VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрическая вероятность
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Считается, что в математике на любую задачу обязательно есть точный ответ. Однако, существует целый раздел математики, посвящённый изучению и описанию таких явлений и задач, точно определить результаты которых нельзя, явлений, в которых главенствует случайность. Этот раздел называется теория вероятностей.
В школьном курсе математики данная тема затрагивается поверхностно. В частности, даётся единственное, так называемое «классическое» определение вероятностей, которое применимо не всегда. В частности, с помощью классической вероятности нельзя решить даже относительно простую задачу о вероятности попадания в мишень.
В данной работе мы намерены рассмотреть другой вариант определения вероятностей – геометрическую вероятность – которая позволяет решать подобные задачи.
Цель работы: определить пользу геометрической вероятности при решении задач.
Задачи:
Дать определение геометрической вероятности.
Рассмотреть свойства геометрической вероятности.
Сопоставить полученные свойства со свойствами классической вероятности.
Рассмотреть применения геометрической вероятности при решении задач.
Определить ограничения на использование геометрической вероятности.
Актуальность работы заключается в том, что геометрическая вероятность может помочь определить, насколько вероятно то или иное явление в тех случаях, где классическая вероятность бессильна.
Глава 1. Определение геометрической вероятности
В 6 классе затрагивается (а в 9 – несколько углубляется) понятие вероятности. Вероятность можно определить по-разному. В большинстве учебников для школ даётся следующее определение вероятности:
- где – количество результатов, когда наступает событие , а – количество всех равновозможных результатов. Данное определение вероятности называется классическим.
Однако, оно применимо не всегда.
§1.1. Длины
Рассмотрим следующую задачу:
На отрезок [0;1] наугад бросается точка. Данный отрезок разделён на промежутки [0;0,5) и (0,5;1]. Чему равна вероятность попадания в отрезок [0;0,5).
На каждом из отрезков находится бесконечное количество точек, как и на целом отрезке. Тогда мы получим:
Но это утверждение абсурдно: получается, что мы всегда попадаем в отрезок .
Вместе с тем, поскольку мы имеем два одинаковых отрезка, можно утверждать, что вероятность попадания равна . Это наводит нас на следующее определение вероятности:
Вероятность того, что точка, выбранная из точек отрезка AB, будет принадлежать отрезку CD, лежащему на AB (обозначим это событие как А), равна:
§1.2. Площади
Рассмотрим следующую задачу:
В тире проводится стрельба по доске размером 5×5 квадратов из лука. Доска достаточно большая для того, чтобы попасть в неё мог любой. При попадании в центральный квадрат выдаётся приз. Какова вероятность попадания в центральный квадрат? Стрелу считать имеющей нулевой радиус.
«Попадание в центральный квадрат» означает, что стрела попала в некоторую точку, принадлежащую центральному квадрату. «Попадание в доску» означает, что стрела попала в точку, принадлежащую доске. Переформулируем эту задачу в математических понятиях:
Дан квадрат со стороной a, разделённый на 25 меньших квадратов со стороной 0,2а. Случайным образом выбирается точка, принадлежащая большому квадрату. Чему равна вероятность того, что выбранная точка принадлежит одному из малых квадратов?
Проблема в том, что число точек, принадлежащих и малому, и большому квадрату, бесконечно. Тогда при расчёте вероятности по классическому способу мы получим:
Тогда получается, что мы в любом случае попадём в желанный квадрат. Но этот вывод абсурден.
Вместе с тем, интуиция подсказывает нам, что, т.к. квадратов 25, и все они имеют одну площадь, вероятность попадания равна .
При этом, следует заметить, что площадь большого квадрата равна , площадь малого квадрата .
Тогда имеем:
Данные рассуждения позволяют утверждать следующее:
Вероятность того, что точка, выбранная из точек фигуры A, будет принадлежать фигуре A, являющейся подмножеством фигуры Ф, равна:
§1.3. Мера и геометрическая вероятность
Между длиной отрезка и площадью фигуры есть нечто общее: они определяют, сколько места занимает фигура (если говорить упрощённо), присваивая некоторое неотрицательное число. При этом, если мы объединим отрезки или фигуры, то их длины или площади соответственно также суммируются. Вместе длина, площадь (а также объём) образуют понятие под названием мера.
