VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Теория игр. Моделирование выигрышных стратегий
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность выбранной темы предопределена широтой сфер ее применения. Теория игр играет центральную роль в теории отраслевой организации, теории контрактов, теории корпоративных финансов и многих других областях. Область применения теории игр включает не только экономические дисциплины, но и биологию, политологию, военное дело и др.
Целью данного проекта является разработка исследования существующих типов игр, а также возможность их практического применения в различных отраслях.
Задачи проекта предопределила его задачи:
- ознакомиться с историей зарождения теории игр;
- определить понятие и сущность теории игр;
-дать характеристику основным типам игр;
- рассмотреть возможные сферы применения данной теории на практике.
- создание собственной компьютерной игры
Объектом проекта выступила теория игр.
Предмет исследования – сущность и применение теории игр на практике.
Теоретической основой написания работы явилась экономическая литература таких авторов, как Дж. фон Нейман, Оуэн Г., Васин А.А., Морозов В.В., Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.
1. Введение в теорию игр
1.1. История
Игра, как особая форма отображения деятельности, возникла необычайно давно. Археологические раскопки обнаруживают предметы, служившие для игры. Наскальные рисунки показывают нам первые признаки межплеменных тактических игр. Со временем, игра совершенствовалась, и достигла привычной формы конфликта нескольких сторон. Родственные связи игры с практической деятельностью становились менее заметными, игра превращалась в особую деятельность общества.
Если история шахмат или карточных игр насчитывает несколько тысячелетий, то первые наброски теории появились, лишь три столетия назад в работах Бернулли. Сначала работы Пуанкаре и Бореля частично давали нам сведения о природе теории игр, и лишь фундаментальный труд Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна представил нам всю целостность и многогранность данного раздела науки.
Принято считать монографию Дж. Неймана и О. Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение”, моментом рождения теории игр. После её публикации в 1944 г., многие ученые предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эта теория описывала рациональное поведение принятия решений во взаимосвязанных ситуациях, помогая решать многие актуальные проблемы в разных научных областях. Монография подчеркивала, что стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются главными элементами в теории игр и непосредственно связаны с задачами управления.
Начальные работы по теории игр отличались простотой предположений, что делало их менее пригодными для практического использования. За последние 10 – 15 лет положение резко изменилось. Прогресс в промышленности показал плодотворность методов игр в прикладной деятельности.
В последнее время эти методы проникли и в практику управления. Следует отметить, что уже в конце 20 века М. Портер ввел в обиход некоторые понятия теории, такие, как “стратегический ход” и “игрок”, которые впоследствии стали одними из ключевых.
В настоящее время значение теории игр значительно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения разных задач общехозяйственного значения, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок структур управления и систем стимулирования.
В 1958-1959 гг. к 1965-1966 гг. была создана советская школа в теории игр, для которой была характерно скопление усилий в области антагонистических игр и строго военных приложений. Изначально это стало причиной отставания от американской школы, так как в то время основные открытия в антагонистических играх уже были сделаны. В СССР математиков до середины 1970-х гг. не допускали в область управления и экономики. И даже тогда, когда советская экономическая система начала рушиться, экономика не стала главным направлением для теоретико-игровых исследований. Профильный институт, занимавшийся и сейчас занимающийся теорией игр - Институт системного анализа РАН.
1.2.Определение теории игр
Теорией игр называют математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за осуществление своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от своего поведения и поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать наиболее выгодные стратегии с учётом соображений о других участниках, их ресурсах и их предполагаемых действиях.
Эта теория представляет собой раздел математики, изучающий конфликтные ситуации.
Как поделить пирог, чтобы все члены семьи признали это справедливым? Как разрешить спор о зарплате между спортивным клубом и профсоюзом игроков? Как предотвратить ценовые войны при проведении аукционов? Это всего лишь три примера задач, которыми занимается одно из главных направлений экономической науки — теория игр
Данный раздел науки анализирует конфликты, используя математические методы. Теория получила своё название, так как простейшим примером конфликта является игра (например, шахматы или крестики-нолики). Как в игре, так и в конфликте каждый игрок имеет свои цели и пытается их достигнуть, принимая разные стратегические решения.
1.3. Виды конфликтных ситуаций.
Игра – математическая модель описания конфликта.
Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий.
