Фрактальное заполнение правильных многоугольников кругами

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Фрактальное заполнение правильных многоугольников кругами

Екимовская А.А. 1
1МАОУ "Центр №32" города Череповца Вологодской области
Екимовская В.А. 1
1ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ)
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Математическая задача была сформулирована после наблюдения капелек тумана и конденсата на холодных поверхностях. А также пузырьков в мыльной пене. Сразу появился вопрос о размере пузырьков или капелек. Могут ли размеры капелек быть произвольными? Почему наблюдается некоторая упорядоченность в расположении капелек конденсата? Сразу после начала исследования задача перешла в область математики, связанную с фракталами, потому что была замечена закономерность в уменьшении размеров пузырьков. Применение теории фракталов позволило математически обосновать наблюдаемую закономерность расположения капелек в конденсате на холодной поверхности. В математической области получены результаты, связанные с фрактальными последовательностями окружностей, вписанных в многоугольники. Получена общая формула заполнения правильного многоугольника фрактальными кругами.

Общая характеристика работы

Цель работы заключается в получении мелкодисперсной жидкой фазы. Такая работа часто встречается в технике, например, связана с качественным нанесением лакокрасочных покрытий.

Физическая проблема привела к необходимости решить математическую задачу, связанную с исследованием свойств фрактальных кругов, вписанных в различные многоугольники. Сформулированная математическая задача определила объект и предмет исследования.

Объектом исследования являются геометрические фракталы, построенные с помощью многоугольников и вписанных в них кругов. Эти объекты изучаются на предмет геометрических свойств, влияющих на физические характеристики поверхностного натяжения плёнок: площадь круга, длина окружности, соотношение между размерами многоугольников и вписанных кругов, влияние величины угла на размер вписанной фрактальной окружности и другие.

Рис.1. Мыльная пена, конденсат тумана и роса на траве

Идея проведения научно-исследовательской работы появилась при рассматривании мыльной пены, подобной той, которая показана на рис.1. Первый вопрос, который сразу же появился, связан с размерами мыльных пузырей в пене. Почему одни мыльные пузыри большие, а другие маленькие? Попытка ответа привела к следующему вопросу: «До каких размеров могут уменьшаться или увеличиваться мыльные пузыри в пене?» Потом появились вопросы о расположении мыльных пузырей, и многие другие.

Анализ литературы

Для ответа на появляющиеся новые вопросы был проведён анализ литературы в направлении поверхностного натяжения жидкостей [1,2]. Изучением поверхностного натяжения жидкостей занимался русский учёный Д.И.Менделеев, известный как энциклопедист, работавший во многих направлениях науки и техники [2]. Ознакомление с физическим направлением поверхностного натяжения расширило объект исследования. Дробиться могут не только пузыри в мыльной пене, но и капельки воды или других жидкостей. После появления идеи исследования размеров мыльных пузырей в пене был найден другой аналог, связанный с поверхностным натяжением жидкостей. Это капельки дождя на оконном стекле. Ещё один факт связан с физическим явлением смачиваемости поверхностей, которое является следствием поверхностного натяжения [2]. Мыльные пузыри в пене или капельки воды на оконном стекле не отрываются от твёрдой поверхности, потому что жидкость смачивает подложку. Точно также на листе дерева могут удерживаться не только мелкие, но и очень большие капельки дождя.

После определения направления исследовательской работы, объекта и предмета исследований, а также после первичного ознакомления с научной литературой из этой области, начался сбор собственных научных данных.

Рис.2. Туман на плёнке упаковки (авторская фотография)

