33 признака равенства треугольников

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

33 признака равенства треугольников

Калинин Н.Н. 1Уткаев В.В. 1
1МБОУ "Лицей №159"
Бутакова В.И. 1
1МБОУ "Лицей №159"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

При изучении основного вопроса по теме исследования нами было прочитано множество литературы. Во всех энциклопедиях в рамках изучения признаков равенства треугольников описывались лишь 3 признака равенства треугольников. В учебниках за седьмой класс также предложены к изучению только 3 признака и 4 признака равенства прямоугольных треугольников. И лишь в Справочнике по элементарной математике М.Я.Выгодского были предложены 4 признака. Мы решили расширить теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к сторонам и углам, используемым в классических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту в сочетании со сторонами и углами треугольника, придерживаясь наличия трех элементов.

Актуальность исследования.

Треугольник – одна из основных фигур в планиметрии. При решении задач используют его самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на практике. Например, в архитектуре - при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности - при проектировании различных деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиасудов; в навигации - для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии одним словом, необходимо знать треугольник и все его свойства. Одно из важнейших свойств для пары треугольников - устанавливать их равенство. Существует ряд задач на тему установления равенства двух треугольников. Некоторые из них встречаются во второй части экзаменационных заданий ЕГЭ и ОГЭ. Для решения задач такого рода необходимо знать признаки равенства треугольников. После опроса своих одноклассников и учащихся своей школы оказалось, что все знают только 3 признака равенства треугольников. Помимо трёх основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других по разным элементам.

Новизна исследования.

Уточнение количества признаков равенства треугольников (анализ). Помимо трёх основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других. Какие именно три соответствующих элемента нужно назвать для установления равенства треугольников?

Объект исследования: Изучение признаков равенства треугольников.

Предмет исследования: треугольник как одна из основных фигур в планиметрии.

Выдвижение гипотезы:

Возможно ли сформулировать и доказать 33 признака равенства треугольников:

Если проанализирована соответствующая литература по данной проблеме;

Изучены и рассмотрены доказательства 3 признаков равенства треугольников из школьной геометрии;

На основе всего изученного применить методы доказательства признаков.

Решаемые задачи:

Изучить литературу по исследуемой теме.

Уточнить количества признаков равенства треугольников.

Апробировать выдвинутую гипотезу путем доказательства теорем.

Метод исследования:

Теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический (доказательство теорем).

Таким образом, целями нашей работы является:

1. Сформулировать новые признаки равенства треугольников, используя понятия: биссектрисы, медианы и высоты.

2. Доказать новые признаки равенства треугольников.

3. Продемонстрировать другим учащимся существование в математике «белых пятен» и возможности их доказательства.

Описание методики исследования.

Треугольник – это одна из основных фигур в геометрии. Знакомый всем треугольник по праву считается простейшей из плоских фигур: любая плоская, т.е. простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет называться треугольником. Так же называют и заключённую внутри образовавшегося контура часть плоскости.

1. Признаки равенства треугольников.

Начнём с определения. Треугольники ABC и A1B1C1 называются равными, если они имеют соответственно равные стороны и углы.

Треугольник состоит из шести элементов. Из трёх углов и трёх сторон.

При этом возникает вопрос: «Какого наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для установления равенства двух треугольников и какие именно три элемента нужно назвать, для установления равенства двух треугольников?»

Все знают, по каким 3 элементам равны треугольники согласно 3 признакам равенства треугольников. (I, II, III признаки)

Четвертый признак равенства треугольников.

Профессор МГУ Розов приводит некоторые способы доказательства четвертого признака равенства треугольников. Мы приводим один из способов доказательства этого признака.

Формулировка: Если две стороны и угол, лежащий против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС, ∆ А1В1С1, АВ = А1В1, АС= А1С1., ے В = ے В1. Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1.

Рисунок № 1

Расположим треугольники так, как на рисунке 1. Соединим В и В1, тогда ∆АВВ1 – равнобедренный, значит как остатки равных углов. Получим ∆ВСВ1 – равнобедренный, отсюда ВС=В1С. ∆АВС=∆А1В1С1 по трем сторонам.

Таким образом, можно считать эту теорему ещё одним признаком равенства треугольников.

В школьном курсе изучаются 4 признака равенства прямоугольных треугольников, а мы рассмотрели еще 9. Докажем некоторые из них.

2. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

По катету и не прилежащему острому углу.

