VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
"Золотое" сечение
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Все древнейшие науки тесно связаны между собой, так как они на протяжении многих лет влияли на формирование друг друга. Например, математика повлияла на развитие живописи и архитектуры. Это влияние просматривается в математических понятиях, присутствующих в данных областях.
Гипотеза: Мы предположили, что понятие «Золотого» сечения встречается в архитектуре и фотографии, чтобы это доказать, решили рассмотреть его в каждой названной области.
Актуальность: Тема «Золотое сечение» не только интересна, но и по-прежнему актуальна, ведь золотая пропорция не потерялась во времени, а скорее наполнилась современными примерами. Окружающий нас мир разнообразен. И многие обращали внимание на то, что мы по-разному относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность и бесформенность производят отталкивающее впечатление, а предметы и явления, которым свойственна целесообразность и гармония вызывают у нас чувство восхищения. Люди давно стали задумываться над вопросом, подчиняются ли такие вещи как красота и гармония каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые закономерности прекрасного. Мы познакомились с одним из таких математических соотношений.
Цель: Изучить понятие «золотое сечение», показать теоретическое и практическое значение «золотого сечения», широкое использование его в различных областях жизни.
Задачи: Ввести понятие «золотого сечения», узнать историю и классификацию термина, рассмотреть «золотые фигуры», «металлические пропорции» в зданиях и сооружениях, изучить архитектуру нашего города, указать наиболее известные здания с применением «золотого» и «серебряного» сечения, показать «золотое сечение» при компоновке кадра и создании рисунка.
Для выполнения поставленных задач мы рассмотрели различные энциклопедические справочники по математике, учебные пособия по геометрии и черчению. С помощью электронных устройств наглядно представили собранный материал воедино. И на основе проанализированной информации, выполнили исследовательскую часть проекта.
Работа выполнялась автором самостоятельно, руководитель рекомендовал литературу и давал необходимые рекомендации.
«Золотое» сечение
Математики древности и средневековья называли «золотым» сечением деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 1,618 и обозначается греческой буквой φ (фи), в честь знаменитого греческого скульптора Фидия.
a : b = b : cилиb: a= c : b
История
Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввел в обращение термин «золотое сечение». Самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика», в котором Ом пишет, что это сечение часто называют «золотым». Из текста примечания Ома следует, что Ом не придумал этот термин сам, хотя некоторые авторы утверждают обратное. Тем не менее, исходя из т ого, что Ом не употребляет этот термин в первом издании своей книги, был сделан вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века.
Т акже, есть мнение, что понятие о «золотом» делении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание «золотого» деления позаимствовал у египтян и вавилонян, которые использовали пропорции золотого сечения при строительстве разных сооружений.
«Металлические» пропорции
При решении квадратных уравнений один из корней может соответствовать числу «золотой», «серебряной» или «бронзовой» пропорции, все эти виды пропорций можно объединить в понятие металлические.
Общее уравнение для «металлических» пропорций:
х2 — рх — 1 = 0
В зависимости от значения р, мы получаем различные уравнения:
Если р = 1, то получится «золотая» пропорция:
х2 — х — 1 = 0
(a+b): b = b : a ≈ 1,618
Если (a+b) = 1, то справедливо соотношение
1 : 0,618 = 0,618 : 0,382 = 1,618
Если р = 2, то выйдет «серебряная» пропорция.
х2 — 2х — 1 = 0
a : b = (2a + b) : a ≈ 2,414
Если (2a + b) = 1, то справедливо соотношение:
0,414 : 0,171= 1 : 0,414 ≈ 2,414
Если р = 3, то получается «бронзовая» пропорция.
x2 — 3х — 1 = 0
a : b = (3a + b) : a ≈ 3,303
Если (3a + b) = 1, то справедливо соотношение:
0,303 : 0,092= 1 : 0,303 ≈ 3,303
«Золотые» фигуры
«Золотой» треугольник
«Золотой» треугольник — это равнобедренный треугольник, в котором две боковые стороны находятся в «золотой» пропорции с основанием.
В первом случае АВ/АС= φ, т.е 0,618; во втором случае АВ/АС= φ, т.е 1,618.
