VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Выпуклый дельтоид на плоскости
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I Введение
В настоящее время в школьном курсе геометрии, изучаются различные геометрические фигуры и тела, такие как круг, треугольник, четырехугольник, многоугольник, тетраэдр, параллелепипед, октаэдр и другие. Большая часть из них исследованы достаточно подробно, но существуют и такие, свойства и признаки которых до конца не изучены наукой – это, в частности, ромбоид, дельтоид, трапецоид, дельтоидный многогранник.
В условиях увеличения интенсивности обучения геометрии, усложнения задач в итоговых аттестациях выпускных классов, наличия в заданиях ОГЭ и ЕГЭ задач, требующих углубленных знаний в области планиметрии и стереометрии, разработка научно обоснованного методического материала по таким фигурам позволит как существенно сократить время решения задач, так и будет способствовать более простым и изящным способам их решения. Кроме того, в прикладном плане научные знания о выпуклом дельтоиде могут быть полезны при разработке и конструировании планеров летательных аппаратов, воздушных змеев, плавательных судов, а также в области архитектуры и дизайна при создании рисунков декоративной мозаики. Поэтому, тема исследования, а именно, свойств и признаков выпуклого дельтоида, весьма актуальна.
Объект исследования – выпуклый дельтоид.
Предмет исследования – определение, свойства и признаки выпуклого дельтоида.
Цель исследования – разработать методические подходы к изучению свойств и признаков выпуклого дельтоида.
Реализация цели предполагала решение следующих задач:
систематизация и обобщение понятия дельтоида; определение выпуклого дельтоида; вывод и доказательство свойств выпуклого дельтоида; обоснование признаков выпуклого дельтоида;
вывод формул площади выпуклого дельтоида; разработка серии задачна дельтоид; демонстрация дельтоидов в окружающем нас мире.
Методы исследования – изучение и анализ литературы, касающейся темы исследования; изучение школьных и вузовских учебников по математике и материалов по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике; работа с Интернет-ресурсами; экспериментальная проверка некоторых фактов.
Работа состоит из введения, 2 глав, заключения и списка используемой литературы и приложения. Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель, задачи, объект, предмет и методы исследования.
В первой главе (основной части) дано определение выпуклого дельтоида, выведены и доказаны свойства выпуклого дельтоида, обоснованы признаки выпуклого дельтоида, выведены формулы для вычисления площади выпуклого дельтоида, а также рассмотрены задачи на дельтоид.
Во второй главе сформулированы результаты исследования и показано практическое применение полученных знаний.
В заключении сформулированы выводы исследования.
Практическая значимость исследования – расширение понятийного аппарата и кругозора обучающихся; использование разработанного материала для подготовки к государственной итоговой аттестации по математике.
II Основная часть
1. Исторические сведения
В древних египетских и вавилонских документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. В частности, в клинописных математических табличках встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные параллелями к одному из катетов на прямоугольной трапеции.
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
Термин «параллелограмм» греческого происхождения, который был введен Евклидом. Он называл параллелограмм “параллельно-линейной площадью”. Слово parallhlogrammou составлено из parallhloz и grammh-- “линия” это слово дало основу для термина “параллелограмм”.
Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны пифагорейцам.
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная версия параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь с 17 века. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.
Первые геометры, в том числе и Евклид, рассамтривали прямоугольник, вписанный в круг.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Образ ромба был связан первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.
Есть и другое значение. Термин «ромб» образован от греч. ρομβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Кстати, название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.
Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Термин «квадрат» происходит от латинского quadratum (quadrare- сделать четырехугольным), перевод с греческого – четырехугольник.
Трапеция – это четырёхугольник, где две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеция – слово греческое, означавшее в древности «столик». В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (1век). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в 18 веке это слово приобретает современный смысл.
2. Теоретические понятия.
2.1 Определение выпуклого дельтоида.
Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины (рис. 1).
Рис. 1.
