В мире изопериметрических кривых

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

В мире изопериметрических кривых

Мухаметова К.Ш. 1Трунова К.Д. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа г. Сурска Городищенского района Пензенской области
Трунова Н.В. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа г. Сурска Городищенского района Пензенской области
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Почему кот в холодную ночь сворачивается в клубочек, а дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны.

А может ли человек пройти сквозь лист бумаги размером А4? Какое жилье самое комфортное?

Чтобы получить ответы на все эти вопросы, мы обратились к дополнительной литературе, интернету и наткнулись на очень интересное объяснение этих фактов.

Царица Дидона в поисках нового места жительства, предложила хозяевам новой земли сделку: дать ей взять столько земли, сколько она может «окружить бычьей шкурой». Оказалось, что царица выложила шкурой территорию в виде круга, тем самым получив на проживание большой участок земли.

Нас заинтересовал вопрос: на самом ли деле круг обладает самой большой площадью, поэтому тема нашей работы «В мире изопериметрических кривых»

Цель работы: познакомиться с изопериметрическими задачами и их применением в повседневной жизни.

Задачи: определить, жилище какой формы обладает наилучшим изопериметрическим коэффициентом комфортности и создать его макет.

Объект исследования: изопериметрическая задача.

Предмет исследования: приемы решений изопериметрической задачи.

Выбранную тему считаем актуальной, потому что изопериметрические задачи важны не только в математике, но и в ее приложениях, а также в экономике и технике.

1. Миф о Дидоне. Метод Якоба Штейнера

В римской мифологии есть легенда о Дидоне. Согласно этой легенде, Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса. После того как брат Дидоны Пигмалион убил ее мужа, позарившись на его богатства, Дидона была вынуждена бежать. Захватив с собой часть сокровищ мужа, она в сопровождении многочисленных спутников отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с берберийским царем Ярбом о продаже земли. По условию она могла взять столько земли, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Сделка состоялась. Тогда Дидона разрезала эту шкуру на тонкие ремни, связав их воедино, и окружила изрядный кусок земли. На этом месте была основана цитадель Карфагена Бирсу. (По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».)

Так гласит легенда.

Этот эпизод дает повод задуматься над вопросом: сколько же земли можно окружить бычьей шкурой?

Задача Дидоны относится к изопериметрическим задачам, то есть к задачам на нахождение фигур заданного периметра, имеющих наибольшую или наименьшую площадь. Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — круг? Кто знает... Известно лишь, что легендарная царица и на этот раз сумела урвать лишний кусок — она выбрала свой участок на берегу моря, так что вся морская гра­ница досталась ей даром. За этой женщиной придется признать крупный геометрический талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в прошлом веке швейцарским геометром Якобом Штейнером, а ее «карфагенский вариант» — с учетом того, что часть замк­нутой кривой представляет собой прямую линию «побе­режья», — и того позже. Штейнер доказал — притом сразу пятью разными способами, — что именно круг охватывает самую боль­шую площадь при данной длине замкнутой линии. Вслед за этим удалось выяснить, что следующее слово за пра­вильными многоугольниками: они «выгоднее» любой другой фигуры с тем же числом сторон. Так была окон­чательно решена задача, которой, кроме легендарной Дидоны, занимались реальные ученые — например, Зенодор и Архимед.

Формулировки задачи Дидоны или классической изопериметрической задачи:

Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.

Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную площадь, найти кривую, имеющих минимальный периметр.

Решение изопериметрической задачи было найдено выдающимся швейцарским геометром XIX столетия Якобом Штейнером (1796-1863).

Задача звучит следующим образом: Среди всевозможных плоских замкнутых линий заданной длины найдите ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади.

Решение.

Фигура наибольшей площади с заданным периметром - выпуклая. В противном случае мы могли бы построить линию той же длины, ограничивающую фигуру большей площади (рис.2).

Рисунок 2

Если прямая делит пополам периметр фигуры, то она делит пополам и площадь фигуры. Пусть прямая АВ (А и В — точки на границе, рис.3) делит пополам периметр фигуры, но при этом одна из двух частей имеет большую площадь. Заменим меньшую часть фигурой, симметричной большей относительно прямой АВ. При этом площадь фигуры увеличится, а периметр не изменится.

Рисунок 3

Пусть М- любая точка на границе фигуры, отличная от А и В (рис.4). Докажем, что <AMB = 90°.

Рисунок 4

Предположим, что это не так. Проведем отрезки AM, MB и АВ, они разрежут нашу фигуру на четыре части. Построим новую фигуру :

1) Δ A1M1B1 - прямоугольный, где A1 M1 = AM, М1B1 = MB, <A1M1B1 =90°.

Приставим к его катетам сегменты, равные сегментам 1 и 2 (см. рис.4). Отразим все относительно гипотенузы A1B1.

