VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Свойства линейной функции, их применение при решении текстовых задач и в физических процессах
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В 7 классе на уроках алгебры мы изучили тему «Линейная функция», а на уроках физики при изучении темы «Механическое движение» чертили графики зависимости пути от времени движения. Мне стало интересно узнать, применяются ли свойства линейной функции в физических процессах, а также при решении задач на движение.
Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства, и что особенно важно взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности встречаются количественные соотношения, и математика изучает их в свойстве чисел. Линейная функция и ее свойства являются весьма существенным звеном при изучении курса математики. Многие физические законы, пространственно-временные формы жизни и их количественные отношения выражаются с помощью линейной функции, поэтому исследование данного вопроса является актуальным.
Тема исследования: доказательство существования линейной зависимости между объектами механики и изучение графического метода решения задач на движение.
Объект исследования: линейная функция.
Гипотеза: зависимость между физическими объектами является линейной, в частности прямой пропорциональностью.
Цель работы: исследовать линейную функцию и изучить ее свойства при решении текстовых задач и в физических процессах.
Задачи работы:
1. Познакомиться подробнее с линейной функцией и ее свойствами.
2. Экспериментальным путем найти зависимость между физическими объектами: массой тела и его объемом, путем и временем движения, силой трения скольжения и весом тела.
3. Изучить графический способ решения текстовых задач на движение.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
2. Лабораторный эксперимент.
3. Анализ и классификация данных полученных в ходе экспериментов.
Глава 1. Линейная функция и ее свойства
Функцией называется такая зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.2 Независимую переменную иначе называют аргументом, а значение зависимой переменной – значением функции. Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Слово «функция» (от латинского function – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г.1 Явное определение функции было впервые дано в 1718 г одним из его учеников и сотрудников, швейцарским математиком Иоганном Бернулли. В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики: Жозеф Фурье, Н.И. Лобачевский, С.Л. Соболев и др. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX века.
Определение линейной функции
Линейная функция - функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x – независимая переменная, k, b - некоторые числа.2 Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять две точки. (Приложение 1, график 1). Если x=0, то y=b; если y=0, x= -b/k. Таким образом, график линейной функции проходит через точки (0;b) и (-b/k;0).
Функцию можно задать несколькими способами:
___________________________________________________________________
1Глейзер Г.И. История математики в школе: пособие для учит. / Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1983. – 351с.
2 Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций/ Ю.Н. Макарычев . – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 256 с.
1.Аналитический способ – это способ задания функции с помощью формул. Такой способ задания функции является основным для расчетов, выполняемых на электронных вычислительных машинах.
Например, функция задана формулой у = 12х – 3,6. Найдите, при каком значении х значение функции равно 2,4. Подставим в формулу вместо у число 2,4. Получим уравнение с переменной х: 2,4 = 12х – 3,6. Решив его, найдем, что х = 0,5. Значит, у = 2,4 при х = 0,5.
2. Табличный способ – это способ задания функции с помощью таблицы. Например, линейная функция задана формулой у = 0,5х + 6. Найдите значение у, если х = - 12; 0; 34. Составим таблицу и найдем значение у, подставляя вместо х его значения (Приложение 2, таблица 1).
3. Графический способ – это способ задания функции с помощью графика. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.2 Например, построим график функции у = 2х + 3. Это линейная функция, поэтому графиком является прямая. Используя формулу, найдем координаты двух точек графика: если х = - 2, то у = 2 * (-2) +3 = -1; если х = 1, то у = 2 * 1 + 3 = 5. Отметим точки А(-2; -1) и В(1; 5). Проведем через эти точки прямую. Прямая АВ есть график функции у = 2х + 3. (Приложение 1, график 2).
1.2. Прямая пропорциональность
Частным случаем линейной функции является прямая пропорциональность.
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у=kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат2 (Приложение 1, график 3).
Свойства функции у = kx:
____________________________________________________________________
2 Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций/ Ю.Н. Макарычев . – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 256 с.
1.Область определения – вся числовая прямая.
2. Функция нечетная.
3. При k<0 – функция убывает, при k>0 – функция возрастает.
Глава 2. Графический способ решения текстовых задач
Для умения решать текстовые задачи важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности решение её различными способами. Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи, даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.5 В качестве основных способов в математике различают арифметический и алгебраический. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. Если использовать чертёж при решении, то можно легко дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим. Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между алгебраическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей. Следует отметить, что благодаря применению графического способа можно сократить время решения задач. В то же время умение графически решать задачу – это важное политехническое умение. Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую сложно решить алгебраическим способом.
Графический способ решения любых задач и проблем очень удобен своей наглядностью, так как вырисовывается вся картина целиком, и не нужно удерживать в памяти разрозненные куски. При решении следующих задач вводится система координат, причем на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат – пройденное расстояние, отсчитываемое от некоторой
_________________________________________________________________
5 Геометрический метод решения задач на движение и работу [Электронный ресурс] / Т.И. Лескевич//Зельва, 2013.
фиксированной точки. Движущийся объект в любой момент времени занимает
определённое положение, т.е. находится на определённом расстоянии от этой
фиксированной точки, а значит, изображается некоторой точкой в данной системе координат. В процессе движения объекта изменяет своё положение и изображающая его точка, вычерчивая некоторую линию – график движения. Начерченный график – это краткое и наглядное описание какого – либо процесса. Недаром говорят, что график – это «говорящая» линия, которая может многое рассказать, но она рассказывает только тем, кто умеет её читать. Решение текстовых задач с помощью графического представления условия задачи может помочь в решении задач различных уровней сложности. С помощью графиков рационально решаются задачи, в которых описывается некоторый процесс: движения, работы, заполнения зала зрителями, горения свечи и т.д.5
2.1. Алгоритм решения текстовых задач с помощью графиков линейной функции
Для того, чтобы решить текстовую задачу с помощью графиков линейной функции, надо:
1) Задать систему координат sOt с осью абсцисс Ot и осью ординат Os. Для этого по условию задачи надо выбрать начало отсчета: начало движения объекта или из нескольких объектов избирается тот, который начал двигаться раньше или прошел большее расстояние. По оси абсцисс отметить интервалы времени в его единицах измерения, а по оси ординат отметить расстояние в выбранном масштабе его единиц измерения.
2) Провести линии движения каждого из объектов, указанных в условии задачи, через координаты хотя бы двух точек прямых. Обычно скорость объекта даёт информацию о прохождении расстояния за одну единицу времени от начала его движения. Если объект начинает двигаться позже, то точка
_________________________________________________________________
5 Геометрический метод решения задач на движение и работу [Электронный ресурс] / Т.И. Лескевич//Зельва, 2013.
начала его движения смещена на заданное число единиц вправо от начала отсчета вдоль оси абсцисс. Если объект начинает двигаться с места, удаленного от начала отсчета на определённое расстояние, то точка начала его
движения смещена вверх вдоль оси ординат.
3) Место встречи нескольких объектов на координатной плоскости обозначено точкой пересечения прямых, изображающих их движение, значит, координаты этой точки дают информацию о времени встречи и удаленности места встречи от начала отсчета.
4) Разность скоростей движения двух объектов определяется длиной отрезка, состоящего из всех точек с абсциссой 1, расположенных между линиями движения этих объектов.
5) Точки на координатной плоскости должны быть отмечены в соответствии с масштабом по условию задачи, и линии должны быть построены аккуратно. От этого зависит точность решения задачи. Поэтому очень важно удачно выбрать масштаб делений на осях координат: его надо подобрать таким образом, чтобы координаты точек определялись более точно и, по возможности, располагались в узловых точках, т.е. в пересечениях делений осей координат. Иногда полезно за единичный отрезок на оси абсцисс брать количество клеток, кратное условиям задачи относительно времени, а на оси ординат – количество клеток, кратное условиям задачи относительно расстояния. Например, 12 мин по времени требуют выбора числа клеток кратное 5, т.к. 12 мин составляет пятую часть часа. При решении текстовых задач графическим способом у учеников возникает понимание необходимости аккуратного отношения к построению графиков, появляется умение работать с ними: правильно выбирать масштаб, производить простые геометрические построения.4
___________________________________________________________________________________________________________
4 Рудин В.Н. Графическое решение текстовых задач: учеб. пособие/ В.Н. Рудин, Е.И. Рудина – Т.: ТГУ, 1995. – 29с.
Глава 3. Линейная функция в физических процессах.
Линейная функция простейшая и, можно сказать, одна из важнейших среди всех функций. Многие физические законы выражаются с помощью линейной функции. Учитывая все правила по проведению графиков линейной функции, мы можем использовать их в решении многих практических задач из реальной жизни, где присутствует линейная зависимость величин. Рассмотрим наиболее популярную, часто встречающуюся в жизни линейную зависимость – это прямолинейное равномерное движение. Равномерным называют такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит соответственно равные расстояния.3 Для характеристики геометрических свойств движения вводятся такие понятия, как «траектория», «система отсчета» и такие величины, как «путь», «перемещение». Формула cкорости: υ = S/t, где t– время движения; υ – скорость передвижения. Из формулы скорости следует, что путь тела при равномерном движении находится по формуле: S=υt. Формулу движения называют уравнением движения. Полученная формула описывает уравнение прямолинейного равномерного движения. Зная пройденный путь и время движения можно построить график (s – ось пройденного пути, t – ось времени) (Приложение 1, график 4). Получили прямую линию, которая является графиком прямой пропорциональности, т.е. зависимость между пройденным путем и временем движения линейная. Линейная функция применяется во многих других физических явлениях, таких как: зависимость массы тела от его объема, закон Гука, т.е зависимость силы упругости от деформации тела и многих других.
Глава 4. Экспериментальная часть
Мы решили сами убедиться в существовании линейной зависимости между некоторыми объектами механики: перемещения от времени, массы тела от его объема, силы трения скольжения от веса тела.
____________________________________________________________________
3 Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учебник / А.В. Перышкин. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2017. – 224 с.
4.1. Опыт №1 «Зависимость пути от времени при постоянной скорости»
Гипотеза: зависимость пути от времени при прямолинейном равномерном движении является линейной, в частности прямой пропорциональностью.
К проведению этого эксперимента мы привлекли учащихся 7 класса. Все участники должны были измерить длину своего шага и сосчитать количество шагов при движении по прямой за 1 минуту, затем за 2 минуты и т.д. Результаты измерений занесли в таблицы (Приложение 2, таблицы 2-5). По данным таблиц мы вычислили средние скорости движения.3 Получили такие данные:
Самойлов Кирилл - = = 71,75 72 м/мин
Зависимость s от t выражается формулой s= 72t.
Шульц Родион - = = 70,76(3) 71 м/мин
Зависимость s от t выражается формулой s= 71t.
Ворошилова Милана - == 69,77 70 м/мин
Зависимость s от t выражается формулой s= 70t.
Лохматова Мария - = = 63,07 63 м/мин
Зависимость s от t выражается формулой s= 63t.
Как видно из формул значение s прямопропорционально значению t.
Построили графики движений (Приложение 1, графики 5 – 8). Как показано на графиках перемещение тела линейно (или почти линейно) зависит от времени при постоянной скорости.
Вывод: зависимость между путем и временем движения является прямой пропорциональностью. Гипотеза подтвердилась.
4.2. Опыт №2 «Зависимость между массой тела и его объемом».
Гипотеза: зависимость между массой m и объемом V является прямой
____________________________________________________________________
3 Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учебник / А.В. Перышкин. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2017. – 224 с.
пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен плотности ).
Для опыта мы склеили три коробки из одного и того же картона разного объема. С помощью линейки измерили длину, ширину и высоту, и нашли объем для каждой из них (Приложение 3, рис. 1, 2). С помощью электронных весов определили массы коробок (Приложение 3, рис. 3, 4, 5). Все данные занесли в таблицу (Приложение 2, таблица 6). Затем на миллиметровой бумаге построили график зависимости массы от объема (Приложение 1, график 9). Получилась прямая линия.
Масса m V.5 Нашли коэффициент пропорциональности : = m : V.
= 0,45 : 365,6 = 0, 0012… 0,001 г/см3
= 1,2 : 1577,5 = 0,00076… 0,001 г/см3
= 1,8 : 2700 = 0, 00066… 0,001 г/см3
Во всех трех случаях, с точностью до тысячных, коэффициенты равны. На графике взяли произвольную точку, и нашли ее координаты: m = 1 г, V = 1280 см3. Выполнили расчет: = 1 : 1300 = 0,00078… 0,001 г/см3. Значит формулу зависимости массы коробок от их объема можно записать в виде m = 0, 001V.
Сравнивая ее с формулой у = kx, можно сделать вывод: зависимость между массой m и объемом V является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен 0,001). Гипотеза подтвердилась.
4.3. Опыт №3 «Зависимость между силой трения скольжения и
весом тела»
Гипотеза: зависимость между силой трения скольжения Fтр и весом тела Р является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен коэффициенту трения).
Для опыта мы взяли: деревянную доску, динамометр, брусок, грузы.3
Для проведения данного эксперимента нам необходимо:
1.Собрать установку для проведения эксперимента.
__________________________________________________________________
3 Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учебник / А.В. Перышкин. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2017. – 224 с.
2.Провести три серии опытов с разными нагрузками на брусок.
3.Занести все результаты в таблицу.
4.Построить график зависимости Fтр (P).
5.Вычислить коэффициент трения.
Сначала мы нашли вес бруска с 1 грузом, затем с 2-мя и 3-мя грузами (Приложение 3, рис. 6, 7, 8). Потом измерили силу трения скольжения бруска с грузами по деревянной доске (Приложение 3, рис. 9, 10, 11). Все измерения занесли в таблицу (Приложение 2, таблица 7). На миллиметровой бумаге построили график зависимости силы трения от веса (Приложение 1, график 10). Получилась прямая линия. На графике взяли произвольную точку и определили ее координаты: Р = 2Н, Fтр = 0,4 Н. Выполнили расчет: = = = 0,2
Значит формулу зависимости силы трения скольжения от веса можно записать в виде Fтр = 0, 2Р.
Сравнивая ее с формулой у = kx, можно сделать вывод: зависимость между силой трения скольжения Fтр и весом тела Р является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен 0,2). Гипотеза подтвердилась.
4.4. Решение задач, составленных на основе реальных событий.
Работая с учебной и научно-популярной литературой, где описывается графический способ решения текстовых задач, мы решили этим способом
некоторые задачи на движение из нашего учебника «Алгебра 7», которые в свое время были решены нами на уроках с помощью уравнений. Графический способ значительно упрощает решение некоторых задач на движение. Мы поняли суть этого метода, вывели для себя определенные и полезные правила применения его в решении задач, постарались составить интересные задачи на основе реальных ситуаций и полностью решить их с помощью графиков
линейной функции.
Задача 1. На уроке физкультуры по дорожке, длина которой 600 м, бегают семиклассники. Саша бежит со скоростью 100 м/мин, а Рома добегает до конца дорожки за 4 мин и с той же скоростью возвращается назад. Определите, сколько раз они встретятся в течение 20 мин.
Решение: так как скорость Саши 100 м /мин, то до конца дорожки он добежит за 600 : 100 = 6 мин, а Рома добегает за 4 мин. На миллиметровой бумаге изобразили координатную плоскость sOt с осью абсцисс Ot, на которой отметили интервалы времени движения, и ось ординат Os, на которой будем отмечать расстояние, пройденное мальчиками (Приложение 1, график 11). Нанесли деления в масштабе: по оси ординат – в 1 см – 100 м; по оси абсцисс – в 1 см – 2 мин. Построили линии движения мальчиков (Приложение 3, рис. 12). По чертежу сразу видно, что графики в течение 20 мин пересекутся в четырех точках, значит они встретятся 4 раза.
Ответ: мальчики встретятся 4 раза.
Задача 2. Расстояние между городами Пермь и Кунгур составляет примерно 90 км. Одновременно из этих городов, навстречу друг другу, выехали автобус и автомобиль «Газель». Автобус затратил на свой путь 1 час 50 мин, а «Газель» 1 час 30 мин. На каком расстоянии от Перми, и через какое время с момента начала движения, они встретятся.
Решение: Изобразили на чертеже графики движения автобуса и автомобиля «Газель» между двумя городами. Так как они выходят одновременно, но из различных точек, то и графики движения также будут выходить из различных точек, одна - из начала координат (Кунгур), другая - из точки, соответствующей 90 км на оси Оs (Пермь). По оси ot отложили время движения автомобиля и автобуса (Приложение 1, график 12). Соединили начало движения с конечной точкой прямыми. Графики движения автобуса и автомобиля пересеклись в одной точке, координаты этой точки (50; 50) соответствуют их времени движения до встречи и расстоянию, которое они проехали до места встречи. Значит они встретились на 50 минуте после начала движения и на расстоянии 90 – 50 = 40 (км) от г. Пермь.
Ответ: Расстояние от Перми до места встречи автобуса и автомобиля «Газель» равно 40 км; они встретились через 50 минут после начала движения.
Задача 3. От Кунгура до д. Песчанка мальчик шел со скоростью 4 км/ч, а возвращался на велосипеде со скоростью 6 км/ч, поэтому он затратил на обратный путь на 40 мин меньше. На каком расстоянии от Кунгура находится д. Песчанка?
Решение:
1. На миллиметровой бумаге изобразили координатную плоскость sOt c осью абсцисс Оt, на которой отметили интервалы времени движения, и осью ординат Os, на которой отметили расстояние от Кунгура до Песчанки (Приложение 1, график 13).
2. Нанесли деления в масштабе: по оси ординат – в 1 см – 1км; по оси абсцисс – один час в 3 см (в 1 см – 20 мин.). (Приложение 3, рис. 13)
3. Построили линию движения I от Кунгура до Песчанки: начало движения отметили точкой (0;0). Мальчик шел со скоростью 4 км/ч, значит, прямая должна пройти через точку (1;4).
4. Построили линию движения II обратно: конец линии отметили точкой ( ; 0), т.к. на велосипеде он затратил на обратный путь на 40 мин. меньше и вернулся
в Кунгур. Он ехал со скоростью 6 км/ч, значит следующая точка прямой имеет координату (1 ;6).
5. Отметили точку пересечения прямых I и II: её ордината показала расстояние от Кунгура до Песчанки: s = 8 км, значит 8 км – расстояние от Кунгура до Песчанки.
Ответ: 8 км.
При решении задач очень важно удачно выбрать масштаб делений на осях координат: его надо подобрать таким образом, чтобы координаты точек определялись более точно и, по возможности, располагались в узловых точках, т.е. в пересечениях делений осей координат.
Вывод: графический способ – это удобный способ, который значительно упрощает решение многих задач на движение.
Заключение
В своей работе мы попытались доказать существование линейной зависимости между объектами механики и рассмотрели графический метод как один из методов решения задач на движение. Исследуя вопрос связи тем «Линейная функция и её график» и «Механическое движение», мы пришли к выводу, что при изучении равномерного прямолинейного движения необходимо опираться на имеющиеся у нас знания о линейной функции и её графике. Только в этом случае можно успешно выполнять задания по физике, целью которых является чтение, построение графиков скорости, пути и координаты, а также отыскание с помощью этих графиков промежуточных величин. Проведенные нами эксперименты доказывают линейную зависимость, в частности прямую пропорциональность, между физическими объектами: массой тела и его объемом, путем и временем движения, силой трения скольжения и весом тела. Законы природы естественным образом формулируются на языке математики.
Рассматривая графический способ решения задач, мы отметили, что благодаря применению этого способа можно сократить время решения задач. В то же время умение графически решать задачу – это важное политехническое умение. Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую сложно решить алгебраическим способом. Изложенный в работе материал может быть использован на уроках физики в 7 классе, а также на дополнительных и факультативных занятиях по алгебре.
Общий результат исследовательской работы:
Все предложенные нами эксперименты доказывают существование линейной зависимости между физическими объектами, а графический способ дает возможность облегчить решение задач на движение.
Литература
1.Глейзер Г.И. История математики в школе: пособие для учит. / Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1983. – 351с.
2.Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций/ Ю.Н. Макарычев . – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 256 с.
3. Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учебник / А.В. Перышкин. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2017. – 224 с.
4. Рудин В.Н. Графическое решение текстовых задач: учеб. пособие/ В.Н. Рудин, Е.И. Рудина – Т.: ТГУ, 1995. – 29с.
5.Геометрический метод решения задач на движение и работу [Электронный ресурс] / Т.И. Лескевич//Зельва, 2013. – URL: https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-na-temu-geometricheskiy-metod-resheniya-zadach-na-dvizhenie-i-rabotu-808883.html (дата обращения 15.02.2019)
Приложение 1
График 1. Линейная функция у = kх + b.
График 2. Функция у = 2х + 3.
График 3. Прямая пропорциональность.
График 4. Прямолинейное равномерное движение.
График 5. График движения Самойлова К.
График 6. График движения Лохматовой М.
График 7. График движения Шульц Р.
График 8. График движения Ворошиловой М.
График 9. Зависимость массы от объема.
График 10. Зависимость силы трения от веса тела.
График 11. Задача №1.
График 12. Задача №2.
График 13. Задача №3.
Приложение 2
Таблица 1. Способ задания функции с помощью таблицы.
|
х |
-12 |
0 |
34 |
|
у |
0 |
6 |
23 |
Таблица 2.
Таблица 3.
Таблица 4.
Таблица 5.
Таблица 6. Масса и объем.
Таблица 7. Сила трения и вес.
П риложение 3
Рис. 1 Измерение размеров коробок.
Рис. 2 Измерение размеров коробок.
Рис. 3 Масса маленькой коробки
Рис. 4 Масса средней коробки
Рис. 5 Масса большой коробки
Рис. 6 Вес бруска с 1 грузом
Рис. 7 Вес бруска с 2 грузами
Рис. 8 Вес бруска с 3 грузами
Рис. 9 Определение силы трения бруска с 1 грузом
Рис. 10 Определение силы трения бруска с 2 грузами
Рис. 11 Определение силы трения бруска с 3 грузами
Рис. 12 Построение графика к задаче про мальчиков
Рис. 13 Выбор масштаба осей координат