Координатная плоскость.

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Координатная плоскость.

Быков Д.А. 1
1 МАОУ «СОШ №10» г. Кунгур
Усенкова Н.В. 1
1 МАОУ «СОШ №10» г. Кунгур
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я люблю математику. Она вызывает у меня интерес. Математика важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать. На уроках математики мы познакомились с координатным углом. Мы научились понимать, что из абстрактных точек можно получить знакомый рисунок: изображали не только отдельные точки, но и любые прямые, предметы и животных на координатной плоскости. Нам было интересно выполнять эти задания и мне захотелось узнать больше о координатной плоскости.

Знание системы координат необходимы сегодня всем – программисту, летчику, моряку, космонавту, астроному и всем в повседневной жизни.

Цель исследовательской работы: научиться графически кодировать и декодировать данные с помощью системы координат.

Задачи исследовательской работы:

Познакомиться с историей системы координат.

Дать общее понятие о системе координат.

Научиться свободно ориентироваться на координатной плоскости и на географической карте.

Научиться «рисовать» в прямоугольной системе координат.

Мастер-класс для одноклассников.

Представить результаты исследования.

Объект исследования: координатная плоскость.

Предмет исследования: построение точек по заданным координатам и определение координаты точки на координатной плоскости.

Этапы исследовательской работы:

Подготовительный. Изучение литературы, составление плана действий учебного исследования.

Основной. Сбор информации, выполнение практической части исследовательской работы (построение рисунков на координатной плоскости.)

Заключительный. Систематизация полученной информации, составление презентации.

Глава 1

Теоретическая часть.

История возникновения системы координат.

Первоначальное применение координат связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, с составлением звездных и географических карт.

Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.

Рис. 1 Палетка с изображениями.

Прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-II веке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известных в то время кривых: параболу, гиперболу эллипс.

Заслуга в создании современного метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту.

До наших времён дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается, эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650) – того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, из-за ссор, связанных с отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.

Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат.

Что такое координатная плоскость.

Плоскость, с заданной прямоугольной системой координат, называется координатной плоскостью. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Начало координат обозначается буквой О, а координатные прямые обозначаются Ох, Оу и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами.

Рис.2 Координатная плоскость.

Оси координат.

Первая ось – абсцисс - горизонтальная. Она обозначается как – Ох. Вторая ось - ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как - Oy.

Эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти.

Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0. Только в случае если плоскость образована двумя пересекающимися перпендикулярно осями, имеющими точку отсчета, это координатная плоскость. Каждая из осей имеет свое направление. При построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. При построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.

Рис.3 Оси координат.

Четверти координатной плоскости.

Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки. Каждая из четвертей имеет свои особенности.

В первой четверти абсцисса и ордината положительная.

Во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината – положительная.

В третьей абсцисса и ордината отрицательные.

В четвертой положительной является абсцисса, а отрицательной - ордината.

Рис.4 Четверти координатной плоскости.

Координаты точки на плоскости

При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Координаты точки – это упорядоченная пара чисел, показывающая положение точки на плоскости. Задавая точку А (- 4, 5), в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая - по оси ординат. Строить заданную точку А следует таким образом. Сначала отметить на оси OX заданную точку (- 4), затем отметить точку на оси OY (5). Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения - это и будет заданная точка А (- 4, 5). Остается отметить ее и подписать.

Точка

Абсцисса

Ордината

Координаты

А

-4

5

А (-4;5)

Рис.5 Координаты точки на плоскости.

Глава 2

Практическая часть

2.1 Рисуем точками по их координатам.

Самый простой способ рисования на координатной плоскости – рисование по координатам точек. Из абстрактных точек можно получить знакомый рисунок: изображения не только отдельных точек, но и любые предметы, животных, растения, даже целые сюжеты. Принцип заключается в том, что в определенном порядке выдаются координаты точек. Первое число обозначает положение на Оси Ох, а второе на Оси Оу.

После проставления всех точек на координатной плоскости и соединения их линиями получится заданный рисунок. Точки перечислены в той последовательности в какой их нужно соединять.

По заданным координатам я нарисовал рисунки на координатной плоскости.

«Кораблик»

Точка

Абсцисса

Ордината

Координаты

1

4

-2

1 (4;-2)

2

6

-2

2 (6;-2)

3

4

-5

3 (4;-5)

4

-4

-5

4 (4;-5)

5

-6

-2

5 (-6;-2)

6

4

-2

6 (4;-2)

7

4

-1

7 (4;-1)

8

-4

-1

8 (-4;-1)

9

-4

-2

9 (-4;-2)

10

1

8

10 (1;8)

11

1

-1

11 (1;-1)

12

-4

0

12 (-4;0)

13

1

7

13 (1;7)

14

0

7

14 (0;7)

15

1

8

15 (1;8)

(4; -2), (6;-2), (4;-5), (-4;-5), (-6;-2), (4;-2), (4;-1), (-4;-1), (-4;-2).

(1;8), (1;-1), (-4;0), (1;7), (0;7), (1;8). Приложение [Лист 1].

«Вертолет»

(-5;3), (-3;3), (-4;5), (1;5), (-1;7), (-4;5), (-7;7), (-9;5), (-4;5), (-5;3), (-7;3), (-7;2),(-8;2), (-8;1), (-9;1), (-9;-1), (-4;-3), (1;-3), (3;0), (8;2), (8;3), (6;3), (7;4), (8;3), (9;3), (9;2), (8;3), (2;1), (1;2), (0;2), (-1;3), (-3;3). Приложение [Лист 2].

«Гитара»

(0;8), (3;8), (2;6), (2;1), (3;1), (4;0), (4;-2), (3;-3), (5;-5), (5;-8), (3;-9), (0;-9), (-2;- 8), (-2;-5), (0;-3), (-1;-2), (-1;0), (0;1), (1;1), (1;6), (0;8). Приложение [Лист 3].

«Цветок»

(1;-3), (0;-2), (0;0), (2;-3), (-1;-3), (0;-6), (3;-6), (4;-3), (2;-3), (4;0), (4;2), (2;-1), (2;-3), (2;2), (0;4), (-2;4), (-3;2), (-5;0), (-5;-1), (-3;0), (-1;-1), (-1;0), (-3;2). (-5;0),

(-3;-1), (-1;0). Приложение [Лист 4].

«Рыбка»

(-4;2), (-3;4), (2;4), (3;3), (5;2), (7;0), (5;-2), (3;-2), (2;-4), (0;-4), (-1;-2), (-5;0),

(-7;2), (-8;-1), (-7;1), (-8;3), (-7;4), (-5;2), (-2;2), (0;3), (3;3) и глаз (5;0). Приложение [Лист 5].

2.2 Нахождение координатных точек по изображению на плоскости.

С астрономической карты перенесены на координатную плоскость изображения созвездий Большой и Малой медведицы.

Я по рисункам записал координаты точек. Точки занес в таблицу последовательно, как показано на рисунке.

Рис. 6 Созвездие «Большая медведица».

Точка

Абсцисса

Ордината

Координаты

1

-7,5

0,5

1 (-7,5; 0,5)

2

-5

1,5

2 (-5; 1,5)

3

-1,5

1

3 (-1,5; 1)

4

0,5

-1

4 (0,5; -1)

5

2,5

-1

5 (2,5; -1)

6

3

1

6 (3; 1)

7

-1,5

1

7 (-1,5; 1)

Таблица 1. Координаты точек созвездия «Большая медведица»

Рис. 7 Созвездие «Малая медведица».

Точка

Абсцисса

Ордината

Координаты

1

6

6

1 (6; 6)

2

3

7

2 (3; 7)

3

0

7

3 (0; 7)

4

-3

5

4 (-3; 5)

5

-6

2

5 (-6; 2)

6

-8

5

6 (-8; 5)

7

-5

7

7 (-5; 7)

8

-3

5

8 (-3; 5)

Таблица 2. Координаты точек созвездия «Малая медведица».

Звезда, которой заканчивается ручка «ковша» созвездия Малой Медведицы одна из самых знаменитых звезд - Полярная звезда (6;6). Это одна из самых ярких звезд на небе, не меняющая своего положения. Она всегда указывает на север. И поэтому служит ориентиром для составления астрономических карт.

2.3. Прокладывание маршрута путешествия на географической карте.

Местоположение любого объекта на поверхности земли его «адрес», определяется географической широтой («адрес» по горизонтали) и географической долготой («адрес» по вертикали). Широта и долгота — это географические координаты точки земной поверхности. В своей работе я использовал специальную морскую карту. На ней легко находить координаты точек. Так как географическая широта и долгота образуют прямоугольную сеть.

2.3.1 Открытие морского пути на Восток.

В 1497 году, выйдя из Португалии, специальная экспедиция под руководством Васко да Гамы отправилась на поиски пути вокруг Африки в Индию. В результате плавания был открыт морской путь на Восток.

По заданным координатам я проложил маршрут экспедиции Васко да Гамы. И теперь имею представление, как экспедиция прошла морской путь на Восток.

1) (-1; 4)

2) (-2; 3)

3) (-3; 2)

4) (-2; 0)

5) (0; -1)

6) (1; -2,5)

7) (2; -4)

8) (3; -3)

9) (4;-1,5)

10) (4; 0)

11) (7,5; 1)

 

Рис. 8 Открытие морского пути на Восток.

2.3.2 Первое кругосветное путешествие.

Фернандо Магеллан в 1520 году отправился в первое кругосветное путешествие. Экспедиция, обойдя вокруг Земли, подтвердила ее шарообразность. Впервые европейцам было пройдено «Южное море», которое Магеллан назвал Тихим океаном.

По заданным координатам я так же проложил на специальной морской карте маршрут путешествия Фернандо Магеллана.

1) (-1; 4)

2) (-3; 3)

3) (-4; 1)

4) (-3; -1)

5) (-4; -3)

6) (-7; -6)

7) (-11; -4)

8) (-13; -1)

9) (15; 1)

10) (13; -1)

11) (9; -3)

12) (3; -4)

13) (1; -5)

14) (-1;- 3)

15) (-2;-1)

16) (-3; 1)

17) (-3; 3)

18) (-1;4)

Рис. 9 Первое кругосветное путешествие.

2.3.3 Открытие Антарктиды.

В июне 1819 г. два военных шлюпа — «Мирный» и «Восток» — выдвинулись из Кронштадта и отправились в долгое и опасное плавание. «Востоком» руководил капитан Фаддей Беллинсгаузен, а «Мирным» — Михаил Лазарев.

Главной целью российской экспедиции было подтвердить или опровергнуть гипотезу о шестом материке — Антарктиде.

Наиболее значимое событие произошло 28 января 1820-го года, в этот день наши мореплаватели открыли Антарктиду.

По карте маршрута экспедиции Беллинсгаузена и Лазарева, я нашел координаты точек на плоскости.

Рис. 10 Открытие Антарктиды.

1) (2; 6)

2) (-4; -2,3)

3) (-0,2; 2)

4) (15,2; -3)

5) (-4; -2,3)

6) (-1; 4,3)

7) (2; 6)

         

Таблица 3. Координаты точек экспедиции Беллинсгаузена и Лазарева.

751 день продолжалось плавание русских кораблей. Протяженность путешествия составила примерно 100 тысяч километров. На карту были нанесены 29 новых островов. Так было положено начало освоения и изучения Антарктиды.

В честь экспедиции Беллинсгаузена и Лазарева русские научные станции на Антарктиде носят названия «Восток» и «Мирный».

2.3.4 Мастер-класс для одноклассников.

Научившись рисовать рисунки и прокладывать пути мореплавателей на координатной плоскости, я предложил своим одноклассникам поучиться этому интересному и увлекательному делу.

Моей целью было показать, как по заданным координатам проложить морской путь на координатной плоскости. Я рассказал ребятам, что такое координатная плоскость, оси абсцисс и ординат, координаты точки. Затем выдал листы с картой полушарий, которая лежит на координатной плоскости, причём ось абсцисс проходит по экватору, а ось ординат – по нулевому меридиану, а также указаны точки с координатами. Приложение [Лист 6, 7].

