VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Тайны теории флексагонов
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I. Введение
«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать»
Галилео Галилей
Мы не знали совсем о флексагонах ничего, даже слова такого не слышали, пока не стали изучать тему «Многоугольники» в начале учебного года. Вот тогда наш учитель математики на дополнительном уроке и познакомил нас с теорией флексаногов, что вызвало любопытство и интерес. Так мы решили написать исследовательскую работу «Тайны теории флексагонов»
Актуальность. Знакомство с флексагонами позволит по-новому взглянуть на мир математики и внести разнообразие в привычные окружающие нас предметы быта и интерьера, а также способствует развитию пространственного воображения.
Испытывая большой интерес к занимательной математике, мы захотели познакомиться с загадочными, увлекательными и имеющими практическое применение математическими объектами, которые не рассматриваются в школьном курсе.
Объект исследования: флексагоны.
Предмет исследования: история их возникновения, способы конструирования, применение.
Гипотезы исследования: флексагоны – это не просто игрушка, а занимательная математическая головоломка.
Цель проекта: изучить информацию о флексагонах и научиться их складывать.
Задачи исследования:
изучить литературу по данной теме исследования;
изготовить и раскрыть содержание понятия «флексагон»;
представить в работе ряд детских игрушек, и показать, что в их основе лежит чистая математика;
выявить области применения флексагонов в жизни человека;
дать советы по изготовлению флексагонов;
провести анкетирование для выяснения значимости
теории флексагонов.
II. Основная часть
1. Основные теоретические сведения.
1.1. История возникновения флексагонов.
В стране, где человеческий рост измеряют в футах, расстояние до соседнего города считают в милях, а топливо в бак льют галлонами, чиновники выписывают справки на бумаге формата Letter. Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм. Если бы не эта разница, возможно, мы бы до сих пор не знали о флексагонах — увлекательной игрушке, головоломке и интересной математической модели, открытой в первой половине XX века. [1]
В конце 1930-х годов англичанин Артур Стоун, двадцатитрехлетний аспирант-математик, только начинал свою блистательную карьеру в Принстонском университете, штат Нью-Джерси. Среди прочих американских «странностей», к которым ему еще предстояло привыкнуть, был и необычный стандарт Letter. Как-то раз, обрезая листы А4 под новый формат, он принялся машинально складывать из обрезков разные фигуры. Сложив полоску бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он получил равносторонний шестиугольник — оставалось только обрезать концы по форме последней грани. Склеив концы полоски, Стоун получил фигуру с весьма любопытными свойствами: подгибая один из углов шестиугольника к центру, можно было раскрыть его, подобно бутону цветка. После каждого очередного раскрытия на свет появлялась новая поверхность, состоящая из шести треугольников, а предыдущие шесть треугольников скрывались внутри конструкции. Можно было покрасить каждую поверхность определенной краской, и тогда с каждым переворотом фигура принимала один из трех цветов. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Почувствовав, что за загадочной фигурой скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского to flex – складываться, сгибаться, гнуться). [1]
Вскоре "флексагоны" в изобилии стали появляться на столе во время завтраков и обедов, когда вся компания собиралась вместе. Будущие светила науки собирались вместе в студенческой столовой и демонстрировали друг другу новые головоломки, которые им удавалось собрать. Для проникновения в тайны "флексологии" был организован "Флексагонный комитет". Кроме Стоуна, в него вошли аспирант-математик Брайан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон Тьюки.[ 1 ]
Тьюки Джон Ричард ФейнманБрайан Таккерман
1.2. Определение флексагонов.
Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а раннее скрываемые поверхности неожиданно выходят наружу. Многие флексагоны имеют квадратную (тетрафлексагоны) или шестиугольную (гексафлексагоны) форму. Впрочем, существуют флексагоны других форм, включая прямоугольные и кольцевые.
Для различения плоскостей на секторы флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто окрашивают в определённый цвет.[2]
1.3. Краткий обзор флексагонов низших порядков.
Названия многих флексагонов образованы по принципу: приставка (число поверхностей) + приставка (форма) + „флексагон“». Таким образом, первая приставка обозначает, сколько у флексагона поверхностей, которые могут рано или поздно раскрыться, а вторая — на сколько частей разделена каждая такая поверхность. Например, тетратетрафлексагон — это флексагон с четырьмя поверхностями, каждая из которых состоит из четырёх квадратов; гексагексафлексагон — флексагон с шестью поверхностями, каждая из которых состоит из шести треугольников; и т. д.[6]
1. Унагексафлексагон. Полоску из трех равносторонних треугольников разглаживают и концы ее соединяют так, чтобы получился лист Мёбиуса с треугольным краем. Поскольку лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоит из шести треугольников, его можно назвать унагексафлексагоном, хотя, разумеется, у него нет шести сторон, и он не складывается. (Рис.1)[6]
Рис.1 рис.2
2. Дуогесафлексагон представляет собой просто шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, но он не складывается. (Рис.2)[6]
3. Тригексафлексагон. Рис.3
Соответственно названию, тригексафлексагон — это шестиугольный флексагон с тремя поверхностями. Это самый простой из всех гексафлексагонов. Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников. Складывание тригексафлексагона осуществляется методом, носящим название pinch flex,с поворотом на 60° после каждого складывания.[3]
рис.3 рис.4
4.Гексагексафлексагон. Рис.4
Гексагексафлексагон — флексагон с шестью шестиугольными поверхностями. Гексагексафлексагон можно изготовить из полоски длиной в 19 треугольников. [3]
5. Тетрафлексагоны
рис.5
Простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) — тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются лишь две из трёх поверхностей. [4]
6.Кольцевые флексагоны (Рис.6)
Кольцевой флексагон — флексагон, поверхность которого представляет собой «кольцо» из многоугольников. [5]
рис.6 рис.7
Диаграмма пути Таккермана для гексагексафлексагона
7. Путь Таккермана - это простой способ обнаружить все поверхности гексафлексагона. Обход Таккермана — заключается в том, чтобы держать флексагон за один угол и раскрывать модель до тех пор, пока она не перестанет раскрываться, затем повернуть флексагон на 60° по часовой стрелке, взяться за соседний угол и повторить то же самое.
При обходе Таккермана плоскости гексагексафлексагона будут раскрываться в порядке: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (или в обратном порядке), после чего последовательность повторится. Эту последовательность называют путём Таккермана. [5]
1.4. Применение флексагонов
В процессе исследования мы выявили области применения флексагонов в жизни человека.
1. Шарнир двойного действия, соединение которого присутствует на всех тетрафлексагонах, повсеместно используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в раскладных телефонах.
2. Флексагоны связаны со многими математическими понятиями: лентой Мёбиуса, Тором (тороидом). Помимо этого эти «игрушки» подчинены строгим правилам математики, которые изучает наука флексология.
3. Необычный цикл изгибания фигур привлекает к ним внимание, из-за этого его используют в рекламных акциях (канал сайта http://rutube.ru/tracks/4188813.html). Помимо этого к любому флексагону можно прикрепить плоский предмет (то, на что изготовители хотят обратить внимание), и можно быть уверенным, что этим предметом заинтересуются (также используется в маркетинге).
4. Флексагоны связаны с различными науками и вещами: в форме флексагонов закручены молекулы веществ (журнал «Химия и жизнь»), в стиле флексагонов создаются интерьеры помещений и предметы меблировки (страница сайта http://www.osvetleni-daylight.cz/designova-stolni-lampa-flexagon-white-p-1466.html?zenid=f80a554ef57c674b587d29e31e443d52).
5. Наконец, флексагоноподобные фигуры используются как самодельные открытки, игрушки (к сожалению, массовое производство так и не налажено). Они служат темами как научных, так и ненаучных дискуссий, но до конца их тайны ещё не раскрыты.
6.Большое применение объёмный многогранник может найти в дизайнерском искусстве, так как цикл перегибаний интересен при создании мебели – трансформера: диванов, кресел, стульев и других предметов. [7]
2.Практические наработки изготовления флексагонов.
Флексагоны, хотя и были открыты в первой половине XX века, но до сих пор остаются загадкой, познание которой доставляет много радости и при этом развивает мышление.
Здесь все флексагоны изготовлены своими руками по заранее заготовленным схемам.
2.1. Унагексафлексагон и дуогесафлексагон. Фото 8(а, б) фото 8(а) фото 8(б)
2.2.Тригексафлексагон (Рис.9)
фото 9
Рис.9
2.3. Тетрафлексагоны (рис.10)
Рис.10
Можно делать такие заготовки, а можно наклеивать всевозможные наклейки. Вот, что получилось у нас. ( фото11)
фото11
2.3.1.Тетратетрафлексагоны
Для изготовления их удобнее всего взять прямоугольный кусок тонкого картона и разграфить его на 12 квадратов. Нумерация квадратов на обеих сторонах листа показана на рисунке 12 (а и б).
Рис.12
Пунктиром обозначены линии разрезов. Взяв прямоугольник так, чтобы лицевая его сторона (рис. 2, а) была обращена к нам, отогнем вниз и налево язычок из двух центральных квадратов с цифрами 2 и 1 и подогнем правый столбец. То, что при этом получится, показано на рис. 2, в. Еще раз подогнем правый столбец и загнем на себя и вправо квадрат с тройкой, торчавший до сих пор слева. После этих операций все квадраты с 1 окажутся сверху. Два центральных квадрата склеим прозрачной лентой так, как показано на рис. 2, г.[8]
2.4. Гексагексафлексагон. (Рис.13)
Рис.13 фото13
2.5. Кольцевые флексагоны. (Рис.14)
Кольцевые флексагоны имеют очень необычный вид, из-за чего они чаще других используются для декора интерьера и прочих идей в дизайне. Именно поэтому многие пытаются освоить эту технику. И мы тоже попробовали.
рис.14
фото14
3. Флексагоны, как средство математического моделирования
Флексагоны как средство математического моделирования имеют следующие отличительные черты:
1) Экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм.
2) Доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке.
3) Развитие: флексагоны способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизируют формирование различных представлений. Если каждый треугольник гексафлексагона раскрасить в свой цвет, то можно применять его для изучения цветов у детей дошкольного возраста. На каждом треугольнике можно поместить не только цвета, но и геометрические фигуры, рисунки животных, деревьев, цветов.
Например, рассмотрим сначала простейший тетрафлексагон. Он имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном. Его легко сложить из зигзагообразной полоски бумаги, изображенной на рисунке 15 (а — лицевая, б — оборотная сторона полоски). Перенумеруем квадраты на обеих сторонах полоски так, как это сделано на рисунке.
Перевернув полоску бумаги оборотной стороной вверх, перегнем ее слева направо вдоль вертикали, разделяющей две тройки, а затем загнем самый правый нижний квадрат (рис.1, в) и склеим его оборотную сторону с верхним квадратом прозрачной лентой (рис.15, г).
Рис.15
На верхней поверхности окажутся квадраты с двойками, на нижней — квадраты с единицами. Перегнем тритетрафлексагон по вертикальной оси и сложим его вдвое так, чтобы квадраты с двойниками оказались снаружи. Вывернув получившуюся «книжечку» спереди, мы увидим, что квадраты с единицами исчезли, спрятались внутрь, зато стали видны квадраты с тройками.[8]
Вот уже несколько столетий по этой схеме делают шарнирные соединения «двойного действия». Существуют рамочки для фотографий, которые соединены так, что образуют тритетрафлексагон, с одинаковой легкостью открывающийся в обе стороны.
Ту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских игрушках.
Много таких складных игрушек существовало еще в тридцатые годы. В одной из них к скрытому развороту флексагона была приклеена «счастливая» монетка, которую нужно было найти. В другой, которая называлась «Cherchez la femme», задача заключалась в том, чтобы отыскать портрет молодой девушки. И сейчас в магазинах можно увидеть старинный детский фокус, обычно известный под названием «Волшебный доллар». Шарнирные соединения этой игрушки, позволяют показывать незамысловатые фокусы с исчезновением долларовой купюры и других плоских предметов. [2]
4. Результаты анкетирования
Для выяснения значимости теории флексагонов, мы провели анкетирование среди 8-х классов.В анкетировании приняли участие:8 физико - математический, 8 информационно-математический, 8 социально-экономический №1 классы, всего72 ученика.
Вопросы анкетирования:
1.Известно ли вам, что такое флексагон?
2.Знаете ли вы, что в основе игрушек - трансформеров лежит теория флексагонов?
3.Хотели бы вы научиться делать простейшие флексагоны?
Выводы: анкетирование учащихся показало, что потребность в проекте действительно есть. Половина учащиеся захотела научиться делать флексагоны, которые мы им продемонстрировали. И, тогда возникла идея создать брошюру « Некоторые инструкции для изготовления флексагонов», где будут изложены пошаговые инструкции для сборки флексагонов низшего порядка.
5. Поделки, сделанные, на основе теории о флексагонах
Математические знания могут применяться умело с пользой лишь в том случае, если они усвоены творчески.
А.Н.Колмогоров -один из основоположников
современной теории вероятностей
Фото готовых флексагонов:
Это лишь некоторые флексагоны!
III. Заключение
Работа над флексагонами расширила наши знания в математике. Мы познакомилась с ранее незнакомым нам видом флексагонов, увидели математику с совершенно другой неизвестной, но занимательной стороны. Сами наглядно увидели, как работают флексагоны. Нам посчастливилось выступать на очередном заседании математического научного ученического общества «Эрудит» в середине января, куда были приглашены учащиеся 8-х классов, проявляющие интерес к геометрии, для которых был проведен мастер-класс по изготовлениютригексафлексагона.
Подводя итог своей работе, отметим, что поставленные цели и задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о флексагонах. Найдены примеры практического применения флексагонов. Рассмотрели возможности применения флексагонов – как игрушка, как открытка.
Хочется отметить, что большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее, широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, техника.
Методы: сравнения, анализа и синтеза (при изучении литературы по данной проблеме), анкетирования и опроса (при изучении актуальности проблемы), поиск, наблюдение, описание, точные расчёты при построении, создание наглядных моделей.
В мире существует много неоткрытых загадочных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами. Мы, также поняли, что эта другая сторона математики взаимосвязана с той чистой, обыденной математикой. Например, при изготовлении гексафлексагона, или кольца тетраэдров нужно чертить правильные треугольники и т.д. Помните, что флексагоны очень требовательны к качеству сборки. Чем точнее вы вырежете и сложите флексагон, тем лучше он будет работать.
7 декабря 1941 года японцы ворвались в Перл-Харбор, и война разбросала участников «Флексагонного комитета» по свету. Впоследствии Артур Стоун приобрел всемирную известность как специалист в области топологии и автор теоремы метризации, названной в его честь. Джон Тьюки получил титул магистра химии и докторскую степень по математике. Он изобрел несколько основополагающих методов современной статистики. Брайант Таккерман оставил значительный след в информатике как один из соавторов симметричного алгоритма защиты информации, в котором один ключ используется как для шифрования, так и для расшифровки данных. А Ричард Фейнман и вовсе не нуждается в представлении как обладатель премии Альберта Эйнштейна и Нобелевской премии в области физики. Долгие годы эти блестящие ученые хотели вновь собраться вместе, чтобы написать пару статей и покончить со всеми тайнами теории флексагонов. К сожалению, или, напротив, к счастью, этому плану не суждено было сбыться. [1]
Мы создали презентацию «Тайны теории флексагонов» и брошюру «Инструкции для сборки флексагонов», где изложены пошаговые инструкции для сборки флексагонов низшего порядка.
Поэтому работа по исследованию флексагонов будет продолжена. В данной работе нами были рассмотрены некоторые виды флексагонов низших порядков, а их очень много. Мы смогли создать лишь несколько моделей флексагонов. В будущем хотим продолжить работу по изучению других видов флексагонов.
IV. Список источников информации.
1. Апресов С. « Шутка гениев – флексагон» //Ж.«Популярная механика»,№8, август 2009.
2.Афонькин С. Игры и фокусы с бумагой / С. Афонькин, Е. Афонькина. — М.: Рольф, АКИМ, 1999. — С. 12–67.
3. Гарднер М. « Математические головоломки и развлечения» // М.: 1994
4. Залгаллер В. «Непрерывно изгибаемый многогранник» // Квант 1978 № 5.
5. Кан И. «Треугольные флексагоны». Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Пресса», 1993. №12, С. 42 – 43.
6. Панов А.А. «Флексагоны. Флексоры. Флексманы». Ж. «Квант». – М.: «Бюро Квантум», 1988. № 7, C. 10 - 14
7.http://book.tr200.net/v.php?id=61285">Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения.
8.http://usamodelkina.ru/soveti/page,6,39-bumaga-vse-sterpit.html
V. Приложение
« Некоторые инструкции для изготовления флексагонов»
10