Графики сложных функций

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Баринов М.А. 1

---

1Средняя общеобразовательная школа № 5 п. Карымское с пришкольным интернатом

Аксёненко Е.Н. 1

---

1школа №5

Работа в формате PDF

3.3 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

К написанию данной исследовательской работы подвиг интерес к построению графиков функций. Это один из интереснейших разделов в математике. Построение графиков функций дает возможность их прочитать, то есть определить различные характеристики по их графикам. Решение задач с помощью функций стало сегодня неотъемлемой частью нашей жизни, но не все задачи можно решить аналитическим, алгебраическим способом, большинство задач можно решить только графическим способом. Поэтому хотелось узнать, как будет вести себя график функции, если над ним осуществлять разные преобразования. В школьном курсе изучаются лишь элементарные функции и элементарные преобразования над ними. Встретив функцию, которую нельзя было отнести ни к одному из видов элементарных функций, возникла проблема построения графика подобных функций.

Появляется гипотеза: если знать и применять свойства элементарных функций, использовать операции над графиками функций, то можно составить алгоритмы построения графиков сложных функций.

Цель данной работы – выявление алгоритмов построения графиков сложных функций.

В ходе исследования необходимо выполнить следующие задачи: изучить основные методы построения элементарных функций и приемы их преобразования, выявить алгоритмы построения графиков сложных функций, опираясь на графики элементарных функций, и научиться их строить.

Для изучения данного вопроса было изучена литература, основными источниками для работы стали: Гурский И.П. «Графики сложных функций», статья Дворянинова С.В. «О построении графиков сложных функций» опубликованная в журнале «Математика в школе», Дорофеев Г.В. «Пособие по математике для поступающих в ВУЗы».

Объектом исследования является графики сложных функций, а предметом исследования – алгоритмы построения графиков сложных функций.

В ходе работы были использованы следующие методы: анализ, сравнение, моделирование, систематизация, чтение учебной, научно-популярной и справочной литературы по исследуемой теме, поиск информации в глобальных компьютерных сетях. Работа рассматривает лишь один из аспектов проблемы, исследование в этом направлении может быть продолжено, это могло бы быть изучение не только построения графиков сложных функций, но и подбор и систематизация различных задач, решаемых графическим способом с использованием алгоритмов, рассмотренных в этой работе. Результаты исследования могут быть полезны учащимся школ, которые увлекаются изучением математики, так же, для учителей при подготовке к урокам.

Основная часть

Глава №1. Построение графиков элементарных функций

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция, задаваемая формулой у = kx + m, где х – аргумент, у – функция, k и m – произвольные действительные числа, Графиком линейной функции является прямая.

Стандартный алгоритм построения прямой:

1) Найти две произвольные точки, принадлежащие функции, методом подстановки аргумента х в уравнение функции;

2) Провести прямую по найденным точкам.

Для такого метода обязательно нужна линейка. А что делать, если приходится рисовать график «от руки»?

Рассмотрим график функции y = kx. Можно заметить, что с каждым последующим увеличением аргумента х на 1 значение функции у изменяется на угловой коэффициент k, в данном случае: на 1; на 2; на -3:

y = x См.рис:1 y = 2x См.рис:2 y = -3x См.рис:3

Из этого можно сделать вывод, что скорость возрастания функции зависит от углового коэффициента k, и вывести последовательность: f(x) = f(x-1) + k. Проще говоря, для отыскания каждой следующей точки нужно увеличивать значение аргумента х на единицу, а значение функции у - на коэффициент k. Если мы имеем коэффициент k, который по модулю меньше единицы, то для отыскания точек с целыми значениями координат нужно подставлять в значение аргумента формулу х = 1/k*n (n– натуральное число, обозначающее порядковый номер точки с целыми значениями координат, принадлежащей графику, начиная от начала координат); то есть, при увеличении значения y на единицу аргумент x будет увеличиваться на 1/k: y = х См.рис:4 Преобразования графика линейной функции, не влияющие на закономерность роста функции. - [у = k(x+b)] - свободный член b влияет на перемещение графика функции у = kx на вектор (-b,0) вдоль оси абсцисс; y = (x+3) – 2 См.рис:5

- [у = kx+ m] - свободный член m влияет на перемещение графика функции у = kx на вектор (0; m) вдоль оси ординат. y = -0,5(x-1) + 5 См.рис:6

В итоге, алгоритм построения линейной функции сводится к следующему: 1) Найти произвольную точку, принадлежащую функции, методом подстановки аргумента х в уравнение функции (обычно проще всего подставить в функцию 0); 2) Пользуясь арифметической прогрессией, отыскать другие точки: - взять координаты известной нам точки; - к значению аргумента х прибавить/отнять единицу, а к значению у прибавить/отнять угловой коэффициент k. 3) Провести по этим точкам прямую.

