VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение уравнений, содержащих параметр
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1ВВЕДЕНИЕ
Объект исследования: уравнения с параметрами.
Предмет исследования: подходы и методырешения уравнений с параметрами.
Цель работы: овладеть методами решения уравнений с параметрами.
Задачи:
изучить различные подходы и методы решений уравнений с параметрами;
выделить основные типы уравнений с параметрами и методы их решения на основе рассмотрения примеров;
Методы исследования: изучение литературы; обработка материалов и результатов; анализ; классификация; обобщение.
Актуальность работы: Решение уравнений, содержащих параметры, является качественным обобщение и систематизацией учебного опыта учащегося на более высоком продуктивном уровне деятельности. Поэтому технология решения задач с параметрами должна быть гармонично вплетена в каждую тему, четко оговорена, должны быть разобраны примеры, приведена система упражнений.
II ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Параметрические уравнения — используемая в математике разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину, называемую параметром.
Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z.
Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.
III ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейные уравнения с параметрами и одной переменной
Уравнение вида ax=b, где x- переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
В практике решения задач с параметрами, применительно к линейным уравнениям с одной переменной, уравнения с параметрами преимущественно встречаются двух видов:
- с одной переменной и одним параметром;
- с одной переменной и двумя параметрами.
К первому виду относятся уравнения, где значение одного из параметров изначально задано условием или в уравнение входит только один параметр.
Ко второму виду относятся уравнения, в которых значения параметров изначально не определены, а обозначены буквами.
Общий вид уравнения с одним параметром таков:
F(x;a)=0
Линейные уравнения с параметрами и двумя переменными
Уравнение вида ax+by=c, где x и y - переменные, a, b и c – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными.
В практике решения задач с параметрами, применительно к линейным уравнениям с двумя переменным, и уравнения с параметрами преимущественно встречаются двух видов:
- с двумя переменными и одним параметром;
- с двумя переменными и двумя параметрами.
К первому виду относятся уравнения, где значение двух из трех параметров изначально заданы условием или в уравнение входит только один параметр.
Ко второму виду относятся уравнения, где значение одного из трех параметров изначально задано условием, а значения остальных двух параметров не определены, а обозначены буквами.
IV КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН С ПАРАМЕТРАМИ
Часто уравнение с параметром удаётся привести к квадратному. В таких задачах нужно найти значения параметра, при которых корни лежат на некотором промежутке. Для решения подобных примеров необходимо произвести анализ расположения корней. Чтобы определить взаимное расположение границ промежутка и корней уравнения, следует воспользоваться следующими утверждениями:
Чтобы число p находилось между корнями квадратичной функции f(x)=ax2+bx+c, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие a⋅f(p)<0;
Чтобы число p было меньше корней квадратичной функции f(x)=ax2+bx+c, необходимо и достаточно, чтобы
Чтобы число p было больше корней квадратичной функции f(x)=ax2+bx+c, необходимо и достаточно, чтобы
Пример:При каких значениях параметра a корни уравнения удовлетворяют условиям ?
Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а только один, а именно – больший корень квадратного трехчлена
принадлежит интервалу (-1; 1), а другой меньше -1?
Требования приведенной задачи выполнимы при таких условиях
Таким образом, в нашем случае приходим к рассмотрению системы
Решая эту систему, получаем, что .
V МЕТОД ОБЛАСТЕЙ
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр “равен в правах” с переменной, то ему, естественно, можно “выделить” и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (x, a). Отказ от традиционного выбора букв и для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – “метод областей”. Для успешного исследования многих задач повышенной трудности, нужно уметь строить не только графики функции, но и изображать на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет «метод областей», который является одним из частных случаев функционально-графического метода. Идея «метода областей» заключается в том, что решение задачи в исходной области сводится к решению ее или совокупности более простых задач в каждой из областей, их которых составляется исходная область. Применение «метода областей» при решении неравенств с параметрами во многом аналогично применению метода «интервалов» для решения неравенств с одной переменной.
Рассмотрим неравенство: Р (х, а)> 0 (Р (х, а) <0), где Р (х, а) – функция, аргументами которого являются переменная х и параметр а.
Пусть уравнение Р (х, а) = 0 определяет некоторые линии на координатной плоскости.
Разобьем этими линиями координатную плоскость на конечное число «областей», ограниченных линиями Р (х, а) = 0.
В каждой из полученных областей функция Р (х, а) отлична от нуля, так как точки, в которых Р (х, а) = 0 принадлежат границе этих «областей».
Справедлива теорема:
В каждой из областей, на которые линии Р (х, а) = 0 делят координатную плоскость, функция Р (х, а) сохраняет свой знак.
Таким образом, решение неравенства – множество всех пар чисел (х, а), при которых неравенство выполняется, образует совокупность (объединение) тех областей, в которых значение функции (х, а) положительно (отрицательно).
Часто при решении заданий с параметрами решение аналитическим способом является очень длинным и не всегда рациональным, тогда как решение этого задания «методом областей» значительно упрощает «выкладки» и дает возможность наглядно увидеть его решение.
Пример: Рассмотрим неравенство
. Заметим, что все прямые «порождены» сомножителями, входящими в функцию f(x) нечетным образом, и при переходе через любую из указанных трех прямых происходит смена знака этой функции. Поэтому в других областях знаки функции f(x) вычислять не требуется.
Пример: Найти наименьшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение:
На плоскости (х;а) изобразим множество точек, удовлетворяющих системе
Р ассмотрим
б)
Рассмотрим
Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вверх, вершина (1; -1), х=1 ось симметрии.
Наименьшее значение параметра а, при котором система имеет хотя бы одно решение равно -1.
VI ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если обе части рационального уравнения или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, и такое уравнение можно свести к виду:
где многочлены, причем дробь несократима, , то такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением.
Выделяют следующие виды параметризации дробно-рациональных уравнений:
-Свободный член находится в числителе (например, );
-Свободный член находится в знаменателе (например, );
-Свободный член находится и в числителе, и в знаменателе (например,
);
-Наличие коэффициента при переменной в числителе или знаменателе (например, ).
Аналитический метод решения дробно-рациональных уравнений с параметром
Основной частью аналитического метода решения задач является метод эквивалентных или равносильных преобразований. Данный подход основан на замене одного математического высказывания другим равносильным математическим высказыванием.
Все равносильные преобразования уравнений выполняют на области допустимых значений (ОДЗ) заданного уравнения.
Пример: Решить уравнение
Решение: Найдем ОДЗ:
Перейдем к равносильному уравнению:
Рассмотрим два случая:
1) Если то решений нет;
2) Если то
Учитывая ОДЗ, получим:
Отсюда следует:
Ответ: при
Графический метод решения дробно-рациональных уравнений с параметром
Координатно-графический метод представляет искомые решения в виде геометрического места точек на координатной плоскости, Решение задачи в этом случае рассматривается как значение координаты, соответствующей искомой переменной, принадлежащей линии или области, задаваемой условием.
Сам же процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «снимаем» нужную информацию.
Найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:
Найдём область определения функции:
Значит, функция определена при
Учитывая область определения, построим график функции стоящей в правой части (рис.3)
Далее необходимо рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ.
при и уравнение имеет единственное решение;
при решений нет.
Метод замены при решение дробно-рациональных уравнений с параметром
Метод замены заключается в формулировке исходного условия задачи в терминах новых переменных, существенно упрощающих процесс решения.
В зависимости от параметра решить уравнение
Решение: Рассмотрим ряд случаев:
Если то
Если то
Если то решений нет.
Возведем до полного квадрата:
Вводим замену . Тогда будем иметь уравнение:
Найдем его дискриминант:
Находим корни:
Возвращаемся к «старой» переменной:
VII ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Главными особенностями при решении уравнений такого типа являются:
ограничение области определения неизвестной х, так как она меняется в зависимости от значения параметра.
в решении уравнений вида при возведении в квадрат необходимо учитывать знак и проводить проверку корней.
При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром.
Пример:Решить уравнение (1)
Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
(2)
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
1) при а > 0,5 х1,2 = 0,5 ( 1 ± );
2) при а = 0,5 х = 0,5 ;
3) при а <0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
1) при подстановке х = 0,5 в уравнение (2), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (2) и уравнения (1).
2) при подстановке х1 = 0,5 (1 ± ) в (2) получим:
-0,5 ( 1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - ))2
Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет исходному уравнению.
3) Подставим х2 в уравнение (2):
=
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:
Имеем истинное равенство при условии, что
Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2 может быть корнем уравнения (1) при а > 0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ≥1.
VIII ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Показательные уравнения с параметрами.
Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f (x) = b φ(х) (*), где а > 0, b > 0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:
1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.
2) При а =1, b ≠1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) =0 на области допустимых значений D.
3) При а ≠1, b =1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) =0 на области D.
4) При а = b (а >0, а ≠1, b >0, b ≠1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.
5) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению
log c a f(x) = log c b φ(x) (c > 0, c ≠ 1) на области D.
Пример. Решите уравнение:
Решение. ОДЗ уравнения:
1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.
2) При а = b = 1, .
3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3.
4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1.
5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1.
6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:
Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;
при а = b = 1, ;
при а = 1, b ≠ 1 х = 3.
при а ≠ 1, b = 1 х = -1
при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1
при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)
Логарифмические уравнения с параметром.
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.
Уравнение , где a>0 (a ≠ 1), b>0 (b ≠ 1) будем называть элементарным логарифмическим уравнением.
Областью определения его служит решение системы
При решении логарифмических уравнений с параметрами необходимо придерживаться следующей схемы:
1. Найти область допустимых значений.
2. Решить уравнение (чаще всего выразить x черезa).
3. Сделать перебор параметра a с учетом ОДЗ.
4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условиям ОДЗ.
5. Записать ответ.
IX ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
При решении тригонометрических уравнений с параметром наряду с единичной окружностью можно пользоваться координатной прямой для параметра. По мере решения уравнения на прямой появляются точки, разбивающие прямую на части, над каждой из которых записываем множество корней уравнения. Если координатная прямая заполнена, то это свидетельствует о том, что решение закончено и можно записывать ответ. Рассмотрим сначала решение несложных тригонометрических уравнений с параметром.
Пример: Решить уравнение: cos =2а.
Решение: Так как |соs t| ≤ 1, то имеем два случая.
1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.
2. При |a| ≤0,5 имеем:
а) = arccos2a+2πn.
Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2πn≥0, то n может принимать значения n=0, 1, 2, 3,....
Решением уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а)2 ,n=0, 1, 2, 3,....
б) = -аrссоs2а+πn.
Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а+2πn>0, то и решение уравнения. х=1+(2πn-arccos2a)2 .
Ответ: если |a| > 0,5, решений нет;
если |a| ≤0,5, х = 1+(2πn+аrссоs2а)2 при и х=1+(2πn- arccos2a)2 при n N.
Пример: Решить уравнение: tg ax2 =
Решение: ах2 = +πn, n Z
Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:
1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.
2. Если а 0, то х2 = , n Z.
Уравнение имеет решение, если .
откуда и а > 0 или и а < 0.
Итак, уравнение имеет решение х = ± , если
1) а > 0 и n или 2) а < 0 и n Z.
Ответ: при а = 0 решений нет; при а > 0 и n или 2) а <0 и n Z.
X ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Уравнения с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры, но их решение может вызвать затруднения. Успешное решение заданий с параметрами требует высокого умения обобщения и систематизации знаний, их применения в нестандартной ситуации, а также проявления креативности и творческой активности. Разнообразие задач равносильно разнообразию математических моделей.
XI СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
А. И. Першин, О.А. Воронина«Задачи с параметрами: Справочное учебное пособие». 2003 год;
В.В. Амелькин, В. Л Рабцевич «Задачи с параметрами» ;
Л. Ю. Солдунова «Задачи с параметрами.»2002 года;
П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами». 2001 год.