И наконец, примерами игр являются обычные игры: салонные, спортивные, карточные и др. Математическая теория игр начиналась именно с анализа подобных игр; они и по сей день служат прекрасным материалом для изображения утверждений и выводов этой теории. Эти игры актуальны и на сегодняшний день.
Итак, каждая математическая модель социально-экономического явления, должна иметь присущие ему черты конфликта, т.е. описывать:
а) множество заинтересованных сторон. В случае, если число игроков ограниченно (конечно), они различаются по своим номерам или по присваиваемым им именам;
б) возможные действия каждой из сторон, именуемые также стратегиями или ходами;
в) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.
В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выиграша и стратегии всех остальных игроков, и в соответствии с этой информацией формирует свое поведение.
Одна из характерных черт всякого общественного, социально - экономического явления состоит в количестве и разнообразии интересов, а также наличии сторон, которые способны выразить эти интересы. Классическими примерами здесь являются ситуации, где, с одной стороны, имеется один покупатель, с другой - продавец, когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара. Более сложные ситуации возникают, когда имеются объединения или группы лиц, участвующих в столкновении интересов, например, в том случае, когда ставки заработной платы определяются союзами или объединениями рабочих и предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте и т.п.
Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, разработчик экономической политики обычно преследует разные цели, согласуя противоречивые требования, предъявляемые к ситуации (рост объемов производства, повышение доходов, снижение экологической нагрузки и т.п.). Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников, но и как результат действия тех или иных "стихийных сил" (случай так называемых "игр с природой")
2. Виды игр.
2.1. Дилемма заключенного
Одним из самых известных и классических примеров теории игр, который способствовал её популяризации, - дилемма заключенного. В теории игр дилемма заключённого (реже употребляется название «дилемма бандита») — некооперативная игра, в которой игроки стремятся получить выгоду, при этом они либо сотрудничают, либо предают друг друга. Как во всей теории игр, предполагается, что игрок максимизирует, т.е увеличивает свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.
Рассмотрим такую ситуацию. Двое подозреваемых находятся под следствием. У следствия недостаточно улик, поэтому разделив подозреваемых, каждому из них предложили сделку. Если один из них будет по-прежнему молчать, а другой свидетельствовать против него, то первый получит 10 лет, а второго отпустят за содействие следствию. Если они оба будут молчать, то получат по 6 месяцев. Наконец, если они оба заложат друг друга, то они получат по 2 года. Вопрос: какой выбор они сделают?
Таблица 1 – Матрица выигрышей в игре «Дилемма заключенного»
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, что эти двое - рациональные люди, которые хотят минимизировать свои потери. Тогда первый может рассуждать так: если второй меня заложит, то мне лучше тоже его заложить: так мы получим по 2 года, а иначе я получу 10 лет. Но если второй меня не будет закладывать, то мне всё равно лучше его заложить - тогда меня отпустят сразу. Поэтому не зависимо от того, что будет делать другой, мне выгоднее его заложить. Второй также понимает, что в любом случае ему лучше заложить первого. В результате оба из них получают по два года. Хотя если бы они не свидетельствовали друг против друга, то получили бы только по 6 месяцев.
В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудничеством, поэтому единственное возможное равновесие — предательство обоих участников. Проще говоря, неважно, что сделает другой игрок, каждый выиграет больше, если предаст. Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все рациональные игроки выберут предательство.
Ведя себя по отдельности рационально, вместе участники приходят к нерациональному решению. В этом и заключается дилемма.
Конфликты, подобные этой дилемме, часто встречаются в жизни, например, в экономике (определение бюджета на рекламу), политике (гонка вооружений), спорте (использование стероидов). Поэтому дилемма заключенного и грустное предсказание теории игр получили широкую известность, а работа в области теории игр - единственная возможность для математика получить Нобелевскую премию.
2.2. Классификация игр.
Классификацию различных игр проводят, основываясь на некотором принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.
Различают игры с двумя, тремя и более участниками - в зависимости от количества игроков. В принципе возможны также игры с бесконечным числом игроков.
Согласно другому принципу классификации различают игры по количеству стратегий - конечные и бесконечные. В конечных играх участники имеют конечное число возможных стратегий (например, в игре в орлянку игроки имеют по два возможных хода - они могут выбрать "орел" или "решку"). Сами стратегии в конечных играх зачастую называются чистыми стратегиями. Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий - так, в ситуации Продавец-Покупатель каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара.