Преобразования графика линейной функции вида у = k|x|+ m и у = |kx+m|

При попадании kх под модуль часть графика, находящаяся слева от оси Y, симметрично отражается по этой оси от части, находящейся справа: у = -2х + 2 См.рис:7 у = -2|х|+ 2 См.рис:8. Если же под модулем оказывается вся функция, то часть графика, находящаяся снизу от оси Х, отражается симметрично этой оси: у = 3х+2 См.рис:9 у = |3x+2| См.рис:10

2. Квадратичная функция.

Квадратичной функцией называется функция, представленная формулой y = ax² + bx + c (а ), где х – аргумент, у – функция, a, bи c – произвольные действительные числа, являющиеся коэффициентами квадратичной функции. График квадратичной функции – парабола. Стандартный алгоритм построения: 1) Выяснить направление ветвей параболы: если коэффициент a>0, то ветви направлены вверх, а если a<0 – вниз; 2) Определить координаты вершины параболы. Чтобы определить абсциссу вершины параболы пользуются формулой , для отыскания ординаты вершины нужно подставить найденный х в уравнение функции;

3) Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Y;

4) Найти точки пересечения с осями координат, если они есть;

5) Найти координаты произвольной точки A(x;y), которая принадлежит параболе. Затем найти координаты точки А₁(-х;у), пользуясь свойством параболы – её чётностью ();

6) Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график. Такой способ полезен для случаев, когда нужно найти координаты точек при пересечении с осями Х и Y. Но нередко возникают случаи, когда графическим методом нужно найти пересечение нескольких функций.

Рассмотрим простейший вариант квадратичной функции y = x²: См.рис:11 y = x²На рисунке хорошо видно, что значение функции увеличивается в определенной закономерности: разность между двумя значениями y по целым значениям аргумента х постоянно возрастает на 2. На основании этого можно выразить следующую арифметическую последовательность: f(x)= f(x-1)+ (2n-1), где n – натуральное число, обозначающее расстояние до вершины параболы по оси абсцисс.То есть, для отыскания следующей точки нужно прибавлять к х единицу, а к у – 1; 3; 5; 7 и т.д.

Рассмотрим варианты функции y = ax²: См.рис:12 y = -2x² См.рис:13 y = 0,5x² В данных случаях разность между значениями y зависит от старшего коэффициента а, поэтому разность прогрессии нужно дополнить таким образом: f(x)= f(x-1)+ a(2n-1).

Преобразования графика квадратичной функции, не влияющие на закономерность роста функции : - [y = ax² + bx] - от второго коэффициента b зависит точка нахождения вершины параболы; См.рис:14 y = x² + 2x + 3. - [y = ax² + bx + с] - свободный член с влияет на перемещение графика функции у = ax² на вектор (0; с) вдоль оси ординат. См.рис:15 y = -2x² + 4х + 5 См.рис:16 у = 3x² + 6x + 2. Суммируя вышесказанное, алгоритм построения функции сводится к следующему: 1) Определить координаты вершины параболы. Чтобы определить абсциссу вершины параболы пользуются формулой , для отыскания ординаты вершины нужно подставить найденный х в уравнение функции; 2) Пользуясь арифметической прогрессией, отыскать точки, принадлежащие параболе, то есть:

прибавить к аргументу xпредыдущей точки A(x; y) единицу, а к значению y– разность прогрессии a(2n-1) и получить точку

B( x+1; y+a(2n-1) );

найти точку В₁ (-(х+1); y+a(2n-1)), используя свойство – чётность параболы;

3) Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график. Преобразования графика квадратичной функции вида y = аx² -|bx |+ c и y = |аx² - bx + c|. Если bx находится под модулем, то часть графика, находящаяся слева от оси Y, симметрично отражается относительно этой оси от части, находящейся справа:

См.рис:17 y = x² - 4x + 2 См.рис:18 y = x² -|4x |+ 2

Если под модулем находится вся функция, то часть графика, находящаяся снизу от оси Х, отражается симметрично этой оси : См.рис:19 у = -2x² - 8x + 2 См.рис:20 y = |-2x² - 8x + 2|

3. Функция квадратного корня.

