Методы решения показательных уравнений и неравенств

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Методы решения показательных уравнений и неравенств

Мамиева М.А. 1
1МБОУ СОШ 30
Караева Д.А. 1
1МБОУ СОШ 30
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Аннотация

Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.                                                                                 

 В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.

В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности,  а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет­-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.

Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:

- осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.

- развитие логического мышления и алгоритмической культуры;

 

Введение

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения. 
Томас Хилл 


Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.

История Показательных уравнений

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с  1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.

 

Показательные уравнения

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид:

ax = b,         

где a > 0, a ≠ 1.

Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:

  • метод приведения к одному основанию;
  • метод введения новых переменных;
  • метод вынесения общего множителя за скобки;
  • метод почленного деления;
  • метод группировки;
  • метод оценки.

Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image002_12.png

Пример:

32x-1 = 7x+1

Представим правую часть в виде 3 log37x+1

И запишем уравнение равносильное исходному

32x-1=3 log37x+1

Перейдем к уравнению для показательных степеней

2x-1= log37x+1

2x-1=xlog37 +log37

x(2-log37 )= log37 +1

x=1+log372-log37

x=log33+log37log332-log37

x=log321log97

x=log9721≈12.1144

Ответ: 12.1144

 

Метод введения новых переменных

Введение новой переменной обычно производится после преобразований членов уравнения.

Пример:

4x2 -2x2 -2=0

Обозначим t=2x2 ,где t>0, тогда

t2 -t-2=0

t1 =-1

t2 =2

Так как -1<0, то остается только корень равный 2

2x2 =2 , откуда

x2 =1

x=1

x=-1

Ответ: -1; 1.

 

Метод вынесения общего множителя за скобки

Тождественное преобразование, в результате которого многочлен 
приводится к произведению нескольких множителей, называют 
разложением многочлена на множители.

Пример:

x2·2x+1 + 2|x-3|+2 = x2·2|x-3|+4 + 2x-1

То, что находится в правой части, мы перенесем в левую часть и сгруппируем многочлены с одинаковыми показателями

(x2·2x+1 -2x-1)+(2|x-3|+2- x2·2|x-3|+4) = 0

Вынесем общие множители за скобки

2x-1(4x2-1) +2|x-3|+2(1-4x2) = 0,

откуда следует

(4x2-1)·(2x-1 -2|x-3|+2) = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности

 

http://www.math.md/school/praktikum/expr/t1x.gif

4x2-1 = 0,

2x-1 = 2|x-3|+2.

Из первого уравнения совокупности находим x1 = - 12 ,x2= 12

 

Из второго уравнения получаем:

2x-1 = 2|x-3|+2

x-1=x-3+2

x-3=x-3

x-3=x-3, если x≥3x-3=-x+3, если x<3

0∙x=0, если x≥32x=6, x=3, если x<3

Ответ: - 12     12    3; +∞ .

 

 

Метод почленного деления

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

 22х+1-7·10х+ 52х+1=0

22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0    /52х≠ 0
25 2х– 7· 25 х +5=0

Пусть 25 х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2=52
25 х=1, 25 х =52
х=0, х=-1

Ответ: -1; 0.

 

 

 

Метод группировки

3·22х+12 ·9х+1– 6·4х+1= - 13 ·9х+2

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

12 ·9х+1+13 ·9х+2=6·4х+1-3·22х

12 ·9х·9+13 ·9х·92=6·4х·4-3·4х

4,5·9х+27·9х=24·4х-3·4х

31,5·9х=21·4х      /9х≠0        

31,5= 21·49 х

49 х=32

23 2х=23 -1

2х=-1

х=-0,5

Ответ: -0,5.

 

Метод оценки

(5)2+4+6+...+2x =545  , x Î N

 Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим

12  (2+4+6+...+2x) = 45

 1+2+...+ x= 45.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии

Sn =n(a1+an2 )

получим уравнение

x1+x2 =45

или

x2+x-90 = 0

корни которого x1 = -10 и x2 = 9.

Поскольку x ÎN, остается x = 9.

Ответ: 9.

 

Показательные неравенства

Неравенства, содержащие переменные в показатели степени, называются показательными. Методы применяемы при решении показательных уравнений, мы также можем использовать и при решении показательных неравенств. Приведем несколько примеров.

Пример 1.

 2x-3  4+ 16-2x-3

В этом неравенстве мы используем метод введения новой переменной.

Пусть  2x-3 =t, тогда получаем неравенство

t 4+16-t

Преобразуем последнее неравенство

4+16-t – t 0

t2-10t+256-t 0

(t-5)26-t 0

 

Используя метод интервалов, найдем решение неравенства с переменной

t=5, t> 6. Отсюда 2x-3 =5 и 2x-3> 6.

Пусть 2x =a, решим уравнение и неравенство с модулем.

Из уравнения a-3 =5 получаем

a-3=5   a-3=-5

a=8   a=-2

Подставим вместо a=2x

2x=8   2x=-2

Получаем x=3

Модуль a-3  есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3.

Для решения неравенств a-3> 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6. Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

a-3> 6  получаем a< -3 или a> 9.

   2x<-32x>9

2x>2log29

x >log29

Ответ: {3} ∪ (log29 ;+∞).

Пример 2.

2(32x+2x3x+1+30)> 3(4x-2x3x+1+log32)

Так как  и левая, и правая части неравенства положительны, то от них можно взять  log2 :

32x+2x3x+1>log23(4x-2x3x+1+log32)

32x+2x3x+1>(4x-2x3x+1+log32)∙ log23

32x+2x3x+1>(4x-2x3x+1)∙log23+1

32x+2x3x>(4x-2x3x+1)∙log23

Поделим каждое слагаемое неравенства на (2x3x) :

32x+1>23x-3log23

Обозначим: 32x =y, где y >  0:

y+1 > 1y- 3 log23

Умножим каждое слагаемое на y:

y2+y> 1-3ylog23

Перенесем многочлен из левой стороны в правую сторону:

y2+y-1-3ylog23>0

Раскроем скобки:

y2+y-log23+3ylog23>0

y2+3log23+1y-log23>0

Решим уравнение:

y2+3log23+1y-log23=0

D=3log23+1 2 +  4log23=9log232+10log23+1

D >0 ,   следовательно

y =-3log23+1±9log232+10log23+12

В связи с тем, что log23>0 , то и D >3log23+1 2.

 

Из этого следует, что только один из корней будет больше нуля:

y =-3log23+1+9log232+10log23+12

Отметим точку y на оси, y >0 :

(Иллюстрация II.)

y Î -3log23+1+9log232+10log23+12;+∞

Из этого следует, что  x Î log32-3log23+1+9log232+10log23+12;+∞

Ответ: x Î log32-3log23+1+9log232+10log23+12;+∞ .

 

-3log23+1+9log232+10log23+12

                                                                                     

 

Иллюстрация II.

Заключение

Работа над данным проектом была интересной и увлекательной. Но что самое главное - она стала очень полезной для меня, так как совсем скоро мне предстоит сдавать экзамены. Ведь изучение над этой темой не только дало мне новые знания, но также помогло развить логическое мышление и научило находить решение в, казалось бы, безвыходных ситуациях.
Мне понравилось работать над данной темой, потому что благодаря этому проекту я смогла расширить свои знания в области показательных уравнений и неравенств.

Список литературы

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс:/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, Н.Е.Федоров, М.И.Шабунин

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни. Колягин Ю. М.

ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией И.В. Ященко.

ЕГЭ 2016. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией И.В. Ященко.

https://shkolkovo.net/catalog/reshenie_neravenstv/pokazatelnye/page-7

Просмотров работы: 63