Логарифмы и степени в окружающем нас мире

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Логарифмы и степени в окружающем нас мире

Нешева А.А. 1Высоцкий Н.А. 1
1МБНОУ "ГКЛ"
Иноземцева Е.И. 1
1МБНОУ "ГКЛ"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Гипотеза

Мы предположили, что понятия логарифмов, показательной и логарифмической функций встречаются в архитектуре, биологии, географии, банковском деле и при расчетах в производстве. И чтобы это доказать, решили рассмотреть их в каждой названной области.

Логарифмы

Цель: Изучить понятие логарифмов, показательной и логарифмической функций, показать теоретическое и практическое значение данных понятий и широкое использование их в различных областях жизни.

Задачи: Ввести понятие логарифмов, узнать значение и историю термина; рассмотреть понятие логарифмической спирали и ее применение в таких областях как биология и архитектура; изучить применение логарифмов в географии и понять, что нужно учитывать при строительстве городов.

Основные понятия

Логарифм - показатель степени, в которую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число.

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b.

Архитектура-искусство создавать здания и сооружения по законам красоты.

История возникновения логарифмов

(Рис. 1)

Логарифмы возникли в 16 веке в связи с необходимостью проведения большого объема приближенных вычислений в ходе решения практических задач.

(Рис. 1)

(Рис. 2)

В 1614 году Джон Непер, изображенный на рис. 1, опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы л огарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1’. К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Сам термин «ЛОГАРИФМ» также предложил Джон Непер. Термин возник из сочетания греческих слов logos и arithmos, которое означало “число отношений”.

(Рис. 3)

Близкое к современному понимание логарифмирования, как операции, обратной возведению в степень, впервые появилось у Джона Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером (рис. 2) в XVIII веке.

В книге «Введение в анализ бесконечных» Эйлер дал современные определения показательной и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Логарифмическая спираль

Р яд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.

(Приложение 1)

(Рис. 3)

Логарифмическая спираль - плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота (приложение 1). Логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса (рис. 3).

Логарифмическая спираль остается неизменной при преобразовании подобия и других различных преобразованиях. Неизменность спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изображенной на нем логарифмической спиралью быстро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против часовой стрелки, то можно наблюдать кажущееся увеличение или уменьшение спирали (приложение 2).

(Приложение 3)

(Приложение 2)

Логарифмическая и “золотая” спирали

Золотая спираль - частный случай логарифмической спирали, коэффициент роста которой равен φ, где φ — число золотого сечения равное 1,618. В любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно 1.618. На изображении представлена “золотая” спираль. В прошлом году мы рассматривали эту спираль и знаем, что она строится из плавного

(Рис. 5)

с оединения дугой противоположных углов квадратов, сторона которых равна наименьшей стороне данного “золотого” прямоугольника.

(Рис. 4)

Так, например, нам дан прямоугольник, стороны которого находятся в золотой пропорции: АВ/ВС=0,618.

Е сли мы отсечем квадрат АВС1D1 , соединим его противоположные углы плавной дугой и аналогичные действия проведем с последующими образовавшимися “золотыми” прямоугольниками, только меньших размеров, то в результате получим “золотую” спираль. Таким образом, мы видим на рисунке 4, что “золотая” спираль вписана в подобные квадраты.

(Рис. 5)

Логарифмическая спираль, имея постоянную, равномерную скорость разворачивания, описывает и вписывает прямоугольники с одинаковой одной стороной, равной шагу спирали (рис.5).

В прямоугольниках ABCD и А1В1С1D стороны равные шагу спирали, а именно AB, CD, C1D, A1B1 равны между собой. На рисунке 6 наглядно можно увидеть разницу между «золотой» и логарифмической спиралями. Штрихпунктирной линией изображена логарифмическая спираль, и она выглядит более округлой.

(Рис. 6)

Сплошной линией - “золотая”, более вытянутая за счет коэффициента роста спирали.

Логарифмы в природе

Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы.

(Рис. 7)

Н апример, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали, что можно увидеть на рисунке 7.

Галактики и различные природные явления, такие как штормы и ураганы, дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей: на рисунке 8 изображена галактика Водоворот, которая представляет собой форму двух логарифмических спиралей, направленных в разные стороны, а на рисунке 9 мы видим область низкого давления над Исландией, сформированную по логарифмической спирали.

