VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Изучаем математику, играя в кубики
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Игральные кубики играют важную роль в мире ребенка с самого рождения, и эта роль не снижается и в период обучения в школе, в частности, при изучении математики.
Занимательные задачи с кубиками разнообразны, так как можно выделить кубики, на гранях которых изображены цифры, буквы, рисунки, цветовая гамма. Такие задачи применимы для детей широкой возрастной категории на различных этапах урока математики.
Я до сих пор очень люблю играть в кубики. Не подумайте, не строить башенки и домики, хотя это тоже может быть очень увлекательно. Нет. Я играю кубиками Никитиных. Это когда нужно сложить картинку или построить какую-то сложную конструкцию.
Еще я люблю играть в монополию, где нужно кидать игральные кубики. Но как-то мой брат очень заинтересовал меня вопросом: а знаешь ли ты каким образом располагаются точки на игральном кубике? Я был очень удивлен. Оказывается, есть определенное правило!
Я решил узнать, что еще интересного может быть в кубике и поделиться моими наблюдениями.
Цели моей работы:
- расширить свои знания, изучив такой обычный предмет, как кубик, узнать откуда появились кубики;
- понять, что же интересного скрывается в игральном кубике;
- рассмотреть необычные задачи, которые можно решать, изучив особенности кубика.
Для проведения работы мне пришлось:
изучить литературу;
посмотреть интернет ресурсы;
провести опыты с записью результатов;
я узнал о таком разделе математики, как теория вероятностей;
я понял, что такое пространственное мышление, без которого невозможно решить некоторые задачи.
Изучаем математику, играя в кубики
Бикбашев Данил Ришатович
Россия, Челябинская область,г. Челябинск, филиал МБОУ «Лицей № 11 г.Челябинска»
Научная статья
История возникновения кубиков
Детские кубики с буквами были изобретены в глубокой древности. Еще в I веке до нашей эры о них упомянул римский оратор Цицерон.
Пытаясь доказать, что всем на земле управляет воля бессмертных богов, он сказал в одной из своих речей: «Почему нам не вообразить, что если бросить на землю известное количество знаков, представляющих двадцать одну букву, то они могли бы упасть, приняв такой порядок, что образовали бы при чтении связный текст?»
Исследователи долго не могли понять, о чем же говорил знаменитый оратор древности. Однако в четвертом веке нашей эры известный церковный писатель и богослов Иероним написал трактат «О воспитании отроковицы». В нем помещен совет, как обучить маленькую девочку грамоте: «Нужно сделать ей буквы из дерева или из слоновой кости. Пусть играет с ними и играючи обучается; перемешивая буквы, она будет знать их не только по звуку, но и по виду».
Но, пожалуй, детские кубики появились позднее игральных костей, у которых было несколько предназначений – это и азартные игры, и предсказание будущего.
История игральных костей берет свое начало в тот период времени, когда люди не знали об астрологии и звездных картах и хотели предсказывать свое будущее. Для этого они придумали гадальные кости, от которых потом и произошли игральные. Сначала их бросали, чтобы можно было трактовать выпавшие комбинации. В качестве игральных костей могли использовать останки животных и плоды деревьев. И в наше время археологи раскапывают и находят костяшки, как гадальные, так и игральные, которые изготовлены из камней, фруктовых косточек, драгоценных металлов, скорлупы орехов, хрусталя, зубов животных и янтаря. К тому же все они имеют разное количество граней: 4, 6, 20 и 24.
Рис. 1. Древние игральные кости для предсказания будущего.
Настольные игры появились много тысяч лет назад: древние египтяне, китайцы и шумеры играли в разнообразные игры, это известно по фрескам или по найденным фигуркам. История игральных кубиков или игральных костей, как их называют, начинается более 5000 лет назад, четырехгранники именно такого возраста были найдены археологами при раскопках шумерского города Ур. Причем сделаны они из слоновой кости. Наиболее популярный и распространенный вид — это шестигранные игральные кости. Так получилось из-за их простого изготовления и более удобного и легкого ведения счета.
Стандартная форма куба с точками появилась 4000 лет назад.