Третьим по счету является способ классификации игр - по свойствам функций выигрыша (платежных функций). Важным случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо виден прямой конфликт между игроками. Такие игры называют играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми. Игры в орлянку или в очко - типичные примеры антагонистических игр. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, а которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Между этими крайними случаями имеется множество игр с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.
В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Кооперативной – называется игра, в которой до её начала игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Некооперативной – называется такая игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участников голосования.
2.3. Типы игр.
Симметричные и несимметричные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут иметь одинаковые платежи, то есть будут равны. Т.е. если выигрыши за одни и те же ходы не изменятся, при том, что игроки поменяются местами. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».
В примере справа игра, на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так — ведь выигрыш второго игрока при любой из стратегий (1, 1) и (2, 2) будет больше, чем у первого.
С нулевой суммой и с ненулевой суммой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Игры с нулевой суммой — особый вид игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо — числа означают платежи игрокам — и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.
Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме — это делается введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» избыток или восполняет недостаток средств.
Также игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где каждый участник извлекает выгоду. К этому виду относятся такие игры, как шашки и шахматы; в двух последних игрок может превратить свою рядовую фигуру в более сильную, получив преимущество. Во всех этих случаях сумма игры увеличивается.
Кооперативные и некооперативные
Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.
Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. Но это не всегда верно, так как существуют игры, где коммуникация разрешена, но участники преследуют личные цели, и наоборот.
Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом.
Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр.
Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.
Параллельные и последовательные
В параллельных играх игроки ходят одновременно, или они не информированы о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предыдущих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.
С полной или неполной информацией
Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация недоступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр — с неполной информацией. Например, вся суть «Дилеммы заключённого» заключается в ее неполноте.
В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: шахматы, шашки и другие.
Зачастую понятие полной информации путают со сходным понятием — совершенной информации. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.
Игры с бесконечным числом шагов
Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов…
Здесь вопрос обычно состоит в том, чтобы найти не оптимальное решение, а хотя бы выигрышную стратегию. (Используя аксиому выбора можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами — «выиграл» или «проиграл» — ни один из игроков не имеет такой стратегии.)
Дискретные и непрерывные игры
В большинстве изучаемых игр число игроков, ходов, исходов и событий конечно, т.е. они - дискретны. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных (материальных) чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они всегда связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно — шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры находят своё применение в технике и технологиях, физике.
3. Применение теории игр.
Теория игр — это раздел прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение этот раздел математики имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.
Нейман и Моргенштерн написали оригинальную книгу, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Далее главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам. В наше время ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.
Двумя основными областями применения являются военное дело и экономика. Теоретико-игровые разработки применяются при проектировании автоматических систем управления для ракетного/противоракетного оружия, выборе форм аукционов по продаже радиочастот, прикладном моделировании закономерностей денежного обращения в интересах центральных банков, и т.п. Международные отношения и стратегическая безопасность обязаны теории игр (и теории принятия решений) в первую очередь концепцией гарантированного взаимного уничтожения. Это заслуга плеяды блестящих умов (в том числе связанных с RAND Corporation в Санта Монике, Калиф.), дух которой до высших руководящих постов дошел в лице Роберта Макнамары. Следует, правда, признать, что сам Макнамара теорией игр не злоупотреблял.
3.1.Применение в прочих областях.
В биологии
Очень важное направление — это попытки применить теорию игр в биологии и понять, как сама эволюция строит оптимальные стратегии. Здесь, в сущности, тот же метод, который помогает нам объяснить человеческое поведение. Ведь теория игр не говорит, что люди всегда действуют осознанно, стратегически, рационально. Скорее речь идет об эволюции определенных правил, которые дают более полезный результат, если их придерживаться. То есть люди зачастую не просчитывают свою стратегию, она постепенно формируется сама по мере накопления опыта. Эта идея воспринята теперь и в биологии.
В компьютерных технологиях
Еще больше востребованы исследования в сфере компьютерных технологий, например анализ аукционов, которые проводятся компьютерами в автоматическом режиме. Кроме того, теория игр сегодня позволяет еще раз задуматься над тем, как работают компьютеры, каким образом строится кооперация между ними. Скажем, серверы в сети можно рассматривать как игроков, которые пытаются скоординировать свои действия.
В играх (шахматы)
Шахматы — это предельный случай теории игр, поскольку все, что вы делаете, направлено исключительно на вашу победу и вам не нужно заботиться о том, как на это отреагирует партнер. Достаточно убедиться, что он не сможет отреагировать эффективно. То есть это игра с нулевой суммой. И конечно, в других играх культура может иметь определенное значение.