 

A

A

Дано:

C

B

ABC, ∆ABC

AB = AB

C = C

C₁

B₁

B = 90 ̊

B₁ = 90 ̊

Доказать: ∆ ABC = ∆ABC1

Доказательство:

B = 90 ̊ A + C = 90 ̊

B₁ = 90 ̊ A₁ + A₁ = 90 ̊

1) A + C = 90 ̊ (По доказанному)

2) A₁ + C₁ = 90 ̊ (По доказанному)

3) C = C₁ (По условию)

A = A

Рассмотрим ∆ABC и ∆ABC₁:

A = A₁ (По доказанному)

AB = AB₁ (По условию)

⇒ ∆ABC = ∆ABC₁ (По катету и прилежащему к нему острому углу)

По острому углу и медиане, проведенной к гипотенузе.

По катету и медиане, проведенной к гипотенузе.

 

A

A

Дано:

C

B

ABC, ∆ABC

M

M

BC = BC

AM = AM

B₁

C₁

B = 90 ̊

B₁ = 90 ̊

Доказать: ∆ ABC = ∆ABC

Доказательство:

BM = BM₁ (По условию)

2) MC = BM (По свойству медианы в прямоугольном треугольнике) ⇒

3) MC₁ = BM₁ (По свойству медианы в прямоугольном треугольнике)

MC = MC

Рассмотрим ∆BMC и ∆BMC₁:

1) BM = BM₁ (По условию)

2) BC = BC₁ (По условию) ⇒∆BMC = ∆BMC (По трём сторонам)

3) MC = MC₁ (По доказанному)

⇒ ∠C = ∠C

Рассмотрим ∆ABC и ∆ABC₁:

⇒ ∆ABC = ∆ABC₁ (По катету и прилежащему к нему острому углу)

1) BC = BC₁(По условию)

2)C = C₁( По доказанному)

По катету и медиане, проведенной к другому катету.

Дано: АВ = А1В1, ВК = В1К1 Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1 Доказательство: ∆АВК= ∆А1В1К1 по гипотенузе и катету, ∆ВКС = ∆В1К1С1 по двум сторонам и углу между ними, ∆АВС = ∆А1В1С1 по катету и гипотенузе.

По катету и высоте, проведенной к гипотенузе

A

A

Дано:

C

B

C₁

ABC, ∆ABC

M

M

BC = BC

BM = BM

B₁

B = 90 ̊

B₁ = 90 ̊

Доказать: ∆ ABC = ∆ABC

Доказательство:

BM = BM₁(По условию)

2) MC = BM (По свойству медианы в прямоугольном треугольнике) ⇒

3) MC₁ = BM₁ (По свойству медианы в прямоугольном треугольнике)

MC = MC

Рассмотрим ∆BMC и ∆BMC₁:

1) BM = BM₁ (По условию)

2) BC = BC₁ (По условию) ⇒∆BMC = ∆BMC (По трём сторонам) ⇒

3) MC = MC₁ (По док-му)

⇒ ∠C = ∠C

Рассмотрим ∆ABC и ∆ABC₁:

 

⇒ ∆ABC = ∆ABC₁ (По катету и прилежащему к нему острому углу)

1) BC = BC₁(По условию)

2)C = ∠C₁(По док-му)

По острому углу и высоте, проведенной к гипотенузе.

Дано: , ВК = В1К1. Доказательство:∆ВКС = ∆В1К1С1 по катету и острому углу, ∆АВС = ∆А1В1С1 (по катету и прилежащему острому углу)

По высоте, проведенной к гипотенузе и проекции катета на гипотенузу.

8) По катету и его проекции на гипотенузу.

Дано: ВС = В1С1 и КС = К1С1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1 .

Доказательство: ∆СВК= ∆С1В1К1 по гипотенузе и катету, тогда С = С1 ∆АВС = ∆А1В1С1 (по катету и прилежащему острому углу).

9) По проекции катета на гипотенузу и острому углу, прилежащему

к этой проекции.

Дано: КС = К1С1,С = С1. Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1 .

Доказательство: ∆СВК= ∆С1В1К1 (по катету и прилежащему острому углу), тогда СВ = С1В1 и ∆АВС = ∆А1В1С1 (по катету и прилежащему острому углу).

3. Признаки равенства равнобедренных треугольников

10) По боковой стороне и высоте, проведенной к основанию.

12)По основанию и высоте,

проведенной к основанию.