Рис. 2. Древние игральные кости с точками.
Магические числа в кубике.
Правильный кубик имеет шесть граней. Число «6» — космическое число материального мира, число, избранное египтянами, чтобы символизировать время и пространство. Все, что делается со временем, так или иначе связано с числом шесть или числами, кратными шестерке. Сутки составляют 24 (6×4) часа, двенадцать (6×2) — для дня, двенадцать (6×2) — для ночи. Час составляет 60 минут, а минута — 60 секунд. Месяц — 30 дней (6×5). Год — 12 месяцев (6×2). Большой Год зодиака составляет 12 периодов зодиака (знаков зодиака).
Пространство (объем) — требует шесть направлений для определения себя: вверх и вниз, назад и вперед, вправо и влево. Куб, правильная шестигранная фигура, использовался в Египте как обозначение для пространства (объема). Египетские храмы представляли собой модель Вселенной, с правильным кубом в основании. Смежные плоскости этого куба были тщательно ориентированы по сторонам света. А еще 6 - это совершенное число, то есть такое число, которое равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа. Поэтому куб можно считать совершенной фигурой.
Однажды я решил внимательно рассмотреть игральный кубик и заметил много интересного, чем и хотел бы с вами поделиться.
Правильный игральный кубик имеет 8 вершин, 6 граней, 12 ребер, 4 диагонали и 28 соединений между двумя вершинами. На каждой грани нанесены точки: от 1 до 6. Если кубик правильный, то на противоположных гранях сумма очков должна быть равна 7. С помощью кубика можно таким образом объяснить состав числа семь. Одновременно можно увидеть одну, две или три грани. Максимально на кубике можно увидеть 15 точек (сумма точек на трех гранях). Если мы видим только одну грань, то минимальное количество точек, которые мы можем увидеть – 1, 6 –минимальное количество точек, когда мы видим сразу три грани.
Рис. 3. Игральный кубик, повернутый к нам тремя гранями.
Грани 1, 2 и 3 имеют общую вершину, эти грани могут располагаться по часовой стрелке или против часовой стрелки по отношению к вершине. Если грани 1, 2 и 3 идут против часовой стрелки, кубик называется правым и наоборот.
Рис. 4. Расположение граней в игральном кубике (в данном случае кубик называется правым).
Развертки кубика.
Мы можем развернуть кубик. Развертка кубика – это рисунок кубика на бумаге, вырезав который и сложив по линиям можно собрать объемный кубик. Всего можно нарисовать 11 разверток кубика.
Рис. 5. Развертка игрального кубика и различные виды кубика, когда мы видим одновременно по три грани.
Рис.6. Все виды разверток кубика.
А еще можно усложнить: попробовать нарисовать развертки с точками.
Кубик и пространственное мышление.
Задачи с кубиками развивают пространственное воображение, помогают формированию умения мысленно представлять различные положения предмета и изменения его положения в зависимости от разных точек отсчета. Они развивают конструкторское мышление, способности к моделированию, исследовательские навыки.
Как Вы думаете: сколько потребуется кубиков, чтобы выложить квадрат 4*4?
А чтобы выложить куб 4*4*4?
А теперь подумайте: мы строим куб 3*3*3 и все кубики , которые оказались снаружи, мы покрасим в желтый цвет. Сколько у нас останется неокрашенных кубиков?
А если теперь все то же самое мы проделаем с кубом 4*4*4. Сколько в этом случае окажется неокрашенных кубиков?
В первом случае у нас получится 1, а во втором уже 8. Если поразмышлять, то мы увидим, что куб имеет три измерения: длина, ширина и высота. Следующее: если наружный куб размером 3*3*3, то, следовательно, мы убираем крайние окрашенные кубики и получаем, что остается один. Аналогично рассмотрим куб 4*4*4: в этом случае мы также убираем по одному окрашенному кубику с каждой стороны и получим, что у нас останется куб 2*2*2 из неокрашенных кубиков. В этом году мы узнаем, что объем считается по формуле:
высота*ширина*длина,
следовательно, количество кубиков в кубе 2*2*2 будет равно произведению 2*2*2.
Игральный кубик и теория вероятностей.
Когда мы бросаем кубик, то понимаем, что может выпасть любое количество очков. А вы когда-нибудь задумывались сколькими способами это может произойти и возможно ли охарактеризовать появление определенной грани некоторым числом?
Это еще одно направление, которым можно заниматься при помощи кубиков: теория вероятностей. Конечно, высчитать результат мы еще пока не можем. Но провести опыты и понаблюдать – это в наших силах.
Игральный кубик или игральная кость служит прекрасным средством для получения случайных событий. Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Все равновозможные исходы однократного бросания пары костей можно записать в виде
(1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
(2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
(3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
(4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
(5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
(6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
В каждой записи первая цифра – количество очков на первом кубике, вторая – количество очков на втором кубике.
Мы можем провести эксперимент, бросая кубики и записывая сумму выпадающих очков.
Я решил провести эксперимент. Я буду 20 раз бросать кубики и записывать результат. Я хочу узнать, сколько раз из 20 бросков выпадет сумма очков 7.
Итак… эксперимент. Вот что у меня получилось:
1. (6;1) 11. (3;5)
2. (4;3) 12. (3;3)
3. (4;6) 13. (3;3)
4. (6;4) 14. (4;1)
5. (1;1) 15. (2;2)
6. (1;6) 16. (3;2)
7. (5;1) 17. (6;5)
8. (5;6) 18. (3;5)
9. (4;1) 19. (1;1)
10. (1;3) 20. (5;1)
В результате эксперимента у меня получилось, что 3 раза из 20 у меня выпала сумма очков на двух кубиках, равная 7. Мне захотелось повторить эксперимент. Во второй раз у меня получилось 4 раза из 20 сумма очков на двух кубиках была равна 7.
Так опытным путем я увидел, что какое-то событие может наступить или нет. Я узнал, что есть раздел математики, который называется теория вероятностей, который и помогает высчитать вероятность наступления того или иного события.
Большой вклад в начало теории вероятностей был сделан Блезом Паскалем именно при анализе игры в кости. В самом простом виде игра выглядела так: загадываешь и объявляешь вслух число, которое у тебя должно выпасть, как сумма на верхних гранях двух брошенных тобой костей (игральных кубиков) – и бросаешь кости. Если не угадал – поставленные тобой деньги уходят. Паскаля просили научить загадывать так, чтобы как можно реже проигрывать.
Он предложил рассмотреть возможные варианты выпадения каждой суммы:
Сумма 1 – не выпадает никогда.
Сумма 2 – только одним способом (1 и 1).
Сумма 3 – двумя способами (1 и 2, 2 и 1).
Сумма 4 – тремя способами (2 и 2, 1 и 3, 3 и 1).
Сумма 5 – четырьмя способами (4 и 1, 1 и 4, 3 и 2, 2 и 3).
Сумма 6 – пятью способами (5 и 1, 1 и 5, 4 и 2, 2 и 4, 3 и 3).
Сумма 7 – шестью способами (6 и 1, 1 и 6, 5 и 2, 2 и 5, 4 и 3, 3 и 4).
Сумма 8 – пятью способами (6 и 2, 2 и 6, 5 и 3, 3 и 5, 4 и 4).
Сумма 9 – четырьмя способами (6 и 3, 3 и 6, 5 и 4, 4 и 5).
Сумма 10 – тремя способами (5 и 5, 6 и 3, 3 и 6).
Сумма 11 – двумя способами (5 и 6, 6 и 5).
Сумма 12 – только одним способом (6 и 6).
Исходя из этого можно увидеть, что при честной игре выгоднее всего загадывать 7, так как вероятность выпадения этого количества очков выше, чем остальных, так как имеет больше способов выпадения. Этот процесс понравился Паскалю тем, что события, которые он моделировал, не были равновероятными (в отличие от выпадения орла и решки при бросании монеты).
В проведенном мною эксперименте получилось, что сумма очков равная 2 выпала 2 раза, равная 3 – не выпала ни разу, равная 4 – выпала2 раза, равная 5 – выпала 3 раза, равная 6 – выпала 4 раза, равная 7 – выпала 3 раза, равная 8 – выпала 2 раза, равная 9 – не выпала ни разу, равная 10 – выпала 2 раза, равная 11 – выпала 2 раза, равная 12 – не выпала ни разу. Мы можем пронаблюдать, что на самом деле чаще выпадает та сумма очков, которая имеете больше способов выпадения.
Я еще раз убедился в том, что, играя в обычные кубики, можно очень многому научиться.
Заключение
В классе я провел опрос по двум вопросам:
1. Нарисуйте развертку кубика. По результатам проведенного опроса из 26 человек 10 нарисовали по одной развертке, 2 человека - по две., остальные затруднились с ответом.
2. На вопрос с какой особенностью располагаются точки на игральном кубике ответили, что знают только три человека, остальные затруднились с ответом.
Я сделал вывод: нужно постараться заинтересовать своих одноклассников изучением кубиков, так как игральные кубики играют важную роль в мире ребенка с самого рождения и эта роль не снижается и в период обучения в школе, в частности, при изучении математики. Ученик, школьник - это, прежде всего, ребенок. Мы, как губка, впитываем всю информацию из окружающего мира. Всегда можно найти ситуации или создать условия, которые смогут послужить толчком к глубоким размышлениям, к творческой и исследовательской деятельности школьника.
Занимательные задачи с кубиками разнообразны, так как можно выделить кубики, на гранях которых изображены цифры, буквы, рисунки, цветовая гамма. Такие задачи применимы для детей широкой возрастной категории на различных этапах урока математики, во внеклассной работе. Все они способствуют:
обучению чтению графической информации, изображения геометрических объектов;
развитию пространственного воображения;
формированию умений мысленно представлять различные положения предмета и изменения его положения в зависимости от разных точек отсчета и умения зафиксировать это представление на изображении;
обучению логическим обоснованиям геометрических фактов;
развитию конструкторских способностей, моделированию;
развитию познавательных процессов: восприятия, внимания, памяти, мышления;
развитию исследовательских навыков.
В процессе подготовки работы я узнал очень много нового и интересного об очень доступном и таком привычном предмете, как кубик. Мне бы очень хотелось, чтобы вам, как и мне, понравились задачи с игральными кубиками. Играйте в кубики! Это очень интересно в любом возрасте.
Список литературы:
Я.И.Перельман. Веселые задачи. Две сотни головоломок./ Я.И. Перельман. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2013 – 286, [2] с.: ил. – («Библиотека Аванты+»).
А.Е.Попов. Скромность / А.Е.Попов. – Челябинск, 2019. – 40 с.
Кости игральные // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях: элементы теории вероятностей в курсе сред. школы: пособие для учителя / Пер. с фр. А.К.Эфоккина – М.: Просвещение, 1979. – 176 с., с ил.
Яковлева Т.П. «Задачи с игральными костями как средство реализации гуманитарной направленности в обучении математики.» https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/561822/
Франц Герман «О развертках куба» http://new-idea.kulichki.net/pubfiles/100523103002.pdf
«Куб и его развертки» Старт в науке (научный журнал) - https://science-start.ru/ru/article/view?id=1223
«Детская энциклопедия Потому.ру» https://potomy.ru/things/3278.html
Ю. Измайлов «История игральных костей» http://xn----dtbjalal8asil4g8c.xn--p1ai/igryi/istoriya-igralnyih-kostey.html
Приложение.
Примеры задач
1. Сможете ли Вы посчитать сколько кубиков нужно, чтобы построить куб с размером ребра в четыре кубика? А если снаружи кубик покрасить , то сколько останется внутри неокрашенных кубиков? (64 кубика всего; 8 остается неокрашенных)
2. Сможете ли Вы сосчитать сколько потребуется кубиков для построения этих конструкций?
1 (55); 2(27); 3(60)
3. На рисунке изображена фигура, являющаяся разверткой куба. Тонкие линии - это линии сгиба. Мысленно сверните куб из развертки. Определите, какая грань является верхней, если закрашенная грань - нижняя. (ответ – в).