Решение задач на смеси, сплавы и растворы с помощью таблиц

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Решение задач на смеси, сплавы и растворы с помощью таблиц

Ворончихина А.В. 1
1МБОУ "ООШ № 12" Асбестовского городского округа
Самофалова В.В. 1
1МБОУ "ООШ № 12" Асбестовского городского округа
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

В пятом классе на уроках математики мы впервые встретились с процентами и с задачами на смеси, сплавы, растворы при изучении тем «Нахождение процентов от числа» и «Нахождение числа по его процентам».

Пример задачи на нахождение процентов от числа:

Сплав содержит 8% меди. Сколько килограммов меди содержится в 360 кг сплава?

Решение: – масса меди в данном сплаве.

Ответ: 28,8 кг

Пример задачи на нахождение числа по его процентам:

Раствор содержит 14% соли. Сколько килограммов раствора нужно взять, чтобы получить 49 кг соли?

Решение: – раствора потребуется, чтобы получить требуемое количество соли.

Ответ: 350 кг

В шестом классе на уроках математики мы снова встретились с задачами на смеси, сплавы, растворы при изучении темы «Процентное отношение двух чисел» мы находили концентрацию вещества.

Пример задачи на нахождение концентрации вещества:

Найти процент содержания соли в растворе, если 400 г раствора содержит 34 г соли.

Решение: - концентрация соли в данном растворе.

Ответ: 8,5%

Меня заинтересовали задачи на смеси, сплавы, растворы, так как они имеют огромное практическое значение. Например, нужно знать, как правильно приготовить маринад для консервирования, как смешать клей для обоев, как приготовить раствор для заливки фундамента дома, как разбавить уксусную кислоту для употребления в пищу и так далее.

Кроме всего прочего, как оказалась, эти задачи есть на ОГЭ по математике в 9 классе (задание 22) и на профильном ЕГЭ по математике в 11 классе (задание 11), поэтому мне стало интересно, смогу ли я решить эти задачи уже сейчас?

Проанализировав информационные источники по данной теме, я обратила внимание на то, что существуют различные способы решения задач на смеси, сплавы, растворы: решение с помощью модели, решение с помощью таблицы, решение методом прямоугольников, правило квадрата, решение с помощью расчетной формулы, решение графическим способом. Благодаря информационным ресурсам я выяснила, чторешение этих задач вызывает у учащихся затруднения и самостоятельно справиться с ними могут немногие, так как данный тип задач ранее встречался только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах.

На уроках математики, начиная с начальной школы, и по сей день, решая текстовые задачи, мы часто оформляли условие задач в виде таблицы, которую продолжали заполнять в процессе решения задачи. С помощью таблицы ранее я успешно решала задачи на движение, задачи на работу, задачи о походе в магазин за покупками и другие, поэтому я захотела научиться решать задачи на смеси, сплавы, растворы именно с помощью таблицы.

Цель проекта: научиться решать задачи на смеси, сплавы, растворы с помощью таблицы.

Задачи:

Познакомиться с основными типами задач на смеси, сплавы, растворы.

Понять особенности решения задач на смеси, сплавы, растворы с помощью таблицы.

Разобрать решение основных типов задач на смеси, сплавы, растворы с помощью таблицы.

Отработать полученные знания при решении нетрудных задач.

Попробовать решить несколько сложных задач.

Гипотеза: опираясь на знания по математике, полученные в 5-6 классах, и познакомившись с особенностями решения задач на смеси, сплавы, растворы с помощью таблицы, можно решить любую задачу на смеси, сплавы, растворы из банка задач ОГЭ и ЕГЭ.

1. Теоретическая часть

1.1. Классификация и примеры задач на смеси, сплавы, растворы

Задачи на понижение или повышение концентрации:

Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%?

В сосуд, содержащий 6 литров 20% водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Сплав массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?

Задачи на «высушивание»:

Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мед, освобождая его от воды. Нектар содержит 84% воды, а полученный мед – 20%. Сколько кг нектара нужно переработать пчелам для получения 1 кг меда?

Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20% воды. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?

Собрали 42 кг свежих грибов, содержащих по массе 95% воды. Когда их подсушили, они стали весить 3 кг. Каков процент содержания воды по массе в сухих грибах?

Задачи на смешивание растворов разных концентраций:

Один раствор содержит 20% соли, а второй 70 %. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г 50% солевого раствора.

Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова. Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков.

Первый сплав содержит 5% меди, второй 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найти массу третьего сплава.

1.2. Особенности решения задач на смеси, сплавы, растворы с помощью таблицы

Таблица для решения задач на понижение или повышение концентрации, а также задач на смешивание растворов разных концентраций имеет примерно такой вид:

 

1-ый

2-ой

Смешали

общая масса

     

концентрация

     

масса чистого вещества

     

В роли одного из растворов может быть вода или чистое вещество, например к сплаву меди добавляется медь; столбиков может быть больше, если смешивается более двух веществ; в сложных задачах, возможно, придется сделать не одну таблицу.