(Рис. 9)

(Рис. 8)

В растительном мире примеры еще более бросаются в глаза, потому что у растения может быть бесконечное число спиралей, а не только одна спираль у каждого. Например, если мы посмотрим сверху на любую сосновую шишку, то увидим, что ее семена располагаются в виде большого числа спиралей (Рис. 10). И это неслучайно. Семена расположены оптимально, т.е. максимально используют пространство, и эта оптимизация пространства достигается за счет расположения по спирали.

Красным и голубым цветом показаны логарифмических спирали, которые можно проследить в росте семян; зелёным - часть логарифмической спирали-дуга, которую явно видно в расположении семян по краям.

(Рис. 10)

Применение в географии

Рассмотрев примеры роста некоторых растений по спирали, можно понять, как оптимально использовать пространство. Это свойство можно применять для строительства городов, тем самым придавая нестандартные формы микрорайонам, где могут находиться здания в виде логарифмической спирали или крыши зданий, спроектированные в виде спиралей, и максимально использовать пространство, что немаловажно в наше время.

М ы выявили, что оптимальным способом строить город, чтобы использовать полностью заданное пространство, является строительство по двойной логарифмической спирали, представленное на рисунке 11.

(Рис. 11)

Белые линии — это дороги с двусторонним движением, используемые как обычные улицы для перемещения по городу. Черные линии - это четырехполосные дороги с двусторонним движением, которые будут использоваться для быстрого перемещения между центром и окраинами города. Голубым цветом обозначены двухполосные дороги с двусторонним движением, которые будут разделять город на районы. Примером города с элементами логарифмической спирали может служить самая красивая и современная столица Казахстана – Нурсултан (Астана), которая представляет нам интересные архитектурные сооружения, например:

Объект Всемирной Выставки EXPO2017, спроектированный в нестандартной форме логарифмической спирали. Одна из задач выставки - создание территории, которая в дальнейшем будет использоваться городом. В центре выставки располагается павильон Казахстана, а далее по логарифмической спирали павильоны других стран, которые представляют свои новейшие технологии (рис. 12). Некоторые из павильонов также спроектированы по логарифмической спирали, например, павильон, посвященный экологии, изображенный на рисунке 13.

(Рис. 12)

(Рис. 13)

Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, не достаточно обладать знаниями о том, как оптимально использовать пространство, еще и необходимо проводить демографические расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы.

Кемерово

Задача 1. Население города Кемерово от 1 января 2017 года за один год увеличилось с 556920 до 558973 человек. Через сколько лет население города увеличится в 1,5раза?

Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов:  Примем население города, которое было, за а=556920, тогда А=558973-это население, которое стало, х-неизвестное.
(ежегодный прирост).
Подставив это значение, получим 556920∙1,5=556920(1+0,4/100) x .

Чтобы решить это показательное уравнение, прологарифмируем его: xlg1,004=lg1,5, откуда x=lg1,5/lg1,004.

Найдя по таблице lg1,5 и lg1,004, получим x=0,18/0,002≈90.
Ответ: примерно через 90 лет население г. Кемерово увеличится в 1,5 раза

Изобразим графически состояние численности населения города Кемерово (диаграмма 1) и ежегодный прирост (график 1) за последние 8 лет.

(Диаграмма 1) (График 1)

Обратим внимание на столбец 2011 года диаграммы 1. Население в этот год составляло 532717. Эти данные нам позднее понадобятся.

Сравним на сколько точно статистические данные совпадают с математическими расчетами на примере следующей задачи:

Задача 2. Какова была численность населения города 7 лет тому назад, если в настоящее время в городе проживает 558973 человек, а ежегодный прирост населения составляет 0.68%? (среднее значение за последние 7 лет)

Решение. Численность населения изменяется по формуле сложных процентов: . В нашей задаче А=558973-население города на данный момент, , x = 7 лет, а- численность населения 7 лет тому назад. Тогда подставив численные значения, получим . Упростим 558973=1,0068 7, откуда ≈533075.

Ответ: 533075 численность населения города 7 лет тому назад.

Полученное значение и есть количество населения в 2011г. Сравним ответ со статистическими данными, на период 2011 года население составляло 532717 и заметим, что ответы схожи, но имеют небольшое расхождение из-за приблизительного ежегодного прироста.

Логарифмическая спираль в архитектуре

Свойства логарифмической спирали можно использовать и в архитектуре. Узнав об интересном сооружение в Москве - Шуховской башне, мы решили познакомиться поближе с ее архитектором Владимиром Шуховым и обнаружили, что он первым в мире создал гиперболоидные конструкции. Гиперболоидные конструкции – это сетчатые металлические структуры, в основе которых лежит незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг ее оси, тем самым создавая подобие логарифмической спирали в пространстве.

Рассмотрим гиперболоид вращения (рис.14), заметим, что его нижняя часть напоминает нам логарифмическую спираль в пространстве (рис.15).

(Рис. 14) (Рис. 15)

Также рассмотрим конус, изображенный на рисунке 16a. Площадь его сечения увеличивается сверху вниз по логарифмическому закону. То же самое происходит и в архитектурных сооружениях, чтобы нагрузка от собственной массы была равномерной по всей длине. Данная прямая на плоскости выглядит

как коническая винтовая линия (рис.16б), а если посмотреть на нее сверху, то мы увидим уже знакомую нам логарифмическую спираль (рис.16с).

(Рис. 16 в)

(Рис. 16 б)

(Рис. 16 а)

Рассмотрим одну из работ Владимира Шухова:

1. Шуховская башня в Москве — металлическая радио и телебашня, памятник архитектуры советского конструктивизма, построенная в 1920—1922 годах.

(Рис. 17)

Планируемая высота новой башни из 9 гиперболических секций составляла 350 метров (на 15 метров выше Эйфелевой башни, которая принималась во внимание при создании плана) при расчетной массе в 2200 тонн (Эйфелева весит 7300 тонн), сравнение мы можем видеть на рисунке 17. Однако в условиях Г ражданской войны и нехватки ресурсов проект пришлось пересмотреть: высота была уменьшена до 148,5 метра, а масса составила 240 тонн. Новый проект был одобрен лично Ленин. Конструкция этой башни напоминает логарифмическую спираль в пространстве (рис.18а и 18б)

(Рис. 18 а)

(Рис. 18 б)

Но помимо логарифмов широкое распространение имеют логарифмическая и показательная функции.

Логарифмическая и показательная функции

Логарифмическая функция

Функция вида y = loga х (а > 0, а ≠ 1) называется логарифмической, при a > 1 является возрастающей (1); при 0 < a < 1 является убывающей (2) (Рис. 19).

Показательная функция

З ависимость, при которой каждому значению независимое переменной х ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной , где , , а ‒ любое действительное число, называется показательной функцией, при 0< <1 является убывающей, при >1 является возрастающей

(Рис. 19)

(Рис. 20)

Некоторые сведения из истории показательной функции

Первые упоминания о показательной функции были найдены в Древнем Египте в задаче о домах и кошках.

Задача. Было 7 домов, в каждом 7 кошек, каждая кошка съела 7 мышей, каждая мышь съела 7 колосков. Каждый колос может дать 7 мер зерна. Сколько зерен потеряли египтяне?

Ответ: Египтяне недосчитались 16807 зерен.

Решением этой задачи является показательная функция , где - количество зерен, 7 - количество каждого вида участников задачи, а 5 - это количество видов.

Еще одним примером из истории является арабская легенда:

Однажды изобретатель шахматной доски попросил за свое изобретение у арабского царя зерна: за первую клетку он попросил одно зерно, за вторую - два, за третью еще в два раза больше и т.д. Правитель не понял подвоха и даже был удивлен столь незначительной сумме. Он поручил казначею расплатиться с изобретателем. Прошла неделя, а изобретатель до сих пор не получил свою премию. Царь удивился, почему так долго считают выплату, позвал казначея, тот ему показал предварительные расчеты. В итоге, царь должен был заплатить 18 квинтильонов зерен, что превышает собранный урожай за всю историю человечества. Если посчитать массу, то получится 1,2 триллиона тонн зерна, для сравнения масса Земли составляет 5,9 секстильонов тонн.

С течением времени появились первые деньги, а с ними необходимость в расчетах и подсчетах некоторых средств. Появились отрасли связанные с этими задачами, показательная функция также стала важной для подсчета денежных средств. Профессия, которая напрямую связана с показательной функцией, это ростовщичество.