Функция называется графиком функции квадратного корня, где х – аргумент, у – функция, а и с – произвольные действительные числа. Графиком такой функции является ветвь параболы, «лежащая» на оси Х.

Стандартный алгоритм построения:

Найти вершину графика функции:

2) Методом подбора отыскать точки, принадлежащие графику;

3) Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки до конца координатной плоскости.

Однако, такой метод не всегда удобен в работе с различными преобразованиями функции квадратного корня – для отыскания целых значений координат методом подбора может уйти много времени. Рассмотрим функцию вида у = a√х: См.рис:21 у = См.рис:22 у = -2 . По рисункам 21 и 22 видно, что закономерность роста функции аналогична квадратичной функции, однако в данном случае закономерно возрастает (убывает) не значение функции, а её аргумент х, поэтому закономерность изменения х можно выразить последовательностью х_n = x_n-1 + (2n - 1), где n– натуральное число, обозначающее порядковый номер точки с целыми значениями координат, принадлежащей графику, начиная от первой точки с целыми значениями координат от вершины графика. Значение функции у в данном случае зависит от коэффициента а и выражается последовательностью y_n = y_n-1 + a. Рассмотрим функцию вида у = a√kх, где k – коэффициент, произвольное действительное число: См.рис:23 y = См.рис:24 y = 2 . По рисункам 23 и 24 можно заметить, что коэффициент k влияет как на значение аргумента x, так и на значение функции y, поэтому его нужно включить в обе выведенные закономерности: y_n = y_n-1 + a*k; х_n = x_n-1 + k(2n - 1).

Для нахождения точек, принадлежащих функции, с целыми значениями нужно каждое последующее значение функции у нужно увеличивать на а*k, а значение аргумента х – на k(2n - 1).

2) Преобразования графика функции, не влияющие на закономерность роста функции: - [у = а√(x + b)] – коэффициент b влияет на перемещение графика функции у = а√x на вектор (-b,0) вдоль оси абсцисс; См.рис:25 ; - [у = a√х + с] - Коэффициент с не влияет на закономерность роста функции, так как влияет на смещение графика функции у = a√х на вектор (0; с) вдоль оси ординат. См.рис:26 y = 0,5√x – 2. Учитывая всё выше сказанное, новый алгоритм построения функции будет выглядеть таким образом:

1) Найти вершину графика функции: - значение функции находится по формуле у = с; - значение аргумента находится подстановкой найденного значения функции в уравнение функции. 2) Отыскать точки, имеющие целые значения координат и принадлежащие графику, по следующим последовательностям: х_n = x_n-1 + k(2n - 1); y_n = y_n-1 + a*k. То есть, для отыскания следующей точки, принадлежащей графику, нужно к значению у прибавить a*k, а к значению х - k(2n - 1); 3) Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки до конца координатной плоскости.

Преобразования графика функции квадратного корня вида y = а√|x| + с и у =|а√x + с|. Если подкоренное выражение находится под модулем, то график функции симметрично отражается относительно оси, параллельной оси Y и проходящей через вершину графика функции квадратного корня: Если вся функция находится под модулем, то часть графика, находящаяся ниже оси абсцисс, симметрично отображается относительно этой оси:

4. Функция обратной пропорциональности Функцию, которую можно задать формулой вида называют обратной пропорциональностью. Две кривые (ветви), симметричные друг другу относительно начала координат являются графиком функции и в совокупности называются гиперболой. Алгоритм построения:

1) Установить расположение графика в четвертях координат : Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, если k<0 – во II и IV четвертях.

2) Построить ветвь графика на промежутке (0, +∞) методом подстановки значений;

3) Соединить полученные точки плавной линией и продолжить график за пределы координатной плоскости; 4) Симметрично отразить ветвь графика относительно начала координат. Рассмотрим варианты функции вида : См. рис:30 По рисункам можно заметить, что коэффициент k влияет на отдаленность ветвей от начала координат.

2) Преобразования графика функции, не влияющие на закономерность роста функции: - [ + с] - Коэффициент с не влияет на закономерность роста функции, так как влияет на смещение графика функции на вектор (0; с) вдоль оси ординат:

(О – точка симметрии двух ветвей, которая также смещается на вектор (0; с) вдоль оси ординат.) ; - [ ] – где b – свободный член, который влияет на перемещение графика функции на вектор (-b; 0) вдоль оси абсцисс: (О – точка симметрии двух ветвей, которая также смещается на вектор (-b;с).)

Преобразования графика гиперболы вида y = и y = | | Если х находится под знаком модуля, то ветвь гиперболы, находящаяся в III или IV четверти, симметрично переносится относительно оси абсцисс или прямой, параллельной ей, в I или II четверть соответственно:

Если вся функция находится под знаком модуля, то часть графика, находящаяся ниже оси абсцисс, симметрично отображается относительно неё:

Вывод: в этой главе мы изучилиразновидности элементарных функций, их графики и преобразования над ними.Составлены авторские алгоритмы построения функций. Подводя итоги вышесказанному необходимо отметить следующее, что для того чтобы выполнить преобразование над элементарными функциями нужно знать некоторые правила.

Глава №2 Построение графиков сложных функций.Посмотрим схему построения графиков сложных функции вида y=f(v(x)) без использования производной. Пусть нам нужно построить график y=f(v(x)). Обязательно на бумаге или мысленно нужно построить оба графика: график внутренней функции у = v(x) и график внешней функции у = f(v). Если удобно строить график внешней функции по контрольным точкам, то лучше, для большой наглядности, построив график внутренней точки, разметить ось ординат контрольными значениями аргумента для внешней функции, а затем построить прямо по графику, в каких точках внутренняя Алгоритм для построения графиков сложной функции y=f(v(x)) :

Начертить графики внутренней и внешней функций.

Определить промежутки монотонности внутренней функции y=v(x) .

На каждом промежутке определить границы изменения v=v(x) и выбрать те значения, которые попадают в область определения функции y=f(v).

По графику конечной у = f(v) найти характер изменения функции у.

В системе координат хОу начертить график у = у(х).

Такая работа позволяет по графику следить за изменением функции при изменении аргумента и, наоборот, по заданному изменению функции строить ее график.

Также мы вывели алгоритм построения общей точки для композиции функций.

Берём точку на оси Ох с абсциссой х1;

Находим ординату v(x1);

Переносим её на прямую y=x и делаем абсциссой;

Находим ординату f(v(x1));

Переносим её на прямую x=x1.

Для построения графиков функций, мы опирались на следующую теорему:

Пусть функция v(x) определена и монотонна на промежутке I1, её областью значений является промежуток I2, а функция. Тогда суперпозиция h(x)=f(v(x)) определена и монотонна на промежутке I1, причём, если обе функции возрастают или обе функции убывают, то h(x) возрастает, а если одна из функций возрастает, а другая убывает, то h(x) убывает.¹

Далее рассмотрим пример:

1.Построить график функции у =

Решение. Построим графики внутренней и внешней функций. Функция v(x)=x²²+1 определена и возрастает на промежутке I1=[0; +∞), а её областью значений является промежуток I2=[1; +∞). Функция f(x)=1/х определена на промежутке I2 и убывает. Следовательно, h(x)=убывает на промежутке [0; +∞). Аналогично, v(x) определена и убывает на промежутке (-∞,0 ], а её областью значений при х (-∞,0 ] также является промежуток =[1; +∞). Функция h(x)= возрастает на промежутке (-∞,0 ]. Таким образом, функция , h(x)=возрастает на промежутке (-∞,0 ], убывает на промежутке [0; +∞) и имеет точку максимума х=0. См рис: 39(а,б,в.)

2.Построить график функции:

Построим графики внутренней и внешней функций. Область определения (-∞, +∞), Область значений (-1, +∞). Если х возрастает (2, +∞), у (-1,+∞), убывает (- ∞,2), у (+∞,-1). Изобразим график функции у = у(х). См рис:40(аб) 3.Построить график функции:

Построим графики внутренней и внешней функций. Область определения (-∞,+∞), Область значений (-∞,+∞). Если х возрастает (-6,-2), у (-∞,16), убывает (-2,2), у (16,-∞). Изобразим график функции у = у(х). См рис: 41(аб)

4.Построить график функции:

Построим графики внутренней и внешней функций. Область определения (1, 5), область значений (0,+∞). На каждом промежутке является убывающей, по х (-∞,+∞)., по у (+∞,-∞). Изобразим график функции у = у(х). См рис: 42(аб)

Сложение, разность, произведение и частное функций. ²

Над функциями, как и над числами, можно производить арифметические действия, т.е. определять сумму (разность). График функции y=f(x)+-g(x) можно получить, используя правила сложения (вычитания) графиков функции y=f(x) и y=g(x). Особенно эффективным этот метод бывает в том случае, когда f(x) и g(x) являются элементарными функциями. Заметим, что осуществлять арифметические действия можно над функциями, имеющими общую область определения или общую часть областей определения. При этом частное двух функций определено, если знаменатель отличен от нуля. Суммой двух функций f(x) и g(x) называется функция h(x) с областью определения, являющейся общей частью областей определения f(x) и g(x), при этом значения функции h(x) равны f(x)+g(x). Ординаты графика суммы функций получаются путём сложения ординат графиков складываемых функций для каждого значения аргумента (для каждой абсциссы) из областей определения суммы. Другими словами, чтобы построить график функции h(x)=f(x)+g(x). Нужно построить график функции y=f(x) и y=g(x) в одной и той же системе координат, а затем в каждой точке к отрезку, изображающему ординату первого графика, пристроить отрезок, изображающий ординату второго графика, при этом второй отрезок откладывать вверх, если g=(x)>0, и вниз, если g(x)<0. Аналогично определяется разность, произведение двух функций и строится её график. При построении графика частного двух функций сначала строим график y=1/g(x) ( разделить единицу на ординаты графика функции g(x)). Строим график произведения f(x)*1/g(x).При построении графика разности можно поступить иначе: построить график функции y=f(x) и y=g(x), затем график функции y=g(x) отобразить симметрично относительно оси Ох, тем самым получится график функции y=-g(x), и, наконец, складываются графики функций y=f(x) и y=g(x). Обобщив информацию, мы вывели общий алгоритм построения функций

1.Находим общую область определения. 2.Слаживаем или вычитаем (если это разность), умножаем или делим ординаты первой и второй функции по соответствующим абсциссам. 3.Отмечаем полученные точки на графике.

4.Соединяем эти точки.

5.Получаем искомую функцию.

Заключение

В процессе написания работы был приобретен ценный опыт. Думаю, что полученные знания позволят избежать ошибок в заданиях на построение различных функций. Результаты исследования заставили задуматься о продолжении данной работы. Больше всего сложностей вызвало создание алгоритма построения функций. Исследование в корне изменило мое представление о видах функций и их преобразованиях.

В перспективе было бы интересно изучить тригонометрические, логарифмическую, показательную функции, а так же сложные функции, полученные различными преобразованиями с ними и узнать, как строить графики этих функций. Также подобрать и систематизировать различные задачи, решаемых графическим способом с использованием алгоритмов, рассмотренных в этой работе.

Список использованной литературы:

Данкова И.Н. Элективный курс по математике: учебное пособие/ И.Н. Данкова, Т.Е. Бондаренко, Л.Л. Емелина — М: 5 за знания, 2006. — 128 с.

Гурский И.П. Графики сложных функций: пособие для учителей/ И.П Гурский. — М: Просвещение, 1968г - 215с.

Дворянинов С. В. О построении графиков сложных функций на основе свойства монотонности/ С. В. Дворянинов// Математика в школе. - 2009. - № 05. – с. 32.

Дорофеев Г.В. Для чего нам нужны графики функций/ Г.В. Дорофеев// Математика в школе. – 2007. - № 07. - с. 50.

Дорофеев Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы: учебное пособие / Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов - М: Дрофа , 2007. - 666с

Приложение

Рис 39 а б в

Рис 40 а б рис41 а

Рис 41 б Рис 42 а б

Рис 43 а б в

Рис 44 а б в

рис 45 а б в

Рис 46 а б в

Рис 47 а б в

рис 48 а б в

рис 49 а б в

Рис 50 а б в

Рис 51 а б в

Рис 52 а б в

Рис 53 а б в

Рис 54 а б в

Рис 55а б в

Рис56 а б в