Таблица для решения задач на высушивание имеет вид:

 

«фрукт»

«сухофрукт»

общая масса

   

концентрация

   

масса чистого вещества

   

(концентрация = 100% - процент воды)

Замечания по заполнению таблиц:

Сначала читаем условие задачи и вносим известные данные в таблицу (при необходимости можно что-то принять за ).

Затем заполняем таблицу преимущественно по столбикам.

Способ 1 (с помощью пропорции).

общая масса - 100%

масса чистого вещества - концентрация

можно выписать пропорцию:

далее можно действовать по правилам нахождения неизвестного члена пропорции:

Способ 2 (нахождение процента от числа, числа по его процентам, процентное отношение двух чисел).

Заполняя таблицу по строчкам, учитываем следующее:

при смешивании двух веществ

при переливании

по третьей строчке часто получается уравнение, поэтому в первую очередь стараемся заполнить столбики

Если в роли одного из растворов выступает вода, учитываем следующее:

Если в роли одного из сплавов выступает чистое вещество, учитываем следующее:

При решении задач на высушивание учитываем следующее:

2. Практическая часть

2.1. Решение задач на повышение или понижение концентрации

Задача №1 (способ 1)

Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%?

Решение:

 

сироп

вода

смешали

общая масса

40 кг

8 кг

48 кг

концентрация

18%

0%

15%

масса чистого вещества

7,2 кг

0 кг

7,2 кг

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

40 кг - 100%

? кг - 18%

- масса чистого вещества в первоначальном сиропе;

- масса чистого вещества в разбавленном сиропе;

? кг - 100%

7,2 кг - 15%

- общая масса разбавленного раствора

- масса добавленной воды.

Ответ: 8 кг

Задача №1 (способ 2)

Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%?

Решение:

 

сироп

вода

смешали

общая масса

40 кг

8 кг

48 кг

концентрация

18%

0%

15%

масса чистого вещества

7,2 кг

0 кг

7,2 кг

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

- масса чистого вещества в первоначальном растворе;

- масса чистого вещества в разбавленном сиропе;

- общая масса разбавленного раствора;

- масса добавленной воды.

Ответ: 8 кг.

Задача №1 (способ 3)

Сироп подержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%?

Решение:

 

сироп

вода

смешали

общая масса

40 кг

х кг

(40+х) кг

концентрация

18%

0%

15%

масса чистого вещества

(7,2)кг

0 кг

(0,15(40+х)) кг

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

пусть масса добавленной воды, тогда масса разбавленного сиропа

- масса чистого вещества в первоначальном сиропе;

- масса чистого вещества в разбавленном сиропе;

уравнение:

Ответ: 8 кг.

Задача №2

В сосуд, содержащий 6 литров 20% водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

 

раствор

вода

смешали

общая масса

6 л

6 л

12 л

концентрация

20%

0%

10%

масса чистого вещества

1,2 л

0 л

1,2 л

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

- общая масса смеси;

- масса чистого вещества в первоначальном растворе;

-масса чистого вещества в смеси;

- концентрация получившейся смеси;

Ответ: 10%.

Задача №3

Сплав массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?

Решение:

 

слав

медь

смешали

общая масса

36 кг

х кг

(х+36) кг

концентрация

45%

100%

60%

масса чистого вещества

16,2 кг

х кг

(0,6(х+36)) кг

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

пусть общая масса добавленной меди, тогда или общая масса получившейся смеси

- масса чистого вещества в первоначальном сплаве;

- масса чистого вещества в получившемся сплаве;

уравнение:

.

Ответ: 14,5 кг.

2.2. Решение задач на «высушивание»

Задача №4

Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мед, освобождая его от воды. Нектар содержит 84% воды, а полученный мед – 20%. Сколько кг нектара нужно переработать пчелам для получения 1 кг меда?

Решение:

 

нектар

мед

общая масса

5 кг

1 кг

концентрация

16 %

80%

масса чистого вещества

0,8 кг

0,8 кг

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

- концентрация нектара;

- концентрация меда;

- масса чистого вещества в меде (и в нектаре);

- масса нектара, который потребуется.

Ответ: 5 кг.

Задача №5

Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20% воды. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?

Решение:

 

свежие фрукты

сухие фрукты

общая масса

20 кг

7 кг

концентрация

28%

80%

масса чистого вещества

5,6 кг

5,6 кг

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

- концентрация свежих фруктов;

- концентрация сухих фруктов;

- масса чистого вещества в свежих фруктах (и в сухих фруктах);

- масса сухих фруктов.

Ответ: 7 кг.

