VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Таинственное число π (Пи)
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Считается, что существование Вселенной и человека в ней возможно только благодаря удивительному сочетанию математических и физических постоянных величин - неизменяющихся чисел.
Сколько же всего существует фундаментальных констант? Физики признаются, что пока не могут точно оценить их количества: еще не все удалось отыскать, а некоторые из них, видимо, вообще можно получить только путем сложных математических вычислений. Но на сегодня в новейшем перечне, который составила группа известных физиков - Макс Тегмарк, Энтони Агирре, Мартин Рис и нобелевский лауреат Фрэнк ВИЛЬЧЕК, - их содержится 37. Но только 10 из них считаются самыми важными.
- Число пространства: число Архимеда пи - 3,1415926535…
- Число хаоса: константа Фейгенбаума - 4,66920016…
- Число времени: число Непера - 2,718281828…
- Число света: постоянная тонкой структуры - 1/137,0369990…
- Число окружающего мира: мнимая единица - v-1
- Число микромира: масса протона - 1836,152…
- Число темной материи: космологическая константа - 110 000 г/м3
- Число Большого взрыва: постоянная Хаббла - 77 км/с /МПс
- Число гравитации: планковская масса - 21,76… мкг
- Число бесконечности: число Грэхема G63 - это громоздкое уравнение является самым большим в мире и занесено даже в Книгу рекордов Гиннесса.
Но среди них самым интересным и загадочным является число с его не заканчивающимся числовым рядом. На первом курсе мы часто сталкивались с числом пи при изучении в математике раздел тригонометрии.
С 14 марта 1987 года в г. Сан-Франциско стали праздновать число пи ,так как ученый Ларри Шоу подметил, что дата 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как — 3.14 — и время 1:59:26 совпадает с первыми разрядами числа π = 3,1415926…. С тех пор, математики вязли традицию отмечать этот маленький праздник большого числа.
Затем мы провели анкетирование среди обучающихся 1 курса и задали следующие вопросы:
- Знаете ли вы о загадочном числе π?
- Назовите численное значение числа π.
-Что вы еще знаете о числе π.
Результаты анкетирования оказались следующими:
- О существовании числа π знают все обучающиеся нашего техникума;
- Численное значение числа π знают почти все обучающиеся;
- А вот, что еще знают о числе π, не все справились с ответом на вопрос.
То, что число π бесконечно, справились -49 %,
То, что число π выражается обыкновенной дробью – 35 %,
То. что число π встречается в формулах – 12 %,
То, что не знают о числе π ничего – 4 %
После анкетирования мы пришли к тому, что надо исследовать число π .
Цель:
Выяснить, каким способом можно составить алгоритмы для нахождения числа π с помощью компьютера и узнать, какой способ поможет более точно вычислить это число.
Задачи:
- расширить свои знания о математическом числе π;
- познакомится с историей числа π;
- рассмотреть применение числа π;
- выполнить практическую работу.
Объект исследования: число π.
Предмет исследования: интересные факты, связанные с числом π.
Методы исследования:
- теоретический анализ литературы;
- анкетирование студентов 1 курса;
- исследование исторических фактов;
- применение и практическая работа.
Гипотеза: исследования числа π помогут развить обучающимся свою познавательную деятельность, умение самостоятельно анализировать подобранный материал.
Актуальность: с числом π связано много интересных фактов, оно встречается при решении прикладных задач, поэтому именно этим обусловлен повышенный интерес к изучению этого таинственного числа π.
Мы считаем, что наша работа поможет нам и другим обучающимся, интересующимся математикой открыть много нового и интересного о числе π.
История числа пи.
Ссылки:
http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=5806df1c-fa85-4ed3-a1e7-18d9613ec822 http://images.yandex.ru/yandsearch?p=4&text=%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BF%D0%B8&stype=image&ed=1 http://community.livejournal.com/ru_encyclopedia/5418.html http://www.mnemonica.ru/zapominalki/chislo-pi Ссылки
Число π имеет богатую историю. Данная константа обозначает отношение длины окружности к ее диаметру.
Символ «π» стал использоваться в математике лишь в 1700-х годах.
В науке число π используют в любых расчетах, где есть окружности. Начиная от объема банки газировки, до орбит спутников. И не только окружности. Ведь в изучении кривых линий число π помогает понять периодические и колебательные системы. Например, электромагнитные волны и даже музыку.
В 1706 году в книге «Новое введение в математику» британского ученого Уильяма Джонса (1675-1749 гг.) для обозначения числа 3,141592… впервые была использована буква греческого алфавита π.
Древнегреческий математик Архимед (287-212 гг. до н.э.) впервые поставил задачу измерения круга на научную почву. Он получил [3, c.171] оценку 31071<π<31731071<π<317, рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа π в виде дроби 227227, которое до сих называется архимедовым числом.
Появление ЭВМ позволило существенно увеличить точность получаемых значений за более короткие сроки.
1949 год- 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, ENIAC),
1958 год- 10000 десятичных знаков (Ф.Женюи, IBM-704),
1961 год- 100000 десятичных знаков (Д.Шенкс, IBM-7090),
1973 год- 10000000 десятичных знаков (Ж.Гийу, М.Буйе, CDC-7600),
1986 год- 29360000 десятичных знаков (Д.Бейли, Cray-2),
1987 год- 134217000 десятичных знаков (Т.Канада, NEC SX2),
1989 год- 1011196691 десятичных знаков (Д. Чудновски и Г. Чудновски, Cray-2+IBM-3040). Они же добились в 1991 году 2260000000 знаков, а в 1994 году - 4044000000 знаков.
Число, которое мы знаем сейчас, открыли совсем недавно, В Японском университете Цукобо в 2009 году, в нем более 7 триллионов цифр после запятой. По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после запятой. По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой. Текущим рекордом является рекорд Александра Йи и Сингеру Кондо, который составляет 12,1 триллиона цифр после запятой числа π.
Таким образом, мы рассмотрели методы вычисления числа π, используемые в древние времена, аналитические методы, а также рассмотрели современные методы и рекорды по вычислению числа π на компьютерах.
Применение числа π.
В алгебре: π - иррациональное и трансцендентное число. В тригонометрии: - радианное измерение углов. В планиметрии: - длина окружности и её дуги;
- площадь круга и его частей. В стереометрии: - объем шара и частей;
- объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; - площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы. В физике: - теория относительности; - квантовая механика; - ядерная физика.
Космические объекты, элементы космических кораблей, расчет траекторий полета, орбит и т.д. не обходится без формул, в запись которых входит число π.
«Число π присутствует в чертежах и вычислениях, при подготовке и проведении полетов в космос, оно представляет необходимое количество своих десятичных знаков всякий раз, когда они нужны инженерам, рассчитывающим цилиндрические, сферические или конические части машин, физикам и астрономам …. Куда бы мы ни обратили свой взор, видим проворное и трудолюбивое число π: оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине».
Число π появляется в формулах, используемых во многих сферах. Магическое число π не только в математике.
Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них.
Все структуры рельефа Земли — от мелких до гигантских — связаны между собой через число π. Многократным делением радиуса Земли на число π были вычислены границы земного ядра, поверхность литосферы, внутренний радиационный пояс планеты. Таким образом, число π доказало на конкретных примерах свою вездесущность в недрах и на поверхности нашей планеты, а также в околоземном космосе.
И кажется, что подобно тому, как нет конца знакам числа π, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа π.
Число π - математическая константа, на которой ездит велосипедист. Число пи настолько почитаемо, что ему установлено несколько памятников: в Сиэтле, на ступенях перед зданием музея искусств; в США, в Парке скульптур (Нью-Джерси); на южном побережье Крымского полуострова, близ города Кацивели тысячи лет назад люди заметили, что для плетения корзины нужного диаметра, необходимо брать прутья в 3 раза длиннее его. Великая Египетская Пирамида стала фантастическим шедевром инженерного искусства благодаря числу π.
Спичкой ты, друг, не шали! Пламя может принести. Поищи с ней число π! Чудеса откроет π!
Суперкомпьютер 15 лет назад работал 37 часов 21 минуту 4 секунды для подсчета числа π. В настоящее время значение числа П известно с точностью до 500 миллиардов знаков. Инопланетяне уложили посевы на полях Англии под знаком π.
В 1987 году в музее Сан-Франциско впервые устроили Праздник числа π.
Металлическая скульптура числа Пи установлена на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле.
Число π воспроизводят на музыкальных инструментах, и оказывается, что «звучит» оно превосходно.
Но загадка таинственного числа не разрешена вплоть до сегодняшнего дня, хотя по-прежнему волнует ученых. Попытки математиков полностью вычислить всю числовую последовательность часто приводят к курьезным ситуациям. Например, математики братья Чудновские в Политехническом Университете Бруклина специально с этой целью сконструировали суперскоростной компьютер. Однако установить рекорд им не удалось.
Пока рекорд принадлежит японскому математику Ясумаса Канада, который смог вычислить 1,2 биллиона чисел бесконечной последовательности.
Практическая работа.
Практическое вычисление числа π с помощью окружности. Возьмем для расчета 3 четверти окружности.
R=6, = 3,05; R=7, = 2,97; R=8, = 3,031.
Среднее значение 3,01. Более точный подсчет рассмотрим на компьютере.
Формулы для нахождения числа π :
Ряд Мадхавы
Формула Джона Валлиса
Формула Вильгельма Лейбница
Формула Леонарда Эйлера
Нахождение числа Пи с помощью рядов:
Формула Джона Мэчина
Алгоритм Брента- Саламина
Проанализировав решенные нами задачи, мы выяснили, что наиболее точными способами нахождения числа π на компьютере являются:
- ряд Мадхавы (15 знаков);
- формула Лейбница (11 знаков);
- алгоритм Брента- Саламина (15 знаков).
Благодаря данной работе мы научились составлять программы для вычисления числа π различными способами; из этих способов мы выбрали наиболее точные.
Заключение
Сколько в мире неразгаданных тайн?!
Математика – одна из тех наук, которая будет постоянно заставлять человека думать, мыслить, творить и разгадывать, познавать новое, спрашивать и отвечать. Познакомившись с числом π, мы были удивлены по уточнению знаков числа π и поисков алгоритмов для этого процесса.
Благодаря проделанной работе, мы расширили свою познавательную деятельность, в результате чего, углубили знания о необычном, таинственном числе π, познакомились с историей его возникновения, изучили его применение.
Подводя итог работы, мы пришли к выводу, что данная тема актуальна. С числом π связано много интересных фактов, событий и дат, поэтому оно вызывает интерес к изучению.
Люди изучают число π уже на протяжении 4000 лет, а используется в математических формулах на протяжении 250 лет.
Мы никогда не сможем с точностью измерить окружность или площадь круга, так как не знаем полное значение числа π.
Число π используют во многих сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство, навигация и т. д. Нам кажется, что подобно тому как нет конца знакам числа, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа.
Изучение числа π еще далеко незавершенный этап. И человечество ждёт многие научные открытия, связанные с этим числом.
Данная работа имеет практическую значимость как пособие для преподавателя и обучающегося, которое позволяет всесторонне изучить число π, а также познакомиться с его тайнами и значением в жизни человека.
Впереди нас ждут другие удивительные и таинственные числа, которые встречаются в математике, именно они станут объектом наших следующих исследовательских работ.
Используемая литература
Жуков А.В. Вездесущее число π/ А.В. Жуков Москва: УРСС Либроком, 2011. – 214с
Журнал «Математика в школе» № 4, 1991, № 8, 2006.
А.А. Свечников, Путешествие в историю математики, / Свечников А.А.. Москва: Изд. Педагогика, -Пресс, 1995, 168с (не переиздавалось);
С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко, М.К. Потапов, Старинные занимательные задачи, Питер: изд. "Вита-Пресс", 1994 г.;
Д.Р. Гончар, А.Р. Лурия, В.В. Аткинсон. Устный счет и память, Москва: изд. "Сталкер", 2013, 461с
Ф. А. Кымпан, История числа пи, Москва: Наука, 1971. 216 с. (не переиздавалось);
Шумихин, С. Число Пи. История длиною в 4000 лет / С. Шумихин, А. Шумихина. – М.: Эксмо, 2011. – 192с.
Приложение
Ряд Мадхавы
Формула Джона Валлиса
Формула Вильгельма Лейбница
Формула Леонарда Эйлера
Нахождение числа Пи с помощью рядов:
Формула Джона Мэчина
Алгоритм Брента- Саламина
8