Определение. Четырехугольником на плоскости называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Анализ справочников по математике для школьников и абитуриентов, а также учебников по геометрии не позволил найти определение дельтоида. В настоящее время мало известных работ ученых и исследователей, которые занимаются исследованием дельтоида. На самом деле почти нет. Лишь в учебном пособии Ю. А. Глазкова «Геометрия 7-9 класс. Практикум по планиметрии» упоминается о дельтоиде.
Изучение дополнительных источников и пособий, позволило дать определения дельтоида и выпуклого дельтоида.
Определение. Дельтоид — четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны. Дельтоид может быть выпуклым и невыпуклым (рис.2)
Рис. 2
Определение. Выпуклый дельтоид – это четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны и который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
АС – главная диагональ дельтоида, BD – неглавная диагональ дельтоида.
Из определения дельтоида следует, что и ромб, и квадрат также являются дельтоидами. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые. Действительно, ромб и квадрат имеют две пары равных смежных сторон.
2.2 Свойства выпуклого дельтоида.
Выясним, какими свойствами обладает выпуклый дельтоид ABCD, у которого AB = BC, AD = CD.
1) Проведём диагональ и рассмотрим треугольники ∆ABD и ∆BCD.
AB = BC – по условию; AD = CD – по условию; BD – общая сторона.
∆ABD = ∆BCD по трём сторонам.
Из равенства треугольников следует, что A=C, ABD=DBC, ADB=CDB. То есть в выпуклом дельтоиде углы между сторонами неравной длины равны и диагональ, соединяющая вершины неравных углов, является биссектрисой (B и D не могут быть равными, так как B=ABD+CBD, D=ADB+CDB, аABD≠ADB, так как это не углы при основании равнобедренного треугольника, аналогичноABC≠ADC).
2) Проведём диагональ АС. Рассмотрим треугольники ∆АВС и ∆ADC. Они равнобедренные по определению (треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны1).
BAC = BCA, так как это углы при основании равнобедренного треугольника. DAC = ACD, так как это углы при основании равнобедренного треугольника.
Так как (ранее доказанное, см п.1), , следовательно – биссектриса (по определению). Точка O – точка пересечения диагоналей. – отрезок биссектрисы (смотрите выше), проведённый к основанию равнобедренного треугольника , следовательно, – высота и медиана этого треугольника (значит, ). – отрезок биссектрисы (смотрите выше), проведённый к основанию равнобедренного треугольника , следовательно, – высота и медиана этого треугольника (значит, ). Таким образом, диагонали выпуклого дельтоида взаимно перпендикулярны и при пересечении диагоналей, диагональ, соединяющая вершины неравных углов, делится пополам.
3) Выясним, можно ли вписать в любой выпуклый дельтоид окружность. Известно, что окружность можно вписать только в такой выпуклый четырёхугольник, у которого суммы противолежащих сторон равны. В выпуклом четырёхугольнике , в котором , , и – противолежащие стороны, и – противолежащие стороны.
Вывод: Следовательно, в любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.
Таким образом, в ходе исследования выведены следующие свойства выпуклого дельтоида:
1) в выпуклом дельтоиде углы между сторонами неравной длины равны;
2) главная диагональ является биссектрисой углов выпуклого дельтоида;
3) диагонали выпуклого дельтоида взаимно перпендикулярны;
4) при пересечении диагоналей диагональ, соединяющая вершины неравных углов, делится точкой пересечения пополам;
5) в любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.
2.3 Признаки выпуклого дельтоида.
1. Выясним, что можно сказать о выпуклом четырёхугольнике, у которого диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей при этом делится точкой пересечения пополам.
Дано:
– выпуклый четырёхугольник; АС и BD – диагонали данного четырехугольника, , E – точка пересечения диагоналей, AE=EC
Исследуем этот четырёхугольник.
Рассмотрим .
Диагональ по условию. Согласно определения, перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Отсюда следует, что BE – высота.
AE=EC– по условию. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Следовательно, BE – медиана. Если в треугольнике высота одновременно является и медианой, то данный треугольник равнобедренный, то . Аналогично можно доказать, что треугольник равнобедренный, а значит, .
Вывод: ABCD – дельтоид по определению.
Итак, определен и доказан первый признак дельтоида: если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей при этом делится пополам, то данный четырёхугольник – дельтоид.