Примеры из другой области
Теория игр используется при поиске подходящей пары донора и реципиента почки. Один человек хочет отдать почку другому, но оказывается, что их группы крови несовместимы. И что следует сделать в этом случае? Прежде всего – расширить список доноров и реципиентов, а потом применить методы подбора, которые дает теория игр. Это очень похоже на брак по расчету. Вернее, на брак это совсем не похоже, но математическая модель этих ситуаций одинакова, применяются те же методы и расчеты. Сейчас на идеях таких теоретиков, как Дэвид Гейл, Ллойд Шапли и другие, выросла настоящая индустрия – практические применения теории в кооперативных играх.
3.2.Почему теорию игр не применяют еще шире.
И в политике, и в экономике, и в военном деле специалисты-практики натолкнулись на принципиальные ограничения фундамента современной теории игр – Нэшевской рациональности.
Во-первых, человек не настолько совершенен, чтобы все время мыслить стратегически. Для преодоления этого ограничения теоретики начали исследовать эволюционные формулировки равновесия, для которых свойственны более слабые допущения по уровню рациональности.
В-вторых, исходные предпосылки теории игр по информированности игроков о структуре игры и платежах в реальной жизни соблюдаются не так часто, как хотелось бы. Теория игр весьма болезненно реагирует на малейшие (с точки зрения обывателя) изменения в правилах игры резкими сдвигами в предсказываемых равновесиях.
Как следствие этих проблем, современная теория игр находится в "плодотворном тупике". Лебедь, рак и щука предлагаемых решений тянут теорию игр в разные стороны. По каждому направлению пишутся десятки работ... однако "воз и ныне там".
4.Примеры задач.
Определения, необходимые для решения задач
1. Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.
2. Игра - это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремиться к достижению собственных целей.
3. Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.
4. Количественная оценка результатов игры называется платежом.
5. Игра называется парной, если в ней участвуют только две стороны (два лица).
6. Парная игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма платежей равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.
7. Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.
8. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный выигрыш (или, что то же самое, минимально возможный средний проигрыш).
Пусть имеются два игрока, один из которых может выбрать i-ю стратегию из m возможных стратегий (i=1,m), а второй, не зная выбора первого, выбирает j-ю стратегию из n возможных стратегий (j=1,n) В результате первый игрок выигрывает величину aij, а второй проигрывает эту величину.
Из чисел aij составим матрицу
Строки матрицы A соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы - стратегиям второго. Эти стратегии называются чистыми.
9. Матрица A называется платежной (или матрицей игры).
10. Игру, определяемую матрицей A, имеющей m строк и n столбцов, называют конечной игрой размерности m x n.
11. Число называется нижней ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) - максиминной.
12. Число называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая ему стратегия (столбец) - минимаксной.
13. Если α=β=v, то число v называется ценой игры.
14. Игра, для которой α=β, называется игрой с седловой точкой.
Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегией, которые являются оптимальными.
Если игра, заданная матрицей, не имеет седловой точки, то для нахождения ее решения используют смешанные стратегии.
4.1.Задачи
1.Орлянка. Это игра с нулевой суммой. Принцип состоит в том, что, когда игроки выбирают одинаковые стратегии, то первый выигрывает один рубль, а когда разные – проигрывает один рубль.
Если рассчитывать стратегии по принципу maxmin и minmax, то можно увидеть, что нельзя высчитать оптимальную стратегию, в этой игре вероятности проигрыша и выигрыша равны.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Min
-1
-1
Max = -1
Max 1 1
Min = 1
2. Числа. Суть игры состоит, в том, что каждый из игроков загадывает целые числа от 1 до 4, причем выигрыш первого игрока равен разности загаданного им числа и числа, загаданного другим игроком.
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решаем задачу по теории maxmin и minmax, аналогично предыдущей задаче получается, что maxmin = 0, minmax = 0, появилась седловая точка, т.к. верхняя и нижняя цены равны. Стратегии обоих игроков равны 4.
3. Рассмотрим задачу эвакуации людей в пожарном случае.
Пожарная ситуация 1: Время возникновения пожара - 10 часов, лето.
Плотность людского потока D = 0,2 ч /м 2 , скорость движения потока v = 60
м /мин. Необходимое время эвакуации Tэв = 0,5 мин.