Получим новую фигуру с тем же периметром и большей площадью.

S Δ A1 M1 B1>S ΔАМВ. Итак, мы доказали, что если прямая АВ делит пополам периметр фигуры с наибольшей площадью, М — произвольная точка на границе, отличная от А и В, то <AMB = 90°, т.е. М лежит на окружности с диаметром АВ. Таким образом, решение изопериметрической задачи дает окружность.

Якоб Штейнер доказал, что если фигура наибольшей площади среди всех фигур данного периметра существует, то это — круг. В ходе рассуждений осталось недоказанным одно утверждение, на которое он опирался: что искомая фигура существует. Сам Штейнер этот недостаток доказательства не устранил. Это было сделано позднее другими математиками Ф. Эдлером и Константином Каратеодори.

С изопериметрической задачи по существу начинается одно из важнейших направлений современной математики — вариационное исчисление.

2. Изопериметрические задачи в природе.

Вопросы о наибольших и наименьших величинах, являются одними из наиболее интересных в чисто математическом отношении (по разнообразию и по остроумию придуманных математиками методов их решения) и в то же время крайне важными по своему практическому, прикладному значению.

Архитектор, проектируя какое-либо здание, стремится затратить на его возведение минимум времени, строительных материалов и рабочей силы и достичь при этом максимальной прочности, освещенности, простора, теплоизоляции и т. д.

Пчела, взявшая каплю меда с цветка, летит к своему улью по прямой, сокращая этим до минимума затрату времени и сил и получая возможность совершить максимум рейсов за день, т. е. собрать максимальное количество меда. А в улье она выстилает соты таким образом, что в данном объеме (улья) умещается максимальное количество ячеек.

Капельки воды и мыльные пузыри не случайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности. Характерно также, что кошки, когда холодно, спят, максимально сворачиваясь в клубок: так они уменьшают площадь поверхности тела, поскольку, чем меньше поверхность, тем меньше тепла они расходуют во внешнее пространство

Даже в растительном царстве и в так называемой «мертвой» природе мы наблюдаем процессы, способные внушить дикарю идею одушевленности природы. Так, растение пускает в сухой почве свои корни вертикально вниз, «чтобы» как можно скорее достичь влажного слоя, а подсолнух поворачивается своей головкой к солнцу, «чтобы» получать максимум солнечной энергии. Луч света отражается от зеркала, а бильярдный шар — от борта бильярда по такому закону, который обеспечивает минимум пути между любой точкой падающего и любой точкой отраженного луча или траектории шара.

Пространственные формы, например, траектории движений, формы оболочек и т. д., играют наряду со временем, скоростью, массой, работой, энергией и т. д. большую роль во многих проблемах максимально-минимального или, как говорят математики, экстремального (т. е. «крайнего») характера. Часть этих экстремальных вопросов носит чисто геометрический характер, а среди них на первом месте встречаем проблемы изопериметрические или «равно обводные», как писали по-русски еще в середине прошлого столетия.

3. Применение изопериметрической задачи в повседневной жизни

Отрывок из романа Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома»: «Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянется трос, прикрепленный к трактору. Механики нажали рычаг — и мотор заработал. Машина сама двинулась вперед, описывая окружность вокруг шеста, служившего ее центром.

- Чтобы окончательно усовершенствовать машину, — сказал Грэхем, — вам остается превратить окружность, которую она описывает, в квадрат. Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли. Грэхем произвел некоторые вычисления, затем заметил: Теряется примерно три акра из каждых десяти. —Не меньше».

Решение.

Рис. 5

Расчет неверен: теряется меньше чем 0,3 всей земли. Пусть, в самом деле, сторона квадрата - а. Площадь такого квадрата - а2. Диаметр вписанного круга равен также а, а его площадь .

Пропадающая часть квадратного участка составляет:

Мы видим, что необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, как полагали герои американского романа, а всего только 22%.

В Кузнецкой кузнице «Kovid» один погонный метр кованного забора стоит 3200 рублей. Определить наименьшую стоимость изгороди, если требуется оградить участок площадью 400 м2. Сравнить разные варианты.

Решение.
1. Наименьшая стоимость будет в том случае, если участок будет иметь форму круга..

Стоимость составит 69,08·3200 = 221056 рублей.

2. Если ограда будет иметь форму квадрата, то сторона квадрата равна м, периметр - 20·4=80 м, стоимость 80·3200 = 256 000 рублей.

3. Если ограда будет иметь форму прямоугольника со сторонами 25 м и 16 м, то его периметр 82 м, а стоимость 82·3200= 262400 рублей.

Рассекатель газовойгорелки имеетформу круга диаметром 7 см. Рассчитать на сколько процентов увеличится расход газа, если круглый рассекатель заменить

-квадратным ; треугольным той же площади

Решение.

