РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ОРИГАМЕТРИИ

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ОРИГАМЕТРИИ

Бархаева Э.Э. 1
1МБОУ «Поташкинская СОШ»
Бархаева Р.Р. 1
1МБОУ «Поташкинская СОШ»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

На уроках математики нам предоставляется возможность проявить свои таланты и творческий потенциал, подразумевающий возможность реализации личных планов, где предметные знания и умения мы демонстрируем как на уроках, так и во внеурочное время. Одним из таких видов деятельности является конструирование. На уроках мне очень нравится перегибать и работать на паттерне, разрезать и составлять новые фигуры.

Обучаясь еще в 5-6 классах мне, казалось, забавой то, что мы на уроках математики занимались перегибанием листа бумаги и вырезанных геометрических фигур. И лишь, начав изучение геометрии, я поняла, что перегибая, я получала наглядные доказательства того, что проделывала карандашом, линейкой и циркулем. И хочется свой опыт по использованию оригаметрии обобщить и оформить в виде учебно-исследовательской работы.

И так определилась цель работы – использоватьоригаметрию на уроках математики в соответствующих темах. В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

Собрать исторический материал о возникновении и развитии понятия «оригаметрия»;

Изучить и использовать оригамский метод решения геометрических задач;

Систематизировать теоретический и практический материал по использованию оригаметрии на уроках.

Для решения поставленных задач мною были использованы следующие методы исследования:

- сбор и анализ литературы и информации по данной теме;

- анализ учебников по математике и геометрии;

- синтез, обобщение и аналогия при решении задач.

Мною были изучены вопросы возникновения и развития оригаметрии, оригамский метод решения задач через чтение книг и информации в сети Интернет. Полученные сведения и факты проверяла при решении задач из учебного курса математики. Затем составила задания для учащихся 5- 8 классов по использованию оригамского метода решения задач

Практическую значимость своей работы вижу в создании списка заданий, которые решаются оригамским методом. Этими заданиями могут воспользоваться мои одноклассники, другие обучающиеся, а также и учителя математики.

Основная часть

Немного из истории

Оригами - это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Оригами - одно из самых доступных искусств, ведь для того, чтобы сложить фигурку требуется лишь листок бумаги. Родиной оригами является Япония. Сам термин оригами возник и закрепился только в 1880 году, когда данное искусство стало частью аристократического общества и вошло в число обязательных для японских семей. Япония, создавшая оригамную «азбуку», задала некую классическую основу, от которой отталкивались остальные покорители искусства создания бумажных шедевров. Появление авторских моделей и начало развития оригами, как направления современного искусства, связывают с именем знаменитого японского мастера Акиры Йошизавы. Но нельзя сказать, что искусство оригами развивалось только в Японии.

В начала XIX века немецкий педагог, создатель первых детских садов Фридрих Фрёбель впервые начал пропагандировать складывание из бумаги как дидактический метод для объяснения детям некоторых простых правил геометрии. Возможно, именно с его подачи школьники разных стран мира теперь знакомы с небольшим набором "фольклорных" фигурок из бумаги. Любителем оригами был Льюис Керрол - автор "Алисы в Стране Чудес" и "Алисы в Зазеркалье", преподававший математику в Оксфорде. Записи в дневнике Кэррола свидетельствуют о том, какой восторг охватил его, когда он научился складывать из бумаги игрушку, издававшую при сильном взмахе ею громкий хлопок.

Всем известно движение «1000 журавликов», которое связано со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года в городе Хиросиме с японской девочкой Садако Сасаки, чье имя стало широко известно во всем мире. Она жила в Хиросиме, в результате атомной бомбардировки заболела раком крови и из любых попадавшихся в ее руки кусочков бумаги складывала фигурки классических японских журавликов. Девочка верила в старинную легенду, о том, что тысяча таких сложенных фигурок может помочь в исполнении заветных желаний. Сначала Садако молилась о своем выздоровлении, однако когда поняла, что умирает, то стала молиться о мире во всем мире. Девочка успела сложить 644 журавлика. В память о Садако и ее желании в Хиросиме на площадке перед Музеем мира установили обелиск: на вертикальном возвышении фигурка девочки поднимает у себя над головой символическую фигуру бумажного журавля. В любой день года подножие памятника устлано гирляндами журавликов, которые присылают дети и взрослые разных стран мира в память о Садако и в подтверждение своей доброй воли остановить на нашей планете любую военную агрессию.

Не обошло стороной оригами и Россию: сначала этот вид искусства был освоен детьми. Первым об оригами узнал юный наследник престола Николая II от учителя английского языка Чарльза Сиднея Гиббса, филолога из Кембриджа. Любовью к технике оригами отличался и великий русский писатель Лев Николаевич Толстой. Министерство иностранных дел Японии отправляет известного мастера-оригамиста Акиру Йошизаву, в Европу, возложив на него почетную миссию: посредством оригами добиваться мира и дружбы со всеми странами. И вот в 1978 году Йошизава с целой серией знаков передавал свои наработки россиянинам, он повсюду пропагандировал искусство оригами и его неограниченные возможности. Мощный толчок развитию отечественного оригами дает создание в 1989 и 1991 гг. двух общественных организаций - Московского и Петербургского центров оригами. В октябре 1995 года выходит в свет, одобренное Министерством образования Российской Федерации, первое издание учебника для начальной школы: "Уроки оригами в школе и дома". В марте 1996 г. в Петербурге проходит Первая Всероссийская конференция "Оригами и педагогика", материалы которой издаются отдельным сборником. Число отечественных изобретений, зарегистрированных в базе данных Петербургского центра оригами в 1998 года превышает первую тысячу. Многие из этих работ вызывают должное восхищение у зарубежных оригамистов. В 1998 году в США издательство St. Martin Press выпускает книгу "Russian Origami", в которой представлены лучшие работы в технике складывания, изобретенные в России. В настоящее время организуются и проводятся факультативы, элективные курсы, кружковые занятия, внеурочная деятельность, олимпиады по оригами, что еще раз подтверждает значимость занятия оригами.

Таким образом, хотя на протяжении веков искусство делать фигурки из бумажного листа развивалось у каждого народа по-своему, но Япония навсегда остается неоспоримым лидером в области оригами. Ведь именно она подарила миру это искусство. Бумажные конструкции, например, веер, фонарики – стали в Японии непременным украшением праздника и в каждом доме обязательно есть сделанный своими руками кусудама – шар, приносящий счастье.

Основы оригаметрии

Впервые начал пропагандировать складывание из бумаги как дидактический метод для объяснения детям некоторых простых правил геометрии известный немецкий педагог Фридрих Фребель (1782 - 1852). Именно с его подачи мы знакомы с набором фигурок из бумаги – шляпкой, пилоткой, самолетиками. В конце XX века японский математик Хумиани Хузита, живущий в Италии, начал говорить про Теорию решения задач на построение перегибанием листа бумаги. Назвал он этот процесс оригаметрией, обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются методом складывания и перегибания. Оригаметрия - это новая наука на стыке двух: оригами и геометрии. Геометрия - это и метод познания мира, и образ мышления, и язык, широко применяемый в жизни, и в частности в строительстве. Оригами - это вид творчества, вид искусства,  столь же древний, как и геометрия. И их взаимосвязь дает новый простор в развитии этих наук. Оригаметрия - это оригинальный подход к решению геометрических задач, которая выполняет роль фрагментарной иллюстрации решения геометрической задачи.

Основные понятия оригаметрии: точка, линия сгиба, квадратный лист бумаги. Основные отношения: линия сгиба проходит через точку, точка принадлежит линии сгиба. В оригаметрии считается:

Роль прямых будут играть края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании.

Роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов

В основе оригаметрии лежат 6 аксиом, которые предложил Хумиани Хузита:

Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки.

Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

Существует сгиб,  совмещающий две данные прямые.

Существует единственный сгиб, проходящий через  данную точку и перпендикулярный данной прямой.

Существует  сгиб, проходящий через  данную точку и  помещающий другую данную точку на данную прямую.

Существует  сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных  пересекающихся.

Система аксиом А1 – А5 эквивалентна системе аксиом геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки. А сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой!

Я заметила, что с помощью оригаметрии можно решать задачи и на построение, и на доказательство. Итак, оригаметрия – раздел, который связывает искусство оригами с математикой.

Решение задач с помощью оригаметрии

При решении математических задач методом оригаметрии необходимо помнить, что любая оригамская задача состоит:

Из постановки задачи.

Из оригамского решения, проверки или способа построения.

Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Можно определить, что оригаметрия – это способ решения задачи на построение путем перегибания листа бумаги. Приступать к решению задач можно лишь после изучения основных действий, которые позволяет выполнить лист бумаги (аксиомы оригаметрии), а также рассмотреть, как с их помощью решаются простейшие задачи на построение (основные построения). Н.Н. Константинова предлагает следующий порядок работы:

Листок № 1

Геометрия листа бумаги произвольной формы

Оригаметрия - это теория решения задач на построение перегибанием листа бумаги.

Основные понятия оригаметрии: точка, линия сгиба, лист бумаги.

Основные отношения: линия сгиба проходит через точку; точкапринадлежит линии сгиба.

Шесть аксиом оригаметрии:

А 1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки.

А 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

А 3. Существует сгиб,  совмещающий две данные прямые.

А 4. Существует единственный сгиб, проходящий через  данную точку и перпендикулярный данной прямой.

А 5. Существует  сгиб, проходящий через  данную точку и  помещающий другую данную точку на данную прямую.

А 6. Существует  сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных  пересекающихся.

Простейшие задачи - это основные построения, выполняемые с использованием аксиом листа бумаги. Решите следующие простейшие задачи.

Задача 1. Разделите данный отрезок пополам.

Задача 2. Удвойте данный отрезок.

Задача 3. Из данной точки вне прямой опустите перпендикуляр к этой прямой.

Задача 4. В данной точке прямой восстановите перпендикуляр к этой прямой.

Задача 5. Удвойте данный угол.

Задача 6. Разделите угол пополам.

Используя основные построения, решите следующие задачи.

Задача 7. Из произвольного листа бумаги с помощью сгибов получите квадрат: а) с произвольной стороной, б) с данной стороной.

Задача 8. Из произвольного листа бумаги с помощью сгибов получите прямоугольник: а) с произвольными сторонами, б) стороны которого относятся как 3 : 5 .

Задача 9. Из произвольного листа бумаги с помощью сгибов получите: а) прямоугольный, б) остроугольный, в) тупоугольный равнобедренный треугольник.

Задача 10. Из произвольного листа бумаги с помощью сгибов получите равносторонний треугольник.

Задача 11. Найдите центр вырезанного из бумаги круга.

Задача 12. Даны три точки на воображаемой окружности. Найдите центр этой окружности.

Задача 13. На листе бумаги даны прямая, центр окружности и точка, лежащая на этой окружности. Найдите точки пересечения воображаемой окружности с проведенной прямой.

Листок № 2

Геометрия листа квадратной формы

Используя основные построения, решите следующие задачи.

Задача 1. Разделите один из углов квадратного листа бумаги на три равные части.

Задача 2. Перегибая квадратный лист бумаги, впишите в него равносторонний треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину.

Задача 3. Перегибая квадратный лист бумаги, впишите в него правильный шестиугольник так, чтобы на каждой стороне квадрата находилась одна вершина шестиугольника.

Задача 4. Перегибая квадратный лист бумаги, впишите в него правильный восьмиугольник.

Задача 5. Разделите сторону квадратного листа бумаги на три равные части.

Задача 6. Разделите сторону квадратного листа бумаги на девять равных части.

