VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Роль математики в решении физических задач раздела «Аэродинамика»

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Бородкин З.Н. 1

---

1МОУ "Гимназия №1"

Филатова Л.И. 1

---

1МОУ "Гимназия №1"

Работа в формате PDF

680.1 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Всё в мире физика и математика!

Всё от улыбки и до слёз,

И танец пчёл, и курс лунатика,

И снега хруст, и запах роз.

Башида

Введение

Развитие современной науки привело к тому, что человечество привыкло пользоваться математикой и физикой в повседневной жизни, не замечая этого. Родители рассчитывают бюджет семьи, бабушки научились следить за давлением и артериальным, и атмосферным. Каждый из нас знает и использует понятия: протяженность, площадь, объём, промежуток времени, скорость, температура.

Но математика и физика не могут существовать отдельно.

Свою жизнь я хотел бы связать с авиацией. Поэтому для меня главная задача - научиться с помощью математики в физике вычислять аэродинамические характеристики самолёта, чтобы убедиться в надёжности современных летательных аппаратов, и смело работать в будущем в гражданской авиации.

В данной работе выдвигается следующая гипотеза:математические приемы дают возможность в физике рассчитать значения величин, которые наука обнаружила в ходе экспериментов.

В наше время эта тема не теряет своей актуальности. Каждая самолётостроительная фирма стремится создать самолёт, превосходящий по качествам безопасности, экономичности самолёты конкурентов. Разработка новых моделей невозможна без взаимодействия математики и физики.

Цель работы: показать работу математики при решении физических задач в аэродинамике при расчёте подъёмной силы крыла самолёта.

Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

познакомиться с разделом физики: аэродинамика;

изучить, от каких факторов зависит подъёмная сила;

расширить общекультурный кругозор в области математических знаний за счёт изучения новых понятий;

провести подбор необходимого материала для исследования данной задачи и оформления работы;

Объектом исследования являются математические задачи расчёта подъёмной силы, в которых используются значения площади крыла и скорости самолёта.

Методы, используемые в работе:

теоретические: изучение и обобщение собранных фактов;

эмпирические: проведение расчётов и сравнений.

1.Теоретические основы аэродинамики.

1.1. Способы передвижения по воздуху

Аэродинамика  — наука, изучающая взаимодействие воздушного потока и обтекаемого им тела.

В аэродинамике рассматриваются такие тела, как самолёты, ракеты, воздушно-космические летательные аппараты и автомобили.

Существует три способа движения по воздуху: аэростатический, реактивный, аэродинамический. Рассмотрим их подробнее.

Аэростатический – это отрыв от Земли, осуществляющийся при помощи тела, удельный вес которого ниже плотности атмосферного воздуха. Это воздушные шары, дирижабли, зонды.

Реактивный, представляющий собой грубую силу реактивной струи от сгорания топлива, позволяющую преодолеть силу земного притяжения.

Аэродинамический способ - это создание подъёмной силы, когда атмосфера Земли используется в качестве поддерживающей субстанции для аппаратов тяжелее воздуха. Именно такой способ используют птицы, а человек создал самолеты, вертолеты.

1.2. Основные силы, действующие на самолёт.

На самолёт при движении по воздуху воздействуют четыре основные разнонаправленные силы.

Сила тяжести - постоянная сила, которая притягивает самолёт к Земле.

Сила тяги, которая исходит от двигателя и двигает самолёт вперёд.

Сила сопротивления – противоположная силе тяги и вызывается трением, замедляя самолёт и уменьшая подъёмную силу крыльев.

Подъёмная сила, которая образуется тогда, когда воздух, движущийся над крылом, создаёт пониженное давление.

Для обозначения данных величин используется вектор. Вектор – направленный отрезок прямой. Условно вектора этих сил направлены вперёд, вниз и верх. Сила, толкающая самолёт вперёд, образуется за счёт двигателя, назад – это естественная сила сопротивления воздуха и вниз – земное притяжение. Ну, а не даёт упасть самолёту – подъёмная сила, образуемая воздушным потоком за счёт обтекания крыла.

Каждый человек хоть раз в жизни ощущал эту силу на себе, высунув ладонь из окна движущейся машины. При повороте ладони на небольшой угол относительно воздушного потока почувствуется, что помимо сопротивления воздуха появилась ещё одна сила, тянущая руку вверх или вниз (в зависимости от направления угла поворота). Угол между плоскостью ладони и направлением движения воздушного потока называется углом атаки. Управляя углом атаки, можно управлять и подъёмной силой.

2. Расчёт подъёмной силы самолёта.

Представим себе, что самолёт – это точка, которая движется по определённой траектории. Для смены этого направления необходимо ускорение. Оно создаётся за счёт подъёмной силы крыла.

Рассмотрим конкретно это понятие.

Подъёмная сила входит в состав аэродинамической силы. Она резко возрастает, когда меняется угол атаки.

Угол атаки—это угол, заключенный между хордой и направлением вектора скорости набегающего потока.

Поэтому могу с уверенностью сказать,что маневренность самолёта заложена в подъёмной силе.

2.1. Формула аэродинамики Н.Е. Жуковского.

Из истории авиации мы знаем, что впервые самолёт взлетел 17 декабря 1903года и продержался в воздухе 59 секунд, преодолев 260 метров.

Почему это не случилось раньше? Потому что учёные не знали, каким образом высчитать подъёмную силу и определить размер и форму крыла самолёта.

В 1904 русский учёный Н.Е. Жуковский открыл закон, определяющий подъёмную силу крыла самолёта, определил основные профили крыльев и лопастей винта самолёта, разработал вихревую теорию воздушного винта.В 1905 году им была выведена основная формула аэродинамики. Она показывает связь подъёмной силы с коэффициентом скорости движения и интенсивностью вихревого потока с площадью крыла.

Вихревой поток - это воздушное течение в виде возмущённых масс воздуха. Мы видим вихревые следы, образующиеся вследствие возникновения подъемной силы.

Площадь крыла – это площадь всех поверхностей, могущих создать подъемную силу, за исключением хвостового оперения.

– формула для расчёта подъёмной силы, где:

F – подъёмная сила крыла (Н);

CF – коэффициент подъёмной силы (зависящий от угла атаки);

S – площадь крыла (м²);

– плотность воздуха на высоте полёта (кг/м³);

V– скорость набегающего потока (м/с).

Для человека, увлеченного аэродинамикой, плотность воздуха, площадь крыла, скорость не вызывает вопросов, а вот коэффициент подъёмной силы не может быть однозначной величиной. Он будет меняться в зависимости от крыла, его удлинения, угла атаки.

2.2. Аэродинамические трубы.

В современном мире для определения коэффициента подъёмной силы используют два способа: экспериментальный и расчётный.

Аэродинамическая труба предназначена для того, чтобы создать условия полёта, только на земле. Один или несколько вентиляторов ставятся внутрь трубы, создавая воздушный поток. Меняя скорость ветра и его плотность, можно сымитировать взлёт, посадку, крейсерский режим, сверхзвуковой режим.

Для проведения экспериментального исследования в аэродинамических трубах создают модели самолётов - уменьшенные в несколько раз копии оригиналов.

Таким образом, исследуются аэродинамические характеристики, особенности обтекания, распределяются нагрузки на элементах модели, определяется возможная область флаттера (вредные колебания крыла в полёте) вплоть до скоростей и углов атаки и скольжения, на которых самолет летать не будет.

2.3. Крыло самолёта.

Крыло самолёта – эта основная несущая поверхность, создающая подъёмную силу.

Для подъёмной силы самолёта важна форма крыла и угол, под которым крыло «встречает воздушный поток». Крыло имеет форму перевёрнутой капли. Огибая бугор крыла, воздух проходит больший путь, чем под крылом. Поэтому создаётся разница давления: сверху оно снижается, а снизу повышается, тем самым толкая крыло вверх.

Один из наиболее важных параметров крыла — его качество: так называют отношение подъёмной силы к силе сопротивления.

Для создания оптимального крыла решаются задачи вариационного исчисления.

Решение физических задач в аэродинамике при расчёте подъёмной силы крыла самолёта

Расчет избыточного давления

Интересно самому рассчитать, чему равно избыточное давление, благодаря которому возникает подъёмная сила. Исходя из формулы, избыточное давление вычисляется: силу тяжести разделить на площадь крыла.

Для данной исследовательской задачи мною был выбран самолёт ИЛ-62.

Из характеристик самолёта нам известно, что площадь поверхности крыла равна 280м².

Дано: Решение:

S_кр = 280 м²

Р_атм = 10⁵ Па

F = 1,54×10⁵ Н

Р_изб = ?

Этот пример показывает, что для взлёта самолёта достаточно создать небольшое избыточное давление.

Закон Бернулли

На следующем этапе работы учитель предложил рассчитать подъёмную силу крыла, обусловленную эффектом Бернулли.

Прежде, чем решить данную задачу мне необходимо было ответить на вопросы: Кто такой Бернулли? Какую формулу он предложил для вычисления подъёмной силы?

Даниил Бернулли - швейцарский физик-универсал, механик и математик, который в 1838 г.  в своей научной работе «Гидродинамика» вывел свой знаменитый закон. В те времена наука аэродинамика еще не существовала.

Закон Бернулли описывает зависимость скорости потока идеальной жидкости от давления. Закон оказался кстати в начале ХХ века, когда зарождалась авиация.

Если рассматривать воздушный поток как несжимаемую жидкость, то этот закон справедлив и для воздушных потоков. Опираясь на него, стало возможным ответить на вопрос, как поднять в воздух летательный аппарат. Для аэродинамики закон Бернулли показывает связь между скоростью движения воздуха и действующим в нём давлением, что помогает делать расчёты сил, действующих на летательный аппарат.

Закон Бернулли - это следствие закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости.

Теперь можно приступить к решению задачи.

Необходимо узнать, чему равна подъёмная сила крыла Ан–4 дозвукового самолёта, если площадь крыла равна 72м², а скорость потока воздуха над крылом и под ним равны соответственно 320м/с и 290м/с.

Дано : Решение:

S = 72м² Уравнение Бернулли:

V_над = 320м/с

V_под = 290м/с

_возд = 1, 29кг/м³

F_{под -} ?

Подъёмная сила самолета Ан-4 приблизительно равна 850Н. Но надо заметить, что исследователи отмечают, что этот закон действует, если скорость движения воздушного потока не превышает скорость звука (до 340 м/с). При скоростях выше скорости звука воздушный поток ведёт себя по-другому.

В будущем хотелось бы это утверждение проверить самому.

Зависимость подъёмной силы самолета от площади его крыла и скорости

В дальнейшем процессе выполнения работы я решил познакомиться с характеристиками различных самолетов. Выбрал максимальную скорость и площадь крыла и занёс их в таблицу.

Что же заинтересовало меня в этих параметрах?

Чем меньше скорость, тем больше площадь крыла.

Например, максимальная скорость ИЛ-76 - 850км/ч, площадь крыла – 300м², у МИГ-29 скорость 2450 км/ч, площадь крыла 38 м².

Получается, самолеты, рассчитанные на полет с различной скоростью, имеют различные размеры крыльев.

Учитель предложил рассчитать, во сколько раз большеподъёмная сила, необходимаядля взлёта транспортного ИЛ-76, чем военного самолёта МИГ-29 при равных коэффициентах подъёмной силы и плотности воздуха.

Дано:

= 1, 29 кг/м³

V₁ = 850 км/ч

S ₁ = 300 м²

V₂ = 2450 км/ч

S ₂ = 38 м²

- ?

Вывод: подъёмная сила транспортного самолёта ИЛ – 76 должна быть в 6 раз больше, чем военного МИГ – 29.

В данной задаче мы использовали равные коэффициенты подъемной силы, но необходимо помнить, что они будут меняться в зависимости от крыла, его удлинения, угла атаки.

Теперь счёл нужным проследить закономерность между 2-мя параметрами самолета: площадь крыла и скорость движения самолета.

На графике видна зависимость: с уменьшением площади крыла, увеличивается крейсерская скорость самолета. Для сравнения я взял ИЛ-76, ИЛ-62, ТУ-155 и истребитель МИГ-29.

Мои исследования подтверждают слова Ландсберга о том, что «медленно летящие транспортные самолеты должны иметь большую площадь крыльев, так как при малой скорости подъемная сила, приходящаяся на единицу площади крыла, невелика. Скоростные же самолеты получают достаточную подъемную силу и от крыльев малой площади».

Заключение

В данной работе мною было решено несколько физических задач из раздела «Аэродинамика». Но решение каждой задачи доказывает необходимость знаний математики – это

работа с обыкновенными и десятичными дробями;

сокращение дробей;

возведение натурального числа в степень;

векторы;

решение линейных уравнений;

нахождение неизвестных компонентов при умножении и делении;

разность квадратов;

построение графика функции на координатной плоскости;

анализ данных и составление таблицы.

Проведя анализ всей выполненной работы, я пришёл к выводу, что физика без математики существовать не может. Математика, будучи «Царицей всех наук», для физики является вспомогательным инструментом, помогающим рассчитать и рассмотреть физические явления и величины.

Занимаясь этой исследовательской работой, я понял, что мне ещё очень многое нужно узнать в области математики, чтобы научиться решать задачи физики и осуществить свою мечту – поднять самолет в небо.

Закончить свою работу хотелось бы словами А. Эйнштейна, который сказал, что «так много в математике физики, как много в физике математики, и я уже перестаю находить разницу между этими науками».

Использованная литература

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИК ФИЗИКИ Под редакцией академика Г.С. Ландсберга Том 1 «Механика. Теплота. Молекулярная физика»

«Занимательная физика» Я. И. Перельман, 2019

«Самолеты. Величайшие битвы» А.Г. Мерников Справочное издание, 2014

«Самолёты» Д.В. Брусилов Справочное издание, 2014

П.С.Шевелько «Справочник авиационного техника», М. – 1974;

Кацаф А.М. «Самолёты», М. – 2015;

Бестугин А.Р. «Безопасность полетов и направления развития тренажеров специалистов управления авиацией», М. - 2016;

Бюшгенса Г.С. «Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов», М. - 1998;

https://www.youtube.com/watch?time_continue=5&v=X_3S6yFy0D0