2. Исследуем выпуклый четырёхугольник ABCD, у которого диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей является биссектрисой углов этого четырёхугольника. Напомним, что биссектриса угла – луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.
Дано: ABCD – выпуклый четырёхугольник; AC и BD – диагонали данного четырехугольника, AC BD, O – точка пересечения диагоналей, BD – биссектриса.
Исследуем данный четырехугольник.
Рассмотрим . Так как по условию, то – высота.
Так как – биссектриса (по условию) и – высота, в треугольнике высота одновременно является и биссектрисой, то данный треугольник равнобедренный1, значит . Аналогично можно доказать, что – равнобедренный, а это значит, что . Вывод: – дельтоид по определению.
Итак, определен и доказан второй признак дельтоида: если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей является биссектрисой углов этого четырёхугольника, то данный четырёхугольник – дельтоид.
3. Исследуем выпуклый четырёхугольник ABCD, у которого одна из диагоналей – биссектриса двух равных углов этого четырёхугольника.
Дано:
ABCD – выпуклый четырёхугольник; , – биссектриса.
Исследуем данный четырехугольник.
Рассмотрим . , так как это половинки равных углов и ( – биссектриса по условию). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, значит – равнобедренный, поэтому . Аналогично доказывается, что – равнобедренный, отсюда следует, что .
Вывод: ABCD – дельтоид по определению.
Итак, определен и доказан третий признак дельтоида: если в выпуклом четырёхугольнике одна из диагоналей – биссектриса двух равных углов этого четырёхугольника, то данный четырёхугольник – дельтоид.
4. Исследуем выпуклый четырёхугольник , у которого диагонали пересекаются под прямым углом, а две смежных стороны равны.
Дано: ABCD– выпуклый четырёхугольник; AC и BD – диагонали данного четырехугольника, , О – точка пересечения диагоналей, AB = BC.
Исследуем данный четырехугольник. Рассмотрим ∆ABC . AB = BC по условию, следовательно, ∆ABC – равнобедренный по определению. Так как диагональ по условию, то – высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, следовательно – медиана (по свойству высоты в равнобедренном треугольнике). Отсюда следует, что .
Рассмотрим . Так как – высота, и , следовательно, – медиана. Если высота в треугольнике является медианой, то он равнобедренный, значит – равнобедренный, .
Вывод: – дельтоид по определению.
Итак, определен и доказан четвёртый признак дельтоида: если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, а две смежных стороны равны, то данный четырёхугольник – дельтоид.
Таким образом, в работе были определены и доказаны четыре признака дельтоида:
1. Если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей при этом делится точкой пересечения пополам, то данный четырёхугольник – дельтоид.
2. Если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей является биссектрисой углов этого четырёхугольника, то данный четырёхугольник – дельтоид.
3. Если в выпуклом четырёхугольнике одна из диагоналей – биссектриса двух равных углов этого четырёхугольника, то данный четырёхугольник – дельтоид.
4. Если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, а две смежные стороны равны, то данный четырёхугольник – дельтоид.
2.4 Вычисление площади выпуклого дельтоида.
Площадь выпуклого дельтоида определяют по формулам:
1. , где d1 и d2 длины диагоналей.
2. , где a и b длины разных сторон, а α угол между ними.
3.
, где a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a,
φ2 – угол между сторонами, равными b.
4.
S= (a + b) r, где a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности.
III Результаты исследования
Результатом исследования является разработка задач, которые могут быть использованы при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике:
Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей делит общую хорду пополам.
Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.
Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке, если размер одной клетки 1×1
4. Окружность с центром О вписана в угол, равный 60⁰. Окружность большего радиуса с центром О₁ также вписана в этот угол и проходит через точку О.
а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если
известно, что радиус первой окружности равен 2 .
5. Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника.
|
Дано: ABCD- дельтоид, AC – неглавная диагональ. Доказать: ∆ ABC и ∆ ADC – равнобедренные. |
Доказательство: 1) По определению, дельтоид - это четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон, следует AB=BC, AD=DC. 2) Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны, AB=BC, значит, ∆ ABC- равнобедренный; AD=DC, значит, ∆ ADC- равнобедренный.
6. Середины сторон дельтоида являются вершинами прямоугольника, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.
7. Периметр дельтоида определяется по формуле: Р = 2(а + b), где а и b – смежные неравные стороны дельтоида/
Дано:ABCD- дельтоид, АВ=AD = а, ВС = DC = b. Доказать: Р = 2(а+ b).
Доказательство: 1) Действительно, по определению дельтоид - это выпуклый четырёхугольник, у которого две пары неравных смежных сторон равны. (AB = CB и AD = DC). 2) Значит, AB=AD=a; BC = DC = b. Периметр – это сумма длин всех сторон данной фигуры. Значит, Р = 2(а+в).
8. В параллелограмме АВСD диагональ АС вдвое больше стороны АВ. На стороне ВС выбрана точка K так, что ∆ ADB = ∆ KDB. В каком отношении точка K делит сторону ВС?
9. Равнобедренные треугольники АDС и ВСD имеют общее основание DС. Прямая АВ пересекает отрезок СD в точке О. Докажите, что: 1) ∆ АDВ = ∆ АСВ; 2) DО=ОС.
Доказательство: 1) DО и АDВ входят в ВDА, ОС и АСВ входят в ВСА.
2) Рассмотрим ∆ ВDА и ∆ВСА: АС = АD, (т. к. ∆АDС – равнобедренный), DВ = ВС, (т. к. ∆ВСD – равнобедренный, АВ – общая, значит, ∆ ВDА = ∆ ВСА, по трем сторонам, значит, ∆АDВ =∆ АСВ, DО = ОС.
IV Заключение
Изучение выпуклого дельтоида, его свойств и признаков ранее не было предметом самостоятельного научного анализа.
Обоснование свойств, признаков выпуклого дельтоида, а также вывод формул опирается на использование известных и доказанных теорем, используемых в геометрии, а также свойствами и признаками других геометрических фигур.
Проведённое исследование позволило получить следующие теоретические результаты: дано определение выпуклого дельтоида; сформулированы и доказаны свойства выпуклого дельтоида, сформулированы и обоснованы признаки дельтоида; выведены формулы для нахождения площади выпуклого дельтоида.
Ещё одним важным результатом, отражающим практическую значимость исследования, является разработанная серия задач, решаемых с помощью теоретических понятий о дельтоиде, которые могут быть использованы при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Тема исследовательской работы открывает широкие перспективы для дальнейшего исследования:
Выпуклый дельтоид в пространстве.
Воздушный змей: детская забава или практическая аэронавтика?
V Список использованных источников и литературы
Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия 7-9 классы.б Учебник. 15-е изд. М.:"Просвещение", 2005.
2. Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 2012.
3. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.
4. Глазков Ю. А. «Геометрия 7-9 класс». Практикум по планиметрии. Готовимся к ГИА. М.: Интеллект-Центр, 2016.
5. Глазков Ю. А. «Геометрия 10-11 класс». Практикум по планиметрии и стереометрии. Готовимся к ЕГЭ. М.: Интеллект-Центр, 2013.
6. Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА, 2017.
7. Муравин Г.К., Муравина О.В., «Математика. 5 класс» Учебник. – М.:
Дрофа, 2014.
8 Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.
9. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.
10. Ященко И. В. и др. ОГЭ 2018. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие. М.: Интеллект-Центр, 2018.
Интернет-ресурсы
http://gazpromschool.by.ru/projects/geometry/tr/tr312_1a.htm
http://geometricheskie.narod.ru/3D/Vparallelepiped.html
http://dic.academic.ru/dic.nsf/business/8852
VI Приложение
|
Лейцит (др.-греч. λευκός — светлый) — породообразующий минерал магматического происхождения, подкласса каркасных алюмосиликатов, фельдшпатоид. |
|
|
Спессартин — довольно распространённый минерал, силикат из группы гранатов. |
|
|
Грана́ты (от лат. granatus — подобный зернам) — группа минералов, представляющих смеси двух изоморфных рядов. |