Пожарная ситуация 2: Время возникновения пожара 20 ч, лето. Плотность людского потока D = 0,83 ч /мин. скорость движения потока
v = 17 м /мин. Необходимое время эвакуации Tэв = 1,6 мин.
Возможны различные варианты эвакуации Li которые определяются
конструкционными и планировочными особенностями здания, наличием
незадымляемых лестничных клеток, этажностью здания и другими факторами.
В примере мы рассматриваем вариант эвакуации как маршрут, по которому должны пройти люди при эвакуации из здания. Пожарной ситуации 1 будет соответствовать такой вариант эвакуации L1, при котором эвакуация происходит по коридору в две лестничные клетки. Но возможен и худший вариант эвакуации – L2, при котором эвакуация происходит в одну лестничную клетку и путь эвакуации максимальный.
Для ситуации 2, очевидно, подходят варианты эвакуации L1 и L2, хотя
L1 предпочтительней. Описание возможных пожарных ситуаций на объекте защиты и вариантов эвакуации оформляется в виде платежной матрицы, при этом:
N - возможные ситуации на пожаре:
L - варианты эвакуации;
а 11 – а nm результат эвакуации: "a" меняется от 0 (абсолютный проигрыш) - до 1 (максимальный выигрыш ).
Например, при пожарных ситуациях:
N1- задымление общего коридора и охват его пламенем происходят
через 5 мин. после возникновения пожара;
N2 - задымление и охват пламенем коридора происходят через 7 мин;
N3 - задымление и охват коридора пламенем происходят через 10 мин.
Возможны следующие варианты эвакуации:
L1 - обеспечивающий эвакуацию за 6 мин;
L2 - обеспечивающий эвакуацию за 8 мин;
L3 - обеспечивающий эвакуацию за 12 мин .
Далее определяются результаты эвакуации из соотношения, а ij = Ni / Lj
а 11 = N1 / L1 = 5/ 6 = 0,83
а 12 = N1 / L2 = 5/ 8 = 0,62
а 13 = N1 / L3 = 5/ 12 = 0,42
а 21 = N2 / L1 = 7/ 6 = 1
а 22 = N2 / L2 = 7/ 8 = 0,87
а 23 = N2 / L3 = 7/ 12 = 0,58
а 31 = N3 / L1 = 10/ 6 = 1
а 32 = N3 / L2 = 10/ 8 = 1
а 33 = N3 / L3 = 10/ 12 = 0,83
Таблица. Платёжная матрица результатов эвакуации
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимое время эвакуации рассчитывать в процессе руководства
эвакуацией нет необходимости, его можно заложить в программу в готовом виде.
Данная матрица заносится в ЭВМ и по численному значению величины а ij подсистема автоматически подбирает оптимальный вариант эвакуации.
II
5.Практическое применение теории игр в задачах
Пример №1
На базе торговой фирмы имеется n типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль . Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток .Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин.
В условиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуация товароснабжения формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок — магазин, второй игрок — покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по n стратегий. Завоз i-го товара — i-я. стратегия первого игрока, спрос на j-й товар — j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной матрицы n-го порядка:
Пример №2
Матрица игры имеет вид:
Минимальный элемент первой строки (первой стратегии первого игрока) равен 2, второй — 5, третьей — 4; максимальное значение из этих величин равно 5. Максимальный элемент первого столбца (первой стратегии второго игрока) равен 10, второго — 10; третьего — 5, четвертого — 14, пятого — 12; минимальное значение из них равно 5. Следовательно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задача разрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй стратегии, первый игрок обеспечивает себе выигрыш, не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третью стратегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии j = 2 и j = 3 являются оптимальными для первого и второго игроков, при этом цена игры V = 5.
Пример №3
Диспетчер автобусного парка (ЛПР) в месяцы в конце каждой недели должен принять решение о целесообразности выделения дополнительных автобусов на загородный маршрут. ЛПР имеет три варианта решений: увеличить количество автобусов на 10 (стратегия ) увеличить это количество на 5 (стратегия Р2) или оставить без изменения обычное число автобусов на линии (стратегия Р3). Возможны два состояния погоды: —Q1 плохая погода,Q2 - хорошая погода, причем в момент принятия решения нет возможности определить ожидаемое состояние погоды. Если в выходные дни будет хорошая погода и много желающих выехать за город, а выделено мало автобусов, то парк понесет убытки, связанные с недополученной прибылью. Если же выделены дополнительные автобусы, а погода окажется плохой, то возникнут потери вследствие эксплуатации незаполненных автобусов.
