VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задача одна - методы решения разные
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Работа «Задача одна - методы решения разные» состоит из следующих разделов: введение, основная часть (решение одной задачи разными способами), практикум (применение рациональных способов решения задач в быту), заключение и выводы, список использованной литературы.
Применяемые методы исследования:
работа с научно - популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
экспериментальное решение задач;
решение, анализ.
Объект исследования: задачи на проценты, сплавы и смеси.
Предмет исследования: решение одной из задач несколькими способами.
Цель данного проекта: исследовать разные способы решения одной задачи и выбрать самый быстрый и рациональный.
В работе сформулирована гипотеза: существует множество способов решения одной и той же задачи.
Основные задачи исследования:
Найти разные способы решения одной и той же задачи;
сделать сравнительный анализ нескольких методов решения задачи;
предложить одноклассникам практикум по решению данной задачи;
применить полученные новые знания к решению задач в быту;
выявить самый рациональный способ решения задачи.
План исследования:
Решить задачу из категории "Проценты, сплавы и смеси" известным способом.
Предложить одноклассникам решить задачу любым способом.
Изучить другие способы решения данной задачи и рассказать их учащимся класса.
Выявить наиболее рациональный способ решения данной задачи.
Применить в быту разные способы решения задач на проценты, сплавы и смеси.
Актуальность исследования состоит в том, что многие девятиклассники, сдающие ОГЭ, не умеют решать задачи такого типа или тратят на их решение слишком много времени, а то и не решают вовсе. А ведь, если научиться решать такие задачи, то можно не только улучшить качество выполнения экзаменационной работы, но и применить свои знания в повседневной жизни.
В заключительной части работы подведены некоторые итоги. Выявлен самый рациональный способ решения задач при рассмотрении сразу нескольких способов. Он показан одноклассникам в качестве удобного решения задачи №22 из ОГЭ. Полученные знания применены на практике.
Введение
Среди задач, предлагающихся школьникам на ОГЭ и ЕГЭ, нередко попадаются такие, которые в школе на уроках математики не рассматриваются. Одним из типов таких задач являются задачи на растворы, смеси и сплавы, решение которых вызывают большие затруднения не только для успевающих учеников и отличников, но и большинства обучающихся. Будучи ученицей 9 класса, в ходе решения одного из вариантов пробного ОГЭ по математике, я столкнулась с этой проблемой при решении задачи №22, что толкнуло меня на поиск понятного и удобного решения подобных задач. Меня заинтересовала актуальность проблемы решения задач такого типа среди девятиклассников и я решила изучить более детально этот вопрос. Так возник проект «Задача одна – методы решения разные».
Свою работу над проектом я начала с решения вот такой задачи.
Задача: "Сплавили 2 кг цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в полученном сплаве."
Решение:
1) 2:100 = 0,02кг - один процент сплава в 2 кг
2) 0,02 *20 = 0,4кг - цинка в сплаве в 2 кг
3) 6:100 = 0,06кг - один процент сплава в 6 кг
4) 0,06*40 = 2,4кг - цинка в сплаве в 6 кг
5) 2+6 = 8кг - вес полученного сплава
6) 0,4+2,4 = 2,8кг цинка в полученном сплаве
7) 8-2,8 = 5,2кг - меди в полученном сплаве
8) 5,2:8 = 0,65
0,65 = 65% меди в полученном сплаве
Ответ: 65%
Этот способ решения данной задачи оказался долгим и неудобным, хотя мне и удалось получить правильный ответ.
Затем я решила предложить решить эту задачу своим одноклассникам. Мне захотелось выяснить, сколько человек и за какое время ее решат и решат ли вообще. Результаты эксперимента были таковы: из 30 человек задачу решили всего 5 ребят, первый из них через 5 минут, последний за 15 минут. Проанализировав полученные результаты, я увидела, что большинство девятиклассников не знают, как решить эту задачу, а остальные решали ее достаточно длительное время (данные эксперимента см. в таблице).
-
Количество учащихся, справившихся с задачей
Количество учащихся, не справившихся с задачей
Время, затраченное на решение задачи
5
25
5 минут -1й,
7 минут -2й,
8 минут – 3й,
13,5 минут – 4й
15 минут - 5 й
Всего учащихся в классе: 30
Выполнили верно: 5 чел. – около 17%
Основная часть
Продолжив решать задачи, я погрузилась в поиски других способов решения и вот какие из них мне удалось найти.
I способ. Уравнение.
Составим уравнение по меди: в куске в 2 кг 100-20=80% меди, т.е. 0.8, а масса меди в этом куске (0,8*2)кг. В куске в 6 кг 100-40=60% меди,т.е. 0.6, масса меди в этом куске (0,6*6) кг. Масса всего сплава 2+6=8 кг.
Пусть х - процентное содержание меди в сплаве.
Составим и решим уравнение:
0,8*2 + 0,6*6 = 8х
1,6 + 3,6 = 8х
8х = 5,2
х = 0,65
0,65 = 65%
Ответ: 65%
II способ. Квадрат Пирсона.
Карл Пи́рсон — английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, один из основоположников биометрики. Автор свыше 650 опубликованных научных работ. В русскоязычных источниках его иногда называют Чарлз Пирсон. Родился 27 марта 1857 г. в Уитбеке, графство Камберленд. После окончания гимназии в Хоуксхеде, Пирсон некоторое время работал школьным учителем в Хоуксхеде, после чего окончил школу в Линкольне. С юных лет увлёкся астрономией, самостоятельно сконструировал астрономические часы и модель Солнечной системы, которую использовал для публичных лекций. Пирсон в 1793 году поступил в Клэр-колледж Кембриджского университета, где из-за материальных трудностей получил статус sizar (студент, который получает определенную форму помощи, такие как питание, более низкие ставки сборов или жилье во время своего периода обучения), но, по-видимому, университет не окончил.
В 1817 году лорд-канцлер Элдон предоставил Пирсону должность пастора в Саут-Килворте, графство Лестершир.
С 1810 года У.Пирсон преподавал в частной школе для мальчиков в лондонском районе Ист-Шин, где создал астрономическую обсерваторию, в которой, в частности, измерил диаметры Солнца и Луны во время частного солнечного затмения 7 сентября 1820 года, с помощью одного из микрометров, изготовленных Д.Доллондом. Основание астрономического общества в Лондоне (позже — Королевского астрономического общества) во многом осуществилось благодаря усилиям У.Пирсона. Пирсон участвовал в разработке Устава и служил его казначеем в течение первых десяти лет существования общества. В 1819 году он был избран членом Королевского общества и получил степень Legum Doctor (почётного доктора права).
В 1821 году У. Пирсон оставил работу в школе в Ист-Шин и организовал постройку обсерватории в Саут-Килворте, графство Лестершир.
В обсерватории в Саут-Килворте Пирсон наблюдал покрытие Плеяд в июле и октябре 1821 года. В 1824 и 1829 он опубликовал 2-томный труд Введение в практическую астрономию (IntroductiontoPracticalAstronomy). В первом томе в основном содержатся таблицы редукции. Во втором томе представлены сложные описания и изображения различных астрономических инструментов (рисунки Дж. Фарея и гравюры Э.Террела) с инструкциями по их использованию. Пирсон получил золотую медаль Королевского астрономического общества 13 февраля 1829 за публикацию, которую сэр Джон Гершель называл «одной из самых важных и обширных работ по этому вопросу, который когда-либо был опубликован».
В 1830 году Пирсон был назначен в состав совета Королевской обсерватории в Гринвиче. В том же году при содействии деревенского математика Амвросия Кларка, Пирсон начал наблюдения и расчет покрытий 520 звезд. Он представил полученный каталог Королевскому астрономическому обществу 11 июня 1841 года.
Пирсон наблюдал комету Галлея 29 октября 1835 года, а в 1839 году он вывел значение величины наклонения эклиптики на основе собственных наблюдений.
У.Пирсон умер 6 сентября 1847 года в Саут-Килворте, в его честь установлена мемориальная табличка на местной церкви.
Как составить Квадрат Пирсона? Нужно записать массовые доли вещества в исходных растворах одну под другой (их обозначают ɷ1 и ɷ2). Справа от них записывают их массовую долю (ɷ3) в растворе, который нужно получить и вычитают по диагонали из большего числа меньшее. Еще правее записывают исходную массу каждого раствора (m1 - масса первого раствора, m2 - масса второго раствора).
Теперь по этому алгоритму записываем наше условие:
Пусть х % - концентрация конечного сплава, тогда
Концентрация Разности
концентраций Массы
исходных
сплавов
20% (40-х)% 2 кг
х %
40% (х-20)% 6 кг
Составим пропорцию:
(х - 20) х 2 = (40 – х) х 6
2х - 40 = 240 - 6х
8х = 280
х = 35
35% - массовая доля цинка в полученном сплаве
100-35= 65% меди в полученном сплаве
Ответ: 65%
III способ. «Рыба Магницкого».
Пусть х% - массовая доля цинка в полученном сплаве
Параметры конечного сплава Параметры исходных сплавов Доли исходных сплавов
в конечном сплаве
20%; 2 кг2 части
х
40%; 6 кг 6 частей
Составляем пропорцию:
Решение будет таким, как в предыдущем способе.
Ответ: 65%
IV способ. Формула.
K = (m/M) * 100%
K - Процентное содержание чистого вещества в сплаве, смеси, растворе
m - масса чистого вещества,M - Масса сплава, смеси, раствора
Пусть х - масса меди в первом сплаве, а у - масса меди во втором сплаве.
Подставим данные в формулу.
20% = х/2 * 100%
100х = 40
х = 0,4
0,4 кг - масса цинка в первом сплаве
40% = у/6 * 100%
100х = 240
х = 2,4
2,4 кг - масса цинка во втором сплаве.
1)2,4 + 0,4 = 2,8 (кг) - масса цинка в полученном сплаве.
2)8 - 2,8 = 5,2 (кг) - масса меди в полученном сплаве.
3)5,2/8 = 0,65
0,65 = 65% меди в полученном сплаве
Ответ: 65%
Практическая часть.
Иногда, в повседневной жизни нам нужны знания по решению задач на проценты, сплавы и смеси. Например, вы решили приготовить ужин, а в магазине продается только бутылочка массой 180г с 70%-ным раствором уксусной кислоты (эссенцией), который опасен для жизни. В пищу добавляют 9%-ный уксус. Сколько нужно добавить воды, чтобы получить 9%-ный уксус? Решим задачу методом "Квадрат Пирсона":
Пусть х г - количество воды, которое нужно добавить, тогда
70% (9-0)% 180 г
9%
0% (70-9)% х г
Составим и решим пропорцию:
(9-0)/(70-9) = 180/х
9/61 = 180/х
9х = 180*61
х = 1220
1220 г - количество воды, которое нужно добавить.
1220г = 1 кг 220 г.
Ответ: 1кг 220 г.
Может быть и другая ситуация. Для промывания желудка при отравлении используют перекись водорода 0,5%. В аптеках продается только пузырек 100мл с 3% концентрацией. Сколько нужно добавить вода для получения 0,5%-ной перекиси водорода?
Пусть х мл - количество воды, которое нужно добавить.
3% (0,5-0)% 100мл
0,5%
0% (3-0,5)% х мл
Составим и решим пропорцию:
(0,5-0)/(3-0,5) = 100/х
0,5/2,5 = 100/х
0,5х = 250
х = 500
500 мл - количество воды, которое нужно добавить.
Ответ: 500 мл
Заключение и выводы
Мой исследовательский проект поможет девятиклассникам решать
задачи на растворы, смеси и сплавы более понятным, рациональным,
интересным способом, а также будет полезен людям, сталкивающимся с
проблемой расчета процентов в повседневной жизни.
При написании данного проекта мне пришлось собрать множество новой для меня информации о решении всего одной задачи разными способами. Какой тип решения применять – выбор каждого, ведь для кого-то понятнее и проще одно решение, а для кого-то другое.
Для меня самым интересным, легким, быстрым и понятным оказался второй способ - Квадрат Пирсона. Но и другие решения были очень необычными и интересными. Выдвинутая мною гипотеза подтверждена.
Логическим завершением моей работы стал выпуск буклета (дидактических материалов) для школьников, в котором собраны несколько задач с ответами. Они помогут девятиклассникам потренироваться в решении подобных задач, тем самым лучше подготовиться к ОГЭ.
Список использованной литературы:
1) Е.Д. Куланин, В.П. Норин, с.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. 3000 конкурсных задач по математике. – 5-е изд., испр.- М.: Айрис-пресс, 2002
2) www. matematika – shkolnikam.ru/splav.
3)https://oge.sdamgia.ru/
4) http://pomnipro.ru/memorypage10319/biography
Приложение (дидактические материалы).
Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?
Морская вода содержит 8% (по весу) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?
Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60% меди?
В 2 литра 10- процентного раствора уксусной кислоты добавили 8 литров чистой воды. Определить процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.
К раствору, содержащему 39 г соли, добавили 1000 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. найти первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.
Имеется 200 г сплава, содержащего золото и серебро в отношении 2:3. Сколько граммов серебра надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 80% серебра?
Имеются 2 слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого. Процентное содержание меди в первом слитке - 10%, во втором – 40%. После сплавливания этих двух слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором – 30%. Определить массу полученного слитка.
Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 105 никеля, второй – 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25%?
Ответы к задачам. 1. 1,5 кг. 2. 18 кг. 3. 13,5 кг. 4. 2% 5. 13% 6. 200 г.
7.9 кг. 8. на 100 т.