Используя понятие меры, обобщим полученные определения вероятности:
Вероятность того, что точка, выбранная из точек фигуры с мерой , будет принадлежать фигуре , являющейся подмножеством фигуры Ф, с мерой , равна:
Это определение вероятности и называется геометрической вероятностью.
При рассмотрении одномерного пространства (прямой) мы берём в качестве меры длину, двумерного пространства (плоскости) – площадь, трёхмерного – объём.
Глава 2. Свойства геометрической вероятности
§2.1. Аксиомы теории вероятностей
Для начала определим, выполняются ли для геометрической вероятности аксиомы теории вероятностей, а именно наиболее широко используемый вариант системы аксиом, сформулированный советским математиком А. Н. Колмогоровым:
I. Вероятность любого события является неотрицательным числом.
Т.к. меры фигур и являются неотрицательными по определению, неотрицательным является и их отношение, т.е. искомая вероятность.
II. Существует событие, вероятность которого 1.
Для геометрической вероятности подобным событием будет являться попадание в фигуру .
III. Вероятность того, что произойдёт одно из исключающих друг друга событий , ,…, , равна сумме вероятности каждого события в отдельности.
Для геометрической вероятности эта аксиома следует из того факта, что мера объединения фигур , ,…, равна сумме мер этих фигур. Тогда имеем:
Аксиомы теории вероятностей выполняются, следовательно, геометрическую вероятность можно принять в качестве допустимого определения вероятности.
§2.2. Свойства вероятностей
Теперь рассмотрим с точки зрения определения геометрической вероятности свойства вероятностей.
IV. Вероятность невозможного события равна 0.
Для геометрической вероятности это соответствует фигуре с нулевой мерой (т.е. сжатой в точку). В таком случае попасть в эту фигуру, очевидно, будет невозможно, т.е. вероятность равна 0, что следует и из определения:
V. Если событие неизбежно влечёт за собой событие , то вероятность события не больше вероятности события .
Пусть фигура лежит на фигуре . Тогда попадание в фигуру означает попадание в фигуру . При этом, мера фигуры не превышает меру фигуры , откуда имеем:
VI. Вероятность события лежит на промежутке
То, что не меньше 0, следует из аксиомы II.
Т.к. фигура лежит на фигуре , мера фигуры не больше меры фигуры . Тогда:
VII. Вероятность того, что произойдёт событие , но не произойдёт событие , равно разности вероятности события и объединения событий и .
Действительно, искомая вероятность выражается мерой фигуры B без меры части фигуры , принадлежащей и фигуре . Тогда:
VIII. Вероятность того, что произойдёт одно из событий и (не обязательно взаимоисключающих) равна сумме вероятностей этих событий в отдельности минус вероятность того, что эти события произойдут вместе.
Указанную вероятность можно выразить как вероятность того, что произойдёт событие или событие без события . Тогда по свойству III имеем:
IX. Вероятность того, что событие не произойдёт, равна разности 1 и вероятности события .
Это условие эквивалентно попаданию точки в фигуру без попадания в фигуру . Мера фигуры без фигуры равна разности мер и . Тогда имеем:
Глава 3. Применение геометрической вероятности
§3.1. Геометрические задачи на вероятности
Рассмотрим задачи на вероятности, которые можно решить с применением геометрический вероятности. Их рассмотрение мы начнём с задач, непосредственно связанных с геометрией. Чертежи ко всем задачам приведены в Приложении 1.
Задача 1. Дана нитка длиной 1 метр. Ножницами в случайно выбранной точке нитка разрезается. Какова вероятность, что один из обрезков нитки будет иметь длину не менее 80 см.
Решение:
Для того, чтобы решить данную задачу, необходимо определить, на каком отрезке должна лежать точка разреза. По условию, точка разреза должна находится на расстоянии не менее 80 см от одного из концов. Этому условию удовлетворяют отрезки по 20 см от каждого конца нитки. Тогда, если рассматривать в качестве меры длину, искомая вероятность равна:
Ответ: 0,4.
Задача 2. На соревнованиях по стрельбе в качестве мишени используется круг с радиусом 4 дм. На мишени в центре отмечена круглая область с радиусом 0,5 дм, за попадание в которую даются бонусные баллы. Известно, что участник A попал в мишень, но неизвестно, попал ли он в центральную область. Чему равна вероятность того, что это произошло?
Для того, чтобы решить эту задачу, построим концентрические окружности с радиусами 4 дм и 0,5 дм. Тогда данное условие можно переформулировать следующим образом: какова вероятность того, что случайно выбранная точка, принадлежащую большому кругу, лежит на малом круге. Тогда имеем:
Ответ: 0,15625.
Задача 3. На плоскости на одинаковом расстоянии d проведены параллельные линии. Наудачу была брошена окружность радиусом r. Чему равна вероятность пересечения кругом одной из линий, если диаметр окружности не превышает расстояния между прямыми?
Окружность пересекает прямую тогда и только тогда, когда выполняется неравенство , где – расстояние между центром окружности и прямой. Если окружность пересекает одну из прямых, то она обязательно пересечёт ближайшую прямую, следовательно, нам достаточно найти вероятность, что окружность пересекла ближайшую прямую.
Тогда множество возможных исходов представляет из себя все расстояния от 0 (случай, когда центр окружности лежит на прямой) до (когда центр окружности лежит точно посередине между двумя прямыми), т.е. промежуток . Длина этого промежутка равна .
Множество всех благоприятных исходов составляет все расстояния от 0 до (когда прямая оказывается касательной), т.е. промежуток , длина которого равна .
Тогда искомая вероятность равна
Т.к. по условию , вероятность меньше 1, т.е. эта формула допустима всегда.
Ответ: .
Теперь при помощи геометрической вероятности решим задачу, которая ранее использовалась для вычисления значения числа (задача Бюффона).
Задача 4. На плоскости на одинаковом расстоянии d проведены параллельные линии. Наудачу была брошена игла длиной d. Чему равна вероятность того, что игла пересечёт хотя бы одну прямую?
Решение:
Пусть – расстояние от одного из концов иглы до ближайшей к другому концу иглы прямой, – угол между иглой и прямой, проведённой через конец иглы и параллельной данным прямым, представленный в радианах. Тогда , .
Игла пересечёт прямую тогда и только тогда, когда выполняется неравенство:
Рассмотрим систему координат Oxy. Построим прямоугольник OKMN такой, что , , стороны OK и ON лежат на осях Oy и Ox соответственно. Множество точек, принадлежащих этому прямоугольнику, соответствует всем возможным исходам (т.е. всем возможным парам расстояния и угла ).
Теперь построим график функции на промежутке . Все точки фигуры, заключённой между этим графиком и осью , представляют множество благоприятных исходов.
Площадь этой фигуры равна (примем это без доказательства1) . Площадь прямоугольника равна . Тогда формула вероятности примет вид:
Ответ: .
§3.2. Алгебраические задачи на вероятности
Как можно было наблюдать, решение геометрических задач на вероятности значительных трудностей не представляет, т.к. все необходимые геометрические объекты уже представлены в условии.
Перейдём к задачам, которые уже не связаны с геометрией, однако которые могут быть решены с использованием геометрической вероятности.
Задача 5. Случайным образом было выбрано число из промежутка Чему равна вероятность того, что полученное число неотрицательно?
На любом промежутке всегда лежит бесконечное количество чисел, таким образом, эту задачу нельзя решить, используя классическую вероятность. Используем для решения геометрическую вероятность.
На числовой прямой отметим промежуток как отрезок и промежуток (промежуток, соответствующий всем неотрицательным числам) как луч . Первый отрезок соответствует всем возможным исходам. Всем благоприятным исходам соответствует пересечение данных промежутков, а именно промежуток , т.е. отрезок . Тогда искомая вероятность по определению геометрической вероятности представляет из себя отношение длины отрезка к .
Ответ: .
Задача 6. Случайным образом выбираются два числа x и y такие, что . Чему равна вероятность того, что сумма этих чисел превысит 1?
