VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрические задачи с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I.Введение
Подготовка к государственной итоговой аттестации – дело очень серьёзное и, как правило, к 9 классу одноклассники уже задумываются над тем, чтобы успешно сдать экзамены и продолжить обучение в лицее, а не где-то в другом месте. В начале учебного года мы закупили учебно-методическое пособие под редакцией Д.А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ». И так как мы учимся хорошо, то нам хочется научиться решать задания II части, а именно задачи под 26 номером. Они, конечно, трудные, но в тесте 15 мы столкнулись с неизвестным нам видом окружности, которая не находится внутри треугольника и касается только одной его стороны и продолжений двух сторон треугольника. Такого материала в школьном курсе математики не оказалось, тем более мы учимся в социально-гуманитарном классе, где математики 5 часов в неделю, поэтому мы обратилась к своему учителю математики, что побудило нас заняться проектно-исследовательской работой «Геометрические задачи с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ»
Объект исследования: вневписанные окружности.
Предмет исследования: установление взаимосвязей между элементами вневписанных окружностей и треугольника.
Актуальность исследования
заключается в том, что данная тема выходит за рамки школьной программы и будет полезна учащимся, интересующимся математикой, или для учащихся специализированных классов. В большей части заданий термин «вневписанная окружность» не фигурирует, а появляется как вспомогательная фигура, именно поэтому объект данного исследования помогает решать различные геометрические задачи.
Цель исследования: показать эффективность применения теории вневписанных окружностей при решении планиметрических задач на доказательство и вычисление элементов треугольника.
Задачи исследования:
изучить литературу по выбранной теме;
познакомиться с понятием вневписанной окружности треугольника;
вывести и доказать свойства вневписанных окружностей и научиться применять их при решении геометрических задач;
показать применение свойств вневписанной окружности при решении задач на доказательство и вычисление;
найти и разобрать решение задач с вневписанными окружностями из учебно-методического пособия под редакцией Д.А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ»;
провести анкетирование на предмет выявления у обучающихся 9-х классов знаний о вневписанных окружностях;
изготовить макет и таблицы с вневписанной окружностью для более быстрого анализа задачи и повторения теории.
II.Основная часть
2.1. Основные теоретические сведения.
2.1.1. Понятие вневписанной окружности.
В.И.Арнольд, говорит, что математика – это часть физики. А я дополняю: физика – это часть геометрии.
(И.Ф. Шарыгин- профессор МГУ,
математик и педагог, специалист по
элементарной геометрии,
популяризатор науки, автор учебников и
пособий для школьников).[9]
В своём учебнике геометрии Игорь Фёдорович Шарыгин написал: "Каждый треугольник определяет семейство окружностей, помогающих глубже и полнее понять "устройство" треугольника" Рассмотрим одно из таких "семейств". Оказывается, что у каждого треугольника имеется четыре (!) окружности, касающиеся всех трех прямых, образующих этот треугольник. Одна из них - это известная вам вписанная окружность. Три другие называются вневписанными окружностями. [9]
Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.
2.1.2. Свойства вневписанной окружности.
Смотреть приложение.
2.1.3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных
окружностей. (См. Приложение)
фото 1, выступление на фото2, макет вневписанной окружности
спецкурсе в 9 с/г классе
2.2. Применение свойств вневписанных окружностей
при решении задач.
На данном этапе работы над исследованием, нам пришлось разделиться. Яна занялась отбором задач из учебно-методического пособия под редакцией Д.А.Мальцева, а Даша поиском задач с вневписанными окружностями из других источников. Мы нашли всего 11 задач. Из сборника под редакцией Мальцева Д.А. «ОГЭ – 2019» семь задач. Это задачи №26 из тестов:15, 16,29,39,50,52,56. Еще 2 задачи из сборника под редакцией Ф.Ф.Лысенко «Подготовка к ЕГЭ-2010, и две задачи из сборника «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева. В презентацию мы несли 6 задач, остальные решили и записали в специальную тетрадь для подготовки к ОГЭ.
Формы работы: публичные выступления, устный опрос, дискуссия.
Задача 1
сборник «Подготовка к ОГЭ-2019, под редакцией Д.А. Мальцева
В равнобедренном треугольнике ABC основанием AB = 24 длины боковых сторон равны 37. Найдите радиус окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон AC, BC за точки A и B соответственно.
Д ано:
ΔABC- равнобедренный
AB- основание
AB =24
AC = CB = 37
Окр. (О; r) – вневписанная
Найти: r
Решение:
Найдём центр вневписанной окружности.
О – точка пересечения биссектрисы ∠ACB и биссектрисы ∠ABM.
r = , где p- полупериметр
p = = 49
SABC= = = = = =7·12·25=420
r = = = 16,8
Ответ: 16,8
Тест №16
К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, проведена касательная, которая параллельна основанию AB и пересекает боковые стороны AC, BC в точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если MN = 20, CM = 26.
Дано:
ΔABC- равнобедренный
AB- основание
Окр(О; r) вписана в ΔABC
a ∥AB
a – касательная к Окр(O; r)
MN = 20
CM = 26
Найти: SABC
Решение:
Окр(O; r) является вневписанной для ΔMCN
Найдём r
R = p·tg , где p – полупериметр ΔMCN.
По теореме Пифагора: CH·CH =
CH= = 24
tg = = =
p= = 36
r = 36· = 15
CP= HP+ CH = 15·2+24 = 54
ΔCMN~ΔABC по 1 признаку подобия треугольников (∠C- общий, ∠CMN = ∠CAB как соответственные при a ∥AB и секущей AC)
=
= ; AB= = 45
SABC= AB· CP = 0,5·45·54=1215
Ответ: 1215
Также были подготовлены задачи о вневписанных окружностях из учебно-методического пособия под редакцией Д.А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ», макет и таблицы с вневписанной окружностью для более быстрого анализа задачи и повторения теории. Очень много времени ушло на решение задач, они все трудные для нас и мы хотели разобраться. Этот период в работе проекта был самый трудный. А когда у нас был спецкурс, то за одно занятие мы смогли решить только две задачи, так как они достаточно объемные. Нашим одноклассникам понравилось это занятие больше других. Мы не стали записывать все разобранные задачи.
2.3. Результаты анкетирования.
Вопросы, которые задавались во время социологического опроса:
Сколько окружностей касается сторон треугольника?
Какая окружность называется вневписанной?
Приходилось ли вам решать геометрические задачи с вневписанными окружностями?
Как вы думаете, есть ли в тестах ОГЭ и ЕГЭ такие задачи?
Хотели бы вы научиться решать такие задачи?
Социологический опрос
Были опрошены учащиеся 9 социально-экономического, химико-биологического №1 и №2, социально-гуманитарного классов. Всего 83 ученика. На первый вопрос ответы были разнообразные: 64% считают, что такая окружность одна, и она является вписанной, 2% - две, 18% - три, 7% - 4, и 9% много окружностей. Правильный ответ дали только 6 человек. Это очень мало и вполне объяснимо, ведь данная тема не входит в школьную программу.
Фото 3, обработка социологического опроса
На второй вопрос правильноответили 11%, возможно кто-то из них вневписанную окружность спутал понятием вписанной, либо описанной окружностей.
На третий вопрос (Приходилось ли вам решать геометрические задачи с вневписанными окружностями?) ответы были такие: да -29%, нет –71%. Мы думаем, что большинство тех учеников, которые сказали «да» опять же спутали вневписанную окружность просто с задачами про окружность.
Четвертый вопрос: Как вы думаете, есть ли в тестах ОГЭ и ЕГЭ такие задачи? Большинство девятиклассников считают, что «да» - это 67%, нет-33%. На пятый вопрос(Хотели бы вы научиться решать такие задачи?) одна треть ответила, что «нет» - 31%, не хотят, а две трети – 69% с удовольствием хотели бы познакомиться с такими задачами.
После обработки данных социологического опроса, мы поняли, что данная тема незнакома. Значит, нужно взяться за эту работу и выступить на неделе Науки в лицее.
Выводы: поэтому после социологического опроса мы решили создать презентацию «Геометрические задачи с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ», макет и таблицы с вневписанной окружностью для быстрого анализа задачи и повторения теории.
III. Заключение
Рассмотрено определение вневписанной окружности. Рассмотренные свойства позволили установить связь между биссектрисой внутреннего и двух внешних углов, не смежных с первым, треугольника и центром вневписанной окружности. А также между длиной отрезка вершины до точки касания с вневписанной окружностью; между радиусами вневписанной окружности и площадью треугольника; между точкой касания вневписанной окружности; вписанной окружности и вершины треугольника; между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника; между радиусами вневписанной и вписанной окружности.
Фото 4 фото 5
Решение задач из сборника Мальцева-2019
Также были подготовлены задачи о вневписанных окружностях из учебно-методического пособия под редакцией Д.А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ», макет и таблицы с вневписанной окружностью для более быстрого анализа задачи и повторения теории. Очень много времени ушло на решение задач, они все трудные для нас и мы хотели разобраться. Этот период в работе исследования был самый трудный. А когда у нас был спецкурс, то за одно занятие мы смогли решить только две задачи, так как они достаточно объемные. Нашим одноклассникам понравилось это занятие больше других.
В следующем году мы планируем продолжить данную тему, решая все более сложные задачи, а так же рассмотреть свойства вневписанных окружностей для многоугольников.
IV. Список источников информации
1. Березин В.И. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике / В.И.Березин: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1985.
2. Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника / Квант-1987, №7.
3. Гнеденко, Б.В. Энциклопедический словарь юного математика /Б.В. Гнеденко. – М.: Педагогика, 1989.
4. Заславский А.А., Протасов В.Ю., Шарыгин Д. И. Геометрические олимпиады им. И.Ф. Шарыгина — М.:МЦНМО, 2007. — 152 с.: ил.
5. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави».
6. Мальцев Д.А. Учебно-методическое пособие под редакцией Д.А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ». М.: Народное образование, 2018.-333[1]с
7.Мальцев Д.А. Учебно-методическое пособие под редакцией «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева
8. Лысенко Ф.Ф. Учебно-методическое пособие «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко.
9. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — М.: Наука, 1982.— 160 с
Приложение
6 таблиц формата А2
Таблицы [1], [2] и [3]
9