Задача №6

Собрали 42 кг свежих грибов, содержащих по массе 95% воды. Когда их подсушили, они стали весить 3 кг. Каков процент содержания воды по массе в сухих грибах?

Решение:

 

свежие грибы

сухие грибы

общая масса

42 кг

3 кг

концентрация

5 %

70 %

масса чистого вещества

2,1 кг

2,1 кг

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

- концентрация свежих грибов;

- масса чистого вещества в свежих грибах (и в сухих);

- концентрация сухих грибов.

Ответ: 70%.

2.3. Решение задач на смешивание растворов разных концентраций

Задача №7.

Один раствор содержит 20% соли, а второй 70 %. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г 50% солевого раствора.

Решение:

 

1-ый

2-ой

смешали

общая масса

х г

(100-х) г

100 г

концентрация

20%

70%

50%

масса чистого вещества

(0,2х) г

(0,7(100-х)) г

50 г

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

пусть общая масса 1-го раствора, тогда общая масса 2-го раствора.

- масса чистого вещества в 1-м растворе;

- масса чистого вещества во 2-м растворе;

- масса чистого вещества в смеси;

уравнение:

Ответ: 40 г, 60 г.

Задача № 8

Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова. Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков.

Решение:

 

1-ый

2-ой

смешали

общая масса

300 г

200 г

500 г

концентрация

20%

40%

28%

масса чистого вещества

60 г

80 г

500 г

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

- масса чистого вещества в 1-м сплаве;

- масса чистого вещества во 2-м сплаве;

- масса чистого вещества в получившемся сплаве;

- общая масса получившегося сплава;

- концентрация получившегося сплава.

Ответ: 28%

Задача №9

Первый сплав содержит 5% меди, второй 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найти массу третьего сплава.

Решение:

 

1-ый

2-ой

смешали

общая масса

х г

(х+10) г

(2х+10) г

концентрация

5%

14%

11%

масса чистого вещества

(0,05х) г

(0,14(х+10)) г

(0,11(2х+10)) г

Замечание: жирным шрифтом с подчеркиванием в таблицу внесены данные, которые находятся в процессе решения.

пусть общая масса 1-го раствора, тогда общая масса 2-го раствора и общая масса 3-го раствора.

- масса чистого вещества в 1-м растворе;

- масса чистого вещества во 2-м растворе;

- масса чистого вещества в 3-м растворе;

уравнение:

Ответ: 30 г

Заключение

Благодаря проделанной работе я убедилась в том, что решение задач на смеси, сплавы, растворы с помощью таблицы возможно, если знать особенности решения этих задач таким способом и опираться на знания по математике, полученные в 5-6 классах. Моя гипотеза была верной. Решение задач на смеси, сплавы, растворы с помощью таблицы часто можно осуществить даже без составления уравнения. В некоторых задач не обойтись без введения неизвестной, составления и решения уравнения.

Работая над проектом, я изучила типы задач на смеси, сплавы, растворы в банке задач ОГЭ и ЕГЭ по математике, и заметила, что большую часть задач могу решить уже сейчас (это шесть видов задач из восьми имеющихся). В банке задач я обратила внимание на две сложные задачи, при решении которых придется составить две таблицы, ввести две неизвестных, составить два уравнения (по одному из каждой таблицы). Я сделала вывод, что мне не достаточно имеющихся знаний, чтобы решить эти две задачи (при решении этих задач составляется система уравнений, а системы уравнений мы научимся решать на уроках алгебры в 7 классе).

Работая над проектом, я научилась решать основные типы задач на смеси, сплавы, растворы с помощью таблицы и поняла, что это очень удобный и понятный способ решения таких задач. Я уверенна, что полученные знания и умения пригодятся мне на ОГЭ и ЕГЭ по математике. Также я считаю, что эти знания и умения пригодятся мне на уроках химии и обязательно пригодятся в повседневной жизни. Я думаю, что без труда смогу научить своих одноклассников решать задачи такого типа с помощью таблиц. Материал моего проекта будет полезен учащихся выпускных классов как пособие для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

Список использованной литературы

Задачи на смеси и сплавы. Журнал «Математика в школе». №17. №11 2004г.

Захарова А.Е. Учимся решать задачи на смеси и сплавы // Математика для школьников. 2006.

Образовательный портал для подготовки к экзаменам.- http://reshuege.ru

Интернет ресурс - [эл. ресурс] - режим доступа, http://ru.wikipedia.org

Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы / Н.И. Прокопенко. - М.: Чистые пруды, 2010.

Цыганов Ш.И. Все задачи ЕГЭ по математике прошлых лет: Учебное пособие / Ш. И. Цыганов - 4-е изд., дополненное - Уфа: Центр педагогических измерений, 2008-324с.

Просмотров работы: 2965