VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Дифференциальные уравнения и их применения
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В предисловиях задачников «Алгебра и начала математического анализа 10 и 11 классов (профильный уровень, часть 2 под редакцией А.Г. Мордкович и др.) отмечается, что наличие полноценной как по объему, так и по содержанию системы упражнений достаточно для работы в классе, дома, а также для организации повторения. Однако, наиболее важные разделы математики, включая систему упражнений к ним, или мало взаимосвязаны или вовсе не имеют никаких связей. Более того хотелось бы знать, зачем, например, в 10 классе изучают в §13 график гармонического колебания, в § 34 – тригонометрическую запись комплексного числа, комплексные числа и квадратные уравнения, в § 41 № 41.64 находят вторую производную функции, в № 41.67, № 41.68 – решают уравнения, содержащие первую и вторую производные и приводимые к квадратным; в 11 класс №1.11, 1.18, 21.40-21.42 решаются задачи из теории многочленов, в № 20.20-20.40 находят первообразные для заданной функции, удовлетворяющие определенному условию.
Гипотеза: должны существовать такие задачи, где требуется максимальное количество знаний, где будут сосредоточены многие разделы математики, которые изучаются в школе на базе конкретных элементарных задач.
Цель: определить в решениях каких задач можно использовать такие разделы математики как алгебра, математический анализ, комплексные числа, интегральное исчисление, теория многочленов.
Задачи исследования:
изучить теоретические основы решения дифференциальных уравнений;
решать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от значений коэффициентов;
составить методические рекомендации по теме
определить в каких областях законы жизнедеятельности человека описываются дифференциальными уравнениями.
Обзор литературы
§1. Понятие дифференциального уравнения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию и её производные. Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и её первая производная, то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. Если же дифференциальное уравнение содержит производные второго порядка от неизвестной функции, то его называют дифференциальным уравнением второго порядка. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в это уравнение. В общем случае независимая переменная в теории дифференциальных уравнений обозначается через , а искомые функции - и т.д Для введения понятия дифференциала рассмотрим функцию Её производная Согласно определению предела имеем где – бесконечно малая величина при Отсюда и при уменьшении первое слагаемое уменьшается быстрее, так как отношение - бесконечно малая величина, бесконечно малая высшего порядка. Поэтому выражение называют главной частью приращения функции
Главная часть приращения функции называется дифференциалом функции. Дифференциал функции принято обозначать символом Таким образом, Дифференциал аргумента принимают равным приращению аргумента , т.е. Поэтому равенство можно переписать в следующем виде , т.е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.
Если функция в точке имеет производную , то произведение называется дифференциалом функции в точке и обозначается . Таким образом,
Заметив, что , определим дифференциал независимой переменной как её приращение. Тогда получается, что дифференциалом функции в точке выражается формулой откуда находим т.е. производная функции есть частное от деления дифференциала этой функции на дифференциал аргумента.
Введем понятие общего и частного решения дифференциального уравнения первого порядка. В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в следующем виде: ,
где неизвестная функция, её производная по , а функция заданная относительно переменных
Дифференциальные уравнения первого порядка, уравнения, разрешенные относительно производной, можно записать в виде:
Функция называется решением дифференциального уравнения если уравнение при подстановке её в переменную обращается в тождество по переменной на промежутке Аналогично определяется решение уравнения
Задача нахождения решения уравнения – это задача о нахождении первообразных заданной функции, т.е. задача вычисления интеграла или общего решения уравнения :
Каждое уравнение , которое получается из общего решения при конкретном значении постоянной , называется частным решением.
Пример 1.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Общее решение данного уравнения
Ответ:
Задача нахождения решения уравнения удовлетворяющему условию
где и - заданные числа, называется задачей Коши. Условие называется начальным условием, а решение уравнения удовлетворяющее начальному условию называется решением задачи Коши. Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл – найти интегральную кривую уравнения , которая проходит через заданную точку
Пример 2.
Найти решение задачи Коши:
Решение. Общее решение данного уравнения
Найдем значение постоянной так, чтобы решение задачи Коши удовлетворяло начальному условию
Откуда
Ответ:
§2. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида , где – заданные функции, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Если число является решением уравнения то функция является решением уравнения
Для тех значений , для которых уравнение равносильно уравнению
где
В уравнении переменные присутствуют лишь в левой и, соответственно, в правой частях. В уравнении «разделим переменные»:
Проинтегрируем обе части последнего уравнения по переменным соответственно слева и справа, получим
Если дифференцируемая функция является решением уравнения , то она является решением уравнения при некотором постоянном значении т.е.
ь уравнение не имеет. Если функция то уравнение имеет кроме решений в виде , решение вида , где – это решение уравнения
Пример 3.
Найти все решения дифференциального уравнения
Решение.
или где
Правая часть заданного уравнения обращается в нуль при , поэтому оно имеет решение . Это решение получается при
Ответ: где .
§3. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида , где некоторые числа, называются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Функция называется свободным членом или правой частью уравнения.
Если то дифференциальное уравнение называется линейным однородным уравнением, имеющим вид .
Если - корни характеристического уравнения (линейные уравнения 2-го порядка), то общее решение уравнения записывается в одном из следующих трёх видов:
если -действительные числа и .
если -действительные числа и .
если
Пример 4.
Найти все решения дифференциального уравнения
Решение. – решение данного уравнения, т.к.
Аналогично проверяется, что – также является решением данного уравнения.
Решение сводится к первому случаю: . Покажем, что при любых постоянных функция является решением уравнения.
Имеем , что и требовалось доказать.
Таким образом, любая функция является решением заданного уравнения
Ответ:
Пример 5.
Найти все решения дифференциального уравнения а также частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
Решение.
Решим уравнение
Общее решение данного уравнения при любых постоянных есть функция
Для нахождения частного решения, найдем значения из начальных условий:
Искомое частное решение
Ответ:
§4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
В дифференциальном уравнении - некоторый многочлен.
Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде суммы , где общее решение соответствующего уравнения , определяемое по формулам и , а частное решение данного уравнения
Функция может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простых случаях:
1). – многочлен степени , если не является корнем характеристического уравнения;
2). , т.е. и , где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами. Если , то , где – кратность корня
Пример 10.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
имеет корни
Общее решение соответствующего однородного уравнения . Правая часть заданного уравнения Следовательно, так как Дифференцируя функцию дважды и подставляя производные в данное уравнение, получаем уравнение Сокращая обе части уравнения на и применяя метод неопределенных коэффициентов, получаем откуда
Таким образом, и общее решение данного уравнения есть ,
Ответ:
Пример 11.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
имеет двукратный корень Правая часть заданного уравнения Здесь Частное решение , так как совпадает с двукратным корнем и, следовательно, Дифференцируя два раза, поставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты, получим
Общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Ответ: .
Результаты и обсуждение
§1. Некоторые рекомендации и наблюдения, связанные с решениями дифференциальных уравнений
Методические рекомендации к нахождению общего решения уравнения с разделяющимися переменными
:
1). Разделить переменные, т.е. преобразовать данное уравнение к виду
2). Проинтегрировать обе части полученного уравнения по переменным соответственно.
3). Написать уравнение
Решив уравнение относительно переменной , получаем общее решение дифференциального уравнения: , которое называется также общим решением данного уравнения.
Применим предложенный алгоритм при решении задачи: найти все решения дифференциального уравнения.
Пример 12.
Решение.
,
Ответ: ,
Методические рекомендации к нахождению общего решения однородного уравнения :
1).Составить характеристическое уравнение соответствующее однородному дифференциальному уравнению.
2). Найти - корни характеристического уравнения.
3). В случае если -действительные числа, записать общее решение дифференциального уравнения: при любых постоянных
§2. Примеры приложений дифференциальных уравнений
1). Размножение бактерий. Опытным путем установлено, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, если имеется достаточный запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия. Так как размеры бактерий очень малы, а их количество велико, то принято считать, что масса бактерий с течением времени меняется непрерывно. Поэтому за скорость размножения бактерий принимается скорость прироста их массы, следовательно, если через обозначить массу всех бактерий в момент времени то тогда пропорциональна количеству бактерий, то существует постоянная такая, что .
По условию и -неотрицательные, поэтому коэффициент тоже неотрицательный. Очевидно, что интересным является лишь случай так как при никакого размножения не происходит.
– пример простейшего уравнения.
Пример 13.
Найти решение дифференциального уравнения размножения бактерий или .
Решение. Задано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Так как (иначе бактерии отсутствовали бы), то . Интегрируем обе части уравнения, находим где - постоянная. Откуда =.
Ответ: .
2). Радиоактивный распад. Экспериментально установлено, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна имеющемуся количеству вещества.
Таким образом, если через обозначить массу вещества, ещё не распавшегося к моменту времени то скорость распада удовлетворяет следующему уравнению:
, где некоторая положительная постоянная. В последнем уравнении перед коэффициентом поставлен знак минус, так как , а
дифференциальное уравнение радиоактивного распада.
Пример 14.
Найти решение дифференциального уравнения радиоактивного распада
или .
Решение. Задано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Так как (иначе вещество отсутствовало бы), то распада . Интегрируем обе части уравнения, находим где - постоянная. Откуда =.
Ответ:
3). Падение тела в воздушной среде. Пусть с некоторой высоты на землю сброшено тело массы . Если через обозначить скорость падения, то согласно второму закону Ньютона имеем: где – ускорение движения тела, а - результирующая сила, действующая на тело в процессе движения. В данном случае , где – сила тяжести, а – сила сопротивления со стороны воздуха. Как известно, при обтекаемой форме тела и не слишком больших скоростях движения сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движущегося тела, т.е. , где -коэффициент пропорциональности. Представив в формулу и получим или уравнение падения тела в воздушной среде.
4). Колебания груза под действием упругой силы. Рассмотрим прямолинейное колебательное движение груза массы под действием упругой силы , с которой действует пружина с коэффициентом упругости (Рис. 1)
Рис. 1
Для составления уравнения движения груза по прямой линии введем координату , изменяющуюся со временем приняв за начало положение равновесия груза, а за положительное направление – направление слева направо. Тогда в силу второго закона Ньютона уравнение движения тела имеет вид
По закону Гука для не слишком больших растяжений (сжатий) упругая сила действующая со стороны пружины на груз, будет прямо пропорциональна отклонению груза от положения равновесия и направлена против движения, т.е. . Таким образом или – дифференциальное уравнение колебаний груза под действием упругой силы.
5). Гармоническое колебание. В повседневной жизни мы сталкиваемся с колебательными движениями на каждом шагу: маятник стенных часов совершает периодические качания около отвесного положения, фундамент быстроходной турбины вибрирует в такт с оборотами главного вала, кузов железнодорожного вагона качается на мягких рессорах при проходе колёс через каждый стык рельсов и т. д.
Пример 15.
Материальная точка массой притягивается к неподвижному центру с силой, пропорциональной расстоянию точки от притягивающего центра Найти закон движения этой точки.
Решение. Движение точки происходит по прямой линии, соединяющей начальное положение движущейся точки с центром Примем точку за начало отсчета пути По условию , где – коэффициент пропорциональности; кроме того, эта сила равна произведению массы тела на ускорение ее движения. Учитывая, что в данном случае сила имеет направление, противоположное отсчету пути , запишем уравнение или . Положив имеем . Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение имеет корни
Применяя формулу получаем общее решение уравнения при Полагая, что , где - какие-то другие произвольные постоянные величины, приходим к уравнению или или Полученное уравнение показывает, что точка совершает гармоническое колебание около центра
Ответ:
Заключение
При решении неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами применяются темы из алгебры, теории комплексных чисел, дифференцирование , нахождение первообразной, проходящей через заданную точку, а также теория многочленов, включая метод неопределенных коэффициентов.
На примере некоторых задач было продемонстрировано, дифференциальные уравнения являются одним из основных математических методов изучения и познания окружающего нас мира. Многочисленные явления и процессы, происходящие в живой и неживой природе, можно описать уравнениями, в которые входят неизвестные величины (искомые функции) и скорости изменения этих величин (производные этих искомых функций). Решив уравнение, можно понять закономерности различных явлений и процессов. Именно так И. Ньютон первым объяснил причины движения планет, рассмотрев дифференциальные уравнения, а также нашел траектории их движения. Наиболее важные исследования С.В. Ковалевской относятся к теории вращения твёрдого тела. Она открыла третий классический случай разрешимости задачи о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Доказала существование аналитического (голоморфного) решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с частными производными, исследовала задачу Лапласа о равновесии кольца Сатурна, получила второе приближение.
Библиография
Калинин . Р.А.. Алгебра и элементарные функции. – М.: Наука, 1971
Суворов И.Ф.. Курс высшей математики для техникумов. – М.: Высшая школа, 1967
Зайцев И.Л.. Элемент высшей математики. - М.: Наука, 1966
Демидович Б.П.. Задания и упражнения по математическому анализу для втузов. - М.: Наука, 1970
Атанасян Л.С.. Факультативные курсы по математике для 10-11 классов. – М.: НИИ школ, Министерство научного образования РСФСР, 1989
Дифференциальные уравнения первого порядка. Постановка задачи Коши. - Режим доступа: http://lektsii.org›13-73617.html/ (дата обращения 26.06.2019)