Я предложил товарищам нанести на карту по указанным точкам путь экспедиции Васко да Гамы, который должен пройти из Португалии по Атлантическому океану вокруг Африки в Индию. Во время работы одноклассники задавали много вопросов, я помогал практически каждому. Те ребята, которые сразу поняли суть выполнения задания и быстро проложили путь первооткрывателя, тоже помогали другим. После продолжительной работы с моим заданием справились все. Некоторые ребята заинтересовались и попросили меня провести такое занятие ещё раз. Приложение [Лист 8, 9, 10, 11].

Я думаю, что в дальнейшем на уроках математики моим одноклассникам будет легче понять эту тему.

Заключение.

Я изучил координатную плоскость и связанные с ней понятия. Мне удалось определить возможность создания графического изображения на координатной плоскости, то есть создать рисунок по известным координатам, а также найти координаты с перенесенного с астрономической карты на координатную плоскость изображения созвездий Большой и Малой медведицы, проложить на координатной плоскости кругосветное путешествие Васко да Гамы, кругосветное путешествие Фернандо Магеллана и найти координаты точек на плоскости русской экспедиции Фаддея Беллинсгаузена и Михаила Лазарева к шестому материку планеты – Антарктиде.

Я узнал, что координатная плоскость используется не только в математике, а пронизывает всю практическую жизнь человека. Но самый доступный способ как искать точку на плоскости описан в отрывке книги «Нулик-мореход» В. Левшина. Приложение [Лист 12].

На мастер-классе мои одноклассники работали с увлечением, и я понял, что эта тема интересна не только мне.

В настоящее время координатный метод широко применяется в современных системах спутниковой навигации, позволяет определять координаты объекта.

Эта тема вызывает у меня большой интерес, и может стать темой новой исследовательской разработки в будущем.

Список литературы.

Глейзер Г. И. «История математики в школе»: - М.: Просвещение, 1981. – 239 с.

Левшин В.А. «Нулик-мореход»: - М.: Издательский дом Мещерякова, 2009.

Ляткер Я. А. «Декарт»: - М.: Мысль, 1975. – (Мыслители прошлого).

Матвиевская Г. П. «Рене Декарт»: - М.: Наука, 1976.

Ресурсы сети интернет.

Приложение

Лист 1

«Кораблик»

Лист 2

«Вертолет»

Лист 3

«Гитара»

Лист 4

«Цветок»

Лист 5

«Рыбка»

Лист 6

Лист 7

Лист 8

Лист 9

Лист 10

Лист 11

Лист 12

Отрывок из книги В. Левшина «Нулик – мореход»

Я спросил, как же всё–таки искать точку на плоскости?

Вместо ответа капитан вынул из кармана орешек и положил его на стол.

- Давайте определим координаты орешка, - сказал он.

-Для этого выберем сперва оси координат, то есть две прямые, от которых и будем отсчитывать расстояние до орешка.

Ну, мы стали выбирать прямые и выбирали бы до вечера, если бы капитан не сказал, что прямые должны быть взаимно перпендикулярные, а потому очень удобно принять за оси координат две взаимно перпендикулярные стороны стола.

Так мы и сделали, и капитан обозначил одну сторону, то есть ось, латинской буквой икс (x), а другую – тоже латинской буквой игрек (y) Угол стола, то есть точку, где оси x и y сходятся, он обозначил буквой О и сказал, что эта точка называется началом координат.

-Теперь проведём от орешка два перпендикуляра, - предложил он, - один перпендикуляр на ось x, другой – на ось y, и измерим расстояние от начала координат до оснований этих перпендикуляров.

Попросту, до тех точек, где перпендикуляры пересекаются с осями.

- В каких единицах будем измерять? – деловито спросил я.

- Да в каких угодно, - ответил капитан. - Хоть в километрах. Хотя километры для стола, пожалуй, длинноваты…

Решили вычислять в сантиметрах. Пи вынул из кармана рулетку, и мы увидели, что по оси x координата орешка равна шести сантиметрам, а по оси y – восьми.

-Вот вам и точные координаты орешка на столе, - сказал капитан, довольно потирая руки.

- Шесть и восемь. И запомните, что первое число всегда означает расстояние по оси x (между прочим, число это называется абсциссой точки), а второе расстояние - по оси y (его называют ординатой точки). Смотрите не меняйте эти числа местами, не то попадёте совсем по другому адресу. Понятно?

Просмотров работы: 1748