1.Для круглой формы

С= 21, 98 см.
38,465 см2
2. Для квадратной формы
=6,2 см, P= 6 24,8 см;

3. Для формы правильного треугольника ,

P = 9,5·3 = 28, 5 см;

Вывод: если форму рассекателя газовой горелки заменить с круглой на квадратную той же площади, то расход газа увеличится на 13%,а если на треугольную правильной формы- то увеличится на 30%.

Почему канализационный люк круглый?

Практически все люки в городе прикрыты специальными крышками круглой формы.

Выясним, приведет ли изменение формы люка к изменению его стоимости.

Диаметр лаза люка в действующих стандартах близкий к 600 мм.

-при круглой форме длина окружности корпуса С= 1,88 м,

-при квадратной форме 2,4 м,

-площадь крышки круглой формы 0,28 м²,

-площадь крышки квадратной формы 0,36 м².

Таким образом перерасход материалов на производство люка при переходе от круглой к квадратной его форме составит = 28 %

Возвращаясь к задаче царицы Дидоны, рассчитаем территорию, которую заняла Дидона.

В интернете я нашла приблизительную площадь бычьей шкуры-35800 см². Разрежем ее на полоски шириной 0,5 см, тогда длина полуокружности равна будет 71600 см или 716 м.

С=2πR, = πR,

R=716:3,14 ≈ 228(м)

Sкруга=πR²,

S круга =3,14∙228² ≈ 163230(м²)

S полукруга = Sкруга: 2 = 81615(м²)

На площади 81615 м² действительно можно построить крепость.

Таким образом, мы выяснили, что изопериметрические задачи - это не только пример старинной математики, но и задачи, которые встречаются каждому из нас в реальной жизни.

4. Исследование комфортности национальных жилищ с помощью изопериметрической теоремы

В последнее время все чаще говорят о том, что мировые запасы природных ресурсов небезграничны. Количество добытой нефти и газа год от года уменьшается. Открытые месторождения газа и нефти иссякают, а новых становится все меньше и меньше. Если мы такими же темпами будем добывать и использовать нефть и газ, то, возможно, через несколько десятков лет все ресурсы и их месторождения иссякнут совсем, поэтому цены на них постепенно растут. Перед населением планеты давно стоит проблема энергосбережения. Известно, что огромное количество энергии тратится на отопление помещений, в том числе жилых.

Необходимо отметить, что проблема отопления и сохранения тепла в доме существует с древних времен. Одним из способов сэкономить тепло является обеспечение жилья наименьшей потерей тепла через его поверхность. Можно существенно уменьшить размеры жилища, но человек должен иметь достаточно жилого пространства, чтобы чувствовать себя комфортно. Таким образом, встает вопрос: как достичь сочетания максимально возможного объема жилого пространства при минимальной площади поверхности, через которую может уходить тепло. Первобытные люди приходили к его решению опытным путем. В результате в условиях определенного климата и имеющихся строительных материалов у всех народов появились национальные жилища. Этот вопрос остается для человечества актуальным, а с учетом ситуации с энергоносителями становится все более острым.

Каким же принципами руководствовались архитекторы всех времен и народов? Какое из окружающих нас жилищ наиболее комфортно?

Может быть, соотношения формы, объема и площади поверхности тел имеют закономерность, влияющую на степень комфортности.

Изучив изопериметрическую теорему в пространстве: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар», можно провести исследование комфортности национальных жилищ .

Ф ормула для вычисления комфортности жилища:

К – изопериметрический коэффициент;

V – объём жилища;

S – площадь поверхности

1 ) Дано: жилище формы прямоугольного параллелепипеда с измерениями а=8м, b=4м, с=4м.

Найти: коэффициент комфортности

РЕШЕНИЕ.

1)Найдем объем прямоугольного параллелепипеда: V= abc =128м³

2 )Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.=2(ab+bc+ac)=160 м²

3)Найдем коэффициент комфортности:

2) Дворец мира и согласия в Казахстане имеет форму правильной четырехугольной пирамиды

Дано: жилье в форме правильной четырехугольной пирамиды с измерениями а=5 м, h=4 м

Найти: коэффициент комфортности

Решение:

Найдем площадь основания: Sосн.= а2 =25м²

Найдем площадь боковой поверхности: Sб.п.= м²

Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.= Sосн.+ Sб.п =72 м²

Найдем объём: V= а2 h =33,(3)м³

Н айдем коэффициент комфортности: Найдем коэффициент комфортности:

3) Яранга – жилище кочевников севера.Вигвамы североамериканских индейцев. Чум жилище народов Севера имеет форму конуса.

Д ано: жилище конусообразной формы h=4м, r =3м.

Найти: коэффициент комфортности

Решение:

Решение:1)Найдем объем конуса: V= П r2 h =37,68м³

2)Найдем площадь полной поверхности:

Sп.п.= П r2 + П rl =75,36 м²

3)Найдем коэффициент комфортности:

4)

Дано: жилье цилиндрической формы, h=3м, R=2м.

Н

Рис.11

айти: коэффициент комфортности

Решение:

Sполн.п. =2ПR(R+Н)=2·П·2(2+3)=20П≈62,8 м2

V= Sосн. · hR²· h=12П≈37,68 м3

5) Дано: жилье шарообразной формы радиусом R.

Найти: коэффициент комфортности

Решение: Sсферы.=4ПR2, V=

Мы просчитали коэффициент комфортности своего жилища. Дом Камилы имеет форму прямоугольного параллелепипеда

Дано: жилье в форме прямоугольного параллелепипеда с измерениями a = 8, b = 4,5, c = 3,2

Найти: коэффициент комфортности

Решение:

V=abc=115,2 м³

Sп.п.=2(ab+bc+ac)=152 м²

K =

Изопериметрический коэффициент К всегда меньше 1 или равен ей.

Единственное тело, имеющее коэффициент, равный 1, - это шар

В ходе исследования необходимо было определить, жилища какой формы наиболее комфортны для проживания с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность, выявить жилище, имеющее подходящие геометрические характеристики для получения наилучшего изопериметрического коэффициента комфортности.

Для этого были проведены вычисления изопериметрических коэффициентов жилищ и их сравнение. Мы выяснили, что изопериметрические коэффициенты жилищ разной формы не совпадают и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент комфортности и самое энергосберегаемое. Мы сделали макет такого дома будущего

Дом будущего г. Сурска

Преимущества и возможности строительства  сфер:

- Согласно изопериметрической теореме из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар. Это означает, что на шарообразные сооружения нужно материалов меньше, чем на иные.

- Прочность сферы обеспечена равномерным распределением нагрузок на все точки поверхности. Она превосходно работает на сжатие и на изгиб.

- Сфера является наилучшей формой от ветровых и снеговых нагрузок.

- Создание сферы отличает минимальная материалоемкость, трудоемкость и длительность возведения.

- Сферическая форма сама по себе является энергосберегающей, к тому же она изготавливается практически бесшовной, что минимизирует теплопотери, и снижает затраты на устройство отопительной системы.

- Отсутствие арматуры в стенах.

- В сферических сооружениях нет углов, где обычно застаивается воздух,  их легче проветривать.

- Легкость и прочность сфер обуславливает целесообразность их строительства в сейсмически опасных районах.

- Сферу значительно сложнее разрушить взрывами, даже пробитая в одном или нескольких местах, она не теряет своих конструктивных способностей и не «складывается».

Заключение

Ежедневно в нашей жизни нам встречаются задачи на нахождение наибольших или наименьших значений, потому что разумный человек непременно ищет такой путь, который поможет ему достигнуть наибольшей выгоды. Но при этом мы даже и не подозреваем, что в таком простом бытовом случае мы решаем изопериметрические задачи.

Изопериметрическая задача (на плоскости) состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь среди всех фигур с одним и тем же периметром, а в пространстве - из всех тел равного объема наименьшую поверхность.

Для достижения цели в ходе работы нами были проведены эксперименты, решены задачи, обоснована изопериметрическая проблема, показано применение изопериметрической задачи в повседневной жизни, выяснено, что наилучший изопериметрический коэффициент комфортности имеет сфера, создан макет такого дома.

Таким образом, мы в обосновали, что среди геометрических фигур с равными периметрами наибольшую площадь имеет круг, а из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар.

Таким образом, цель работы достигнута, задачи все выполнены.

Мы доказали, что изопериметрические задачи важны не только в математике, но и в ее приложениях, а также в экономике, технике и природе.

Литература:

1.А.Б. Крыжановский «Изопериметры» М. – Л.,Физматлит, 1959 г.

2. . С. Н . Олехин «Старинные занимательные задачи» - Дрофа, Москва 2006г.

3. Я. И. Перельман «Живая математика» - Москва «Наука» 1978 г.

4. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: Кн. для учащихся 5–7 кл.–М.: Просвещение, 2010г.

5. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. — 2-е изд., исправленное. — М.: МЦНМО, 2006г.

6. Шарыгин Д. Миф о Дидоне и изопериметрическая задача. - «Квант» №1, 1997г.

7. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.: Просвещение, 1967г.

8. О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Суркин, Н. Г. Федин Толковый словарь математических терминов, Пособие для учителей под редакцией проф. В. А. Диткина. - Издательство «Просвещение», Москва, 1965 г.

9. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Физматлит, 1975г.

10. http://naukoved.ru

11. http://kvant.mccme.ru

Просмотров работы: 58