VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Функции: просто, сложно, интересно

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Паншин М.В. 1

---

1МБОУ гимназия № 2

Кремнева Е.С. 1

---

1МБОУ гимназия №2

Работа в формате PDF

16.8 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Функции вокруг нас

«Одна-единственная кривая, вычерченная наподобие кривой цен на хлопок, описывает все то, что едва может услышать ухо в результате исполнения сложнейшего музыкального произведения. Это, по-моему, является прекрасным доказательством могущества математики».

Лорд Кельвин.

Введение

Проблема. На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Актуальность темы. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.

Объект исследования: функции и их приложения.

Цель: увидеть связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека.

Задачи:

Изучить историю возникновения понятия «функция».

Найти примеры функций в окружающем мире.

Выяснить, какие функциональные зависимости обуславливают основные изменения в экономике на примере финансово-экономического кризиса.

Рассмотреть функции, связанные со статистикой Красногорского района.

Новизна работы. В настоящее время в странах мира, и в частности в России, происходит финансово-экономический кризис. В своей работе я рассмотрел функциональные зависимости, связанные с этим кризисом, и показал, каким образом изменения этих зависимостей приводят к снижению уровня жизни россиян.

Практическая ценность. Я считаю, что моя работа будет полезна ученикам, желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях, а также учителям в качестве дополнительного материала при подготовке к урокам и элективным курсам.

I глава. История развития понятия «функция»

§1. История развития понятия «функция»

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представление (17 век).

П уть к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая позволила записывать общие формулы.

В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в «флюентой»).

В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции было связано либо геометрически, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых – функция от абсцисс (х); путь и скорость – функция от времени (t).

А налитическое определение функции ( 17 - 19 век ).

С амо слово «функция» (от латинского function- совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 году. В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменною с другой. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: « функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных». Для обозначения произвольной функции Бернулли применил знак f(х).

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер, Лагранж, Фурье и другие математики.

В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».

Одним из нерешенных вопросов, связанных с понятием функции, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями? Большой вклад в решение этого вопроса внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье. Он привел первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Идея соответствия (19 век).

В 1834 году в работе « Об исчезании тригонометрических строк» Н.И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции, писал: « Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной. Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы дынными вместе».

С овременное определение функции, свободное от упоминания об аналитическом задании, обычно приписывают Дирихле, который так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х ( на отрезке а ≤ х ≤ b ) , если каждому значению х на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично каким образом установлено это соответствие – аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами».

Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая «функция Дирихле». Эта функция задана двумя формулами и словесно. Таким образом, примерно в середине 19 века понятие функции освободилось от рамок аналитического выражения. Главный упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине 19 века в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементы х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f(х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В – значениями функции; во втором случае х – прообразы, у – образы.

Дальнейшее развитие понятия функции ( 20 век ).

Н еобходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 году книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака, крупнейшего английского физика. Дирак ввел так называемую дельту-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н.М.Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40 годах прошлого столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений.

В общем виде понятия обобщенной функции было введено французом Лораном Шварце.

Глава II. Примеры функций в различных областях

§1. Наши первые представления о функциях.

И зучением функций мы занимаемся с 7 класса. Первые представления о них связаны с нашим жизненным опытом. В тот момент нам было понятнее понятие функции через отображение одного множества на другое. Элементами этих множеств могли быть предметы любой природы, лишь бы каждому элементу первого множества соответствовал только один элемент второго. Сами того не осознавая, мы искали примеры функций в окружающем нас мире и использовали в качестве элементов множеств курочек, кошек, бабочек и т. д. Наши рисунки разделились на две группы, в первую вошли отображения, являющиеся функциями, а во вторую – не являющиеся функциями. Уже тогда мы заметили, что при изменении направления стрелок, характер отображения мог измениться.

Отображения, являющиеся функциями

Отображения, не являющиеся функциями

Отображение - это универсальный и необычайно эффективный инструмент познания окружающей действительности. Люди использовали его за много тысячелетий до того, как сформировали современное понятие функции. Они находили количественные закономерности в реальных явлениях, конструировали абстрактные математические модели и лишь затем обнаруживали явления, характеризуемые созданными моделями. Изучив свойства этих моделей, люди начинали применять их в своей практической деятельности. Создание таких моделей было связано, очевидно, как с потребностями развития математики, так и с потребностями практики человека.

§2. Функции – наши помощники

Квадратичная функция

Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Графиком квадратичной функции является парабола. Эту кривую можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек М плоскости, расстояние каждой из которых до заданной точки F, называемой фокусом параболы, равно ее расстоянию до заданной прямой, называемой директрисой параболы.

Х орошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. Речь идет об огибающей кривой траектории камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

П арабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков. Его использовал и Архимед при защите Сиракуз от врагов.

Циклоида.

Циклоида - кривая, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по некоторой прямой в той же плоскости. У циклоиды масса любопытнейших свойств. Оказывается, что циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Кроме того, циклоида является такой кривой, по которой должна двигаться тяжелая материальная точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Используя это свойство, Х. Гюйгенс сконструировал часы. Любопытно, что траектория конца маятника, как и ограничивающие его боковые «щеки», представляет собой циклоиду.

Как закруглить железную дорогу?

Э кспресс стрелой несется по железной дороге, и о поворотах пассажиры узнают, лишь наблюдая последние вагоны состава из окна своего купе. Они и не предполагают, что их комфорт обеспечили не только проводники и машинисты. Спираль Корню, лемниската Бернулли и кубическая парабола мягко направляют путь экспресса.

Примеры числовых функций, заданных на множестве натуральных чисел

П редставим себе, что мы открыли счёт в банке вклад. У нас есть две стратегии поведения: либо снимать проценты по вкладу в конце каждого месяца, либо один раз в конце срока хранения. Как выгоднее нам поступить?

Если проценты с вклада снимать каждый месяц, то капитал растет в арифметической прогрессии.

Если проценты с вклада не снимать каждый месяц, то капитал растет в геометрической прогрессии.

§3. Примеры функций в естествознании

Экологическая ниша.

Есть в экологии универсальное понятие - экологическая ниша. Под «нишей» понимают условия, в которых живет вид, т.е. диапазон факторов среды, в котором данный вид живет и размножается. Допустим, что известны верхние и нижние пределы температуры и влажности, приемлемые для существования какого-либо вида. На рисунке в виде графика представлена экологическая ниша некоторого вида (это может быть любое растение, животное, человек и т.д.). Из него видно, что организмы успешнее размножаются и лучше всего чувствуют себя в условиях, близких к оптимальным для данного вида. Отклонение значения фактора от оптимального приводит к угнетению, а затем и к гибели особей.

Рост дерева подчиняется сложнейшей функции, которая зависит от породы дерева и времени роста.

На этой графической иллюстрации хорошо видна зависимость численности рысей от численности зайцев. Для того, чтобы рыси продолжали свое существование, необходимо явное преобладание зайцев.

Функции в физике

Закон Ома

Сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению на концах проводника.

I = U/ R. На рисунке зависимость силы тока от со­противления проводника при одном и том же

напряжении на его концах показана графиче­ски.

З акон Гей-Люссака

Эта зависимость означает, что при нагревании газа на 1°С его объём увеличивается на 1/273 своей величины при 0°С, а при температуре около -273°С обращается в 0. Графиком указанной зависимости является отрезок прямой: V=V(1+ )

З акон Бойля Мариотта

Закон Бойля Мариотта описывает количественную зависимость давления от объёма газа. Если поддерживать постоянную температуру, то при увеличении объёма V давление газа p

падает, когда же уменьшается объём V – давление p растет, а произведение p на V сохраняется. Это известный закон Бойля-Мариотта. Графиком его является часть одной из веток гиперболы.

Вывод. Рассмотрев материалы о функциях в различных энциклопедических справочниках по математике, физике, биологии, обществознанию, в научно-популярной литературе, я убедился, что функция является очень важным общенаучным понятием. Я увидел, что функциональные зависимости встречаются практически во всех окружающих нас предметах и явлениях. Изучив свойства этих зависимостей, человек использовал их как для развития науки, так и в своей практической деятельности.

§4. Функции в экономике

В течение последних нескольких лет страны мира находятся в состоянии финансово - экономического кризиса, начавшегося в США. Пришел кризис и в Россию. Меня заинтересовало, какие функциональные зависимости в экономике подверглись изменениям в связи с этим, и каким образом. Я выяснил, что изучением этих вопросов занимается математическая экономика - наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов.

Чтобы изучить эти зависимости, нужно обратиться к энциклопедическому справочнику по экономике (Володин В.А/ Аванта +/ Энциклопедия для детей «Общество. Экономика и политика Ч.1», том 21- М.:/ 2002 г., 464 c.).

Если спросить у знакомых: «Что лучше – когда цены растут или когда они падают?». Большинство ответят: «Лучше, если падают». Если же спросить: «Что лучше - когда заработная плата растет или уменьшается?». Ответ также очевиден. Но мало кто задумывается над тем, что они отвечали практически на один и тот же вопрос. В первом случае они считали себя потребителями товаров и услуг, поэтому хотели покупать больше на имеющиеся деньги. Во втором – производителями и стремились продать свои услуги по более высокой цене. Все доступные товары и услуги – результат деятельности членов общества, поэтому всегда есть как сторонники снижения цен, так и сторонники их повышения. Как же установить компромисс?

Надо найти такую цену, с которой согласятся и потребители, и производители товара. Объем спроса при данной цене станет равен объему предложения – получится равновесная рыночная цена.

Что произойдет, если установить цены ниже равновесных (запретить высокие цены)? Предложение станет меньше спроса: производитель не будет заинтересован в росте производства, ведь он приводит к увеличению затрат. Товаров на все желающих не хватит, и они исчезнут из продажи.

А могут ли производители установить очень высокие цены (выше равновесной)? При цене выше равновесной спрос станет меньше предложения: потребитель не желает покупать больше. Товаров будет выпущено больше, чем продано, и они останутся на складе.

В условиях рынка, если спрос больше предложения, продавцы поднимут цену до рыночной равновесной цены, предложение вырастет, и объем спроса станет равен объему предложения. В случае, если спрос меньше, чем предложение, залежавшийся товар продадут по более низкой цене. Снижение цены приведет к увеличению спроса и уменьшению предложения, равновесие восстановится.

Стихийное выравнивание спроса и предложения в условиях рыночной экономики происходит в результате взаимодействия людей, преследующих собственные интересы. Адам Смит назвал этот процесс действием «невидимой руки», которая заставляет участников рынка обеспечивать членов общества необходимыми товарами и услугами.

Возникает вопрос: если в условиях рыночной экономики все так отрегулировано, почему же происходят кризисы? Ответ был найден в шуточной форме.

Как делаются кризисы?

В мексиканскую деревню приехал бизнесмен и объявил, что покупает местных обезьян по 10 песо за штуку. Обезьян вокруг море, жители рады – все сдают обезьян в розницу и оптом по 10 песо. Обезьян стало меньше, тогда бизнесмен сказал, что повышает цену до 20. Жители напряглись, изловили последних обезьян, принесли – и сдали по 20 песо. Самых последних бизнесмен забрал по 25, а потом объявил, что хочет еще, но уже по 50! Но сам уехал и оставил управляющего.

Управляющий говорит:

- Давайте так: я продам вам втихую этих обезьян назад по 35 песо, а когда босс приедет, вы их ему по 50 продадите.

Народ рад! Назанимал кучу денег и скупил всех обезьян по 35 песо.

На следующий день управляющий исчез вслед за боссом, а народ остался без денег, в долгах, но при обезьянах.

Получив такой объем информации, я решил выяснить, какие функциональные зависимости обуславливают основные изменения в экономике на примере финансово-экономического кризиса, и как эти изменения влияют на уровень жизни наших горожан. Я поинтересовался в ближайшем магазине об изменении цен на основные продукты за последние шесть месяцев (октябрь-март 2018-2019 г.г.) и выяснил, что стоимость товаров повысилась, в то время, как заработная плата людей осталась практически без изменений, к тому же произошло сокращение производства и как следствие этого сокращение рабочей силы на предприятиях. Всё это свидетельствует об ухудшении жизненного уровня наших горожан.