Дано:

ΔABC и ΔABC

AB=AB

AD=AD

ΔABC-равнобедренный

ΔАВС-равнобедренный

AB=AB

AD=ADAD и AD₁- медианы

Доказать: Δ ABC= Δ ABC

Доказательство:

ABC-равнобедренный ⇒АВ=АС

Рассмотрим ∆ABD и ∆ABD

⇒∆ABD= ∆ABD₁ по двум сторонам и углу между ними

А₁В₁С₁-равнобедренный ⇒А₁В₁=А₁С₁ ⇒АС=А₁С₁₁ ∆ABD и ∆ABD

АВ=А₁В₁ ∆ABD и ∆ABD

⇒∠ADB=∠ADB₁=90 ̊ т.к. AD и AD₁ биссектрисы а в равнобедренном треугольнике, биссектриса проведённая к основанию является медианой и высотой

ADC=∠ADC

AB=AB₁ ⇒ΔABC=ΔABC₁ по двум сторонам и углу лежащему против большей стороны

AD=AD

13)По основанию

и медиане, проведенной к

основанию.

Дано:

Δ АВС-равнобедренный

Δ А₁В₁С₁-равнобедренный

ВC=В₁C

АD =А₁D

AD и AD₁- высотыU]]]

Доказать:

Δ АВС= Δ А₁В₁С₁

Доказательство:

ADB=∠ADB₁=90 ̊ т.к. AD И AD₁ высоты

ADC=∠ADC₁=90 ̊ т.к. AD И AD₁ это высоты

Если ВС=В₁С₁, то равны и их половины⇒ BD₁=BD

Рассмотрим ∆ADB и ∆ADB

BD₁=BD

AD=AD₁ ⇒ΔADB=ΔADB₁ по двум сторонам и углу между ними⇒∠B=∠B₁, AB=AB

BDA=∠BDA

B=B₁

AB=AB₁ ⇒ΔABC=ΔABC₁ по двум сторонам и углу между ними

BC=B₁C₁

4. Признаки равенства произвольных треугольников

22) По двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них.

В В1

К К1

А А1

С С1

Дано: АВ = А1В1 , ВС = В1С1, АК = А1К1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1

Доказательство: ∆АВК= ∆А1В1К1 по гипотенузе и катету, тогда

В = В1 и получим ∆АВС = ∆А1В1С1 по двум сторонам и углу между ними.

23)По двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

В В1

К К1

А

С А1 С1

Дано: АВ = А1В1,, ВС = В1С1, АК = А1К1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А1В1К1 по ССС, ∆АВС = ∆А1В1С1 по стороне и двум прилежащим к ней углам.

24) По двум углам и высоте, проведенной из третьего угла.

В В1

К

К1

А С А1 С1

Дано: В = В1 , С = С1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А1В1К1 по катету и острому углу, ∆АСК= ∆А1С1К1 по катету и острому углу, ∆АВС = ∆А1В1С1 по стороне и двум прилежащим к ней углам.

25) По стороне и двум высотам, проведенных из углов, прилежащих к этой стороне.

В В1

К

М М1 К1

А С А1 С1

Дано: АС = А1С1, СМ = С1М1, АК = А1К1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.

Доказательство: ∆АМС= ∆А1М1С1 по катету и гипотенузе, ∆АКС = ∆А1К1С1 по катету и гипотенузе, ∆АВС = ∆А1В1С1 по стороне и двум прилежащим к ней углам.

26) По двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне.

Дано: АВ = А1В1, ВС = В1С1, ВК = В1К1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1 .

Доказательство:∆АВК= ∆А1В1К1 по гипотенузе и катету, ∆ВКС = ∆В1К1С1 по катету и гипотенузе. ∆АВС = ∆А1В1С1 по трем сторонам.

27) По стороне, одному из углов, прилежащих к этой стороне и биссектрисе из этого угла.

В В1

К К1

А С А1 С1

Дано: АС = А1С1, АК = А1К1, А = А1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.

Доказательство:∆КАС = ∆К1А1С1 по двум сторонам и углу между ними, отсюда С = С1, ∆АВС = ∆А1В1С1 по стороне и двум прилежащим к ней углам.

28) По двум высотам и углу, из которого проведена одна из высот.

В В1

М К М1 К1

А

С А1 С1

Дано: СМ = С1М1, АК = А1К1, А = А1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.

Доказательство:∆АМС= ∆А1М1С1 по катету и острому углу, ∆АКС = ∆А1К1С1 по катету и гипотенузе, ∆АВС = ∆А1В1С1 по стороне и двум прилежащим к ней углам.

29) По стороне, прилежащему углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.

Дано:

ABC, ∆ABC

A = A

B = B

AM = AM

AM – высота

AM - высота

Доказать:

ABC = ∆ABC

Доказательство:

AM – высота ‬BMA = 90 ̊

AM - высота BMA = 90 ̊

ABM + BMA + MAB = 180 ̊ (По теореме о сумме углов треугольника)

BMA = 90 ̊

ABM + BMA + MAB = 180 ̊ (По теореме о сумме углов треугольника)

BMA = 90 ̊

Рассмотрим ∆ABC и ∆ABC:

B = B(по доказанному )

AB = AB(по условию)

A = A( по условию)

30) По двум углам и высоте, проведенной из вершины одного из них.

Дано:

ABC, ∆ABC

A = A

B = B

AM = AM

AM – высота

AM - высота

Доказать:

ABC = ∆ABC

Доказательство:

AM – высота ‬⇒ ∠BMA = 90 ̊

AM₁ - высота ⇒ ∠BMA₁ = 90 ̊

ABM + ∠BMA + ∠MAB = 180 ̊(по теореме о сумме углов треугольника)

∠BMA = 90 ̊

ABM₁ + ∠BMA₁ + ∠MAB₁ = 180 ̊(по теореме о сумме углов треугольника)

∠B₁M₁A₁ = 90 ̊

MBA = ∠M₁B₁A₁

A = ∠A₁

Рассмотрим ∆AMB и ∆AMB₁:

M = ∠M₁ = 90 ̊(по доказанному)

AM = AM₁(по условию)

A = ∠A₁(по доказанному)

Рассмотрим ∆ABC и ∆ABC₁:

B = ∠B₁(по условию)

AB = AB₁(по доказанному)

A = ∠A(по условию)

Дано:

A = A

AC = AC

BM = BM

Доказать:

ABC = ∆A₁B₁C₁

31) По углу, прилежащей стороне и проведенной к ней медиане.

⇒ ∆ABC = ∆ABC₁ (По двум сторонам и углу между ними)

AB = A₁B₁

E

̊

По углу, прилежащей стороне и из.

Доказательство:

Приложим ∆ABC и ∆ABC₁ общими сторонами AC и A₁C₁ ⇒ Точки M и M₁ c точкой E, точки A и C₁ совпали с точкой A₂, B₁ совпала с точкой D, точки C и A₁ совпали с точкой C₂, B совпала с точкой B

т.B₁ совпала с т.B

т.M совпала с т.E

т.B₁ совпала с т.D

т.M₁ совпала с т.E

т.E совпала с т.M и M

т.A₂ совпала с т.А и т.С₁

т.С₂ совпала с т.С и т.А₁

BM = BM₁ (По условию) ⇒ B₂E = ED

Заключение

В ходе исследования мы выяснили, что помимо трех основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других. Мы сформулировали и доказали равенство треугольников по медиане, высоте, биссектрисе треугольника в сочетании со сторонами и углами треугольника, придерживаясь наличия трех элементов.

Наша цель достигнута. 9 признаков равенства прямоугольных треугольников плюс 12 признаков равенства равнобедренных треугольников, плюс 11 признаков по другим элементам и плюс IV признак, получилось 33 признака равенства треугольников.

Рекомендации:

Мы предлагаем ознакомить с этими признаками учащихся в седьмом классе и рассматривать их в выпускных классах при подготовке к экзаменам. Также эту информацию можно использовать в отраслях промышленности, где при изготовлении планов и чертежей необходимо знать признаки равенства треугольников.

Список литературы:

Большой справочник школьника: 5 – 11 классы. – 3-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2000

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.

Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 19-е изд. – М. : Просвещение, 2009.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. Материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.

Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – 3-е издание. – М.: Просвещение, 2002.

Справочник школьника: 5 – 11 классы. – М.: АСТ – ПРЕСС, 2002.

Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся 5 – 6 классов. – М.: МИРОСЭ, 1995.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Главный редактор Э68 М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998.

Интернет-ресурсы:

http://festival.1september.ru/articles/520103/

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/03/12/urok-priznaki-ravenstva-treugolnikov

http://nytva.taba.ru/page1291435753/fest/542212_OF_IV-6_Priznaki_ravenstva_treugolnikov_Geometriya_7_klass.html

Приложение

Историческая справка о признаках равенства треугольников

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC   AB; в противоположном направлении восстанавливают CE   AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA;   С =   A;   EDС =   BDA как вертикальные).

Треугольник – простейшая фигура: три стороны, три вершины, три угла. Математики называют его двумерным “симплексом” - по латыни означает простейший. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений.

Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника, достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.

Еще 4000 лет назад в одном египетском папирусе говорилось о площади треугольника.

Через 2000 лет назад в Древней Греции очень активно велось изучение свойств треугольника. Пифагор открыл свою знаменитую формулу.

Особенно плодотворно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках н. э. Большой вклад в эту теорию внес знаменитый математик Леонард Эйлер.

Применение

Просмотров работы: 835