VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задачи на движение
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Основатели современной науки – Коперник, Кеплер, Галилей и Ньютон – подходили к исследованию природы как математики. Исследуя движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как функция, или отношение между переменными, например d = kt2, где d – расстояние, пройденное свободно падающим телом, а t– число секунд, которое тело находится в свободном падении. Понятие функции сразу же стало центральным в определении скорости в данный момент времени и ускорения движущегося тела. Математическая трудность этой проблемы заключалась в том, что в любой момент тело проходит нулевое расстояние за нулевой промежуток времени. Поэтому определяя значение скорости в момент времени делением пути на время, мы придем к математически бессмысленному выражению 0/0.
Задача определения и вычисления мгновенных скоростей изменения различных величин привлекала внимание почти всех математиков 17 в., включая Барроу, Ферма, Декарта и Валлиса. Предложенные ими разрозненные идеи и методы были объединены в систематический, универсально применимый формальный метод Ньютоном и Г.Лейбницем (1646–1716), создателями дифференциального исчисления. По вопросу о приоритете в разработке этого исчисления между ними велись горячие споры, причем Ньютон обвинял Лейбница в плагиате. Однако, как показали исследования историков науки, Лейбниц создал математический анализ независимо от Ньютона. В результате конфликта обмен идеями между математиками континентальной Европы и Англии на долгие годы оказался прерванным с ущербом для английской стороны. Английские математики продолжали развивать идеи анализа в геометрическом направлении, в то время как математики континентальной Европы, в том числе И.Бернулли (1667–1748), Эйлер и Лагранж достигли несравненно бóльших успехов, следуя алгебраическому, или аналитическому, подходу.
Основой всего математического анализа является понятие предела. Скорость в момент времени определяется как предел, к которому стремится средняя скорость d/t, когда значение t все ближе подходит к нулю. Дифференциальное исчисление дает удобный в вычислениях общий метод нахождения скорости изменения функции f (x) при любом значении х. Эта скорость получила название производной. Из общности записи f (x) видно, что понятие производной применимо не только в задачах, связанных с необходимостью найти скорость или ускорение, но и по отношению к любой функциональной зависимости, например, к какому-нибудь соотношению из экономической теории. Одним из основных приложений дифференциального исчисления являются т.н. задачи на максимум и минимум; другой важный круг задач – нахождение касательной к данной кривой.
Оказалось, что с помощью производной, специально изобретенной для работ с задачами движения, можно также находить площади и объемы, ограниченные соответственно кривыми и поверхностями. Методы евклидовой геометрии не обладали должной общностью и не позволяли получать требуемые количественные результаты. Усилиями математиков 17 в. были созданы многочисленные частные методы, позволявшие находить площади фигур, ограниченных кривыми того или иного вида, и в некоторых случаях была отмечена связь этих задач с задачами на нахождение скорости изменения функций. Но, как и в случае дифференциального исчисления, именно Ньютон и Лейбниц осознали общность метода и тем самым заложили основы интегрального исчисления.
https://www.krugosvet.ru/enc/matematika/matematiki-istoriya
Целью моей работы является:
- изучение различных типов задач на движение;
- исследование методики работы над задачей;
- получение прочных навыков решения этих задач;
- обобщение и систематизирование знаний по теме «Задачи на движение».
Актуальность темы заключается в том, что сегодня умение решать задачи на движение для 5-классников является ошибкоопасной .
Задачи:
1.Подобрать и изучить литературу по данной теме.
2. Рассмотреть алгоритм решения задач.
3. Изучить приемы , помогающие составить уравнения.
4.Решить задачи.
Задачи на движение.
Традиционные задачи на движение включают в себя три взаимосвязанных пропорциональной зависимостью элемента: скорость, время и расстояние. Если изменяется одна из величин, то вероятно изменятся и две другие. Задачи на движение имеют различные виды, которые можно классифицировать по ряду признаков. Различают простые и составные задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на:
задачи на движение в одном направлении,
задачи на сближение объектов,
задачи на удаление объектов,
задачи на движение по реке.
Кроме того, некоторые задачи на движение могут рассматриваться как:
задачи на нахождение четвертого пропорционального;
задачи на нахождение неизвестного по двум разностям;
задачи на пропорциональное деление.
Простые задачи на движение характерны в большей степени для программы начальной школы. В основной школе рассматриваются задачи составные.
При ознакомлении с задачами мы должны понимать основное отличие составной задачи от простой. Чтобы решить составную задачу необходимо условно разбить ее на несколько простых, восстановив целую систему связей между данными и исходными. Для того, чтобы решение такой задачи было наиболее эффективно для школьников, необходимо использовать схемы, чертежи, занимательные задачи и задачи развивающего характера, которые повышают интерес у детей, способствуют осознанному освоению знаний, умений и навыков, помогают развивать мышление, память, речь и т.п .
Понятие «задача» включает в себя два вида деятельности: процесс составления задачи и процесс ее решения. Данные процессы взаимообратные. Составление - это процесс объединение частей в единое целое. Решение задачи - это анализ, то есть обратный процесс, разбивание целого на части.
Рассмотрим несколько различных примеров задач на движение.
1.1 Формула пути
В задачах данной темы считается, что движение является равномерным. Это значит, что объекты движутся с постоянными скоростями. Скоростью называется расстояние, пройденное за единицу времени. Многие величины в математике имеют специальные обозначения. В частности, общепринято, что: путь обозначается буквой S; скорость – буквой V; время – буквой t.
S = V · t (расстояние равно скорости, умноженной на время). Это равенство называется формулой пути. Оно устанавливает зависимость между тремя основными величинами, характерными для движения любого объекта. Из формулы пути (по правилу нахождения неизвестного множителя) следует, что: V = S : t (скорость равна расстоянию, деленному на время), t = S : V (время равно расстоянию, деленному на скорость). Как правило, в задачах рассматривается движение, по крайней мере, двух объектов. Поэтому удобно ввести следующие условные обозначения: S – расстояние между пунктами, из которых начато движение объектов (пешеходов, автомобилей и т.д.); S1 – расстояние, пройденное первым объектом до встречи (или за определенное время); V1 – скорость движения первого объекта; t1 – время движения первого объекта; S2, V2, t2 – аналогичные характеристики для второго объекта; V сближ. – скорость сближения объектов; V уд. – скорость удаления объектов; t встр. – время, через которое произошла встреча объектов.
1.2 Арифметический способ решения
Задачи на движение можно решать с помощью двух способов арифметического и алгебраического. Рассмотрим отдельно каждый из этих способов. Арифметический способ заключается в том, что задача решается отдельными арифметическими действиями. Значение неизвестной величины определяется через известные по условию задачи величины. При этом необходимо выяснить, какая из трех основных величин (пройденный путь, скорость, время) неизвестна, и с помощью какого арифметического действия можно определить эту неизвестную величину. Напомним, что за основу берется формула пройденного пути S = V · t, откуда получаем еще две формулы:
V = S : t – для определения скорости, t = S : V – для определения времени движения. Обратим внимание на то, что существуют несколько способов оформления решения задач арифметическим способом: а) вопрос – действие; б) действие – пояснение; в) составление числового выражения и нахождение его значения; г) в виде содержательной схемы (этот способ применяется реже).
Задача1. Одновременно навстречу друг другу из пункта А выехали медведи на велосипеде, а из пункта В – зайчики на тарантайчике. В это же время из А вылетели комарики на воздушном шарике. Долетев до зайчиков, они повернули назад, долетели до медведей, снова повернули назад и т. д. Сколько километров пролетят комарики до встречи медведей и зайчиков, если скорость зайчиков – 7 км/ч, медведей – 5 км/ч, комариков 10 км/ч, а расстояние от А до В равно 24 км?
Решение. Решим задачу, используя способ оформления «Действие - пояснение».
1) 5 + 7 = 12 (км/ч) – скорость сближения медведей и зайцев.
2) 24 : 12 = 2 (ч) – время проведенное в пути медведями и зайцами. 3) 10 · 2 = 20 (км) – столько километров пролетят комарики.
Ответ: 20 км.
1.3 Алгебраический способ решения
Решение задач алгебраическим способом осуществляется при помощи уравнений. Для того чтобы решить задачу с помощью уравнения, надо сначала по условию задачи составить его. Для этого соотношения между величинами в задаче необходимо перевести на математический язык. Вот примерная схема (алгоритм) решения задачи алгебраическим способом:
1. Выбирают одну из неизвестных величин, входящих в условие задачи, и обозначают ее буквой x (можно другой латинской буквой). Обычно через x обозначают искомую величину, т.е. ту, которую требуется определить. Но иногда бывает удобнее обозначить через x какую-либо другую неизвестную величину, связанную с искомой величиной.
2. Все остальные неизвестные величины, входящие в условие задачи, выражают через x. При этом необходимо строго следить за тем, чтобы все однородные величины были выражены в единицах одного наименования (приведены к одной единице измерения).
3. На основании данной в условии задачи зависимости между величинами составляют уравнение.
4. Решают составленное уравнение.
5. Далее необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень условию задачи.
6. Запись ответа.
Решим следующую задачу алгебраическим способом.
Задача 2.
Моторная лодка шла 2 часа по озеру и 3 часа по течению реки, скорость течения которой 2 км/ч. Всего моторная лодка прошла 66 км. Найдите ее собственную скорость.
Решение. Выделим все пункты алгоритма алгебраического способа. Анализ-рассуждение по условию задачи
Действие 1) Собственная скорость моторной лодки неизвестна.
1) Обозначим через x км/ч собственную скорость лодки.
2) По озеру лодка шла 2 часа. Применим формулу пройденного пути S = V · t. По течению реки лодка прошла 3 часа Vпо теч. р. = V собств. + V теч. р.
2) 2 · x – столько км прошла лодка по озеру. (2 + x) км/ч – скорость лодки по течению реки. 3 · (x + 2) км – таков пройденный лодкой путь по течению реки.
3) По условию задачи известно, что всего моторная лодка прошла 66 км, что позволяет нам составить уравнение.
3) 2 · x + 3 · (x + 2) = 66
4) Решаем уравнение.
4) 2x + 3x + 6 = 66
5x + 6 = 66
5x = 66 – 6
5x = 60
x = 60 : 5
x = 12 (км/ч) – собственная скорость моторной лодки.
5) Проверка (по действиям) согласно условию задачи.
5) 1) 12 · 2 = 24 (км) - пройденный путь по озеру.
2) 12 + 2 = 14 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
3) 14 · 3 = 42 (км) – пройденный путь по течению реки.
4) 24 + 42 = 66 (км) – всего прошла моторная лодка.
Мы убедились, что результат проверки – 66 км - совпал с данной величиной по условию задачи. Делаем вывод, что задача решена верно.
6) Записываем ответ.
6) Ответ: 12 км/ч.
2. Разные типы задач на движение
2.1 Задача на движение объектов в одном направлении:
Грузовик и Пассажирский автобус выехали в одно время из города N в город K. Автобус ехал со скоростью60км/ч, а грузовика45км/ч. Найдите время, через которое автобус опередит грузовик на 50км?
Решение: Проанализируем условие. Нам известно:
Скорость грузовикаV1=45км/ч
Скорость автобуса V2=60км/ч
Расстояние (путь)на которое автобус опередит грузовикS= 50 км
В подобных задачах необходимо свести условие к наглядному изображению для того, чтобы лучше понять что дано, и как это можно использовать при решении. Поэтому, необходимо изобразить схематично условие
Рисунок 1. Задача на движение в одном направлении
Данную задачу удобнее решить арифметическим способом.
60-45=15 (км/ч)-скорость автобуса больше скорости грузовика
50:15=3 (ч)-время за которое автобус опередит грузовик на 50 км
3 =3 ч 20 мин
Ответ: 3 часа 20 мин.
2.2 Задачи на встречное движение.
При решении задач на встречное движение важной величиной является скорость сближения движущихся объектов. Скорость сближения-это то расстояние, которое преодолевают движущиеся на встречу друг другу объекты за единицу времени. Скорость сближения можно найти по формуле: Vсб=V1+V2, где V1 и V2 – скорости движущихся на встречу друг другу объектов.
Рассмотрим пример задачи на сближение: Расстояние между пунктом А и В 3450 км. Два поезда из этих пунктов вышли навстречу друг другу в одно время и встретились через 24 часа. Найдите скорость второго поезда, если первый поезд за 3 часа проходил 240км.
Рисунок 2. Задача на сближение
Решение: Пусть х км/ч – скорость второго поезда. По условию между ними 3450км. И встретятся они через 24 часа. Найдем скорость первого поезда и составим уравнение:
240:3=80 (км/ч)-скорость первого поезда
24 • (80+х)=3450
80+х=3450:24
80+х=143,75
х=143,75-80
х=63,75
Ответ: 63,75 км/ч скорость второго поезда
2.3 Задачи на движение в противоположном направлении.
При решении задач такого типа суммарная скорость двух движущихся объектов несет другую смысловую нагрузку. Расстояние, на которое удаляются движущиеся предметы за единицу времени, называют скоростью удаления. При движении в противоположных направлениях скорость удаления равна сумме скоростей движущихся объектов. На математическом языке можно записать это следующим образом: Vуд=V1+V2, где V1 и V2 – скорости движущихся в противоположных друг от друга объектов.
Пример: Два друга Леша и Коля вышли в одно время из школы после уроков в противоположных направлениях. Скорость Леши 3 км/ч, скорость Коли 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут друзья через 2 часа? Какова скорость их удаления друг от друга?
Построим схему по условию задачи.
Рисунок 3. Иллюстрация к задачи на отдаление объектов
Данная задача является достаточно простой и решается в курсе 4-5 классов. Именно поэтому целесообразно использовать арифметический метод.
Решение:
3+4=7 (км/ч)-скорость удаления друзей друг от друга
7•2=14(км)-расстояние, которое будет между ними через 2 часа
Ответ: 14 км.
2.4 Задачи на движение по реке.
Также такие задачи называют «на движение по водоему». Вторая формулировка данного типа задача более верна на наш взгляд, что объясняется тем, что эти задачи можно разделить на несколько разновидностей: на движение по течению реки, на движение против течения реки и на движение по озеру (в стоячей воде).
Особенностью задач на движение по течению или, как еще говорят, вниз по реке заключается в том, что объект, движущийся по реке, плывет по течению быстрее на величину течения реки, чем если бы он плыл по стоячей воде. Таким образом, чтобы найти с какой скоростью плывет объект по течению, мы должны к собственной скорости объекта прибавить скорость течения. В виде формулы можно записать это следующим образом:
Vпо теч=Vсоб+Vтеч.
Задачи на движение объекта против течения реки отличаются от предыдущих тем, что движения объекта против течения реки замедляется на величину скорости течения. Это объясняется тем, что река движется на встречу и тем самым создает сопротивления для движущегося объекта. Таким образом, чтобы вычислить скорость движения против течения реки необходимо от собственной скорости отнять скорость течения реки. Выразить эту величину на математическом языке можно следующим образом: Vпротив теч=Vсоб - Vтеч.
Если в задаче необходимо вычислить собственную скорость катера, теплохода, плота, баржи или любого другого объекта, то необходимо руководствоваться тем, что известно в задаче. Исходя из формул, описанных выше, можно выразить формулы собственной скорости объекта:
Vсоб =Vпо теч - Vтеч.
Vсоб =Vпротив теч+ Vтеч.
Задачи на движение по реке в основной школе обычно включают в себя несколько неизвестных компонентов, которые нужно найти для того, чтобы ответить на вопрос задачи. Такие задачи решаются как арифметическим так и алгебраическим методами. Рассмотрим примеры задач на движение по водоему:
Задача
Турист проплыл на лодке по течению реки за 2 ч 24 км, а против течения он проплыл 8 км за 1 ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость лодки.
Решение.
Из условия задачи видно, что V пр. теч. = 8 км/ч, а V по теч. = 12 км/ч (24 : 2 = 12). Применим формулу V теч. р. = и найдем скорость течения реки:
1) (12 – 8) : 2 = 2 (км/ч) – скорость течения реки. Теперь легко найти собственную скорость лодки:
2) 12 – 2 = 10 (км/ч)
Ответ: 2 км/ч, 10 км/ч.
Задача. Собственная скорость катера равна 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит катер на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними равно 120 км?
Решение.
1) 27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость по течению реки.
2) 120 : 30 = 4 (ч)
Ответ: 4 ч.
Задача. Теплоход, собственная скорость которого равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длилась 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Определить сколько километров теплоход прошел за весь рейс
Решение.
1) 30 – 5 = 25 (ч) – время движения теплохода.
2) 25 – 3 = 22 (км/ч) – скорость теплохода против течения.
3) 25 + 3= 28 (км/ч) – скорость теплохода по течению.
Пусть х ч – время движения по течению, тогда время движения против течения (25 – х) ч. Путь, пройденный по течению 28х км, а путь, пройденный против течения 22 · (25 – x) км. Составим уравнение и решим его:
28х = 22 · (25 – х)
28х = 550 – 22х
50х = 550
х = 11 ч – время движения по течению.
28 · 11 = 308 (км) – путь по течению.
308 · 2 = 616 (км) – весь путь.
Ответ: 616 км
3. Олимпиадные задачи на движение
Задачи на движение олимпиадного характера требуют грамотного решения. Необходимо не только внимательно разобраться в условии задачи и распутать связи между объектами, но и определить возможное количество вариантов и способов решения. Чтобы лучше разобраться в таких задачах, приведем пример. Задача.
Двое одновременно отправились из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 150 км. Первый поехал на велосипеде со скоростью 10 км/ч, второй – на автомобиле со скоростью, в пять раз большей скорости первого. На полпути с автомобилем произошла авария, и оставшуюся часть пути автомобилист прошел пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше прибыл в B?
Решение.
1) 10 · 5 = 50 (км/ч) – скорость автомобиля.
2) 150 : 2 = 75 (км) – половина всего пути, следовательно, и после аварии автомобилисту осталось проехать 75 км.
3) 75 : 50 = 1,5 (ч) – время в пути автомобилиста и велосипедиста до аварии.
4) 10 : 2 = 5 (км/ч) – стала скорость автомобилиста.
5) 150 – (10 · 1,5) = 135 (км) – путь, который осталось проехать велосипедисту.
6) 135 : 10 = 13,5 (ч) – затратил велосипедист на оставшийся путь.
7) 75 : 5 = 15 (ч) – затратил на оставшийся путь автомобилист. Велосипедист преодолел оставшийся путь быстрее автомобилиста, следовательно, велосипедист приехал в пункт В раньше.
Ответ: велосипедист.
Вывод:
Итак, в своем реферате я рассмотрела разные типы задач на движение и способы их решения. При решении задач на движение необходимо правильно мыслить и логически рассуждать. Решение состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии задачи, распутать все связи между участвующими объектами. Данная работа была проделана мной с целью получения прочных навыков решения задач на движение, изучаемых в рамках школьного курса математики. Я считаю, что эта цель мною достигнута. Основные задачи, которые ставились перед началом работы, были выполнены. Я изучила различные типы задач на движение, исследовала методику работы над задачами, получила прочные навыки в решении данных задач и выявила новые подходы к решению задач на движение.
Текстовые задачи на движение являются важным элементом в системе текстовых задач основной школы. Они сопровождают нас на протяжении всего периода обучения с начальной школы до среднего звена вплоть до единого государственного экзамена.
Текстовые задачи являются одним из важных средств обучения математике. С их помощью школьники получают опыт работы с величинами, познают взаимосвязи между ними, набирают опыт применения математики к решению практических задач. Использование алгебраических, геометрических, арифметических, логических способов решения задач развивает логику, сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, подготавливает учащихся к дальнейшему обучению.
Список литературы
Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин – Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. Изд. – Просвещение, 2006.
Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин. – Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. Изд. – Просвещение, 1988.
А. В. Шевкин – Текстовые задачи по математике 5 – 6 классы. Изд. – Илекса, 2011.
А. И. Азаров – Системы алгебраических уравнений. Текстовые задачи. Изд. – Минск, ТетраСистемс, 1998.
А. А. Ляпин, Е. М. Родионов, С. Л. Синякова – Математика. Сборник задач. Изд. – Ориентир, 2006.