Вернемся к кризисной ситуации. Выясним, каким образом кризис в США повлиял на благосостояние россиян. Как известно, кризис начался в США, где большая денежная масса была выдана населению в виде кредитов. В определенный момент времени взявшие кредиты не смогли в полной мере выполнять обязательства по их выплате. Это привело к резкому кризису финансовой системы США, и как следствие этого, к оттоку денежных средств, вложенных иностранными инвесторами в российскую экономику. Параллельно падали цены на нефть, что также снижало приток денежных средств в нашу страну.

Экономический рост в России за последние пять лет в большей степени определялся высокими ценами на энергоресурсы: нефть и газ. И когда цены на нефть упали, денежный поток, который шел в Россию, сократился. Как следствие этого сократился спрос внутри страны на продукцию, что в свою очередь привело к сокращению производства. Финансовый кризис перешел в промышленный.

С помощью нескольких простых графиков проиллюстрирую сказанное выше.

Рисунок 1. Цены на нефть низкие, соответственно приток долларов в Россию снизился (цены на нефть упали - курс доллара вырос).

Рисунок 2. Цены на нефть упали – денежной массы в стране стало меньше.

Рисунок 3. Денежная масса сократилась – снизилась покупательная способность населения.

Рисунок 4. Снизилась покупательная способность населения – произошел спад промышленного производства.

Рисунок 5. Произошел спад промышленного производства - сократилась инвестиционная привлекательность производства (вкладывать деньги стало невыгодно).

Рисунок 6. Сократилось производство – сократилось предложение товаров на рынке.

Рисунок 7. Предложение упало – выросли цены.

Вывод. Увеличение спроса произошло за счет простого увеличения денежных выплат всем членам общества, а не вследствие эффективного использования ресурсов и расширения производства, в результате выросла цена. Такой процесс, согласно определению в выше указанном источнике, называется инфляцией - обесцениванием денег, когда за те же блага приходится платить все больше

Вывод. В условиях низкого уровня собственного производства мы вынуждены отметить, что благополучие россиян остаётся зависимым от цен на энергоресурсы на мировых рынках.

В сложившейся ситуации, правительство России использует валютный резерв. Но вместе с тем, делая прогноз на ближайшие 2-2,5 года, возлагает надежды на развитие собственного российского производства.

В этом контексте, наиболее более важным является озвученный президентом и правительством курс на развитие современных и инновационных видов производств.

§5 Функции в статистике

При рассмотрении теоретической части этого вопроса за основу берутся энциклопедические сведения из следующих источников: Аксенова М.Д./ Аванта +/ Энциклопедия для детей «Математика», том 11 - М:/ 2000 г., 688 с.; Савин А. П./ Педагогика, 2-е издание/ Энциклопедический словарь юного математика - М:/ 1989 г.,359с. Математическая статистика – это наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений. Приведём примеры. Из кипы хлопка наугад вытащены пучки и измерены длины попавших в них волокон. Результаты первых 28 замеров (в см) оказались следующими: 2,10; 2,23; 2,14; 2,16; 2,56; 2,05; 2,20; 2,34; 2,18; 1,95; 2,21; 2,46; 2,28; 1,95; 2,54; 2,12; 2,05; 2,15; 2,18; 2,21; 2,34; 2,28; 2,34; 2,20; 2,42; 2,55; 2,12; 2,27. Запись результатов наблюдений в таком виде мало наглядна, занимает много места, и из неё трудно делать выводы. Обычно стремятся данные наблюдений сделать более удобными для восприятия и для последующей обработки. Весь интервал возможных значений разбивают на части и подсчитывают число наблюдений, попавших в каждый из отрезков

Здесь показан табличный способ задания функции. Он позволяет установить закономерности появления различных возможных значений наблюдаемой величины, оценить правильность тех или иных статистических гипотез, увидеть наличие корреляционных зависимостей между переменными, которые наблюдаются на опыте. Уже беглый взгляд на таблицу показывает, что мало и коров с малым удоем, и коров – рекордисток.

