик (полноторий) неотличимы [11].

Рис.6

1.2. Свойства ленты Мёбиуса. Разрезания.

Если закрашивать обычный цилиндр, то его можно закрасить в два цвета – каждую сторону в свой цвет. Эта лента удивительна тем, что имеет две поверхности, т.к. создана из базовой ленты, которая имеет две поверхности, но один край или одну сторону. Это легко проверить. Если мы начнём закрашивать ленту в одном направлении, то вскоре вся лента окажется закрашенной полностью. Но мы её не переворачивали, чтобы закрасить другую сторону [4]. Если мы закрасим край цилиндра, то второй его край останется неокрашенным. Если мы закрасим край ленты Мёбиуса, то линия края будет закрашена на всей ленте (Рис.7).

Удивительно также то, что каждую точку этой фигуры можно соединить с другой её точкой, при этом ни разу не выходя за края ленты. Если на ленте нарисовать точку и провести линию по всей ленте, то мы вернёмся к исходной точке. Это говорит об ещё одном свойстве ленты – непрерывности. Муравьи на гравюре известного голландского художника Маурица Эшера непрерывно и бесконечно ползут по математической поверхности, ни разу не переходя через её край. Совершив один оборот по ленте, они попадают в положение, перевернутое по отношению к исходному. Это говорит об ещё одном свойстве ленты – неориентированности.

Рис.7 Рис.8

Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока её не разрезают. С этой лентой можно делать удивительные вещи. Мы знаем, что если разрезать что-то пополам, то мы получим два одинаковых предмета. Ленту Мёбиуса нельзя разрезать пополам. С целью подтверждения совершенно неожиданных свойств ленты Мёбиуса мы решили провести ряд экспериментов: создать различные ленты и провести разрезания.

1.2.1. Опыты с лентой, закрученной на 180 градусов.

1. Разрежем ленту Мёбиуса пополам по центральной линии, мы опять получаем одну петлю, только она в 2 раза уже и в 2 раза больше размером. Эта длинная замкнутая двусторонняя лента называется «афганская лента» (Рис.9) [6].

2. Если разрезать ленту на 3 равные части по двум линиям, то получатся односторонняя лента Мёбиуса, но в 3 раза тоньше, и в два раза больше длиной и уже в 3 раза двусторонняя лента, закрученная на два полуоборота (полный оборот, 360 градусов) (Рис.10).

3. Если разрезать ленту на 4 равные части, то получатся не 4, а 2 ленты, с двумя полуоборотами, в 2 раза длиннее первоначальной ленты (Рис.11).

4. Если разрезать ленту на 5 равных частей, то получатся не 5, а 3 ленты: односторонняя и две двусторонние с двумя полуоборотами (Рис.12).

5. Если разрезать ленту на 6 равных частей по пяти линиям, то получится не 6 лент, а 3 двусторонние ленты, завязанные в узел (Рис.13).

6. Если разрезать ленту на 7 равных частей, то у нас в руках окажется 1 лента Мёбиуса и 3 двусторонние ленты (Рис.14).

Рис.9 Рис.10 Рис.11

Рис.12 Рис.13 Рис.14

Любопытно, что если мы будем разрезать ленту не на равные части, а ближе к краю в соотношении 1:3, 1:4 и т.д., то получим тот же результат, что и в опыте №2, т.к. в основе разрезание на 3 части. Разной будет только ширина колец (Рис.15, 16).

Рис.15 Рис.16

1.2.2. Опыты с лентой, закрученной на 360 градусов.

Если мы закрутим ленту на 360 градусов, то получим ленту с двусторонней поверхностью (Рис.17), и чтобы раскрасить её полностью, нужно перевернуть ленту на другую сторону. Предположим, что при разрезаниях из данной ленты не получится односторонняя лента Мёбиуса, т.к. за основу мы берём двустороннюю ленту.

1. Если эту ленту разрезать пополам, то в руках окажутся 2 ленты, сцепленные между собой, похожие на две восьмёрки, половинной ширины, каждое из которых также закручено на 360 градусов (Рис.18).

2. Если ленту, перекрученную на 360 градусов, разрезать на 3 части, то получится 3 двусторонние ленты, перекрученные на 360 градусов, сцепленные между собой. (Рис.19).

3. Если разрежем на 4 части, то получится 4 соединённые друг с другом двусторонних ленты, закрученные также на 360 градусов (Рис.20).