Пусть, на основе анализа статистических данных за определенный период установлена функция потерь для возможных комбинаций состояний природы и решений ЛПР в виде матрицы игры А (Рi,Qi), в которой отрицательные значения показывают дополнительную прибыль, а положительные – потери:
Q1 Q2
Если нет сведений о вероятностях различных состояний погоды, то по критерию Вальда и по критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия Р2. По критерию Гурвица при “коэффициенте пессимизма” q=1 оптимальной окажется стратегия Р2, а при q=0 — стратегия Р1.
Пример №4
Швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. Но данным прошлых наблюдений предприятие в течении апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а цена реализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб. (цифры условные).
Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход. Решим эту задачу методами теории игр, игра в этом случае будет относиться к типу игр с природой.
Предприятие располагает в этих условиях двумя чистыми стратегиями: стратегия А — в расчете на теплую погоду и стратегия Б — в расчете на холодную погоду. Природу будим рассматривать как второго игрока также с двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия Г). Если предприятие выберет стратегию А, то в случае прохладной погоды (стратегия природы В) доход составит
600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1975 - 625)8 = 6 800 руб.,
а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) доход равен
600(48 - 27) + 1 975(16 - 8) = 28 400 руб.
Если предприятие выберет стратегию Б, то реализация продукции в условиях прохладной погоды даст доход
1 000(48 - 27) + 625(16 - 8) = 26 000 руб.,
а в условиях теплой погоды
600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1 000 - 600)27 = 6 800
Следовательно, матрица данной игры (платежная матица) имеет вид:
Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй стратегиям В и Г природы.
По платежной матрице видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 6800. Но если погодные условия совпадают с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400. Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то А, то стратегию Б. Такая стратегия называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать выигрыша независимо от стратегии второго игрока.
Пусть х означает частоту применения первым игроком стратегии А, тогда частота применения им стратегии Б равна (1 - х). В случае оптимальной смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии В (холодная погода), и при стратегии Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход:
6800х + 26 000(1 - х) = 28 400х + 6800(1 - х).
Отсюда можно найти, что х — 8/17; 1 - х = 9/17.
Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратеги А и Б в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме
6800-8/17 + 26000-9/17 16965 руб.; эта величина и будет в данном случае ценой игры.
Легко рассчитать, какое количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной стратегии:
(600 костюмов + 1975 платьев)*8/17 + (1000 костюмов + 625 платьев)*9/17 = 812 костюмов + 1260 платьев.
Следовательно, оптимальная стратегия предприятия заключи в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев, что обеспечит три любой погоде средний доход в сумме 16 965 руб.
5.1.Создание своей компьютерной игры:
Компьютерные игры существуют уже более полувека, но мы всё ещё до конца не понимаем их сути, теряемся в многообразии их видов и жанров.
В математике есть отдельный раздел под названием «Теория игр». Но этот раздел науки был создан, когда компьютерные игры пребывали в зачаточном состоянии, и поэтому «Теория игр» не имеет к видеоиграм никакого отношения. В классической теории игр рассматриваются лишь математические модели настольных игр, типа: шахмат, шашек, карт, домино. «Теория игр» - за этим названием скрывается всего лишь раздел теории вероятностей для игровых нужд. Для изучения феномена компьютерных игр одной математики явно недостаточно.
Лишь совсем недавно появилась соответствующая наука, которая занимается всеми вопросами, связанными с компьютерными играми.
Людология (англ. – ludologia) – наука, занимающаяся исследованиями игр как современной формы коммуникации и творчества. Другие названия: Game Studies (исследование игр), игрология, философия игр, теория компьютерных игр.
Людология - это нечто большее, чем просто математическая модель, она поднимает и философские, и теоретические, и практические вопросы, касающиеся компьютерных игр.
В западных странах наука людология получила официальный статус уже более 10 лет назад, в начале 2000-х годов. В России, к настоящему моменту, над этой наукой трудятся лишь несколько одиночек-энтузиастов.
Хотя многие отечественные ученые из смежных наук начинают анализировать компьютерные игры, но при анализе феномена видеоигр они пытаются применить привычную методологию академических гуманитарных наук, и в результате получают ложные выводы, которые разительно отличаются от практики. Именно на ложных выводах построены предположения о том, что игры гораздо примитивнее фильмов и книг, и годятся лишь для развлечения.