Задача 7. Разделите сторону квадратного листа бумаги на пять равных частей.

Задача 8. Разделите сторону квадратного листа бумаги на одиннадцать равных частей.

Задача 9. Перегибанием по прямой, пересекающей противолежащие стороны квадратного листа бумаги, получите три треугольника, стороны каждого из которых относятся как 3 : 4 : 5 .

Листок № 3

Теорема Хага и следствия из нее.

В предыдущем листке были рассмотрены задачи на деление стороны квадратного листа бумаги на равные части. Решение этих задач значительно упрощается применением теоремы Хага.

Задача 1. Используя задачу 9 предыдущего листка, докажите теорему Хага:

1. Стороны прямоугольных треугольников, относятся как 3 : 4 : 5 .

2. Точка P делит сторону квадрата в отношении 1 : 2.

Воспользуйтесь теоремой Хага для решения следующих задач.

Задача 2. Перегибанием по прямой, пересекающей противолежащие стороны квадратного листа бумаги, получите три треугольника, стороны каждого из которых относятся как 5 : 12 : 13 .

Задача 3. Перегибанием по прямой, пересекающей противолежащие стороны квадратного листа бумаги, получите три треугольника, стороны каждого из которых относятся как 8 : 15 : 17 .

Задача 4. Разделите сторону квадратного листа бумаги на три равные части.

Задача 5. Разделите сторону квадратного листа бумаги на девять равных части.

Задача 6. Разделите сторону квадратного листа бумаги на пять равных частей.

Изучив оригамский метод решения геометрических задач, я решила систематизировать свои знания и оформить их в виде заданий для моих сверстников. Для начала я просмотрела снова свои учебники математики Н.Я. Виленкина для 5 и 6 классов, учебники геометрии И.М. Смирновой. Листая и снова прорешивая задания, предложенные в учебниках, я выделила те, которые можно решать оригамским методом. Полученные результаты оформила в виде таблицы, где отразила задания, которые можно было бы выполнять оригамским методом или решать на паттерне (Приложение 1).

Очень занимательным было получение параболы, эллипса, гиперболы путем перегибания листа бумаги. Например, только при помощи сгибов можно получить параболу:

1 2 3

Эти приемы работы мною были продемонстрированы и на уроках алгебры. По началу было забавно то, что на уроке или дома при выполнении домашнего задания, я перегибала, складывала лист бумаги и получала простое решение задачи. И вот теперь настал момент обобщения и систематизации своего багажа знаний и умений по решению задач с помощью оригаметрии. Результатом таких действий является то, что я составила сборник заданий (Приложение 2), которые можно решать при изучении математики именно оригамским методом.

Таким образом, пользуясь оригамским методом решения геометрических задач можно с удовольствием и занимательно решать задания. Демонстрируя оригинальные решения определенных заданий на декаде математики, мои действия с листом бумаги для решения задания шокировали многих учеников нашей школы. Они неоднократно просили повторить действия и вместе с ними снова и снова выполнять поэтапно решение задачи.

Заключение

За время работы над учебным проектом я ознакомилась с новыми понятиями и сведениями по оригаметрии, училась работать с информацией научно-познавательного характера. Особенно мне понравилось составлять задания для учащихся по решению геометрических задач с помощью оргаметрии. Поставленной цели я добилась, поскольку я стала использоватьоригаметрию при решении задач. Для этого я сначала изучила исторический материал о возникновении и развитии понятия оригаметрии, затем теорию оригамского метода решения геометрических задач. И только после этого я попробовала систематизировать полученный материал по использованию оригаметрии на уроках математики в виде решения задач.

Таким образом, результатом моей работы над учебно-исследовательской работой является решение геометрических задач оригамским методом. Но на этом я не думаю останавливаться и продолжу работу. Надеюсь, что к концу 11 класса я подарю своей учительнице и отдам на память в библиотеку полный перечень заданий для решения геометрических задач с помощью оригаметрии.

Список ресурсов

Литература:

Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2008. – 384 с,: ил.

Кобитина И.И. Работа с бумагой: поделки и игры. – М.: ТЦ «Сфера», 2000. – 128 с.

Математика. 5-11 классы: проблемно-развивающие задания, конспекты уроков, проекты / авт.-сост. Г.Б. Полтавская. – Волгоград: Учитель, 2010. – 143 с.

Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 18-е изд. – М.: Мнемозина. 2006. – 188с.: ил.

Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 18-е изд. – М.: Мнемозина. 2006. – 188с.: ил.

Смирнова И.М. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений /ИМ. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Мнемозина, 2007. – 376 с.: ил.

Щеглова А.В. Оригами. Волшебный мир бумаги / А.В. Щеглова. – Ростов н/Д : Владис, 2009. – 640 с.

Интернет ресурсы:

http://www.sysengineering.ru

http://www.tehkafedra.sch901.edusite.ru

http://web-japan.org/nipponia/nipponia41/ru

http://www.youryoga.org

http://bozhoklv.ucoz.ru

http://bozhoklv.ucoz.ru

Приложение 1

Задания в курсе математики, решаемые методом оригаметрии:

Тема

Содержание

Рекомендации

 5 класс

Натуральныечисла

Геометрические фигуры: отрезок, прямая, луч, треугольник.

Рассмотреть понятия точки, прямой и отрезка на паттерне.

Получение из квадратного листа формы треугольника.

Сложить фигурку, проговаривая в процессе складывания, какие геометрические фигуры образуются и какие можно назвать в конечном результате.

Прямоугольный параллелепипед

Сложить модели прямоугольного параллелепипеда и куба. Рассмотреть элементы этих геометрических тел и понятия площади поверхности и объёма, используя модели.

Дробные числа

 

Доли

Деление квадрата и прямоугольника на равные части с помощью сгибов.

Угол.

Прямой и развёрнутый

угол.

С помощью сгибов показать получение прямого угла из развёрнутого.

 6 класс

Отношения и

пропорции

Отношение

Длина окружности и площадь круга

Отношение сторон листа А4 (1 сторона -сторона квадрата, 2 сторона - сторона равная диагонали этого квадрата). Сложить открытку из прямоугольника с соотношением сторон 1:2 (1:3, 1:4).

Деление окружности пополам, нахождение центра окружности.

Деление круга на равные части

Координаты на плоскости

Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые.

Иллюстрация взаимного расположения прямых на плоскости (плоскость- лист бумаги, прямые - линии сгибов). Взаимное расположение точек и прямых на плоскости. Работа с краем листа. Работа с квадратным листом

 7 класс 

Начальные геометри-ческие сведения

 

 

 

 

 

 

 

Точка, прямая, отрезок.

Иллюстрация с помощью сгибов понятия прямая-линия сгиба, точка-пересечение прямых. Иллюстрация взаимного расположения прямых на плоскости (плоскость - лист бумаги, прямые - линии сгибов). Взаимное расположение точек и прямых на плоскости.

Угол

Иллюстрация с помощью сгибов произвольного угла и его биссектрисы.

Равенство фигур

Проверить равенство фигур наложением с помощью сгибов, получить равные фигуры с помощью сгибов наложением.

Сравнение отрезков и углов. Свойства отрезков и углов.

Иллюстрация свойств отрезков и углов с помощью сгибания полоски бумаги. I

Смежные и вертикальные утлы.

С помощью сгибов наложением проиллюстрировать равенство вертикальных углов.

Перпендикулярные прямые

Иллюстрация свойства перпендикулярности двух прямых третьей.

Перпендикуляр к прямой

Иллюстрация свойства: единственность перпендикуляра, проведённого из точки к прямой.

Треугольник

 

 

Первый признак равенства треугольника

Иллюстрация признака с помощью сгибов.

Медиана, биссектриса и высота треугольника.

Проверить свойства медиан, биссектрис и высот треугольника с помощью сгибов для всех видов треугольников (остроугольного, прямоугольного и тупоугольного). Сделать вывод о расположении точки пересечения для каждого вида треугольника. (Треугольник получить с помощью сгибов, а затем проверять свойства не вырезая треугольник).

Свойства равнобедренного треугольника

Иллюстрация свойств с помощью сгибов (предварительно получить с помощью сгибов равнобедренный треугольник).

Параллельные прямые

 

Признаки параллельности двух прямых

Иллюстрация признаков с помощью сгибов, а затем математическое обоснование.

Аксиомы параллельных прямых

Иллюстрация аксиом с помощью сгибов полоски бумаги.

Решение задач с помощью сгибов по теме «Параллельные прямые»: 196, 197, 198, 199, 211, 212.

 8 класс

 

Четырехугольники

Параллелограмм

Иллюстрация с помощью сгибов свойств и признаков параллелограмма. Получение параллелограмма с помощью сгибов, используя определение и его свойства из произвольного листа бумаги.

Прямоугольник, ромб, квадрат

Иллюстрация с помощью сгибов свойств прямоугольника, ромба, квадрата. Получение прямоугольника, ромба, квадрата с помощью сгибов из произвольного листа бумаги, используя их свойства.

Теорема Фалеса

Иллюстрация с помощью сгибов теоремы Фалеса

Окружность

Четыре замечательные

точки треугольника

Иллюстрация с помощью сгибов замечательных точек треугольника.

Рекомендуемые задачи по данной теме: 674, 682, 683, 684, 687, 688.

9 класс

   

Кривые и графы

Парабола. Эллипс. Гипербола. Проблема четырех красок.

Получение из бумаги путем сгибания парабола, эллипса, гиперболы.

Раскрашивание паттерна любой модели.

Приложение 2

Задания для самостоятельного решения

Для обучающихся 5 класса:

Задание I

Возьмите обычный лист бумаги. Разделите ее пополам. Разверните. полученная линия сгиба – это и есть прямая, которую мы проводим по линейке.

На сгибе (прямой) отметьте две точки: А и В. Что получили? Правильно – отрезок АВ. Разделите отрезок АВ на две равные части. Вы можете воспользоваться аксиомой 2, то есть совмещаете линию сгиба и соответственно точки А и В. Полученный сгиб прогладить. Место пересечения отрезка и линии сгиба и есть середина отрезка АВ. Отметьте его точкой С.

ЗАПОМНИТЕ: если нужно будет разделить пополам или найти середину отрезка, то ход действий, выполненный вами в задании 2.

Удвойте данный отрезок АВ. Для этого вы воспользуетесь аксиомой 1 для точек А и В (она вами уже проделана), разверните, затем точку А нужно будет поместить на сгибе (продолжение АВ) так, чтобы точка В оказалась серединой, и эту точку обозначить буквой D. ЗАПОМНИТЕ: эти действия необходимы, когда нужно отложить отрезок, равный данному, или удвоить отрезок.

Посмотрите и скажите как ведут себя сгибы, проходящие через точки С и D. Возможные варианты ответов: сгибы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Переверните лист. Вы видите на листе множество линий сгиба – это сетка линий называется паттерн. Для удобства дальнейшей работы вам необходимо эти линии обвести по линейке. Раскрасьте паттерн двумя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.

Задание II

Получите из листа бумаги треугольник. Воспользуйтесь аксиомой 1, предварительно расставив точки на бумаге.

Возьмите лист квадратной формы и получите треугольник. Получайте треугольники по-разному сгибая. Каждый раз полученные треугольники сравнивайте.

Разверните. Найдите на паттерне квадраты, равные квадраты, треугольники, равные треугольники, прямоугольники.

Раскрасьте паттерн двумя цветами.

Задание III

Разделите лист квадратной формы на равные части с помощью сгибов.

Разделите лист бумаги в форме прямоугольника на равные части с помощью сгибов.

Раскрасьте паттерн двумя цветами.

Для обучающихся 6 класса:

Задание I

Сложить открытку из прямоугольника с соотношением сторон 1:2 , 1:4, 1:3.

Решением для соотношения 1:2 и 1:4 является паттерн

Рассмотрим деление квадратного листа на три части. Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилегающей к нему делит сторону в отношении один к двум. Таким образом, с помощью только складок мы нашли треть стороны квадрата.

Задание II

Вырежьте из бумаги окружность. Разделите полученную окружность пополам. Для этого вы можете совмещать края окружности и сгибать.

Найдите центр этой окружности. Для этого несколько раз надо поделить окружность пополам в разных местах.

Задание III

Как получить параллельные прямые, используя края листа? Возможный вариант действий: делим пополам, еще раз пополам и т.д. или смотри задание I.

Для обучающихся 7-8 классов:

Задание I

Сделайте лягушку. Разверните. Посмотрите, есть ли сгибы, которые пересекаются? Не пересекающиеся сгибы имеются?

Раскрасьте паттерн двумя цветами.

На чистом листе получите параллельные прямые.

Задание II

На листе с помощью сгибов получите произвольный угол. Разделите его пополам. Возможное решение: совмещаем стороны угла.

На другом листе с помощью сгибов получите перпендикулярные прямые. Разделите прямой угол по полам.

На другом листе с помощью сгибов получите углы. Как они называются? Внимательно рассмотрите и скажите каким свойством они обладают? Как проверить? Ответ: вертикальные углы, с помощью сгибов наложения.

Задание III

С помощью сгибов получите треугольник и обозначьте. С помощью сгибов найдите середины сторон. Покажите медианы. Как ведут себя медианы? Ответ: пересекаются в одной точке.

С помощью сгибов получите треугольник и обозначьте его. С помощью сгибов получите биссектрисы углов треугольника. Как ведут себя биссектрисы треугольника? Ответ: пересекаются в одной точке. Попробуйте поработать с другими видами треугольника, например, тупоугольный и прямоугольный.

С помощью сгибов получите треугольник и обозначьте его. С помощью сгибов получите высоты треугольника. Как ведут себя высоты треугольника? Ответ: пересекаются в одной точке. Попробуйте поработать с другими видами треугольника, например, тупоугольный и прямоугольный.

С помощью сгибов получите треугольник и обозначьте его. С помощью сгибов получите середины сторон треугольника. Как ведут себя эти сгибы в треугольнике? Ответ: пересекаются в одной точке.

Задание IV

Получите с помощью сгибов из произвольного листа бумаги прямоугольник, используя ее свойства.

Получите с помощью сгибов из произвольного листа бумаги ромб, используя ее свойства

Получите с помощью сгибов из произвольного листа бумаги квадрат, используя ее свойства

Решение не примере квадрата. Линия сгиба, соединяющая две противоположные вершины квадрата - это есть диагональ квадрата. Другая диагональ получается перегибом квадрата через другую пару противоположных вершин. С помощью угольника убеждаемся, что диагонали пересекаются под прямыми углами и в точке пересечения они взаимно делятся пополам. Эта точка пересечения диагоналей квадрата называется центром квадрата. Каждая диагональ делит квадрат на два совпадающих при наложении треугольника, вершины которых находятся в противоположных углах квадрата. Каждый из этих треугольников имеет, по две равные стороны: эти треугольники равнобедренные и прямоугольные, т. к. каждый из них имеет по прямому углу. Две диагонали разделяют квадрат на 4 совпадающих при наложении прямоугольных и равнобедренных треугольника, общая вершина которых находится в центре квадрата.

Перегнем квадрат пополам так, чтобы совпадали две противоположные стороны. Получаем сгиб, проходящий через центр квадрата. Линия этого сгиба обладает, как легко убедиться, следующими свойствами: она перпендикулярна двум другим сторонам квадрата; делит эти стороны пополам; сама делится в центре квадрата пополам; делит квадрат на два совпадающих при наложении прямоугольника, это средняя линия квадрата.

На другом листе получите квадрат. Теперь попробуйте сложить квадрат по диагонали, затем вершину полученного треугольника совместить с точкой пересечения диагоналей. Вы получили — равнобедренную трапецию. Изучите свойства равнобедренной трапеции. Ответ: боковые стороны равны, углы равны при наложении.

Задание VI

Сложите равнобедренный треугольник согласно инструкции. Возьмите квадратный лист бумаги и сложите его вдвое так, чтобы противоположные края его совпадали. Получается сгиб, проходящий через середины двух других сторон и перпендикулярный к ним. На этой средней линии квадрата берем какую-нибудь точку и делаем такие сгибы, которые проходят через эту точку и через углы квадрата, лежащие по обе стороны средней линии. Таким образом, получится равнобедренный треугольник, в основании которого лежит сторона квадрата. Средняя линия квадрата делит равнобедренный треугольник на два совпадающих при наложении прямоугольных треугольника. Она же делит угол при вершине равнобедренного треугольника пополам.

Сложите равносторонний треугольник. Возьмите квадратный лист бумаги и сложите его вдвое так, чтобы противоположные края его совпадали. Возьмите на средней линии квадрата точку, чтобы расстояния от нее до двух вершин квадрата были равны его стороне, и сделаем сгибы, проходящие через эту точку и данные вершины квадрата. Таким образом, получится равносторонний треугольник, в основании которого лежит сторона квадрата. Если совместить любые две стороны равностороннего треугольника, то получится сгиб перпендикулярный другой стороне, делящий ее пополам. Также этот сгиб делит угол при вершине равностороннего треугольника пополам.

Задание VII

С помощью сгибов получите треугольник и обозначьте. С помощью сгибов найдите середины сторон и покажите среднюю линию треугольника. Проведите прямые, параллельные средней линии. Проиллюстрируйте с помощью сгибов теорему Фалеса. Решение: необходимо одну из сторон, еще раз разделить пополам, итого 4 части. Через эти точки проводить сгибания.

Для обучающихся 9 класса:

1. С помощью сгибов получите параболу.

Решение. На листе прямоугольной формы отметьте около его большой стороны точку F. Сложите лист так, чтобы F совместилась с какой-нибудь точкой D на большой стороне и на бумаге образовалась линия сгиба α. Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FD и, следовательно, касательной к параболе. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку F с другой точкой большой стороны. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов от точек на большой стороне. Границу участка внутри этих сгибов обведем – это и есть форма параболы.

На снимке приведены фрагменты работы:

1 2 3

2. С помощью сгибов получите эллипс.

Решение. Вырежьте из бумаги большой круг и в любом его месте, отличном от центра, поставьте точку F. Сложите круг так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой Fокружности круга и на бумаге образовалась линия сгиба а. Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FFи, следовательно, касательной к эллипсу. Разогнем круг и снова согнем его, совместив точку с другой точкой окружности круга. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Границу участка внутри плавно соединим это и будет эллипс.

Есть еще и другой способ. Попробуйте. Для другого способа получения эллипса сковородка и картонный круг, диаметром вдвое меньше диаметра сковороды. Клейкой лентой укрепим на дне сковороды лист бумаги. Положив круг на сковороду, продырявим его в любом месте, отличном от центра, отточенным карандашом. Если теперь катить круг по краю сковороды, прижимая острие карандаша к бумаге, то на бумаге появится эллипс.

3. Получите гиперболу из листа бумаги

Решение. Вырежьте из листа бумаги круг и отметьте точку F на оставшейся части листа. Сложите лист так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F' окружности вырезанного круга и на бумаге образовалась линия сгиба. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку с другой точкой окружности. Сделаем так несколько раз. Границы участка внутри этих сгибов обведем – это и есть форма гиперболы.

4. Раскрасьте паттерн любимого вами модели из оригами.

25

Просмотров работы: 250