4. Если ленту, перекрученную на 360 градусов, разрезать на 5 частей, то получится 5 сцепленных между собой двусторонних лент, закрученных на 360 градусов (Рис.21).

5. Если перекрученную на 360 градусов ленту разрезать на 6 равных частей, то получится 6 двусторонних лент, завязанных в узел (Рис.22).

6. Разрезав ленту на 7 частей, мы получим 7 сцепленных двусторонних

поверхностей (Рис.23).

Рис.17 Рис.18 Рис.19 Рис.20

Рис.21 Рис.22 Рис.23

Проведённые разрезания подтверждают, что из двусторонней ленты мы не получаем одностороннюю ленту Мёбиуса, а всегда получаем двусторонние фигуры.

1.2.3. Опыты с лентой, закрученной на 540 градусов.

Если мы сделаем трижды перекрученную ленту Мебиуса, т.е. закрутив ленту на 540 градусов, то получим фигуру, похожую на Международный логотип переработки мусора (Рис.24, 25). Его проставляют на товарах, упаковки которых годны для вторичной переработки или сделаны из переработанных ресурсов.

1. Если мы разрежем трижды перекрученную ленту также посередине, то у нас получается одна односторонняя лента Мёбиуса с узлом на ней. Эта красивая замкнутая лента называется узлом трилистника (Рис.26, 27). Это простой узел с тремя самопересечениями.

Рис.24 Рис.25 Рис.26 Рис.27

2. Разрезав на 3 части, получаем 2 ленты – ленту Мёбиуса и три раза перекрученную двустороннюю ленту (Рис.28).

3. Разрезав на 4 части, получим несколько раз переплетённые между собой двусторонние ленты (Рис.29).

4. Разрезав на 5 частей, получатся 2 сильно переплетённые двусторонние ленты и 1 лента Мёбиуса, закрученная на 180 градусов (Рис.30).

5. Если мы разрежем на 6 частей, то получим 3 двусторонние ленты (Рис.31).

6. Если на 7 частей, то 1 ленту Мёбиуса и 3 двусторонние ленты (Рис.32).

Рис.28 Рис.29 Рис.30

Рис.32 Рис.32

1.2.4. Закономерности.

В результате проведенных экспериментов (Таблица 1) была выявлена закономерность для лент, закрученных на 180 и 540 градусов. Если мы обозначим количество получаемых при разрезании лент х, а количество частей, на которые режем, - у, то количество двусторонних лент всегда будет равно х=у:2. При разрезании на нечётное количество частей в остатке всегда остаётся единица – лента Мёбиуса х=у:2+1.

Таблица 1. Результаты разрезаний лент Мёбиуса.

Вид ленты

Количество частей (у)

Результат (х)

Лента Мёбиуса

Двусторонняя лента

180 ˚

2

0

1

180 ˚

3

1

1

180 ˚

1:3

1

1

180 ˚

1:4

1

1

180 ˚

4

0

2

180 ˚

5

1

2

180 ˚

6

0

3

180 ˚

7

1

3

540 ˚

2

0

1

540 ˚

3

1

1

540 ˚

4

0

2

540 ˚

5

1

2

540 ˚

6

0

3

540 ˚

7

1

3

360 ˚

2

0

2

360 ˚

3

0

3

360 ˚

4

0

4

360 ˚

5

0

5

360 ˚

6

0

6

360 ˚

7

0

7

720 ˚

2

0

2

Таким образом, из односторонней ленты Мёбиуса всегда получается лента Мёбиуса при разрезании на нечётное количество частей. При разрезании на чётное количество частей получаются различные переплетения лент, в основе которых ленты с двусторонней поверхностью. Из двусторонней ленты (360 и 720 градусов) всегда получаются двусторонние ленты в количестве, равном числу частей, на которые режем.

1.2.5. Прочие разрезания.

1. Если мы сделаем ленту, закрученную на четыре оборота (720 градусов) (Рис.33) и разрежем её, то получится очень интересная двусторонняя поверхность, похожая на две восьмёрки, обвитые посередине восьмёркой (Рис.34).

Рис.33 Рис.34

2. Любопытно, что получится, если мы возьмем 2 простых цилиндра и приклеим их под прямым углом, а потом разрежем каждый из них пополам, не расцепляя их при этом. Удивительно, но у нас получается квадратная рамка. (Рис.35, 36). Круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность.

Рис.35 Рис.36

3. Две ленты Мёбиуса склеиваем вместе аналогично под прямым углом и так же разрезаем пополам. Удивительно, у нас получаются две ленты, продетые друг сквозь друга, похожие на два сердечка (Рис.37,38). Нужно учесть, что при приклеивании может получиться правая или левая лента Мёбиуса. Если вы скрепите ленты, повернутые одинаково, то сердечки не получатся (Рис.39).

Рис.37 Рис.38 Рис.39

4. Если в бумажной полоске мы прорежем отверстие и проденем сквозь него один конец, а затем склеим на 180 градусов и продолжим разрезание вдоль всего листа, то получится длинная двусторонняя лента, закрученная на 720 градусов (Рис.40, 41). [3]

Рис.40 Рис.41

Все проведённые разрезания показывают, что каждый раз из ленты не получается несколько раздельных фигур. Она всегда остаётся цельной. Это говорит об ещё одном её свойстве – связности или двумерности [6]. Количество связей (переплетений) связано с количеством оборотов при склеивании ленты.

Таким образом, свойствами ленты Мёбиуса являются:

1. Наличие одной стороны.

2. Непрерывность.

3. Неориентированность.

4. Связность.

1.2.6. Создание трёхмерных моделей на основе ленты Мёбиуса.

Ленту Мёбиуса можно исследовать бесконечно. До последнего времени считалось, что более таких уникальных фигур не существует. На сегодняшний день создано множество фигур – топологических поверхностей, основанных на ленте Мёбиуса (Рис.42-50) [2].

Рис.42-50

Прочитав интересную статью [12], нам захотелось своими руками создать необычные фигуры – материальные модели с количеством поверхностей более двух. Мы сделали трёхцветную ленту, имеющую 3 поверхности, а затем четырёхцветную ленту, имеющую, соответственно, 4 поверхности. Вот так выглядят эти базовые ленты в поперечном сечении (Рис. 51,52). Поверхности ленты окрашены на рисунке разными цветами. Угловой сектор составляет 120 и 90 градусов. Мы скрутили трёхстороннюю ленту на 180 градусов, а четырёхстороннюю на 540 градусов и получили удивительные фигуры – трёхмерные ленты Мёбиуса, имеющие 3 и 4 стороны (Рис.53,54).

Рис.51 Рис.52 Рис.53 Рис.54

Разрезав по центральной оси трёхстороннюю ленту, закрученную на 180 градусов, мы также получаем афганскую ленту, но разноцветную, а из четырёхсторонней, закрученной на 3 полуоборота ленты мы также получаем узел трилистника, только двойной (Рис.55,56). Таким образом, и у многосторонних лент Мёбиуса все свойства ленты сохраняются.

Рис.55 Рис.56

Глава 2. Извлечение корней из многозначных чисел.

Извлечение корней из многозначных чисел нас очень впечатлило. Если бы мы знали эти алгоритмы, то не были бы так впечатлены, потому что они очень просты.

2.1. Извлечение квадратного корня.

На уроках мы еще этого не проходили, но извлечение квадратного корня – это обратная операция от возведения в степень: а2=b, то √b=a.

а

10

20

30

40

50

60

70

80

90

а2

100

400

900

1.600

2.500

3.600

4.900

6.400

8.100

Рассмотрим, как извлечь корень, например, из 3364. Первые 2 числа говорят нам, что число находится в пределах от 2500<х<3600, т.е. искомое число от 50 до 60. Последняя цифра 4 подсказывает, что это квадрат либо 2, либо 8. Поскольку 3364 ближе к 3600, чем к 2500, то выбираем 8. Получается число 58. На самом деле √3364=58.

2.2. Извлечение кубического корня.

Очень эффектно это смотрится в шоу Метта Паркера [10]. Секрет в том, что чтобы извлекать в уме корень третьей степени нужно запомнить таблицу кубов чисел, кратных 10:

а

10

20

30

40

50

60

70

80

90

а3

1.000

8.000

27.000

64.000

125.000

216.000

343.000

512.000

729.000

Например, извлечём кубический корень из числа 54852. Это число находится в пределах от 27000<х<64000, т.е. искомое число от 30 до 40. Последняя цифра 2 подсказывает, что это куб числа 8. Получается число 38. На самом деле 3√54852=38.

Также извлекаем кубический корень, например, из числа 681472. Это число находится в пределах от 512000<х<729000, т.е. искомое число от 80 до 90. Последняя цифра 2 подсказывает, что это куб числа 8. Получается число 88. На самом деле 3√681472=88 [5].