Людология (игрология) основывается на том, что прежние подходы гуманитарных наук не подходят для видеоигр. Компьютерные игры нельзя оценивать по меркам художественных фильмов, спектаклей, книг. Да, игры содержат в себе и сюжет, и графику, и звук, но всё это в упрощенной форме, и лишь для украшения основного элемента – игрового процесса (геймплея). Игровой процесс – совершенно новая форма подачи информации, скрывающий в себе множество загадок и тайн. Игровой процесс и интерактивность – это то, что отличает компьютерные игры от всех предыдущих видов искусств.
5.2.Создание собственной компьютерной игры «Бегущий в лабиринт» в игре Minecraft:
Приключенческая карта по фильму «Бегущий в лабиринте» (The Maze Runner) сделает игрока участником сурового испытания на выживание и сообразительность в Майнкрафт. Герою предстоит совершать вылазки и возвращаться на базу до захода солнца, иначе он окажется в ловушке. Ночью в поисках жертв за стеной бродят страшные существа «Гриверы», скрыться от которых почти невозможно.
Главная цель карты — найти 3 части кода в лабиринте и бежать через скалы. Игра рассчитана на 1-6 игроков. Выбираться из ловушки интересней с друзьями и командой, но можно играть и одному. Игроку предстоит отправиться на поиски частей кода, решать головоломки и выбраться из западни, но прежде необходимо скачать карту «Бегущий в лабиринте» на Майнкрафт 1.12.2, 1.8, 1.9, 1.10.2 или 1.11 и скопировать ее в игру.
Особенности
-Полностью воссозданная центральная поляна с элеватором.
-Мобы «Гриверы» появляются в лабиринте.
-Анимация открытия и закрытия ворот.
-Ежедневная поставка провизии через элеватор, как в оригинале The Maze -Runner. Вещи выбираются случайным образом из 18 вариантов.
-День и ночь стали короче.
-Игрокам понадобится отыскать код и путь, чтобы сбежать из лабиринта через скалы.
Правила
-Запрещено ломать и размещать блоки в лабиринте;
-Нельзя забираться на стены;
-Не используйте читы, телепорт и не меняйте gamemode;
-Запрещено использовать крафтинг частей кода;
Установка
Карта «Бегущий в лабиринте» предназначена для Майнкрафт 1.8 и выше. Скачайте архив, извлеките файлы и поместите папку в каталог игры: .minecraft/saves.
Заключение
В заключение следует особо подчеркнуть, что теория игр является очень сложной областью знания. При обращении с ней надо соблюдать известную осторожность и четко знать границы применения.Однако применение теории игр облегчает нам понимание сущности происходящего, а многогранность данного раздела науки позволяет нам успешно использовать методы и свойства этой теории в различных областях нашей деятельности.
Теория игр прививает человеку дисциплину ума. От лица, принимающего решения, она требует систематической формулировки возможных альтернатив поведения, оценки их результатов, и самое главное - учета поведения других объектов. Человек, знакомый с теорией игр, реже считает других глупее себя, - и потому избегает многих непростительных ошибок. Однако теория игр не может, да и не рассчитана на то, чтобы придать решительности, настойчивости в достижении целей, невзирая на неопределенность и риск. Знание основ теории игр не дает нам явного выигрыша, но оберегает нас от свершения глупых и ненужных ошибок.
Теория игр всегда имеет дело с особым типом мышления, стратегическим.
Библиографический список:
1. Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. «Теория игр и экономическое поведение», Наука, 1970.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. «Математические методы в экономике», Москва 1997, изд. «ДИС».
3. Оуэн Г. «Теория Игр». – М.: Мир, 1970.
4. Раскин М. А. «Введение в теорию игр» // Летняя школа «Современная математика». – Дубна: 2008.
5. http://ru.wikipedia.org/wiki
6. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/104891
7. http://ru.wikipedia.org/wiki
8. http://www.rae.ru/zk/arj/2007/12/Stepanenko.pdf
9. http://banzay-kz.livejournal.com/13890.html
10. http://propolis.com.ua/node/21
11. http://www.cfin.ru/management/game_theory.shtml
12. http://konflickt.ru/16/
13. http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/IGR_TEORIYA.html
14. http://matmodel.ru/article.php/20081126162627533
15. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ec_cs/kokgames/prog3k.htm