VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

33 признака равенства треугольников

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Калинин Н.Н. 1Уткаев В.В. 1

---

1МБОУ "Лицей №159"

Бутакова В.И. 1

---

1МБОУ "Лицей №159"

Работа в формате PDF

567.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

При изучении основного вопроса по теме исследования нами было прочитано множество литературы. Во всех энциклопедиях в рамках изучения признаков равенства треугольников описывались лишь 3 признака равенства треугольников. В учебниках за седьмой класс также предложены к изучению только 3 признака и 4 признака равенства прямоугольных треугольников. И лишь в Справочнике по элементарной математике М.Я.Выгодского были предложены 4 признака. Мы решили расширить теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к сторонам и углам, используемым в классических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту в сочетании со сторонами и углами треугольника, придерживаясь наличия трех элементов.

Актуальность исследования.

Треугольник – одна из основных фигур в планиметрии. При решении задач используют его самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на практике. Например, в архитектуре - при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности - при проектировании различных деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиасудов; в навигации - для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии одним словом, необходимо знать треугольник и все его свойства. Одно из важнейших свойств для пары треугольников - устанавливать их равенство. Существует ряд задач на тему установления равенства двух треугольников. Некоторые из них встречаются во второй части экзаменационных заданий ЕГЭ и ОГЭ. Для решения задач такого рода необходимо знать признаки равенства треугольников. После опроса своих одноклассников и учащихся своей школы оказалось, что все знают только 3 признака равенства треугольников. Помимо трёх основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других по разным элементам.

Новизна исследования.

Уточнение количества признаков равенства треугольников (анализ). Помимо трёх основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других. Какие именно три соответствующих элемента нужно назвать для установления равенства треугольников?

Объект исследования: Изучение признаков равенства треугольников.

Предмет исследования: треугольник как одна из основных фигур в планиметрии.

Выдвижение гипотезы:

Возможно ли сформулировать и доказать 33 признака равенства треугольников:

Если проанализирована соответствующая литература по данной проблеме;

Изучены и рассмотрены доказательства 3 признаков равенства треугольников из школьной геометрии;

На основе всего изученного применить методы доказательства признаков.

Решаемые задачи:

Изучить литературу по исследуемой теме.

Уточнить количества признаков равенства треугольников.

Апробировать выдвинутую гипотезу путем доказательства теорем.

Метод исследования:

Теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический (доказательство теорем).

Таким образом, целями нашей работы является:

1. Сформулировать новые признаки равенства треугольников, используя понятия: биссектрисы, медианы и высоты.

2. Доказать новые признаки равенства треугольников.

3. Продемонстрировать другим учащимся существование в математике «белых пятен» и возможности их доказательства.

Описание методики исследования.

Треугольник – это одна из основных фигур в геометрии. Знакомый всем треугольник по праву считается простейшей из плоских фигур: любая плоская, т.е. простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет называться треугольником. Так же называют и заключённую внутри образовавшегося контура часть плоскости.

1. Признаки равенства треугольников.

Начнём с определения. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ называются равными, если они имеют соответственно равные стороны и углы.

Треугольник состоит из шести элементов. Из трёх углов и трёх сторон.

При этом возникает вопрос: «Какого наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для установления равенства двух треугольников и какие именно три элемента нужно назвать, для установления равенства двух треугольников?»

Все знают, по каким 3 элементам равны треугольники согласно 3 признакам равенства треугольников. (I, II, III признаки)

Четвертый признак равенства треугольников.

Профессор МГУ Розов приводит некоторые способы доказательства четвертого признака равенства треугольников. Мы приводим один из способов доказательства этого признака.

Формулировка: Если две стороны и угол, лежащий против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС, ∆ А₁В₁С₁, АВ = А₁В₁, АС= А₁С₁., ے В = ے В₁. Доказать: ∆ АВС = ∆ А₁В₁С_1.

Рисунок № 1

Расположим треугольники так, как на рисунке 1. Соединим В и В₁, тогда ∆АВВ₁ – равнобедренный, значит как остатки равных углов. Получим ∆ВСВ₁ – равнобедренный, отсюда ВС=В₁С. ∆АВС=∆А₁В₁С₁ по трем сторонам.

Таким образом, можно считать эту теорему ещё одним признаком равенства треугольников.

В школьном курсе изучаются 4 признака равенства прямоугольных треугольников, а мы рассмотрели еще 9. Докажем некоторые из них.

2. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

По катету и не прилежащему острому углу.

A₁

A

Дано:

C

B

∆ABC, ∆A₁B₁C₁

AB = A₁B₁

∠C = ∠C₁

C₁

B₁

∠B = 90 ̊

∠B₁ = 90 ̊

Доказать: ∆ ABC = ∆A₁B₁C₁

Доказательство:

∠B = 90 ̊ ⇒∠A + ∠C = 90 ̊

∠B₁ = 90 ̊ ⇒∠A₁ + ∠A₁ = 90 ̊

1) ∠A + ∠C = 90 ̊ (По доказанному)

2) ∠A₁ + ∠C₁ = 90 ̊ (По доказанному)

3) ∠C = ∠C₁ (По условию)

⇒∠A = ∠A₁

Рассмотрим ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

∠A = ∠A₁ (По доказанному)

AB = A₁B₁ (По условию)

⇒ ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (По катету и прилежащему к нему острому углу)

∎

По острому углу и медиане, проведенной к гипотенузе.

∎

По катету и медиане, проведенной к гипотенузе.

A₁

A

Дано:

C

B

∆ABC, ∆A₁B₁C₁

M₁

M

BC = B₁C₁

AM = A₁M₁

B₁

C₁

∠B = 90 ̊

∠B₁ = 90 ̊

Доказать: ∆ ABC = ∆A₁B₁C

Доказательство:

BM = B₁M₁ (По условию)

2) MC = BM (По свойству медианы в прямоугольном треугольнике) ⇒

3) M₁C₁ = B₁M₁ (По свойству медианы в прямоугольном треугольнике)

⇒ MC = M₁C₁

Рассмотрим ∆BMC и ∆B₁M₁C₁:

1) BM = B₁M₁ (По условию)

2) BC = B₁C₁ (По условию) ⇒∆BMC = ∆B₁M₁C (По трём сторонам)

3) MC = M₁C₁ (По доказанному)

⇒ ∠C = ∠C₁

Рассмотрим ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

⇒ ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (По катету и прилежащему к нему острому углу)

1) BC = B₁C₁(По условию)

2) ∠C = ∠C₁( По доказанному)

По катету и медиане, проведенной к другому катету.

Дано: АВ = А₁В_1, ВК = В₁К₁ Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С₁ Доказательство: ∆АВК= ∆А₁В₁К₁ по гипотенузе и катету, ∆ВКС = ∆В₁К₁С₁ по двум сторонам и углу между ними, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по катету и гипотенузе.

∎

По катету и высоте, проведенной к гипотенузе

A₁

A

Дано:

C

B

C₁

∆ABC, ∆A₁B₁C₁

M

M₁

BC = B₁C₁

BM = B₁M₁

B₁

∠B = 90 ̊

∠B₁ = 90 ̊

Доказать: ∆ ABC = ∆A₁B₁C

Доказательство:

BM = B₁M₁(По условию)

2) MC = BM (По свойству медианы в прямоугольном треугольнике) ⇒

3) M₁C₁ = B₁M₁ (По свойству медианы в прямоугольном треугольнике)

⇒ MC = M₁C₁

Рассмотрим ∆BMC и ∆B₁M₁C₁:

1) BM = B₁M₁ (По условию)

2) BC = B₁C₁ (По условию) ⇒∆BMC = ∆B₁M₁C (По трём сторонам) ⇒

3) MC = M₁C₁ (По док-му)

⇒ ∠C = ∠C₁

Рассмотрим ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

⇒ ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (По катету и прилежащему к нему острому углу)

1) BC = B₁C₁(По условию)

2) ∠C = ∠C₁(По док-му)

По острому углу и высоте, проведенной к гипотенузе.

Дано: _, ВК = В₁К_1. Доказательство:∆ВКС = ∆В₁К₁С₁ по катету и острому углу, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по катету и прилежащему острому углу)

По высоте, проведенной к гипотенузе и проекции катета на гипотенузу.

8) По катету и его проекции на гипотенузу.

Дано: ВС = В₁С₁ и КС = К₁С_1.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С₁ .

Доказательство: ∆СВК= ∆С₁В₁К₁ по гипотенузе и катету, тогда С = С₁ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по катету и прилежащему острому углу).

9) По проекции катета на гипотенузу и острому углу, прилежащему

к этой проекции.

Дано: КС = К₁С_1,С = С_1. Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С₁ .

Доказательство: ∆СВК= ∆С₁В₁К₁ (по катету и прилежащему острому углу), тогда СВ = С₁В₁ и ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по катету и прилежащему острому углу).

3. Признаки равенства равнобедренных треугольников

10) По боковой стороне и высоте, проведенной к основанию.

12)По основанию и высоте,

проведенной к основанию.