Запотевшая полиэтиленовая плёнка на коробке от шурупов, оставленная на ночь на улице, дала очень содержательный материал для последующего изучения и перехода от физической задачи к строгому математическому исследованию. Запотевшая за ночь полиэтиленовая плёнка было сфотографирована полупрофессиональной фотокамерой Nikon D3100 для получения снимка с самым большим разрешением 4608х3072 пикселей, минимальным сжатием 4 в системе JPEG и максимальной информативностью до 14,2 Мб. На рис.2 слева показана копия полученной первичной фотографии, а справа изображён фрагмент 680х452 пикселя, который был увеличен для проведения анализа и начала изучения. Как исходная фотография, так и увеличенный её фрагмент сразу же определили первый вопрос для исследования: «Почему капельки воды на запотевшей полиэтиленовой плёнке в основном дробятся в треугольниках, вписываясь в них?» Действительно, увеличенный фрагмент фотографии позволил найти множество треугольников, в каждый из которых вписана большая капелька воды, а потом в этот же треугольник и в большую центральную каплю вписаны три маленькие капельки по вершинам треугольника. Правильные или неправильные треугольники – это следующий вопрос для изучения. Но сначала в глаза сразу же бросилось отсутствие дробления капелек в квадратах, тем более, в пятиугольниках, шестиугольниках и так далее. Если в треугольнике с центральной большой каплей происходит дальнейшее дробление частиц воды в угловых областях фигуры, то ни в одном квадрате такого дробления замечено не было. Да и квадратного расположения капелек воды было не очень много. Напротив, треугольники с дроблением капелек видны повсюду [3-8].

Содержательная и формальная постановка задачи

Такие вопросы привели к следующей содержательной (словесной, вербальной) формулировке задачи: «Как соотносятся по размерам круги, вписанные в различные многоугольники?»

Двукратное вписывание маленьких капелек в треугольник с большой каплей привело к гипотезе о возможности трёхкратного, четырёхкратного и так далее вписывания капелек друг в друга. Это фрактальное деление геометрических фигур.

Сразу же было сформулировано математическое ограничение, далёкое от физической реальности, но позволяющее сначала приближённо оценить соотношения геометрических размеров капелек. Это математическое ограничение заключается только в двумерных задачах. Пока не исследован самый простой случай геометрических фигур, нет смысла переходить в трёхмерное пространство.

После содержательного описания перспективного исследования была выполнена формальная постановка первой задачи.

Задача 1. Правильный треугольник с фрактальными кругами

Вычислить отношение площадей вписанных в правильный треугольник фрактальных кругов к площади треугольника.

Задан правильный треугольник. В этот треугольник вписана окружность. Вписанная окружность разделила треугольник на четыре области. Центральную область-круг оставляем неизменной, но продолжаем построения в трёх угловых областях. В каждую из трёх угловых областей вписываем по окружности, которая касается двух сторон правильного треугольника и центральной вписанной в него окружности. Построение продолжаем до бесконечности. Таким способом строится бесконечное счётное множество окружностей, вписанных в каждый из углов треугольника, причём каждая последующая меньшая окружность касается двух сторон правильного треугольника и построенной предыдущей окружности. Получилась фрактальная геометрическая фигура, схема которой с тремя уровнями фрактального уменьшения окружностей показана на рис.5.

Рис.5. Фрактальные круги в правильном треугольнике

Требуется вычислить отношение площадей вписанных в правильный треугольник кругов к площади треугольника. Решение задачи 1.

Сначала нужно определить коэффициент подобия при переходе от предыдущей фрактальной окружности к последующей окружности с меньшим радиусом. Решение задачи иллюстрируется схемой, показанной на рис.5.

Задан исходный правильный треугольник с длиной каждой стороны . Площадь треугольника равна . Периметр исходного треугольника равен . В треугольник вписана окружность с центром в точке D и радиусом DE, где E – точка касания окружности стороны AB, то есть . Строим отрезок CE, центр окружности принадлежит этому отрезку . Строим отрезок FG, касательный к окружности : . Получился новый, меньший треугольник . Построенные два треугольника подобны , даже гомотетичны с центром гомотетии G. В новый треугольник вписываем окружность . Коэффициенты подобия новой окружности и нового треугольника по отношению к соответствующим первоначальным фигурам одинаковы. Требуется определить коэффициент подобия.

Так как размеры фигур при фрактальном дроблении уменьшаются, то коэффициент подобия меньше единицы, то есть принадлежит интервалу от нуля до единицы исключительно, . Так как в правильном треугольнике центр D вписанной окружности одновременно является центром окружности, описанной около этого же треугольника, то , где символами обозначен радиус первой, самой большой, фрактальной окружности. Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности, потому что в прямоугольном треугольнике угол , так как отрезок AD – это часть медианы, высоты и биссектрисы треугольника, проведённой из угла A, а против угла лежит катет, равный половине гипотенузы. Тогда высота CE треугольника равна . Высота CI второго фрактального треугольника равна . Вычисляем коэффициент подобия при одном фрактальном переходе: .

При каждом последующем фрактальном дроблении фигур вычисленный коэффициент подобия сохраняется. Следовательно, площадь одного последующего фрактального круга увеличивается по сравнению с площадью предыдущего круга в раза. Но в действительности площадь уменьшается, так как коэффициент подобия меньше единицы. При первом фрактальном дроблении рядом с первым большим кругом образуются три одинаковых меньших треугольника и окружности. При втором и последующих фрактальных дроблениях рядом с каждым из трёх кругов образуется по одному меньшему кругу. Следовательно, площадь трёх первых трёх фрактальных кругов увеличится в раза, то есть уменьшится в 3 раза по сравнению с первым большим кругом. Если площадь первого, самого большого, круга равна , то площадь трёх кругов второго фрактального уровня равна . Продолжаем процесс фрактального дробления. Начиная со второго фрактального дробления, то есть с трёх третьих фрактальных кругов, общая площадь будет увеличиваться раза, то есть будет уменьшаться в 9 раз. Коэффициент подобия будет тем же, поэтому площадь трёх кругов третьего фрактального уровня равна . Площадь трёх кругов четвёртого фрактального уровня равна . Процесс фрактального дробления продолжается бесконечно, но счётно, и со второго дробления приводит к геометрической прогрессии площадей фрактальных кругов: В этой последовательности первый член обособлен и не описывается общей формулой, поэтому

Эта последовательность не является геометрической прогрессией, но станет таковой, если отбросить первый член. Рассмотрим все члены последовательности, начиная со второго

В этой новой геометрической прогрессии первый член равен , а знаменатель . Так как знаменатель геометрической прогрессии является правильной дробью, то есть , или, что то же самое, , то бесконечная сумма, называемая рядом, сходится к числу

Площадь треугольника выражается через его полупериметр и радиус вписанной окружности следствием из формулы Герона .

Выразим площадь первого, самого большого, круга через сторону треугольника , пользуясь чертежом: .

Находим площадь всех фрактальных кругов .

Вычисляем отношение площадей всех вписанных в треугольник фрактальных кругов к площади этого треугольника: . После решения задачи о площади фрактальных кругов в правильном треугольнике напрашиваются аналогичные задачи с квадратом, правильным пятиугольником, правильным шестиугольником и так далее до бесконечности, до стремления правильного многоугольника к окружности при бесконечном увеличении количества сторон. Для решения этих задач сначала удобно доказать следующую лемму.

Лемма 1. Коэффициент подобия окружностей, вписанных в угол

Коэффициент подобия двух касающихся окружностей, вписанных в угол , равен , считая меньшую окружность подобную большей.

Рис.6. Гомотетичное сжатие вписанных в угол окружностей

На рис.6 задан угол . СЕ – биссектриса этого угла. В этот угол вписана окружность , где - радиус вписанной окружности, . Окружность касается луча СА в точке J и касается перпендикуляра АВ к биссектрисе СЕ в точке Е, имеющий с ней одну общую точку I. В полученный треугольник вписываем меньшую окружность . Требуется найти коэффициент подобия .

Строим перпендикуляр FG к биссектрисе СЕ, касательный к окружности . Так как построенные два треугольника и две вписанные в них окружности гомотетичны относительно центра С гомотетии, то меньший треугольник по отношению к большему треугольнику имеет такой же коэффициент подобия , как и меньшая окружность по отношению к большей окружности , то есть .

Определяем расстояние от вершины С угла до центра D большей окружности .

Определяем числитель дроби .

Определяем знаменатель дроби .

Определяем коэффициент подобия . Лемма доказана.

Для проверки правильности результата применим полученную формулу для решения задачи 1 фрактальных окружностях, вписанных в правильный треугольник с углом , то есть . С одной стороны, в задаче 1 было доказано, что соседние фрактальные окружности имеют коэффициент подобия 1/3. С другой стороны, по Лемме 1 получаем . Совпадение результатов, полученных двумя способами, доказывает правильность преобразований.

При доказательстве леммы 1 угол предполагался острым, но это предположение никак не использовалось во время рассуждений и преобразований. Результат не изменится, если угол будет тупым, но при этом чертёж становится менее иллюстративным из-за очень сильного уменьшения радиуса второй окружности. Лемма 1 позволяет значительно упростить исследование фрактальных окружностей, вписанных в многоугольники, причём не обязательно правильные.

Задача 2. Квадрат с фрактальными кругами

Вычислить отношение площадей вписанных в квадрат фрактальных кругов к площади квадрата.

В квадрат вписан круг радиуса . Затем в четыре угла вписываются четыре одинаковых меньших круга радиусами . После этого в четыре угла вписываются ещё более маленькие четыре одинаковых круга радиусами . И так до бесконечности. Получается бесконечное счётное множество вписанных фрактальных кругов. Схема фрактального дробления вписанных кругов в квадрате показана на рис.7. Требуется определить отношение площади всех этих фрактальных кругов к площади квадрата.

Рис.7. Квадрат с фрактальными кругами

Задача сводится к определению коэффициента подобия двух соседних касающихся друг друга окружностей. При этом коэффициент подобия, как и ранее, будем определять для меньшей окружности относительно большей окружности. Воспользуемся Леммой 1, применив её к двум касающимся друг друга окружностям, вписанным в прямой угол, то есть , . Коэффициент подобия (гомотетии) меньшей окружности относительно предыдущей фрактальной большей равен .

Пусть сторона квадрата равна . Тогда площадь квадрата равна . Периметр квадрата равен . Радиус первого, вписанного в квадрат, самого большого круга равен , а площадь этого круга равна .

Площадь четырёх вторых фрактальных кругов равна

.

Площадь четырёх третьих фрактальных кругов равна

.

Площадь четырёх четвёртых фрактальных кругов равна

.

И так далее до счётной бесконечности.

Получаем последовательность площадей фрактальных кругов

В этой последовательности первый член обособлен и не описывается общей формулой, поэтому

Эта последовательность не является геометрической прогрессией, но станет таковой, если отбросить первый член. Рассмотрим все члены последовательности, начиная со второго В этой геометрической прогрессии первый член равен , а знаменатель . Так как знаменатель геометрической прогрессии является правильной дробью, то есть , или, что то же самое, , то бесконечная сумма, называемая рядом, сходится к числу

Вычисляем отношение площади всех фрактальных кругов в квадрате к площади квадрата .

Получилось, что в квадрате очень мало площади приходится на фрактальные круги второго и более высокого уровней, для них «просто нет места», тогда как в правильном треугольнике такое место для фрактальных кругов второго уровня было.

Задача 3. Правильный n-угольник с фрактальными кругами

Вычислить отношение площадей вписанных в правильный n-угольник фрактальных кругов к площади правильного n-угольника.

После решения задачи о площади фрактальных кругов в правильном треугольнике и в квадрате напрашиваются аналогичные задачи с правильным пятиугольником, правильным шестиугольником и так далее до бесконечности, до стремления правильного многоугольника к окружности при бесконечном увеличении количества сторон. Решить все эти задачи можно в общем виде, если воспользоваться формулой для угла между смежными сторонами правильного n-угольника . Для правильного треугольника n=3, поэтому . Для квадрата n=4, поэтому . Для правильного пятиугольника n=5, поэтому . Для правильного шестиугольника n=6, поэтому . И так далее до счётной бесконечности.

Так как угол между сторонами правильного многоугольника определён количеством сторон многоугольника, то автоматически определён коэффициент подобия между двумя соседними фрактальными окружностями

Пусть сторона правильного n-угольника равна . Радиус вписанной окружности, то есть первой фрактальной окружности равен . Тогда площадь [3] правильного n-угольника равна . Площадь первого фрактального круга равна .

Площадь n вторых фрактальных кругов равна

Площадь n третьих фрактальных кругов равна

Площадь четырёх четвёртых фрактальных кругов равна

И так далее до счётной бесконечности.

