Лестница в бесконечность

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Лестница в бесконечность

Мурга А.В. 1
1МБОУ лицей №4
Середа Е.И. 1
1МБОУ лицей №4
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Цель:

Разработать математическую и информационную модель на языке Delphi, подтверждающую существование теоретического способа построить лестницу, которая могла бы иметь сколько угодно большую длину и держаться при этом только за счет собственной силы тяжести без дополнительных опор.

Методы, используемые в ходе работы для достижения поставленной цели, это: практико-ориентированный и аналитический, компьютерное моделирование.

Введение

«..Оратор cмолк и под грохот оваций появились Хранители. Началось Действие и в созданной им тишине гулко разносились слова Откровения:

- Я построил для вас Лестницу, ведущую в Небо; я провел вас, слепых и беспомощных, по ее ступеням. Теперь вы получили силу. Настало время сделать собственный шаг. Лестница, ведущая в Небо - лестница в Бесконечность. Вы хотели этого? - Что же ! - Позади у вас почти целая вечность, впереди - чуточку больше. Я верю в вас. И, знаете, у вас нет особого выбора: сделаться ничем и уйти в бессознательность либо двигаться в Бесконечности. Выбор за вами. Выбирайте! И да поможет вам Вечность!»,- так начинается произведение А. Шияна «Лестница, ведущая в небо». Мне недавно попалась в магазине эта книга – заинтересовало название. Действительно, а можно ли построить лестницу в Бесконечность.

С древних времен люди стремились подняться над землей. И лестница - это образ связи верха и низа, разных пространственных зон, она создает условия для коммуникации между мирами. Эквивалентами лестницы являются золотая нить, ось мира, мировое дерево, мировая гора, башня, радуга и др. Лестница связана с движением по вертикали. Движение по лестнице вверх знаменует начало нового этапа, выход на другой уровень. Восхождение по лестнице символически всегда рассматривается как событие, происходящее в Центре Мира, позволяющее выйти за рамки Пространства и Времени.

В Древнем Египте небесная лестница находится под покровительством бога Ра. Она неоднократно упоминается в древнеегипетской "Книге мертвых": "Пусть я, Осирис, победоносно разделю место с тем, кто на вершине лестницы". "Я совершил путешествие с земли на небо по лестнице. Бог Шу помог мне на нее встать, бог Солнца укрепил меня с двух сторон лестницы, и звезды, которые никогда не заходят, направили меня на вершину пути и помогли избежать уничтожения". "Тексты Пирамид" говорят также о лестнице, по ступеням которой, душа человека поднимается на небо. Сами египетские пирамиды, также являют собой огромные лестницы восхождения, дорогу в небеса.

Лестница – это также один из символов христианства. В значительный, переломный момент жизни явилась небесная лестница Иакову, на вершине которой стоял Яхве: "И увидел во сне: вот, лестница стоит на земле, а верх ее касается неба; и вот, Ангелы Божии восходят и нисходят по ней".

И сегодня люди не утратили интереса к Бесконечности. И есть еще те, кому интересно, так можно ли построить лестницу, ведущую на небо? Вот недавно в Интернете я нашел сообщение о том, что Американская компания Slazer Enterprises планирует вложить около 60 миллионов долларов в строительство в Нью-Йорке высотного жилого дома в форме перевернутой лестницы. Каждый из 25 этажей высотного здания будет представлять собой ступень, выдвигающуюся вперед и образующую необычный диагональный силуэт небоскреба (Приложение 1).

Вот и мне тоже стало интересно, можно ли построить лестницу без опор, которая держалась бы только за счет собственной силы тяжести. Я задал это вопрос своей учительнице и она предложила мне заняться разработкой проекта по этой теме и самому все узнать. Итак, в начале работы мы предположили, что раз в литературе так часто встречаются упоминания о лестницах, ведущих в бесконечность, очевидно, существует возможность построить такую лестницу. И дело только за технологиями.

Исходные положения:

Имеются блоки одинакового размера.

Проблема:

Найти условия, при которых можно построить лестницу, держащуюся за счет собственной силы тяжести и без дополнительных опор.

Цель:

Разработать математическую и информационную модель на языке Delphi, подтверждающую существование теоретического способа построить лестницу, которая могла бы иметь сколько угодно большую длину и держаться при этом только за счет собственной силы тяжести без дополнительных опор.

Задачи:

Изучить литературу по данному вопросу

Провести эксперимент

Провести расчеты и разработать математическую и компьютерную модель, подтверждающую цель исследования.

Гипотеза:

Существует возможность построить лестницу, держащуюся только за счет собственной силы тяжести и сколько угодно длинную.

Описание работы

Для доказательства своей гипотезы я провел следующий эксперимент: я брал одинакового размера блоки и укладывал их друг на друга, проводя при этом тщательные измерения и наблюдая за условиями, при которых лестница оставалась неподвижной и держалась только за свет собственной силы тяжести.

Действительно,в каком месте нужно поставить блок, чтобы он не перевешивал ни в какую сторону? Конечно посередине. Центр тяжести одного блока находится на средней линии другого. Значит, этот блок можно положить на другой, сместив относительно нижнего на половину длины, и он не упадет. Для того, чтобы продолжать увеличивать количество ступеней, будем поступать так: под уже уравновешенную систему будем подкладывать новые блоки.

А в каком месте нужно поднимать построенную систему?

Чтобы эта система не упала, ее нужно положить так, чтобы ее центр масс оказался над краем третьего блока. Нетрудно посчитать, что центр тяжести нашей конструкции из двух блоков находится на прямой, смещенной на 1/4 длины блока. Действительно, центр тяжести верхнего блока проецируется на границу нижнего, такая же масса расположена посередине нижнего блока. Значит, центр тяжести системы находится ровно посередине половины блока, т.е. на расстоянии 1/4 длины от края.

Рис.I

Если добавить еще один кирпич, то согласно расчета, верхние два могут быть сдвинуты относительно него также на одну четверть длины.

Проверим теперь нашу конструкцию на прочность. Для этого поместим на конструкцию дополнительный груз. Если груз поместить в точку, которая проецируется на нижний кирпич, то построенная лестница не развалится. Но вот переместим груз чуть правее, и лестница  начинает разваливаться.

Это еще раз показывает, что сдвиги на и   длины  кирпичей являются максимальными, тогда конструкция еще устойчива без цемента, и держится только под действием силы тяжести блоков.

А где находится центр тяжести системы из трех кирпичей? Центр тяжести системы верхних двух кирпичей проецируется на самую границу нижнего. Его же центр тяжести находится посередине. Но теперь массы, приложенные к этим двум точкам неодинаковые — справа масса двух кирпичей, а слева только одного. Значит линия, содержащая центр тяжести системы трех кирпичей с рассматриваемыми сдвигами, разделит расстояние между половиной блока и краем в отношении 2:1, считая от центра. Т.е. проходит на расстоянии длины блока от края.

Таким методом можно посчитать, что, не желая пользоваться цементом, мы можем строить лестницу, сдвигая систему из верхних n кирпичей относительно края нижнего на длины блока. Так мы и будем строить, получая на каждом шаге максимальный возможный сдвиг по горизонтали.

Рассмотрим первые сдвиги уже построенной лестницы. Это , , , , … Перед нами – числовой ряд. Более того, данный ряд - это геометрическая прогрессия. Для ее суммы известна простая формула – первый член, деленный на единицу, минус знаменатель прогрессии:

(1)

Т.е. получается, что длина лестницы с такими сдвигами ограничена? Ну а если попытаться суммировать данные величины, бесконечно убывающие, но показывающие сдвиг блоков нашей лестницы, не по закону геометрической прогрессии?

Не трогая первые два члена, сгруппируем и , как математики говорят, в "блок".  Задвинем верхний блок так, чтобы все сдвиги в блоке были одинаковые и равнялись наименьшему, т.е. . Тогда суммарный сдвиг получится . Таким образом, сдвиг по горизонтали, даваемый этим блоком, больше (мы же задвигали один блок ) длины блока. Как разбивать на блоки нашу лестницу – в нашем распоряжении. И следующий блок, который мы рассмотрим, может состоять из четырех кирпичей. Это даст нам общий сдвиг на

Чтобы оценить  сдвиг в каждом таком блоке будем поступать одинаково. Повторим действие, сделанное в первом блоке — задвинем верхние кирпичи так, чтобы их сдвиг равнялся наименьшему в блоке.  Получим, что  к горизонтальной длине лестницы 4  раза прибавляется  по , т.е. длины блока.  Значит, сдвиг по горизонтали, даваемый этим блоком, тоже больше длины блока.

Вот уже и не трудно усмотреть общую схему. Следующая система блоков будет состоять из 23 кирпичей, и наименьший сдвиг будет на длины блока. Соответственно, общий сдвиг, даваемый этим блоком, будет тоже больше .

Таким способом можно разбить всю нашу лестницу на блоки.

Блок с номером n будет состоять из 2n блоков, и наименьший сдвиг в нем будет равен длины блока. Общее смещение блока будет больше чем .

Суть доказательства: если не стремиться к самому крайнему положению, то достичь сколько угодно большого сдвига лестницы можно таким способом: самый верхний блок (кирпич) сдвинут на 1/2, следующий – на 1/4, два следующих – на 1/8, четыре последующих –– на 1/16 и так далее по степеням двойки. При таком способе мы сдвигаем кирпичи не так сильно (и, значит, тем более остаёмся в равновесии), а то, что сдвиг будет сколь угодно большой, можно проверить несложным расчётом: сдвинув на 1/4, получим 7,5 см. Два сдвига на 1/8 дают ещё 7,5 см, четыре сдвига на 1/16 –– ещё 7,5 см. Вот так, по 7,5 см, мы и наберём сколько нам надо.

Ради справедливости нужно отметить параметры лестницы в числах: для горизонтального смещения на 100 метров понадобится около е666 кирпичей, или 10288 метров в высоту. Если укладывать такую лестницу со скоростью 10 кирпичей/сек, то понадобится 10272 световых лет. Боюсь, это немного не вмещается во Вселенную... Как бы такая конструкция не вылезла за пределы мироздания... А, скажем, лестница высотой от Земли до Луны даст сдвиг всего на 30 м 40 см.

А если домножить  каждый член нашего числового ряда, полученного из сдвигов ступеней на 2, а затем сократить дроби, мы получим ряд, который называется гармоническим:

1+1/2+1/3+ 1/4+1/5+1/6+1/7+...+1/n+...

Он играет большую роль и в каком-то смысле является пограничным.

Если мы будем теперь строить лестницу (уже с использованием цемента) со сдвигами большими чем 1/n (т.е в знаменателе будет стоять число меньше n), то такая лестница тоже уйдет по горизонтали в бесконечность.

В математике подобное свойство называют расходимостью ряда — какое бы не было задано наперед большое число, всегда можно взять столько членов ряда, что их сумма будет больше заданного числа.

Чтобы проверить и доказать, что смещение действительно растет, хотя и очень медленно, я создал компьютерную модель лестницы, держащейся только за счет собственной силы тяжести. Для построения модели я выбрал язык визуального программирования – Delphi.

Разработка компьютерной программы

Итак, в математической части моделирования мы получили расчет всех необходимых сдвигов для выполнения построений. Используя стандартные алгоритмические конструкции языка программирования (условия, циклы, в нашем случае были использованы вложенные циклы, а также вывод графических примитивов) удалось написать программу, в которой можно изменять величину длины блока, его высоты и задавать количество блоков (Приложение 1), а программа по данным параметрам рассчитывает и строит лестницу.

Работа программы начинается с запуска корневой формы и позволяет после ввода необходимых исходных данных в произвольном порядке выз ывать отдельные процедуры для демонстрации различных случаев расположения ступенек лестницы.

Входные и выходные данные:

Длина блока

Целое число (для удобства воспроизведения на экране монитора в программе установлено ограничение на данный параметр от 1 до 120). Данное ограничение является условным и может быть снято.

Высота блока

Целое число (для удобства воспроизведения на экране монитора в программе установлено ограничение на данный параметр от 1 до 120). Данное ограничение является условным и может быть снято.

Количество используемых блоков

Целое число (для удобства воспроизведения на экране монитора в программе установлено ограничение на данный параметр до 50)

Заключение

Весь эксперимент и несложные математические расчеты привели меня к простому алгоритму: если не стремиться к самому крайнему положению, то сколь угодно длинную лестницу можно построить таким способом:

самый верхний кирпич сдвинут на 1/2,

следующий — на 1/4,

два следующих — на 1/8,

четыре после последующих— на 1/16 и так далее по степеням двойки.

То, что сдвиг будет сколь угодно большой, также можно проверить несложным расчетом: будем использовать кирпичи длиной 30 см.. Сдвинув один кирпич на 1/4, получим 7,5 см. Два сдвига на 1/8 дают еще 7,5 см, четыре сдвига на 1/16 — еще 7,5 см. Вот так, по 7,5 см мы и наберем сколько нам надо. А если еще учесть, что высота блока тоже равна 15 см, то лестница будет увеличиваться не только в длину, но и быть сколько угодно высокой.

Со стороны такая стопка выглядит как плавно изогнутая колонна. Конечно, если не считать того, что, во-первых, равновесие неустойчиво (центр тяжести всей стопки расположен примерно над краем самого нижнего блока), а во-вторых, для того, чтобы край верхнего блока выступал над краем самого нижнего блока на большое расстояние, то придется выстроить настолько высокую «гнутую башню», что надо будет учесть неоднородность поля тяготения Земли. Но если пока отбросить определенные условия, то так и до звезд пешком можно добраться! Другой вопрос – сколько это займет времени? Но это уже совсем другая история.

Таким образом, мы подтвердили первоначально выдвинутую гипотезу о том, что «Лестница, ведущая в небо» - это не только плод чьей-то фантазии. Теоретически мы доказали, что лестницу, держащуюся только за счет собственной силы тяжести и сколько угодно длинную и высокую построить можно и дело остается только за технологиями.

Ну а если более приземленно посмотреть на задачу, и сделать что-то реально осуществимое,  то можно, к примеру, всего из  12 кирпичей шириной 30 см сложить "кривой столбик", который будет стоять и не падать, и  у которого вершина будет смещена  вбок относительно основания  более чем на 45 см...

Литература

Береславский Л.Я. Интеллектуальная мастерская. – М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 2000.

Русанов В.Н. Математический сундучок - М.: Мир, 1996.

Савин А.П. Математические миниатюры: Занимательная математика для детей. – М.: Детская литература, 1998.

Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике: История, теория, методика – М.: Школьная Пресса, 2002.

Приложения

Приложение 1. Листинг программы

«Лестница в бесконечность»

Procedure Delay (dwMilliseconds: Longint);

var

Form1: TForm1;

LengthValue: Integer = 0;

HeightValue: Integer = 0;

QuantityValue: Integer = 3;

MaxX: Integer = 0;

MaxY: Integer = 0;

StartX, StartY, CurrentX, CurrentY: Integer;

Rect1: TRect;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.ButtonStartClick(Sender: TObject);

var

qty: Integer;

begin

Form1.ButtonStart.Enabled := False;

Image1.Canvas.Brush.Color := clWhite;

Image1.Canvas.FillRect(Image1.Canvas.ClipRect);

StartX := 0;

StartY := 0;

MaxX := 0;

MaxY := 0;

Image1.Canvas.Pen.Width := 5;

Image1.Canvas.Pen.Color := ClBlue;

for qty:= 1 to QuantityValue do

begin

MaxX := Round(LengthValue/qty) + MaxX;

MaxY := MaxY + HeightValue;

end;

StartX := MaxX + Round((Image1.Width - MaxX)/2);

StartY := Round((Image1.Height - MaxY)/2);

if (StartX > Image1.Width) Or (MaxY > Image1.Height) then

begin

ShowMessage('Недостаточно места на форме. Изменитепараметры');

Form1.ButtonStart.Enabled := True;

Exit;

end;

for qty:= 2 to QuantityValue + 1 do

begin

Delay(1000);

Rect1 := Rect(StartX, StartY, StartX - LengthValue, StartY + HeightValue);

Image1.Canvas.Rectangle(Rect1);

Image1.Canvas.Brush.Color := ClRed;

Image1.Canvas.FillRect(Rect1);

StartX := StartX - Round(LengthValue/qty);

StartY := StartY + HeightValue + 5;

end;

Form1.ButtonStart.Enabled := True;

end;

procedure Delay (dwMilliseconds: Longint);

var

iStart, iStop: DWORD;

begin

iStart := GetTickCount;

repeat

iStop := GetTickCount;

Sleep(1);

Application.ProcessMessages;

until (iStop - iStart) >= dwMilliseconds;

end;

end.

Просмотров работы: 34