Число пожаров по Красногорскому району за 2018 год

Вывод: Число пожаров растет в летний более засушливый период.

Число ДТП по Красногорскому району за 2017-2018 годы.

Месяц	2017	2018
Январь	362	374
Февраль	387	395
Март	370	390
Апрель	384	381
Май	429	402
Июнь	451	492
Июль	406	334
Август	421	391
Сентябрь	382	198
Октябрь	441	326
Ноябрь	357	283
Декабрь	321	311

2017 год 2018 год

Вывод: Статистика показывает рост ДТП в летне-осенний период, что в значительной степени обуславливается сезонными явлениями.

Сравнительный анализ

школьников МБОУ гимназия №2 г. Красногорска МО за 2017-2019годы.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ПО СРЕДНЕМУ ТЕСТОВОМУ БАЛЛУ

ПО ПРЕДМЕТАМ ЗА 3 ГОДА

2017 год

2018 год

2019 год

Вывод. Анализ показывает, что в МБОУ гимназии № 2 успеваемость стабильно высокая, а качество знаний около 50%

Заключение

В своей работе я хотел показать, что функция является очень важным понятием для всех наук, т. е. общенаучным понятием. Кроме того, она является необходимым инструментом исследования многих происходящих в мире процессов. Я увидел функциональные зависимости там, где их раньше не замечали.

Я попытался изложить свой взгляд на финансово-экономический кризис в России, построил некоторые простейшие модели зависимостей, связанных с финансово-экономическим кризисом, разобрался, каким образом изменения этих зависимостей приводят к инфляции и ухудшению уровня жизни россиян, задумался над тем, каким может быть выход из сложившейся кризисной ситуации.

Вывод:

В условиях низкого уровня собственного производства благополучие россиян остаётся зависимым от цен на энергоресурсы на мировых рынках. В связи с этим важным является озвученный правительством курс на развитиесовременных и инновационных видов производств.

На примерах местного материала я увидел функциональные зависимости в статистике. Это позволило мне лучше понять происходящие вокруг нас процессы, сделать соответствующие выводы. Я постарался затронуть те области и те вопросы, которые являются актуальными для нас и нашей страны сейчас, которые волнуют меня и связаны с моей будущей профессией.

Список используемой литературы:

Аксёнова М., Володин В., Вильчек Г. / Аванта + / Энциклопедия для детей. (Том 19.) Экология / М.: 2007. – 448с.

Аксенова М., Володин В./ Аванта +/ Энциклопедия для детей. (Том 16, часть I, II), Физика/ М:, 2000 г./ 840 с.

Аксёнова М., Леенсон И., Мартынова С. / Аванта + Астрель / Химия. – 2-е издание, переработанное / М.:, , 2007. – 656 с.: ил.

Аксенова М.Д./ Аванта +/ Энциклопедия для детей «Математика», том 11 - М:/ 2000 г., 688 с.

Белл Э.Т./ Просвещение /Творцы математики, пособие для учителей, М.:, 1979 г., 255 с.

Виленкин Н.Я./ Просвещение/ Функции в природе и технике - М.:, 1985 г., 192 с.

Володин В.А/ Аванта +/ Энциклопедия для детей «Общество. Экономика и политика Ч.1», том 21- М.:/ 2002 г., 464 c.

Наука / Эволюция органического мира: Факультативный курс. Учеб. пособие для 10 -11 классов средней школы 2-е издание, переработанное и дополненное М.: /1996. 256с.: ил.

Пёрышкин А. / Дрофа / Физика. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений /.. – 8-е издание, дополненное – М.:, 2006. – 191 с.: ил.

Пичурин Л.Ф./ Просвещение/ За страницами учебника алгебры, книга для учащихся., М.:, 1990 г., 223 с.

Савин А. П./ Педагогика, 2-е издание/ Энциклопедический словарь юного математика - М:/ 1989 г., 359 с.