В данной задаче возможным событием является любая пара чисел , где и удовлетворяют неравенствам и , а благоприятным – такая пара , где помимо этого выполняется неравенство . Однако этим неравенствам удовлетворяет бесконечное количество действительных чисел. Поэтому применить классическую вероятность не представляется возможным. Но можно применить геометрическую вероятность, переведя эту задачу на язык геометрии.
Для этого введём систему координат Oxy, и построим квадрат , где точка A лежит на оси Ox, точка C – на оси Oy, OA=OC=2. Тогда отрезки и OC соответствуют ограничениям на значения и , а квадрат содержит все возможные исходы.
Представим неравенство в виде равносильного неравенства . Графически все решения этого неравенства будут представлять все точки полуплоскости, ограниченной прямой и находящейся сверху. Но благоприятным исходам соответствует лишь пересечение этой полуплоскости с квадратом . Т.к. прямая проходит через точки и , искомая область представляет из себя треугольник .
Тогда вероятность равна:
Ответ: 0,5.
Задача 7. Случайным образом выбираются два числа x и y такие, что , . Чему равна вероятность, что сумма квадратов этих чисел не превышает 1?
Решение:
Введём систему координат и проведём прямые . При пересечении эти прямые дают прямоугольник, который мы обозначим . Точки этого прямоугольника соответствуют всем возможным исходам.
Теперь построим окружность, заданную уравнением . Её радиус равен 1.
Координаты всех точек, принадлежащих кругу, ограниченному этой окружностью, удовлетворяют неравенству , т.е. соответствуют благоприятным исходам (т.к. стороны AB и CD являются касательными к окружности, а BC и AD не пересекают её).
Тогда искомая вероятность равна:
Ответ: .
Задача 8. Случайным образом выбираются два числа x и y таких, что , . Чему равна вероятность того, что сумма чисел превысит 1, а сумма их квадратов не превысит 1?
Решение:
Введём систему координат и построим в ней квадрат со стороной 1 так, чтобы стороны и находились на осях и соответственно. Этот квадрат соответствует всем возможным исходам, а его площадь равна 1.
Заданные в условии ограничения соответствуют следующей системе неравенств:
Первое неравенство системы равносильно неравенству , которое графически можно представить в виде верхней полуплоскости, ограниченной прямой . Второе неравенство системы задаёт круг с радиусом 1 и центром в точке . Множество благоприятных исходов представляет собой пересечение полуплоскости и круга, т.е. отсекаемый прямой меньший сегмент (т.к. и окружность , ограничивающая круг, и прямая проходят через точки и ).
Т.к. дугой этого сегмента является четверть окружности, его площадь равна:
Искомая вероятность равна:
Ответ: .
Задача 9. Поезд проехал мимо платформы за 30 секунд. В какой-то момент времени из окна поезда на 10 секунд выглянул Иван Иванович и увидел, что поезд проходит мимо платформы. На платформе ровно посередине стоял Пётр Петрович. Чему равна вероятность, что Иван Иванович наблюдал Петра Петровича, если считать, что Иван Иванович видит только то, что находится прямо напротив него?
Решение:
Будем вести отсчёт времени, приняв за 0 с момент, когда поезд начал проезжать платформу. Тогда моменту, когда поезд закончил проезжать платформу соответствует время 30 с. Петра Петровича поезд пересекал в момент 15 с. Примем момент, когда Иван Иванович выглянул в окно, за с.
Рассмотрим числовую прямую и отметим промежуток как отрезок . Его точки соответствуют всем возможным исходам.
Иван Иванович мог увидеть Петра Петровича, если он выглянул в окно до того, как поезд проехал Петра Петровича (т.е. не позднее 15 с), но не раньше, чем за 10 с до проезда Петра Петровича (т.е. не раньше 5 с). Эти условия можно выразить двойным неравенством:
Отметим соответствующий ему промежуток как отрезок . Его точки соответствуют всем благоприятным исходам. Тогда согласно определению геометрической вероятности:
Ответ: .
Задача 10. Два школьника, A и B, могут зайти в столовую на завтрак в любой момент времени с до . A завтракает мин, B завтракает мин. Выведите формулу вероятности того, что они встретятся в столовой и найдите вероятность при .
Решение:
Для встречи школьников достаточно, чтобы один из школьников завтракал, а другой пришёл в столовую, либо они оба пришли одновременно.
Рассмотрим систему координат , где вдоль оси будем откладывать время прихода в столовую школьника , а вдоль оси – время прихода в столовую школьника .
Построим квадрат со стороной (длина промежутка времени, когда школьники могут войти в столовую). Все точки, входящие в квадрат, соответствуют всем возможным моментам прихода обоих школьников, а его площадь равна .
Проведём диагональ . Она содержит все точки, координаты которых (абсциссы для школьника и ординаты для школьника ) соответствуют моментам времени, когда школьник приходит, а сама диагональ – исходам, когда школьники входят в столовую одновременно.
Отложим на оси от точки отрезок , равный и проведём из точки прямую , параллельную диагонали , где – точка пересечения прямой и стороны . Тогда абсциссы всех точек этой прямой отстоят на единиц от диагонали и соответствуют всем возможным моментам времени, когда школьник покидает столовую. Тогда трапеция содержит все точки, когда школьник завтракает, а только приходит.
Аналогично, отложим на оси отрезок , равный и проведём из точки прямую , параллельную , где – точка пересечения прямой и . Тогда ординаты всех точек отстоят на единиц от диагонали и соответствуют всем возможным моментам времени, когда школьник B покидает столовую. Тогда трапеция содержит все точки, когда школьник B завтракает, а приходит A.
Объединением этих фигур является шестиугольник , который соответствует всем благоприятным исходам (один из школьников завтракает, а другой приходит). Тогда искомая вероятность равна:
Треугольники и – равнобедренные прямоугольные. Тогда:
Произведя подстановку согласно условию задачи, имеем:
Ответ: .
Выведенная нами формула в виде:
- может быть использована для всех случаев, когда нам необходимо найти вероятность того, что два отрезка длиной и , случайным образом помещённые на отрезок с длиной , пересекутся.
§3.3. Ограничения геометрической вероятности
Все рассмотренные нами в §3.2 задачи, где была применена геометрическая вероятность, не были связаны непосредственно с геометрией. Но в них общим являлось то, что множества возможных и благоприятных исходов хоть и были бесконечными, но являлись непрерывными или состояли из нескольких непрерывных частей, что и позволяло рассмотреть и решить их с использованием геометрических методов. Действительно, определение любой меры требует непрерывности фигуры.
Также немаловажным являлось то, что на возможные исходы, несмотря на их бесконечное количество, накладывались ограничения. Если мы, например из задачи 7 исключим ограничение на возможные значения и так, что задача примет вид:
Случайным образом выбираются два действительных числа и . Чему равна вероятность, что сумма квадратов этих чисел не превышает 1?
- то решить её геометрическими методами будет невозможно, т.к. тогда мы будем иметь:
Помимо этого, геометрическую вероятность нельзя применять тогда, когда исходы выражаются конечным числом точек, т.к. любая мера для точки равна 0. В данном случае необходимо применять классическое определение вероятности.
Заключение
Как было показано выше, геометрическая вероятность имеет достаточно широкую область применения. При правильном её применении можно решать те задачи на вероятности, которые не поддаются классической вероятности.
Вообще, геометрическая вероятность полезна в случае, когда множества возможных и благоприятных исходов имеют бесконечное количество элементов. Это верно даже тогда, когда задача не имеет никакого отношения к геометрии. При этом в алгебраических задачах наибольшее значение имеет вариант геометрической вероятности, связанный с площадью.
Однако для того, чтобы задача решалась с помощью геометрической вероятности, множества возможных и благоприятных исходов должны удовлетворять следующим условиям:
Они должны иметь бесконечное количество элементов.
Они должны быть непрерывными или состоять из непрерывных частей.
Они должны быть ограниченными.
Список источников
Васильев Н. Геометрические вероятности // Квант. – 1991. - №1
Васильев Н., Спивак А. Посчитаем вероятности // Квант. – 1997. - №4
Колмогоров А. Н., Курбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию вероятностей – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982, 160 с.
Приложение 1.
Чертежи к задачам.
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3.
Задача 4.
Задача 5.
Задача 6.
Задача 7.
Задача 8.
Задача 9.
Задача 10.
1 Эту формулу для площади можно вывести, используя определённый интеграл: