VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрические решения негеометрических задач
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Портфолио проекта
Название проекта: «Геометрические решения негеометрических задач»
Фамилия, имя, отчество разработчика проекта: Абрамов Артем Андреевич
Класс: 7 «Б» специализированный класс инженерно-технологического направления
Название, номер учебного учреждения, где выполняется проект: МБОУ «Лицей №159»
Предметная область: математика
Время разработки проекта: сентябрь 2018-апрель 2019
Проблема: многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путём, геометрический метод не изучается в школьном курсе математики.
Цель работы: изучение геометрического метода решения задач, составление алгоритма решения алгебраических задач геометрическим способом.
9. Задачи работы:
1. Обозначить ключевые положения теории.
2. Определить задачи, которые удобнее решать геометрическим методом.
3. Рассмотреть задачи различной степени сложности с использованием приёмов геометрического метода.
4. Составить алгоритм решения задач геометрическим методом.
Тип работы: поисковый
Используемые технологии: мультимедиа
Форма продукта проекта: презентация, научно-исследовательская работа
13.Содержание:
Введение
1.Решение алгебраических задач геометрическими методами. Расстояния на прямой и не только
2.Алгоритм решения алгебраических задач геометрическим методом
3.Геометрические решения текстовых задач
3.1.Задачи на движение
3.2.Задачи на работу
4.Решение квадратных уравнений с помощью квадрирования прямоугольников
Заключение
14. Исследование проекта: исследование способов решения алгебраических задач в курсе изучения математики, определение геометрического способа решения задач, как одного из наиболее рациональных, наглядных и результативных способов решения, основанного на точных геометрических соотношениях.
15.Область применения результата проекта: спецкурс по математике в 7 «Б» специализированном классе инженерно-технологического направления МБОУ «Лицей №159»
Оглавление
Введение 4
1.Решения алгебраических задач геометрическими методами 5
2. Алгоритм решения алгебраических задач геометрическим методом 9
3. Геометрические решения текстовых задач 9
3.1. Задачи на движение 10
3.2. Задачи на работу 12
Список использованной литературы 17
Введение
Многие школьники воспринимают школьные курсы алгебры и геометрии (а впоследствии и раздел тригонометрии) как совершенно независимые, в то время как они (и не только они) являются частью одной науки – математики. Вместе с тем, наиболее красивые, а часто и наиболее рациональные решения многих задач возникают, если привлекать для решения методы из других разделов математики. В частности, очень мощным является «геометрический подход» к решению некоторых задач, условие которых сформулировано на языке арифметики, алгебры, комбинаторики, тригонометрии или математического анализа. Это объясняется прежде всего тем, что геометрия – наиболее наглядный раздел математики. Использование геометрических способов решения задач в каком-то смысле «возвращает» нас к математикам древности, которые большинство математических объектов и операций воспринимали с точки зрения геометрии. Знание особых приёмов и подходов к решению математических задач позволяют не только правильно их решать, но и решать простым и оригинальным способом.
В данной работе представлен геометрический метод решения задач, который основан на наглядно - геометрических интерпретациях, связанных с геометрическим смыслом модуля, формулой расстояния между двумя точками на плоскости, неравенством треугольника, построением графического образа задачи на координатной плоскости Существенными признаками этого метода являются геометрические представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур.
Актуальность исследования: геометрические методы используются при решении задач на движение, на работу, при вычислении наибольших и наименьших значений выражений, при решении уравнений, неравенств и их систем. Задачи таких видов ежегодно содержатся в заданиях ОГЭ. Таким образом, выбранная тема актуальна и перспективна. Из-за сложности, нестандартности геометрический метод решения задач в школьном курсе математики не изучается. Тем важнее данное исследование.
Проблема: многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путём, данный метод не изучается в школьном курсе математики.
Гипотеза: решение задач геометрическим методом направляется наглядным представлением условий в виде рисунка или чертежа, что помогает глубже понять условие задачи, делает их более наглядным, очевидным, значительно упрощает решение, ведёт к более быстрому и рациональному решению.
Цель исследования: изучение геометрического метода решения задач, составление алгоритма решения алгебраических задач геометрическим способом.
Объект исследования: математические задачи.
Предмет исследования: геометрический метод решения задач.
Задачи исследования:
1. Обозначить ключевые положения теории.
2. Определить задачи, которые удобнее решать геометрическим методом.
3. Рассмотреть задачи различной степени сложности с использованием приёмов геометрического метода.
4. Составить алгоритм решения задач геометрическим методом.
5. Оценить преимущество данного метода и доказать этот факт.
1.Решения алгебраических задач геометрическими методами
Задача 1. Найти ,не решая систему уравнений:
A
Первое уравнение системы – теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 4. Второе уравнение позволяет утверждать, что является средним пропорциональным для чисел и . Тогда по теореме обратной теореме, о пропорциональных отрезках в треугольнике АВС, угол В прямой.
x
H
2
y
z
5
C
B
Рисунок 9
Ответ: 10
Задача 2.Имеет ли решение система? Если да, то найдите решение.
B
2
3
x
O
z
y
C
A
6
y
D
Рисунок 1
Все три уравнения выполняют теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, поэтому в гипотенуза будет равна 2, в гипотенуза будет равна 3, в гипотенуза будет равна 6. Тогда выполним условие теоремы о неравенстве треугольника:
(по теореме о неравенстве треугольника)
(по теореме о неравенстве треугольника)
(по теореме о неравенстве треугольника)
(по теореме о неравенстве треугольника)
Вычтем из первого неравенства второе, получим
(Умножим на -1)
(3)
Имеем систему
Вычтем из первого неравенства второе, получим
Из (3), (4) следует
Получили противоречие, потому что разность двух положительных чисел не может быть одновременно меньше 4 и больше 4. Значит, система не имеет решений.
Ответ: Система не имеет решений.
2.Геометрические решения текстовых задач
Задача3.
Доказать иррациональность числа .
Решение:
Геометрически иррациональность означает несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной или гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом: не существует отрезка, который бы целое число раз укладывался и там, и там. (рис. 9) Проверить это возможно так: отложим меньший отрезок в большем, остаток отложим в меньшем, второй остаток в первом и т.д. Если на каком-то шаге отрезок уложится без остатка, значит, это и есть общая мера двух исходных отрезков (алгоритм Евклида). Давайте отложим отрезок, равный катету ВС, на гипотенузе АВ.
B
D
A
E
C
Рисунок 2
Для этого перегнём наш треугольник по биссектрисе угла В. Образовался «остаток» AD. Дальше нужно бы этот «остаток» отложить на катете, но легко видеть, что он уже «уложен» (отрезок СЕ). Новые остатки входят в треугольник ADE – опять равнобедренный и прямоугольный! Продолжая процесс, проделаем с новым треугольником точно такую же операцию, как и с большим, в результате чего появится еще меньший треугольник, и т.д. Получаем бесконечный процесс с бесконечным же уменьшением отрезка. Значит, катет и гипотенуза несоизмеримы.
Геометрическое доказательство уникально – работает только для , зато даёт алгоритм вычисления приближений к нему.
Задача 4.
Найти и
Решение:
На отрезке АВ таком, что , где , как на диаметре, построим полуокружность. Далее, через точку С проведем прямую, перпендикулярную АВ и пересекающую полуокружность в точке D.
Рисунок 3
Тогда с учетом третьего уравнения системы Из уравнений и следует, что
Имеем
Ответ:
2. Алгоритм решения алгебраических задач геометрическим методом
Построить геометрическую модель алгебраической задачи и перевести её на язык геометрии.
Решить получившуюся геометрическую задачу.
Перевести полученный ответ с геометрического языка на естественный.
Вывод: геометрический метод нагляден, позволяет сэкономить время, увидеть и рассмотреть все возможные варианты решений, способствует не только выработке умений и закреплению навыков решения задач, но и формированию устойчивого интереса к предмету.
Геометрические решения текстовых задач
Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. К ним относятся задачи на движение и на совместную работу. Изображая графики, можно находить зависимости между величинами, применяя геометрические знания (признаки подобия и равенства треугольников, свойства средней линии треугольника), а можно решать задачу, составляя числовое выражение, уравнение или систему уравнений. Рассмотрим геометрический метод с использованием графического. При решении задач на равномерное движение используют графики линейной функции. По оси абсцисс обычно откладывают время, а по оси ординат – расстояние. В таком случае абсцисса любой точки графика движения указывает момент времени, а ордината той же точки - в каком месте пути в этот момент находится тело. Если на одном чертеже построены 2 графика движения, причём эти графики пересекаются, то абсцисса точки пересечения – это время встречи, а ордината – место встречи.
3.1. Задачи на движение
Задача 5. (Встречное движение).
Два туриста отправились одновременно из пунктов A и B, расстояние между которыми 33 км, навстречу друг другу. Через 3ч 12 мин расстояние между ними сократилось до 1км (они еще не встретились), а еще через 2 ч 18 мин первому осталось пройти до B втрое больше расстояния, чем второму до A. Найдите скорости туристов.
Рисунок 4
Решение: − график движения первого туриста
− график движения второго
км/ч – скорость сближения.
расстояние между туристами через 2,3 ч. Пусть км осталось пройти второму туристу до A.
– скорость туриста, вышедшего из A.
– скорость туриста, вышедшего из B. Ответ: скорость первого туриста равна 4,5 км/ч; скорость второго – 5,5 км/ч.
Задача 6. Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от B. Прибыв в A и B, они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от A. Найдите расстояние между A и B.
Рисунок 5
Решение:
Пусть − скорость одного велосипедиста. − скорость другого.
− время движения велосипедистов до первой встречи.
км − расстояние между A и B
AMD −график движения первого велосипедиста до второй встречи
BPD − график движения второго велосипедиста до второй встречи.
Учитывая (1) и (2) получим: = ; (км) − расстояние между A и B.
Ответ: расстояние между A и B равно 72 км.
Задача 7. (Движение из одного пункта в одном направлении). Из пункта A в пункт B выехал автобус со скоростью 40 км/ч. После того как автобус проехал 30 км, из пункта A со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль, который прибыл в пункт B на 1/12 ч позже автобуса. Найдите расстояние между пунктами.
Рисунок 6
АВ - график движения автобуса
СD – график движения автомобиля
Решение: км − расстояние между пунктами.
Ответ: 80 км.
3.2. Задачи на работу
Задачи этого типа содержат сведения о выполнении несколькими субъектами (рабочими, механизмами и т.д.) определенной работы. Эти задачи схожи с задачами на движение: роль скорости здесь играет производительность, роль расстояния – объем работы.
Задача 8.
Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то всё задание будет закончено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить всё задание?
Рисунок 7
Решение: предположим, что первый рабочий работает быстрее, чем второй. Отрезок график работы первого рабочего, а отрезок график работы второго рабочего. LQ изображает время совместной работы; . Проведем тогда
Рассмотрим (по двум углам)
(по двум углам)
- не подходит, т.к .первый рабочий работает быстрее. Тогда время первого дней, а второго дн.
Ответ: первый за 20 дней, а второй за 30 дней.
Вывод: решение текстовых задач геометрическим методом основывается на точных геометрических соотношениях. Преимущество геометрического решения в его наглядности.В данных задачах геометрический метод решения представляет собой интеграцию графического метода, метода подобия треугольников и метода уравнений. Заключение
«Выявленная и доказанная психологами и физиологами функциональная ассиметрия головного мозга заставляет нас также несколько иначе взглянуть на значение геометрии в развитии человека. Оказывается, левое полушарие нашего мозга ведает логическим, алгоритмическим мышлением… Правое полушарие «отвечает» за чувственную, образную сферу нашего сознания… Некоторые из известных методик обучения математике чрезмерно перегружают левое полушарие мозг .»
В моей работе представлен геометрический метод решения негеометрических задач. Рассмотрены различные подходы к решениям, составлены алгоритмы. Ключ к решению таких задач содержится в геометрических интерпретациях. Рисунок не просто облегчает решение, а является существенным его этапом. Эффективность метода в наглядности и быстроте решения, в красоте математических выкладок, эстетике графического подхода к решению заданий. Таким образом, цель работы достигнута, выдвинутая гипотеза подтвердилась.
Мне удалось достичь цели моего исследования: я овладел способами решения алгебраических задач геометрическими методами и теперь смогу применять полученные знания на экзаменах. Я рассмотрел много алгебраических заданий, решаемых с помощью геометрии, классифицировал их. Изучил геометрические способы решения систем, задач, содержащих иррациональность, текстовых задач.
В результате проделанной работы я пришел к следующим выводам:
При решении некоторых задач геометрическими методами наблюдается явно выраженная экономия сил, энергии, а главное времени;
Чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий;
Чтобы решить алгебраическую задачу геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации задачи, что, на мой взгляд, и является самым сложным в данном методе;
Во многих разделах алгебры существуют классы задач, решаемых геометрическими методами;
Чтобы решить задачу геометрическими методами необходимо иметь мощную базу знаний по геометрии.
Данная исследовательская работа способствует не только выработке умений и закреплению навыков решения алгебраических задач геометрическим методом, но и формированию устойчивого интереса к математике в целом.
Знание приёмов решения негеометрических задач геометрическим методом позволяют успешно решать задачи ОГЭ, конкурсные и олимпиадные задачи. Существенно упрощается решение, становится более понятным и наглядным. Возможность использования материалов исследования, компьютерной презентации на уроках математики при подготовке к ОГЭ.
Список использованной литературы
1. Быков А.А.Сборник задач по математике.–М.:Изд..дом ГУ ВШЭ,2008
2. Генкель Г.З. «Геометрические решения негеометрических задач», - Москва: Просвещение 2007.
3. Окунев А.А. Графическое решение уравнений с параметрами. – М.: Школа- Пресс,1996.
4. Пирютко О Н «Графический метод решения текстовых задач» - Минск.: Новое знание,2010 6. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач-М. Просвещение, 1991.