«Золотой» прямоугольник
«Золотой» прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в «золотой» пропорции. «Золотой» прямоугольник обладает свойством: Отрезав от «золотого» прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим «золотой»
п рямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать всё меньшие и меньшие «золотые» прямоугольники.
Спираль Архимеда
Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется «золотой» спиралью.
«Золотое» сечение в искусстве
Некоторые виды «металлических» сечений мы можем наблюдать в различных зданиях и сооружениях. С древних времен художники знали, что «золотое» сечение – это самое гармоничное и приятное глазу соотношение.
Т аким образом, не случайно пирамида Хеопса, построенная не менее 46 веков назад, состоит из необыкновенных соотношений, некоторые из которых связаны с числом фи. Например, отношение высоты грани пирамиды к половине ее основания – не что иное, как «золотое» число, также отношение общей площади к внутренней тоже равно «золотому» числу, а если бы мы разделили общую площадь четырех треугольных граней пирамиды на площадь ее основания, то получим 1,618, т.е. снова «золотое» число.
В здании собора Парижской Богоматери мы тоже видим «золотую» пропорцию:
пропорцию.
Полученные знания мы применили в исследовании зданий и сооружений города Кемерово.
Исследование главного купола храма Святой Троицы г. Кемерово
З аключим купол храма Святой Троицы в равнобедренный треугольник и проведем высоту к основанию АВ.
АВ/СО ≈ 1,618
Мы видим, что отношение основания треугольника к высоте, проведенной к этому основанию, составляет «золотую» пропорцию.
Исследование элементов храма Святой троицы г. Кемерово
О бозначим длину купола за b, длину креста за a и их суммарную длину за с, тогда:
Также рассмотрим правую часть храма и обозначим расстояние от основания храма до крыши за b1, длину крыши за a1 и их суммарную длину за c1, тогда:
Отношения приблизительно равны значению «золотой» пропорции.
Исследование элементов Мэрии г. Кемерово
А налогичное исследование проводим со зданием Мэрии, где ее элементы принимаем за буквенные обозначения и рассматриваем их отношения.
Отношения приблизительно равны значению «золотой» пропорции (0,618).
Исследование Кузнецкого моста г. Кемерово
П омимо «золотой» пропорции в сооружениях можно встретить и «серебряную».
Так примером может служить Кузнецкий мост. Примем длину всего моста за с, его полудлину за а и диаметр кольца за b, тогда:
Отношение приблизительно равно значению «серебряной» пропорции (2,414).
Исследование домов Кемерово Сити
П римером сочетания «золотого» и «серебряного» сечения служат дома Кемерово Сити
Отношения элементов приблизительно равны значению «золотой» пропорции 0,618 и «серебряной» пропорции 2,414.
«Золотое» сечение в фотографии
«Золотое» сечение – основа построения геометрических пропорций чертежей, картин, архитектурных сооружений, изображений, в том числе фотографий. Знание правил «золотого» сечение позволяет фотографу правильно скомпоновать изображение, от чего оно становится более естественным, легко в
оспринимается человеческим глазом.
Примером же использования правила «Золотого сечения» в фотографии может являться расположение основных компонентов кадра в особых точках — «зрительных центрах». Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.
Разумеется, в момент съемки мы не в состоянии просчитать и зрительно отложить в уме необходимые пропорции. Поэтому на момент съемки используется упрощенный вариант построения «Золотого сечения» или правило «Трети». Заключается оно в следующем: мы мысленно делим кадр на три части по горизонтали и вертикали и, в точках пересечения воображаемых линий, размещаем ключевые детали снимаемой сцены. Простейшая сетка «Третей» выглядит следующим образом:
Правильная постановка горизонта должна соответствовать, в зависимости от композиции, одной из линий горизонтальных третей, верхней или нижней.
Примером фотографий, сделанных на основе сетки правила «Трети», могут служить следующие, самостоятельно выполненные фотографии:
На фотографиях запечатлена набережная г. Кемерово. Мы видим, что линия горизонта на обеих фотографиях совпадает либо с нижней, либо с верхней горизонталями сетки, выполненной по правилу “Трети”. На первой фотографии серебряное сердце находится на пересечении правой вертикали и двух горизонталей, то есть в точках наивысшего внимания.
На следующей фотографии мы видим Государственную Филармонию Кузбасса, которая находится на пересечениях горизонталей и вертикалей сетки, то есть в точках наивысшего внимания, а также линия горизонта совпадает с нижней горизонталью.
На фотографии мы видим Мемориал Славы воинов-Кузбассовцев, который находится на левой вертикали, а вечный огонь на пересечении нижней горизонтали и левой вертикали, точке наивысшего внимания.
Следующая фотография отеля ТомьRiverPlaza, где линия горизонта или линия основания отеля совпадает с нижней горизонталью, а ель располагается вдоль на правой вертикали.
Диагональное «золотое» сечение
П рименяя правило «золотого» сечения проводим диагонали и получаем прямоугольник, состоящий из трех секторов. Если скомпонуете свой кадр так, чтобы три разных объекта примерно располагались в этих секторах, а главные объекты в более крупных секциях - то композиция будет выглядеть очень гармонично. Это правило используется, если у вас в кадре есть несколько областей, различающихся по смыслу.
На изображении мы видим набережную г. Кемерово. Если провести диагональ, концы которой будут находиться в левом верхнем углу и правом нижнем и опустить перпендикуляр из правого верхнего угла, то фотография будет разбита на 3 области, различающиеся по смыслу: в большом треугольнике акцент идет на набережную, в среднем - на небо, а в маленьком - на растительность.
Следующая фотография часовни Иконы Божьей Матери, также выполненная по диагональному сечению, здесь в большом треугольнике сделан акцент на одну из арок часовни, деревья и плитку, в среднем треугольнике - на часовню и в маленьком - на филармонию.
Спиральное «золотое» сечение
В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике фотографии. Гёте называл спираль - «кривой жизни». Используя эту спираль при построении композиции в кадре, мы получим изображение с четко выраженным предметом в центре спирали.
Фотография фонтана около Драмтеатра выполнена сразу и по сетке правила “Трети”, где мы видим, что фонтан находится в точках наивысшего внимания, и по спиральному “золотому” сечению.
Если провести от основных смысловых центров фотографии отрезки:
от основания Драмтеатра к первому уровню фонтана,
от основания фонтана через крайний правый угол крыши Драмтеатра,
от уровня, до которого доходят внутренние струи фонтана через вершину фонтана
и соединить их концы плавной дугой, то с большой точностью получается «золотая» спираль, где ее центр - это пересечение этих отрезков и точка наибольшего внимания.
Фотография статуи на набережной выполнена на основе сетки правила “Трети”, где статуя находится в точках наивысшего внимания, а также мы можем заметить спиральное “золотого” сечение, которое мы видим в панцире улитки.
Таким образом, полученные знания о понятии «золотого» сечения и правила его использования при построении фигур и компоновке кадра мы использовали при написании собственного рисунка.
Рассмотрим, какие правила и понятия мы использовали при создании рисунка:
линия горизонта совпадает с нижней горизонтальной линией из сетки на основе правила «золотого» сечения;
небо выполнено на основе понятия спирали Архимеда;
домик располагается на пересечении нижней горизонтали и левой вертикали, т.е в одной из точек наибольшего внимания, и имеет форму «золотого» прямоугольника, где грань квадрата совпадает с гранью окна.
Заключение
В ходе исследования, мы познакомились с понятием «золотого сечения», с историей его возникновения, с классификацией «металлических пропорций» и рассмотрели их в архитектуре, а также исследовали различные здания и сооружения нашего города, тем самым убедились в наличии «золотого» и «серебряного» сечений, изучили «золотое сечение» при компоновке кадра и на полученных знаниях выполнили собственные фотографии. А итогом изученного стало написание собственного рисунка.
Таким образом, мы доказали, что «золотое» сечения используется в различных областях жизнедеятельности человека, что данное понятие можно найти в окружающем нас мире, а, следовательно, нашли связь между математикой, архитектурой и искусством.
Список используемой литературы
Васютинский Н.А. Золотая пропорция. – М.: Мол. Гвардия, 1990
Волошинов А. В. “Математика и искусство”. М.: Просвещение. 2000.
Иконников А.В. Художественный язык архитектуры. – М.: Искусство, 1985.
Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. – К.: Высшая школа, 1989.
Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.
Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – Журнал «Отечество». №10, 1983.
Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. – М.: Стройиздат, 1990