Дано:

ΔABC и ΔA₁B₁C₁

AB=A₁B₁

AD=A₁D₁

ΔABC-равнобедренный

ΔАВС-равнобедренный

AB=A₁B₁

AD=A₁D₁ AD и A₁D₁- медианы

Доказать: Δ ABC= Δ A₁B₁C₁

Доказательство:

ABC-равнобедренный ⇒АВ=АС

Рассмотрим ∆ABD и ∆A₁B₁D₁

⇒∆ABD= ∆A₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними

А₁В₁С₁-равнобедренный ⇒А₁В₁=А₁С₁ ⇒АС=А₁С₁₁ ∆ABD и ∆A₁B₁D₁

АВ=А₁В₁ ∆ABD и ∆A₁B₁D

⇒∠ADB=∠A₁D₁B₁=90 ̊ т.к. AD и A₁D₁ биссектрисы а в равнобедренном треугольнике, биссектриса проведённая к основанию является медианой и высотой

∠ADC=∠A₁D₁C₁

AB=A₁B₁ ⇒ΔABC=ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу лежащему против большей стороны

AD=A₁D₁

13)По основанию

и медиане, проведенной к

основанию.

Дано:

Δ АВС-равнобедренный

Δ А₁В₁С₁-равнобедренный

ВC=В₁C₁

АD =А₁D₁

AD и A₁D₁- высотыU]]]

Доказать:

Δ АВС= Δ А₁В₁С₁

Доказательство:

∠ADB=∠A₁D₁B₁=90 ̊ т.к. AD И A₁D₁ высоты

∠ADC=∠A₁D₁C₁=90 ̊ т.к. AD И A₁D₁ это высоты

Если ВС=В₁С₁, то равны и их половины⇒ B₁D₁=BD

Рассмотрим ∆ADB и ∆A₁D₁B₁

B₁D₁=BD

AD=A₁D₁ ⇒ΔADB=ΔA₁D₁B₁ по двум сторонам и углу между ними⇒∠B=∠B₁, AB=A₁B₁

∠BDA=∠B₁D₁A₁

∠B=∠B₁

AB=A₁B₁ ⇒ΔABC=ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними

BC=B₁C₁

4. Признаки равенства произвольных треугольников

22) По двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них.

В В₁

К К₁

А А₁

С С₁

Дано: АВ = А₁В₁ , ВС = В₁С_1, АК = А₁К₁.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С₁

Доказательство: ∆АВК= ∆А₁В₁К₁ по гипотенузе и катету, тогда

В = В₁ и получим ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по двум сторонам и углу между ними.

23)По двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

В В₁

К К₁

А

С А₁ С₁

Дано: АВ = А₁В_1,, ВС = В₁С_1, АК = А₁К₁.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А₁В₁К₁ по ССС, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

24) По двум углам и высоте, проведенной из третьего угла.

В В₁

К

К₁

А С А₁ С₁

Дано: В = В_{1 ,} С = С_1.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А₁В₁К₁ по катету и острому углу, ∆АСК= ∆А₁С₁К₁ по катету и острому углу, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

25) По стороне и двум высотам, проведенных из углов, прилежащих к этой стороне.

В В₁

К

М М₁ К₁

А С А₁ С₁

Дано: АС = А₁С_1, СМ = С₁М_1, АК = А₁К₁.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1.

Доказательство: ∆АМС= ∆А₁М₁С₁ по катету и гипотенузе, ∆АКС = ∆А₁К₁С₁ по катету и гипотенузе, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

26) По двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне.

Дано: АВ = А₁В_1, ВС = В₁С_1, ВК = В₁К_1.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_{1 .}

Доказательство:∆АВК= ∆А₁В₁К₁ по гипотенузе и катету, ∆ВКС = ∆В₁К₁С₁ по катету и гипотенузе. ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по трем сторонам.

27) По стороне, одному из углов, прилежащих к этой стороне и биссектрисе из этого угла.

В В₁

К К₁

А С А₁ С₁

Дано: АС = А₁С_1, АК = А₁К_1, ∠А = ∠А_1.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1.

Доказательство:∆КАС = ∆К₁А₁С₁ по двум сторонам и углу между ними, отсюда С = С_1, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

28) По двум высотам и углу, из которого проведена одна из высот.

В В₁

М К М₁ К₁

А

С А₁ С₁

Дано: СМ = С₁М_1, АК = А₁К_1, А = А_1.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1.

Доказательство:∆АМС= ∆А₁М₁С₁ по катету и острому углу, ∆АКС = ∆А₁К₁С₁ по катету и гипотенузе, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

29) По стороне, прилежащему углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.

Дано:

∆ABC, ∆A₁B₁C₁

∠A = ∠A₁

∠B = ∠B₁

AM = A₁M₁

AM – высота

A₁M₁ - высота

Доказать:

∆ABC = ∆A₁B₁C₁

Доказательство:

AM – высота ‬⇒∠BMA = 90 ̊ ‬

A₁M₁ - высота ‬⇒∠B₁M₁A₁ = 90 ̊ ‬

∠ABM + ∠BMA + ∠MAB = 180 ̊ (По теореме о сумме углов треугольника)

∠BMA = 90 ̊

∠A₁B₁M₁ + ∠B₁M₁A₁ + ∠M₁A₁B = 180 ̊ (По теореме о сумме углов треугольника)

∠BMA = 90 ̊

Рассмотрим ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

∠B = ∠B₁(по доказанному )

AB = A₁B₁(по условию)

∠A = ∠A₁( по условию)

30) По двум углам и высоте, проведенной из вершины одного из них.

Дано:

∆ABC, ∆A₁B₁C₁

∠A = ∠A₁

∠B = ∠B₁

AM = A₁M₁

AM – высота

A₁M₁ - высота

Доказать:

∆ABC = ∆A₁B₁C₁

Доказательство:

AM – высота ‬⇒ ∠BMA = 90 ̊ ‬

A₁M₁ - высота ‬⇒ ∠B₁M₁A₁ = 90 ̊ ‬

∠ABM + ∠BMA + ∠MAB = 180 ̊(по теореме о сумме углов треугольника)

∠BMA = 90 ̊

∠A₁B₁M₁ + ∠B₁M₁A₁ + ∠M₁A₁B₁ = 180 ̊(по теореме о сумме углов треугольника)

∠B₁M₁A₁ = 90 ̊

∠MBA = ∠M₁B₁A₁

⇒ ∠A = ∠A₁

Рассмотрим ∆AMB и ∆A₁M₁B₁:

∠M = ∠M₁ = 90 ̊(по доказанному)

AM = A₁M₁(по условию)

∠A = ∠A₁(по доказанному)

Рассмотрим ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

∠B = ∠B₁(по условию)

AB = A₁B₁(по доказанному)

∠A = ∠A₁(по условию)

31) По углу, прилежащей стороне и проведенной к ней медиане.

⇒

⇒ ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (По двум сторонам и углу между ними)

⇒ AB = A₁B₁

E

̊

По углу, прилежащей стороне и из.

Доказательство:

Приложим ∆ABC и ∆A₁B₁C₁ общими сторонами AC и A₁C₁ ⇒ Точки M и M₁ c точкой E, точки A и C₁ совпали с точкой A₂, B₁ совпала с точкой D, точки C и A₁ совпали с точкой C₂, B совпала с точкой B₂

т.B₁ совпала с т.B₂

т.M совпала с т.E

т.B₁ совпала с т.D

т.M₁ совпала с т.E

т.E совпала с т.M и M₁

т.A₂ совпала с т.А и т.С₁

т.С₂ совпала с т.С и т.А₁

BM = B₁M₁ (По условию) ⇒ B₂E = ED

Заключение

В ходе исследования мы выяснили, что помимо трех основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других. Мы сформулировали и доказали равенство треугольников по медиане, высоте, биссектрисе треугольника в сочетании со сторонами и углами треугольника, придерживаясь наличия трех элементов.

Наша цель достигнута. 9 признаков равенства прямоугольных треугольников плюс 12 признаков равенства равнобедренных треугольников, плюс 11 признаков по другим элементам и плюс IV признак, получилось 33 признака равенства треугольников.

Рекомендации:

Мы предлагаем ознакомить с этими признаками учащихся в седьмом классе и рассматривать их в выпускных классах при подготовке к экзаменам. Также эту информацию можно использовать в отраслях промышленности, где при изготовлении планов и чертежей необходимо знать признаки равенства треугольников.

Список литературы:

Большой справочник школьника: 5 – 11 классы. – 3-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2000

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.

Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 19-е изд. – М. : Просвещение, 2009.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. Материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.

Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – 3-е издание. – М.: Просвещение, 2002.

Справочник школьника: 5 – 11 классы. – М.: АСТ – ПРЕСС, 2002.

Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся 5 – 6 классов. – М.: МИРОСЭ, 1995.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Главный редактор Э68 М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998.

Интернет-ресурсы:

http://festival.1september.ru/articles/520103/

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/03/12/urok-priznaki-ravenstva-treugolnikov

http://nytva.taba.ru/page1291435753/fest/542212_OF_IV-6_Priznaki_ravenstva_treugolnikov_Geometriya_7_klass.html

Приложение

Историческая справка о признаках равенства треугольников

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC   AB; в противоположном направлении восстанавливают CE   AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA;   С =   A;   EDС =   BDA как вертикальные).

Треугольник – простейшая фигура: три стороны, три вершины, три угла. Математики называют его двумерным “симплексом” - по латыни означает простейший. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений.

Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника, достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.

Еще 4000 лет назад в одном египетском папирусе говорилось о площади треугольника.

Через 2000 лет назад в Древней Греции очень активно велось изучение свойств треугольника. Пифагор открыл свою знаменитую формулу.

Особенно плодотворно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках н. э. Большой вклад в эту теорию внес знаменитый математик Леонард Эйлер.

Применение