Если потренироваться, то любой может это с успехом сделать за несколько секунд.

Заключение.

Таким образом, на наглядных примерах мы исследовали свойства удивительной математической фигуры – ленты Мёбиуса и её поверхностей. Проведя ряд экспериментов, мы выявили закономерность образования ленты Мёбиуса при разрезаниях и преобразовали её в формулу. Из односторонней ленты Мёбиуса, закрученной на 180 или 540 градусов, всегда получается лента Мёбиуса при разрезании на нечётное количество частей. При разрезании на чётное количество частей получаются различные переплетения лент, в основе которых ленты с двусторонней поверхностью. Из двусторонней ленты, закрученной на 360 или 720 градусов, мы никогда не получим одностороннюю ленту Мёбиуса, а всегда получаем также двусторонние фигуры. Данная закономерность действует и для лент, с количеством поверхностей более двух (Приложение 1).

Мы показали, что для извлечения квадратных и кубических корней в уме не требуется уникальных способностей. Знание этих приёмов вычисления, безусловно, пригодится, особенно когда под рукой нет калькулятора.

Своей работой мы постарались продемонстрировать, что в математике есть красота, что она – удивительная, увлекательная разноплановая наука. Любой человек, ученик или взрослый, может развить в себе интерес к математике через данный материал. Я очень рекомендую посмотреть часовое видео Мэтта Паркера. Уверен, это вас удивит! Рекомендую также познакомиться с научно-популярным сайтом «Математические этюды», созданным кандидатом физико-математических наук Николаем Андреевым при поддержке Математического института имени В.А. Стеклова Российской Академии Наук. Там вы найдёте огромное количество новых знаний и информации для размышления [9]. Четырёхмерный аналог ленты Мёбиуса – бутылка Клейна, проблема четырёх красок, теория узлов, трёхмерные развёртки четырёхмерных объектов – это темы моих дальнейших исследований.

Использованные источники

Википедия. Свободная энциклопедия.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0

Дж.Моттл. Онлайн-журнал и сообщество «CGarchitect».

http://forums.cgarchitect.com/15503-new-moebius-ring-torolf-4.html

Кожемякина Д. Лист Мебиуса своими руками. Журнал «Квантик» 2012 №1.

Кордемский Б. Топологические опыты своими руками. Журнал «Квант» 1974 №2, 3

Крутицких А. Кубический корень. Извлечение без калькулятора. https://matematikalegko.ru/priyomy/kak-izvlech-kubicheskij-koren-iz-chisla.html

Лента Мёбиуса – загадка современности. Статья. http://www.calculator888.ru/blog/raznoe/lenta-mebiusa.html

Лента Мебиуса - удивительное открытие. https://kalkpro.ru/interesting-facts/lenta-mebiusa/

Лист Мёбиуса. Журнал «Квант» 1991 №11.

«Математические этюды». Математический научно-популярный сайт http://www.etudes.ru/ru/

Метт Паркер. Вещи, которые нужно увидеть и услышать в четвёртом измерении. Видео https://www.youtube.com/watch?v=oYoqNPlayXg

Савченко Е.М. Топология. http://le-savchen.ucoz.ru/publ/1-1-0-32

Шангин Ю. Кольцо Мёбиуса – первый шаг в Систему. Журнал «Наука и техника» 2017 №11.

Приложение 1. Результаты разрезаний лент Мёбиуса.

Вид ленты

Количество полос

Результат

Лента Мёбиуса

Двусторонняя лента

1

180 ˚

2

0

1

2

180 ˚

3

1

1

3

180 ˚

1:3

1

1

4

180 ˚

1:4

1

1

5

180 ˚

4

0

2

6

180 ˚

5

1

2

7

180 ˚

6

0

3

8

180 ˚

7

1

3

9

360 ˚

2

0

2

10

360 ˚

3

0

3

11

360 ˚

4

0

4

12

360 ˚

5

0

5

13

360 ˚

6

0

6

14

360 ˚

7

0

7

15

540 ˚

2

0

1

16

540 ˚

3

1

1

17

540 ˚

4

0

2

18

540 ˚

5

1

2

19

540 ˚

6

0

3

20

540 ˚

7

1

3

21

720 ˚

2

0

2

22

3 поверхности 180 ˚

2

0

1

23

4 поверхности 540 ˚

2

0

1

Просмотров работы: 280