Ростовщичество – это выдача кредитных средств под неоправданно высокий процент, что приводит к извлечению ростовщиком незаконной финансовой выгоды, а заемщика ставит в кабальные условия.

О бращаясь к истории возникновения этого явления, можно обнаружить, что классическое ростовщичество намного старше банковского дела. Встретить описание этого явления можно у греческого поэта Гесиода, жившего в Элладе на два века раньше, чем там появились первые чеканные деньги.

(Рис. 21)

В Средневековье появились банки. С их появлением обнаружилась необходимость узаконить появление процентов, и дробный показатель стал все больше и больше прослеживаться. Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон.

(Рис. 22)

П ервым, кто ввел понятие показательной функции в общем виде, стал Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц (Рис. 21) — саксонский философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Он является основателем и первым президентом Берлинской Академии наук, иностранным членом Французской Академии наук.

(Рис. 23)

Иога́нн Берну́лли (Рис. 22) — швейцарский математик, механик, врач и филолог-классицист, самый знаменитый представитель семейства Бернулли. Один из первых разработчиков математического анализа, после смерти Ньютона — лидер европейских математиков. В 1697 году Иоганн Бернулли ввел термин “Показательной функции”. Однако современное определение показательной функции ввел Леонард Эйлер (Рис. 23), который родился 15 апреля 1707 в городе Базель и умер 7 (18) сентября 1783 в Санкт-Петербурге.

Примеры использования в экономике и производственных расчетах

Показательная функция в банковских расчетах

Примерами использования показательной функции являются банковские расчеты (вложение денег на счет и начисление процентов).

В разных банках существуют разные виды вклада в зависимости от условий.

Вклад (депозит) — сумма средств, которую банк принимает от клиента на определенный или неопределенный срок.

Годовой процент — сумма средств, которую клиент получает от банка за хранение денег у этого банка, ежегодно.

Рассмотрим следующую схему начисления процентов: клиент кладет в банк некую сумму, например, вклад размером 1000 р. и годовым процентом 10% на 10 лет. За первый год клиенту начисляется 10% от 1000 р., тогда сумма к началу второго года хранения денег в банке равна 1100 р., теперь процент будет браться от 1100 р., получается к концу второго года сумма вклада будет равна 1210 р. и так далее. Откуда и получается формула:

Итоговая сумма= вклад * во сколько раз увеличится вклад за го д в степени равной количеству лет

S — итоговая сумма, v — вклад, a — во сколько раз увеличился вклад за год, a = (100 + процент)/100, 100 — вклад в процентах, c —процент, p — количество лет.

сумма на счете.

Рассмотрим эту формулу, опираясь на данные, приведенные выше:

, таким образом, клиент возьмет из банка 2593 р.

Программа по расчету суммы в конце срока (Рис. 24):

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std; int main()

(Рис. 24)

{ setlocale (LC_ALL,"RUS"); float a, c, S, v, p; cout << "Введитевашвклад (руб): " << endl; cin >> v; cout << "Введитегодовойпроцентвклада: " << endl; cin >> c; cout << "Введитесроквклада (мес): " << endl; cin >> p; a=(100+c)/100; p=p/12; S=v*pow(a,p); cout << "Вконцесрокавыполучите: " << S << " руб."; return 0;}

Рассмотрим предложения пяти самых популярных банков России по вкладам, возьмем за вклад 50 тысяч рублей и срок равный 12 месяцев (Таблица 1).

Название банка

Минимальный вклад (руб)

Вклад

(руб)

Годовой процент (%)

Срок (мес)

Сумма в конце срока (руб)

Сбербанк

50000

50000

7,15

12

53500

ВТБ-24

30000

50000

7,30

12

53800

Газпромбанк

15000

50000

6,60

12

53300

Альфа-Банк

0

50000

6,00

12

53083

БинБанк

10000

50000

6,70

12

53368

(Таблица 1)

Применение в производственных расчетах

Показательная функция встречается при подсчетах компаниями остаточной стоимости основных средств предприятия (расходы больше 40000 рублей). Остаточная стоимость рассчитывается по формуле:

– первоначальная стоимость оборудования в рублях, p – ежегодный процент амортизации, В – стоимость оборудования в рублях через t лет.

Амортизация — это процесс периодического переноса начальной стоимости основного средства или нематериального актива на производственные, коммерческие или общехозяйственные расходы — в зависимости от того, как этот актив используется.

Основные средства и нематериальные активы — это имущество и нематериальные ценности организации, которые используются в её деятельности и способны приносить организации доход от владения ими и их использования в течение долгого периода времени — не менее 1 года (станки, инструмент, автомобили, недвижимость, патенты на изобретения, лицензионные или авторские права, товарные знаки и т. д.).

На примере производственной деятельности ООО “Амстердам”

В 2019 году компания купила автомобиль для доставки цветов по городу и автомобиль для доставки цветов по межгороду. Для доставки цветов по городу был куплен автомобиль: Цельнометаллический фургон ГАЗель NEXT A31R33-60 стоимостью 1285000 рублей (будем считать без транспортного налога) и для доставки по городу PEUGEOT PARTNER TEPEE стоимостью 1388000 рублей (будем считать без транспортного налога). Срок полезного использования (СПИ) ГАЗель NEXT A31R33-60 составляет 10 лет, а PEUGEOT PARTNER TEPEE 8 лет.

Годовой процент амортизации рассчитывается следующим образом:

Годовая норма амортизации = 100%: СПИ;

Таким образом, процент амортизации для ГАЗель NEXT A31R33-60 будет составлять 10%, а для PEUGEOT PARTNER TEPEE 12,5%.

Теперь можно вычислить, сколько будут стоить автомобили через 5 лет.

Пользуясь формулой, сделаем необходимые подсчёты:

ГАЗель NEXT A31R33-60 через 5 лет будет стоить: 758779 рублей;

PEUGEOT PARTNER TEPEE через 5 лет будет стоить: 711917 рублей.

Логарифмическая функция в экономике

Допустим, что предприниматель И. В. Симонов одолжил сумму денег на развитие бизнеса, ежегодно его капитал возрастает на 5%, через сколько лет он заработает столько денег, сколько одолжил на развитие бизнеса?

Для решения поставленной задачи необходимо использовать формулу сложных процентов:

, Примем долг за a, тогда А = 2а, p = 5 и x – неизвестно. Сделав подстановку в формулу и сократив на а, получим: или Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его: x* lg 1,05 = lg 2 , откуда . Найдя по таблице lg 2 и lg 1,05, получим Следовательно, Симонову потребуется 14 лет, чтобы его капитал стал равен одолженной сумме.

Таким образом, можно рассчитывать прибыль и время для достижения поставленной задачи по наращиванию прибыли. Также можно построить график (Рис. 25):

(Рис. 25)

На графике видно, что мы используем показательную функцию, а так как логарифмическая функция обратна показательной и, используя логарифмическую функцию, мы можем найти во сколько раз увеличится капитал через определенный отрезок времени (Рис. 26):

(Рис. 26)

Заключение

В ходе исследования мы узнали историю развития понятий показательной и логарифмической функций, изучили теоретические сведения о данных понятиях, нашли примеры использования этих функций в различных областях деятельности человека и в природе, разобрали использование их на конкретных примерах в экономике. Также познакомились с понятием логарифма и разобрали его применение в географии. Узнали о логарифмической спирали и нашли ее применение в архитектуре.

Вывод

Таким образом, мы доказали, что логарифмы, степени, логарифмическая и показательная функции используются в различных областях жизнедеятельности человека, а также доказали, что все эти понятия можно найти в окружающем нас мире.

Список используемой литературы

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998.

Шахмейстер А.Х. Логарифмы.-2-е изд., исправленное и дополненное - СПб.: «ЧеРо-наНеве»,2005.

Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.:Просвещение,1981.

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,1994.

Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,1994.

Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ.- М.:Мнемозина,2004.

Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий»: 2004.

Сайт Сбербанка: https://www.sberbank.ru.

Сайт БинБанка: https://www.binbank.ru.

Сайт Газпромбанка: https://www.gazprombank.ru.

Сайт ВТБ-24: https://www.vtb.ru.

Сайт ООО Амстердам: https://amsterdam-flower.ru.

Сайт Топ банков: http://10bankov.net.

Просмотров работы: 45