Получаем последовательность площадей фрактальных кругов

В этой последовательности первый член обособлен и не описывается общей формулой, поэтому

Эта последовательность не является геометрической прогрессией, но станет таковой, если отбросить первый член. Рассмотрим все члены последовательности, начиная со второго В этой геометрической прогрессии первый член равен , а знаменатель . Так как знаменатель геометрической прогрессии является правильной дробью, то есть , или, что то же самое, , то бесконечная сумма, называемая рядом, сходится к числу

Определяем отношение общей площади всех фрактальных кругов к площади правильного n-угольника

Соответствие общей формулы частному случаю правильного треугольника

При n=3 получаем

Общая формула, полученная в результате решения Задачи 3, привела к тому же самому результату, что и частная формула при решении Задачи 1.

При n=4 получаем .

Нет смысла упрощать полученное выражение. С увеличением количества сторон в правильном многоугольнике, как это показано на рис.8, математическая формула проще всего записывается с помощью тригонометрических функций, а не иррациональных выражений.

Рис.8. Фрактальные круги в правильных многоугольниках

Заключение (выводы)

Рис.9. Множество фрактальных кругов в правильных многоугольниках

1. На рис.9 показана схема расположения фрактальных кругов в правильных многоугольниках.

2. Получена общая формула отношения площади кругов, как сходящейся геометрической прогрессии, к площади правильного многоугольника.

3. Фрактальные круги в правильных треугольниках наиболее часто и в основном встречаются в природе из-за наиболее медленного убывания геометрической прогрессии, а потому медленного роста в них давления от поверхностного натяжения.

Список использованных источников и литературы

1. А. А. Кириллов. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007. – Электронный ресурс: https://www.mccme.ru/dubna/2007/notes/kirillov-preprint.pdf

2. Поверхностное натяжение / Физический энциклопедический словарь. Гл. ред. А.М.Прохоров. Ред. кол. Д.М.Алексеев и др. – М.: Сов. энциклопедия, 1983. – 928 с., ил. - С.551-552.

3. Площадь правильного многоугольника. Электронный ресурс: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/regular.htm#reg1

4. Какая бывает роса на траве? От литературы к математике. – Электронный ресурс (видеоролик): https://youtu.be/IZY5K3vNgpM

5. Екимовская А.А. Фрактальное заполнение правильного треугольника кругами. Научный руководитель Екимовская В.А. / П99 V Музруковские Чтения: Материалы Международной научно-практической конференции, 3-4 октября 2019 г. - ГБПОУ СПТ им. Б.Г.Музрукова. - Отв. за выпуск И.В.Столяров. - Саров: Интерконтакт, 2019. - 271 с. - ISBN 978-5-6043096-4-3. - Секция 5: Математика. Физика - 1. - С.103-105. – Медаль, и Диплом победителя Регионального этапа Балтийского научно-инженерного конкурса 2020.

6. Екимовская А.А. Фрактальная модель конденсата / Наука и инновации в технических университетах: Материалы Тринадцатого Всероссийского форума студентов, аспирантов и молодых учёных 23-25 октября 2019 г. - СПб.: ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019. - 169 с. - ББК 30.1 Н34. - Секция "Физические науки". - С.107-108. - Диплом "За лучший доклад на секционном заседании". - Электронный ресурс:  http://www.semicond.ru/siforum2019/Forum2019.pdf

7. Екимовская А.А., Лебедев В.В. Фрактальная конденсация / Международная инновационная конференция молодых учёных и студентов по современным проблемам машиноведения МИКМУС-2019. – М: Институт Машиноведения Российской академии наук им. А.А.Благонравова (ИМаш РАН), 4-6 декабря 2019. – Принята к публикации. – Электронный ресурс (программа конференции): ID23, стр.27.

8. Екимовская А.А. Фрактальные круги в многоугольниках / Приволжский научно-технический конкурс работ школьников РОСТ-ISEF-2019 (Russian Outbreak in Science and Technology). Аффилированный Региональный конкурс Международного научно-инженерного конкурса InternationalScienceandEngineeringFair (ISEF). Секция «Математика», работа МАТ10. – Республика Татарстан, город Иннополис, Университет Иннополис, 7-12 декабря 2019. – Третье место и диплом Института Прикладной физики Российской академии наук (ИПФ РАН, город Нижний Новгород). - Электронный ресурс (работа МАТ10): http://rost-isef.ru/result

Просмотров работы: 29