VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Увлекательная оригаметрия
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Геометрия давно и прочно вошла в систему общего образования. Как наука она родилась из необходимости решать важные жизненные проблемы, из человеческой практики, из наблюдений за окружающим миром, из жизни. Сегодня, стоит только посмотреть вокруг – всюду геометрия! Современные здания и космические станции, интерьеры квартир и бытовая техника. Геометрия во всем!
Актуальность избранной темы в том, что в настоящее время всем ребятам сложно запоминать определения и свойства геометрических фигур, сложно доказывать теоремы, а особенно применять их при решении задач. В своей исследовательской работе, мы хотим привлечь внимание одноклассников к геометрии, показать, что геометрия - это творческая наука, и что есть методы для более наглядного и интересного способа решения геометрических задач.
Известный ученый и автор учебника по геометрии Шарыгин Игорь Федорович отмечал, что «главным действующим лицом геометрии должна быть фигура, а главным средством обучения – рисунок, картинка. К сожалению, при изучении многих тем геометрии это, как правило, не учитывается и живая наука в школе превращается в формально излагаемый учебный предмет, исчезает связь с окружающим миром, остается только логическая схема и множество чисто формальных определений».
Цель исследования: Научиться решать задачи и доказывать теоремы, используя технику оригами.
Задача исследования:
Познакомиться с историей появления и развития техники оригами;
Выяснить среди одноклассников, что они знают об оригами и где применяют;
Проанализировать связь оригами и математики на примере решения математических задач и доказательства свойств геометрических фигур;
Исследовать возможность доказательства теорем геометрии с помощью оригами.
Гипотеза: Многие понятия школьного курса геометрии просто и наглядно объясняются демонстрацией оригами. Искусство оригами можно применять для доказательства теорем и для решения задач по геометрии.
Объект исследования: оригами.
Предмет исследования: геометрические задачи, теоремы;
Методы исследования: сбор и анализ литературы по теме, анализ теорем и геометрических задач в учебниках геометрии; анкетирование одноклассников.
Практическая значимость нашей работы в том, чтобы систематизировать весь собранный материал о применении оригами в математике и составить учебник по оригаметрии, а в дальнейшем использовать его при усвоении геометрических понятий и теорем. (Приложение 1)
Свою исследовательскую работу мы начали с опроса (Приложение 2) среди учащихся нашей школы для того, чтобы выяснить, знают ли они что такое оригами и где применяются возможности этого искусства. Получены следующие результаты:
1.Знаете ли вы, что такое оригами? Да - 90%, Нет -10%
2.Увлекались ли вы оригами? Да - 75%, Нет - 5%, Иногда - 20 %
3.Как вы думаете, с помощью бумаги можно решить задачу или доказать теорему? Да - 20 %, Нет - 80%
4. Есть ли у вас желание научиться решать геометрические задачи с помощью оригами? Да - 100 %, Нет - 0 %
Вывод: учащиеся владеют недостаточными сведениями об истории и возможностях оригами и мало представляют о том, что с помощью бумаги можно легко решить геометрические задачи, но с удовольствием бы узнали об истории и использовали полученные знания для легкого усвоения геометрических понятий и теорем. (Приложение 2)
1 Глава. Основы оригаметрии
1.1. История возникновения оригами
Оригами (яп. 折, букв.: «сложенная бумага») — вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Главная особенность оригами – использование одного целого листа, который не режется, не склеивается и очень редко компонуется с другими формами.
В истории происхождения оригами многое до сих пор остается неясным. Никто не знает, кто именно и когда придумал оригами и как были выработаны его неписаные правила. Есть даже мнение, что это искусство старше, чем бумага. Что первые фигурки оригами возникли из искусства драпировки ткани при изготовлении традиционной японской одежды. Так или иначе, именно в Японии, благодаря ее культурным особенностям, стремлению увидеть красоту, скрытую в каждой вещи, оригами получило широкое распространение. Многие поколения японцев внесли в оригами свой вклад, передавая умение складывать плоский лист в чудесную фигурку.
Первые оригами появляются в синтоистских храмах. Жители Японии придают бумаге особое значение и наделяют ее большой ценностью. У синтоистов принято верить, что в каждом предмете и явлении живет «ками» - маленькое божество. Оно поселяется и в бумажных фигурках, которые используются при совершении ритуалов и обрядов.
Со временем оригами вышло из религиозных рамок и стало придворным искусством. Им могли заниматься лишь избранные, так как бумага была редким и весьма дорогим материалом.
В периоды Камакура (1185–1333 гг.) и Муромати (1333–1573 гг.) оригами выходит за пределы храмов и достигает императорского двора. Аристократии и придворным предписывается обладать определенными навыками в искусстве складывания. Японцы использовали бумажные фигурки для того, чтобы передать то или иное послание другому человеку. Например, записки, сложенные в форме бабочки, журавля или цветка, были символом дружбы и доброго пожелания. Только человек, владеющий искусством оригами, может аккуратно развернуть и прочитать послание, не предназначенное для посторонних глаз. Умение складывать стало одним из признаков хорошего образования и изысканных манер. Различные знатные семьи использовали фигурки оригами как герб и печать.
В периоды Адзути-Момояна (1573–1603гг.) и Эдо (1603–1867гг.) бумага перестает быть предметом роскоши, и оригами начинает распространяться и среди простого народа. Именно тогда, триста – четыреста лет назад, изобретается ряд фигур, которым суждено было стать классическими. Среди них и японский журавлик «цуру» – традиционный японский символ счастья и долголетия, а теперь и международный символ свободы и мира.
Не обошло стороной оригами и Россию, но сначала этот вид искусства был освоен детьми. Первым об оригами узнал юный наследник престола Николай II от учителя английского языка Чарльза Сиднея Гиббса, филолога из Кембриджа. Любовью к технике оригами отличался и великий русский писатель Лев Николаевич Толстой.
Однако настоящее революционное развитие оригами началось только после Второй мировой войны, главным образом благодаря усилиям всемирно признанного теперь мастера Акиры Йошизавы. Акиро Йошизава работал на машиностроительной фабрике, где помимо основной работы ему поручили учить новичков читать чертежи. При этом он начал активно использовать оригами, объясняя с помощью складывания азы геометрических понятий. Эти занятия имели успех и вызывали неподдельный интерес, и Акире Йошизаве предлагают выступить на съезде профсоюза с рассказом о роли оригами в образовании. Он изобрел сотни новых, ранее неизвестных фигур. Он не только доказал, что искусство складывания может быть широко применимо на практике, но и способствовал его распространению. С помощью изобретенных им несложных условных знаков процесс складывания любого изделия оказалось возможным представить в виде серии рисунков - чертежей.
Новый поворот в истории оригами тесно связан со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда была сброшена атомная бомба на Хиросиму. Последствия чудовищного эксперимента были ужасны. Каждый, кто брался за оригами, знает историю Садако, девочки из Хиросимы, которая делала журавликов, веря, что это спасёт её от лучевой болезни. Кто-то сказал ей, что если она сделает 1000 журавликов, она поправится. Садако скоро поняла, что ей уже не станет лучше, она умрёт. И тогда она стала дарить журавликов другим больным. Каждый журавлик, которого делала Садако, был молитвой, молитвой о спасении человека. Девочка успела сложить 644 фигурки и умерла. Её подруги закончили остальных журавликов. Печальная история японской девочки подняла волну детской солидарности во всём мире. Япония стала получать миллионы посылок со всех континентов нашей планеты с бесценным грузом - бумажными журавликами. Так возникло движение «1000 журавликов». Это движение вызвало интерес к японскому искусству оригами.
В настоящий момент оригами превратилось по-настоящему в международное искусство. Сейчас центры оригами открыты в 26 государствах планеты. Оригами развивается, во многих странах созданы общества оригамистов, каждый год проводятся выставки и конференции.
Аксиомы оригаметрии
О ригаметрия – область очень молодая, и пока не существует ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы подобный материал систематически. Вместе с тем многие понятия курса геометрии в школе гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригаметрии.
Для построения теории используется система аксиом. Их предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита. Таких аксиом, с его точки зрения, всего шесть.
Аксиома 1: Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки
А ксиома 2: Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки
А ксиома 3: Существует единственный сгиб, совмещающий две данные прямые
Аксиома 4: Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой
Аксиома 5: Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую
А ксиома 6: Существует единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых
В 2002 году японский оригамист Коширо Хатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Х.Хузита.
Аксиома 7: Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба, перпендикулярная первой и помещающая данную точку на вторую прямую.
. Условные обозначения оригами
В оригами используется единая система универсальных знаков, позволяющая записать процесс складывания любой модели в виде серии чертежей. Она была придумана лишь в середине XX века известным японским мастером оригами Акирой Ёсидзавой и позволила оригами распространиться по всему миру.
|
Сгиб долиной, |
Сгиб горой, |
||
|
Пере-гнуть долиной. |
Перегнуть горой, |
||
|
Складка-молния |
Совместить |
||
|
Перевернуть фигуру, |
Повернуть фигуру |
||
|
Тянуть, тащить. |
Двойная |
||
|
Двойная |
Раскрыть |
||
|
Вогнуть внутрь. |
Выгнуть наружу. |
||
|
Вогнуть внутрь, |
Повторить действие |
||
|
Равные углы. |
Равные части. |
||
|
Надуть. |
Завернуть. |
||
|
Увеличе-ние |
Базовые формы оригами
Многие фигурки оригами на начальном этапе складываются одинаково, то есть имеют одну основу — базовую форму. Объединение фигурок по базовым формам систематизирует огромное количество моделей и способствует более успешному знакомству с оригами.
Складывание многих поделок в технике оригами начинается с простых и понятных конструкций, которые называются базовыми формами. Все эти базовые формы складываются из квадратного листа бумаги и представляют собой основу для будущих сложных или не очень моделей.
Каждый начинающий оригамист просто обязан знать технологию сборки базовых форм, ведь это словно нотная грамота для музыканта. Основные базовые формы оригами (Приложение 3):
Виды оригами
С уществуют различные виды оригами:
1. Модульное – оригами, в котором целая фигура собирается из многих одинаковых частей (модулей). Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путем вкладывания их друг в друга, появляющаяся при этом сила трения не даёт конструкции распасться. Одним из наиболее часто встречающихся объектов модульного оригами является кусудама, объёмное тело шарообразной ф ормы.
2 . Простое оригами — стиль оригами, придуманный британским оригамистом Джоном Смитом, и который ограничен использованием только складок горой и долиной. Целью оригами является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками. Данное выше ограничение означает невозможность многих (но не всех) сложных приёмов, привычных для обычного оригами, что вынуждает к разработке новых методов, дающих сходные эффекты.
3 . Развёртка (паттерн) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана — дело в том, что развёртки используются при разработке новых моделей оригами. Последнее также делает очевидным факт отсутствия для некоторых моделей иных диаграмм, кроме развёртки.
4. Мокрое складывание — техника складывания, разработанная Акирой Йосидзавай и использующая смоченную водой бумагу для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости. Особенно актуален данный метод для таких негеометричных объектов, как фигурки животных и цветов — в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу.
2 Глава. Оригами в геометрии
Основные построения геометрии с помощью оригами
В курсе геометрии можно выделить ряд задач на построение, которые можно показать с помощью складывания бумаги (Приложение 4).
2.2. Оригами в задачах геометрии
Рассмотрим примеры задач, решаемых методами оригами. Как правило, они проще и нагляднее, а относительная простота помогает учащимся убедиться в правильности классических утверждений, теорем и побуждает к дальнейшим исследованиям. Сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой! Например, при изучении темы «Замечательные точки треугольника», учащиеся убеждаются в том, что каждая тройка биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров треугольника пересекаются в одной точке, а потом свои убеждения пробуют подтвердить математически. Возможности перегибания листа бумаги велики, что обеспечивает решить большое разнообразие задач.
П ри решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.
В процессе изготовления различных моделей мы знакомимся с основными понятиями и определениями. Например, решая и доказывая геометрические задачи, мы используем в основном квадратный лист бумаги, на котором уже много нужных понятий.
Любая оригамская задача состоит:
1. Из постановки задачи.
2. Из оригамского решения, проверки или способа построения.
3. Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
Применение метода оригами для построения отрезков.
Рассмотрим сначала решение простых задач на построение отрезков с помощью оригами.
Задача 1. Дан квадратный лист бумаги со стороной а. Построить отрезки:
1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) . (Приложение 5)
Применение метода оригами для доказательства теорем.
Задача 2. Доказать, что в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. (Приложение 6)
Применение оригами при решении различных задач
Задача 7. В ΔАВС проведена биссектриса ВК. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВM = МК. Докажите, что КМ //АВ. (Приложение 7)
Решение задач на построение геометрических фигур с помощью оригами
Задача 8. (на построение). Разделить прямой угол на три равные части. (Приложение 8)
Заключение
Мир школьной геометрии требует постоянного обращения к образам. Образную, наглядную модель евклидовой геометрии позволяет создать оригами. Оно знакомит со всеми геометрическими объектами и облегчает освоение систематического курса геометрии. Изучение превращений квадратного листа бумаги, возможно, - один из наиболее интересных путей создания образов плоских и пространственных геометрических фигур. «Здесь объектом непосредственных преобразований служит реальная ситуация» и большое значение придается наглядности, накоплению практического опыта работы с бумагой. И это правильно. Вторая сигнальная система развивается на основе первой, поэтому при первоначальном знакомстве учащихся с геометрией необходимо обращаться к наглядности, конкретным геометрическим образам, и лишь после этого детям желательно начинать складывать геометрические фигуры и тела, познавая их свойства, изучая серьезные вопросы геометрии.
В своей работе мы доказали, что оригами используется в геометрии - для доказательства теорем и решения задач. Решение задач с помощью оригаметрии – способ необычный и интересный, так как многие понятия школьного курса геометрии просто и наглядно объясняются демонстрацией оригами. Наша гипотеза подтвердилась.
Геометрия нуждается в особом представлении. Сухое, академически строгое изложение здесь не подходит. Фигурки наглядно показывают, что мы живем в мире, который является объемным. Они способствуют развитию наглядно-образного мышления. Ученику трудно осознать темы. Значит, необходимо стремиться к тому, чтобы как можно больше информации передавалось ученику через наглядность. Дети охотно складывают изделия. Активное использование оригами позволяет разнообразить учебную деятельность, что способствует развитию у детей не только памяти, но и внимания, восприятия, воображения, разных форм мышления.
Главной целью созданного нами курса «Оригами в геометрии» является всестороннее развитие геометрического мышления и формирование геометрических знаний средствами оригами, которые помогают преодолеть указанные трудности, и позволяют учащимся «войти в пространство».
Главная особенность представляемого нами учебника заключается в том, чтобы представить этот учебный предмет в единстве с окружающим миром, как «окно» в этот мир.
Приобретая новое умение, ребенок делает шаг вперед в развитии многих своих способностей. Все это нужно не для того, чтобы у него были золотые руки, но и для того, чтобы у него была умная голова, а тот, кто не привык работать руками, умен только наполовину: во многих ситуациях обычной практической жизни он не сможет проявить смекалку, сообразительности, окажется просто беспомощным! А развитие таких качеств, как точность, трудолюбие, терпение и целеустремленность помогает учащимся перейти на ступеньку творчества, являющуюся основой для самостоятельных открытий. От того, как элементы творческой деятельности будут формироваться в школе, во многом зависит будущее нашего общества.
Оригами имеет широкий диапазон применения: архитектура, математика, педагогика, психология, дизайнерство. Оригами находит применение и в других науках, а также широко используется в современных технологиях. Например, в 1970 году японским астрофизиком Корио Миурана основе техники жесткого оригами была разработана схема складывания «миура-ори», которая используется сегодня для развёртывания установок солнечных батарей на космических спутниках. Первоначально эта технология употреблялась для складывания бумажных документов, карт местности, упаковки. Оригами - это одно из направлений арттерапии - возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства. Оригами - это уникальная возможность развития тонкой моторики (двигательной функций организма человека, объединяющей биохимические, физиологические и психологические системы), что особенно важно при воспитании детей, точнее для развития интеллекта. Оригами - идеальная дидактическая игра, развивающая фантазию и изобретательность, логику и пространственное мышление, воображение и интеллект. Пространственная трансформация плоского листа позволяет легко осваивать сложные математические понятия, решать задачи по геометрии в форме игры. Японская мудрость издревле гласит: «Великий квадрат не имеет пределов».
Попробуй простую фигурку сложить,
И вмиг увлечёт интересное дело.
(А. Е. Гайдаенко.)
Список литературы и Интернет-ресурсов
Список литературы:
Белим С.Н. Задачи по геометрии, решаемые методом оригами. – М.: Аким, 1997.– 60 с.;
Восканян К.В. Построение геометрических фигур как средство развития мышления школьников. / Вопросы психологии. 1989.–№6.– с.56–61.;
Весновская О.В., Симолкин А.Ю. Статья «УЧЕБНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ И ОРИГАМИ»;
Гусев В.А. Методика обучения геометрии. М.: Изд-во «Академия», 2004. 376 с.;
Kasahara K., Takahama T. Origami for the connoisseur. Japan Publ. Inc. Tokio&New York, 1987. – с .168.;
Конкурсная работа ДООМ «Оригами и геометрия» Э.В.Злобина, учитель математики МОУ «Лицей математики и информатики» г. Саратов.;
Сержантова Т.Б. Оригами. Новые модели. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 192 с., ил.;
Соколова Г.А. Ориентиры для конструирования, содержания подготовительного курса геометрии средствами оригами: Научно–методическое пособие. / Новосибирск: Издательство НИПКиПРО, 2004, – 60с.;
Статья «ОРИГАМИ КАК ОДНО ИЗ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ» Весновская Оксана Валерьевна, учитель математики и оригами МОУ «СОШ № 20», г. Новочебоксарска.;
Ткачева М.В. Домашняя математика. М.: Просвещение, 1994. – 190 с.;
Шеремет Г. Оригами помогает изучать математику. / Математика. – 2007. № 19. с.16–18.
Интернет – ресурсы:
Базовые формы оригами http://planetaorigami.ru/bazovye-formy-origami/;
Планета оригами http://planetaorigami.ru;
Лучшие схемы оригами http://paper-life.ru;
ОригамиК. Каталог.http://origamik.ru/styles-template-styles;
https://ru.wikipedia.org/wiki/Оригами;
Научные статьи http://cyberleninka.ru/article.
Приложение 1
СКРИНШОТЫ ЭЛЕКТРОННОГО УЧЕБНИКА
Результаты анкетирования Приложение 2
Приложение 3
Базовая форма «Книжка»
Базовая форма «Птица»
Базовая форма «Катамаран»
Базовая форма «Лягушка»
Базовая форма «Треугольник»
Базовая форма «Воздушный змей»
Базовая форма «Рыба»
Базовая форма «Двойной треугольник» (« Водяная бомбочка»)
Базовая форма «Двойной квадрат»
Базовая форма «Двойной дом»
Базовая форма «Блинчик»
Видео можно посмотреть на сайте http://planetaorigami.ru/bazovye-formy-origami/
Приложение 4
Основными задачами на построение в разделе геометрии «Начальные геометрические сведения», в которых можно применить оригами, являются:
1. Точка и прямая.
2. Пересекающиеся прямые. Смежные и вертикальные углы.
3. Построение перпендикуляра к прямой. Перпендикулярные прямые.
4. Построение прямой, параллельной данной. Параллельные прямые.
5. Деление отрезка пополам с помощью оригами.
6. Построение биссектрисы угла с помощью оригами.
«Геометрия треугольника» с помощью оригами:
1. Виды треугольников и их свойства.
2. Замечательные точки и линии в треугольнике. Построение медианы треугольника. Точка пересечения медиан треугольника.
3. Построение биссектрисы треугольника. Точка пересечения биссектрис треугольника.
4. Построение высоты треугольника и нахождение точки пересечения высот треугольника.
5. Признаки равенства треугольников.
6. Сумма углов треугольника. Доказательство с помощью оригами.
«Геометрия четырехугольника» с помощью оригами:
1. Прямоугольник и его свойства. Построение фигур из прямоугольника.
2. Квадрат и его свойства. Два положения квадрата. Используемая терминология. Построение фигур из квадрата.
3. Параллелограмм и его свойства. Построение фигур из параллелограмма.
4. Ромб и его свойства. Построение фигур из ромба.
5. Трапеция, ее свойства.
6. Произвольный четырехугольник.
Освоение приема «циркуля» с помощью оригами
1. Центр круга. Задания на нахождение центра круга с помощью оригами.
2. Пересечение окружности с прямой. Способ нахождение точек пересечения с помощью оригами.
Построение многоугольников с помощью оригами.
1. Из квадрата равнобедренный треугольник.
2. Равносторонний треугольник в квадрате.
3. Правильный треугольник в квадрате. Фигурка «Звезда Давида».
4. Из квадрата правильный пятиугольник. Фигурка «Додекаэдр».
5. Из квадрата правильный шестиугольник. Фигурка «Цветок».
6. Из квадрата правильный восьмиугольник. Фигурка «Кусудама Оксана».
Приложение 5
Решение.
a/2. Совместить две противоположные стороны квадрата, перегнуть лист. Получаем сгиб 1. От точки касания сгиба 1 и стороны до угла квадрата расстояние равно а/2 (рис. 1)
а/4.Повторить пункт 1, совместить сгиб 1 с параллельной ему стороной, перегнуть лист. Получаем сгиб 2. От угла и до сгиба 2 и от сгиба 2 до сгиба 1 расстояние равно а/4(рис. 2).
. Сложить лист по диагонали, перегнуть лист. Получаем сгиб 3. Расстояние от одной вершины до другой на сгибе 3 равно (рис. 3).
Повторить пункт 3, сложить лист по второй диагонали, перегнуть лист. Получаем сгиб 4. От точки пересечения сгибов 3 и 4 до любой из вершин квадрата расстояние равно (рис.4)
Разделить одну сторону пополам. Расстояние между точкой сгиба и любой из вершин другой параллельной стороны и будет искомым (гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами а и а/2) (рис. 5).
. Повторить пункт 5, затем перегнуть лист пополам, совмещая противоположные стороны, содержащие концы сгиба 5. Получаем сгиб 6 (рис. 6). От точки пересечения сгибов 5 и 6 до любой из вершин прямоугольника расстояние равно
Приложение 6
Доказательство (с применением техники оригами)
Наметим середину стороны квадрата.
Точка D должна лечь на намеченную линию. Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение.
Т очка А должна лечь на намеченную линию. Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение
ΔADN – прямоугольный, острый угол которого 30o.
С овместив точки A и D, получим точку Х, а потом отогнём в первоначальное положение.
ΔADX - равнобедренный и углы при основании равны 30o.
ےXDN=60o, ےXND=60o, значит ΔXDN равносторонний, т.е. DN = NX = AX = 1/2 AN.
Следовательно, катет DN лежит против угла 30o и равен 1/2 гипотенузы AN.
Задача 3. Доказать, что сумма углов треугольника равна 180°
(Доказательство с помощью техники оригами)
Решение:
Оригамское решение:
Возьмем лист бумаги, имеющий форму произвольного треугольника.
1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).
2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.
3) Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, величина которого равна 180◦, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.
2) Математическое обоснование:
АВ, СQ и DH – высоты по построению.
Е совмещается с точкой В => ΔECB равнобедренный и ے 3= ے CBE.
F совмещается с В=> ΔFDB равнобедренный и ے 2= ے DBF.
А совмещается с вершиной В , так как AD=DB, AC=CB (C u D – середины сторон по построению) => образуют развернутый угол =>ے 1+ ے 2 +ے 3= 180◦.
Q
H
D
Q
H
A,В
1
1
2
2
3
3
Задача 4.Доказать теорему: «Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны».
Д оказательство: Возьмём лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ.
Сравним накрест лежащие углы – углы 1 и 2.Согнём лист по секущей АВ.
Совместим вершины накрест лежащих углов - точки А и В.
Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, ے 1= ے2.
Значит накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.
Задача 5. Доказать, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
О ригамское решение:
1
2
2
1
1
2
4
3
М
ے 3+ ے4=90◦=> ے 1+ ے2=90◦ ч.т.д.
атематическое обоснование:
ے 1= ے3.
ے 4= ے2.
Часто в оригами возникает потребность разделить фигуру на более мелкие равные части. Легко сложить 2,4,8 и т.д. фигур. А вот деления на нечетное количество частей чаще производят после математических выкладок. В оригами очень большой популярностью пользуется так называемая теорема Хага.
Задача 6. Теорема Хага (Казуо Хага) [5]. Если совместить вершину квадрата с серединой противоположной стороны, то длины сторон получившихся прямоугольных треугольников соотносятся как 3:4:5 Точка Р обозначает одну треть длины стороны.
Д оказательство
Дано: АВСD–квадрат, ВМ=МС, пусть сторона квадрата равна а
Доказать: DMCQ ~ DРВМ ~ DРА¢Н ,а их стороны имеют соотношение 3:4:5
Доказательство:
1) :
CQ+QD=a
MQ+CQ=a, т.к. QD = MQ (по построению)
По теореме Пифагора МС2+ CQ2= MQ2 ; МС2+ CQ2=(a-CQ)2; (a/2)2+CQ2=(a-CQ)2
a2/4-a2+ =0 ,
Следовательно, , a , т.е. CQ: MC: MQ=3:4:5
2) Пусть CMQ=a, a ÐCQM=b, тогда ÐBMP=b (развернутый угол минус прямой ÐA¢МQ квадрата). ÐBPM= a, отсюда ÐA¢PH=a ( как вертикальный), => ÐA¢HP=b, т.о. DMCQ ~ DРВМ ~ DРА¢Н, ( на этом этапе можно было доказательство закончить, т.к. у подобных треугольников соотношение сторон одинаковое, но из практических целей найдем соотношение сторон со стороной квадрата), т.е.
, ,
т.е ВМ:РВ:РМ = а/2:2а/3:РМ = 3а/6:4а/6:5а/6.
3) Аналогично DРВМ ~ DРА¢Н и так как в DРВМ , то в DРА¢Н ( А¢Н:Р А¢:РН = а/8:а/6:5а/24 ).
Замечание: В ходе доказательства отметим тот факт, что
1) точка Q делит сторону CD в отношении 3:5,
2) точка Р делит сторону АВ в отношении 2:1,
3) точка Н делит сторону АВ в отношении 1:7. Данное свойство можно использовать для деления отрезка на равные части. Это еще один метод в руках школьника для поиска алгоритма решения задач на геометрические построения фигур.
Приложение 7
Р ешение: 1) Оригамское решение:
Совместим лучи ВА и ВС, построим биссектрису ВК
Совместим точки В и К, построим точку М
Согнем по линии МК.
2 ) Математическое обоснование:
BK биссектриса ΔАВС => ے1= ے2,
BM = MK (по условию) => ΔBMK равнобедренный => ے2 = ے3.
Следовательно,ے1=ے3, но ے1 и ے3 накрест лежащие при прямых AB и KM и секущей BK => AB // KM
Приложение 8
Р ешение:
1) Оригамское решение:
1- Найдем середину стороны.
2 - Совмещаем нижний правый угол с серединным перпендикуляром нижней стороны.
3- Намечаем линию сгиба.
4- На развернутом листе получили три равных угла.
2) Математическое обоснование:
П редположим, что нам необходимо вписать в квадрат равносторонний треугольник, причем так, чтобы одна из сторон совпадала со стороной квадрата. Вершина треугольника будет лежать на серединном перпендикуляре, т.к. высота и медиана совпадают. Загнув край на 2-ом этапе, мы получаем равенство сторон и, следовательно, местонахождение вершины, причем линия сгиба будет являться биссектрисой угла треугольника, ч. т. д.
Задача 9. Построение правильного треугольника с помощью оригами.
1 способ : 2 способ: