VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Магия чисел
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Если по какой-то причине вы все еще не влюблены в математику, то я знаю, что способно это мгновенно исправить.Можно научиться считать в уме быстрее, чем на калькуляторе! Причем доступно это каждому – даже тем, кто себя считает гуманитариями до мозга костей. Да-да, вы придете в восторг сами от себя, когда начнете молниеносно производить в уме многие вычисления. А еще – в восторг можно привести любую компанию, если продемонстрировать ей парочку математических фокусов.Все мы знаем фокусы с угадыванием задуманного числа, угадыванием возраста, видели в цирке и по телевидению фокусы с картами, носовыми платками и шнурками и т. д. Мы удивляемся фокусам, но оказывается все они объясняются математическими методами. Сейчас особенно актуально уметь быстро производить различные вычисления, запоминать большое количество информации. Этому способствуют фокусы с числами. Также математические фокусы производят впечатление и привлекают, создавая у человека интерес узнавать больше.
Цель работы: исследование математических фокусов.
Задачи:
Изучить литературу по данному вопросу и интернет ресурсы;
Выбрать и обобщить наиболее интересные, увлекательные математические фокусы с числами;
Показать выбранные математические фокусы в классе.
Объект исследования: математические фокусы, основанные на свойствах чисел.
Методы исследования
Изучение, анализ, практическое применение полученных знаний.
Практическая значимость: 1. Математические фокусы с числами помогают развивать память, сообразительность, способность мыслить логически.
2. В результате привлечения внимания обучающих к математике должна повысится их заинтересованность в данном предмете, что несомненно должно повысить успеваемость.
Глава 1. Математические фокусы и их виды.
Математические игры и фокусы появились вместе с возникновением математики, как науки. Первое упоминание о математических фокусах мы встречаем в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого, опубликованной в 1703 году. Одна глава книги содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи и особенно для изощрения ума учащихся”. Все мы знаем великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам.
Математические фокусы интересны именно тем, что каждый фокус основан на математических законах. Смысл их состоит в отгадывании чисел, задуманных зрителями, или в каких-нибудь операциях над ними. Главное — это то, что фокусник знает секрет: особые свойства чисел. Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами. И это не удивительно. “Гимнастика ума” полезна в любом возрасте. А фокусы тренируют память, обостряют сообразительность, вырабатывают настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и сопоставлять.
Математическиефокусы с картами.
Игральные карты обладают некоторыми свойствами, которые можно использовать при составлении математических фокусов: карты можно рассматривать, как отдельные предметы, которые можно пересчитать; картам можно приписывать числовые значения от 1 до 13; карты можно делить на четыре части; карты компактны и одинаковы по размеру, это позволяет раскладывать их различным образом. Карточные фокусы появились очень давно. Известны такие фокусы с картами: угадывание числа карт, снятых с колоды; фокус с четырьмя картами; фокус с задуманной картой; фокусы, основанные на различии мастей и т. д.
Фокусы с костями и домино.
Игральные кости также стары как и карты. Поскольку куб имеет шесть граней, то нанесение на них шести первых чисел напрашивается само собой, а расположение их с суммой – семеркой – представляется наиболее простым и симметричным. Именно «принцип семерки» лежит в основе большинства математических фокусов с игральными костями. Известны такие фокусы с костями: угадывание суммы; отгадывание выпавшего числа очков. Домино в математических фокусах встречается гораздо реже. Известны фокусы: цепочка с разрывом и ряд из 13 косточек.
Фокусы со спичками.
Существует много математических фокусов для которых очень удобны спички, хотя можно использовать и другие мелкие предметы. Известны такие фокусы со спичками: три кучки спичек; сколько спичек зажато в кулаке; кто что взял?
Глава 2. Математические фокусы с использованием чисел.
Для фокусов с числами не нужно никаких вспомогательных предметов. Данная категория фокусов наименее зрелищна, но именно они помогают учащимся в повседневной учебной деятельности. К таким фокусам относятся: фокусы, основанные на быстром счете; предсказание результатов действий; отгадывание чисел.
2.1. Быстрое извлечение кубического корня.
Суть фокуса. Кого-нибудь из присутствующих просят взять любое число от 1 до 100, возвести его в куб и сообщить вслух результат. После этого показывающий фокус мгновенно сообщает задуманное число.
Объяснение. Для того, чтобы показывать этот фокус необходимо выучить кубы чисел от 1 до 10.
13 = 1; 23 = 8; 33 = 27; 43 = 64; 53 = 125; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729; 103 = 1000.
Из таблицы видно, что последняя цифра куба числа совпадает с числом, возводимым в куб, за исключением 2, 3, 7 и 8. Редко, последняя цифра куба равна разности между 10 и числом, возводимым в куб.
Пример. Извлечем кубический корень из 262144.
Последняя цифра этого числа 4, значит последняя цифра искомого числа есть 4. Первую цифру числа находим следующим образом: зачеркнем последние три цифры, получим число 262, которое в таблице кубов находится между кубами 6 и 7. Значит первая цифра искомого числа есть 6. Таким образом искомое число 64.
2.2. Сложение чисел Фибоначчи.
Суть фокуса состоит в мгновенном сложении любых десяти последовательных чисел Фибоначчи. Показывающий просит кого-нибудь записать друг под другом два любых числа. Затем записывается ряд чисел Фибоначчи. Например,
3
4
7
11
18
29
37
66
103
169
-------
Во время записывания, показывающий фокус стоит спиной к зрителям. Когда все числа записаны, он поворачивается и записывает под чертой сумму этих чисел.
Чтобы получить эту сумму, ему просто нужно взять четвертое число снизу и умножить его на 11 (легко проделать в уме). В нашем случае это число 407.
2.3. Отгадывание возраста.
Суть фокуса состоит в угадывании возраста кого-либо. Его просят выполнить ряд действий, приводящих к числу, имеющему своим цифровым корнем число 9. Затем предлагают прибавить к полученному числу свой возраст и сообщить вам сумму. По этой сумме легко узнать возраст зрителя.
Сначала найдите цифровой корень суммы. Затем прибавляйте к нему девятки до тех пор, пока полученное число не покажется вам близким к возрасту зрителя. Это и будет искомым возрастом.
Например: я попросил записать зрителя какое-нибудь число и умножить его на 9, после чего у него получилось 1917. К этому числу он добавил свой возраст 49 (свой возраст) и сообщает сумму 1966. Цифровой корень этого числа 4. Начинаем добавлять девятки: 4, 13, 22, 31, 40, 49, …. Значит искомый возраст 49 лет (поскольку с точностью до 9 лет возраст определить не трудно).
2.4. Магия числа 1089
Следующий фокус существует уже не одно столетие.
Суть фокуса. Сделайте так, чтобы человек из аудитории достал ручку и бумагу:
1) и тайно записал трехзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (например, 851 или 973);
2) записал число в обратном порядке и вычел его из исходного числа;
3) к полученному ответу добавил его же, только в обратном порядке.
В конце последовательности магическим образом появится ответ 1089, какое бы число ни выбрал доброволец. Например:
851
– 158
693
+ 396
= 1089
Используя число 1089 из предыдущего примера, вручите добровольцу калькулятор и попросите умножить 1089 на любое трехзначное число, не называя его. (Предположим, он тайно умножил 1089 × 256 = 278 784) Теперь поинтересуйтесь, сколько цифр в полученном ответе. Ответ — 6.
Затем попросите: «Громко назовите пять из этих шести цифр в любом порядке. Я попытаюсь определить недостающую». Предположим, доброволец громко перечисляет: «Два…четыре… семь… восемь… восемь». Вы вежливо говорите ему, что он пропустил цифру 7. Секрет основан на том, что число кратно 9 тогда, и только тогда, когда сумма составляющих его цифр кратна 9. Так как 1 + 0 + 8 + 9 = 18 кратно 9, значит, число 1089 кратно 9. Поэтому 1089 при умножении на любое целое число даст кратное 9. И раз уж прозвучавшие цифры в сумме дают 29, и следующее кратное 9, большее 29, это 36, то наш доброволец пропустил число 7 (так как 29 + 7 = 36).
2.5. Фокус с умножением.
Следующий фокус: как умножать в уме любое двузначное число на 11. Это очень легко, если вы знаете секрет.
Представьте следующую задачу: 32 × 11
Для ее решения нужно просто сложить цифры 3 + 2 = 5, а затем поместить пятерку между двойкой и тройкой. Вот и наше решение: 352
Что может быть легче? Теперь попробуйте 53 × 11
Поскольку 5 + 3 = 8, ответ достаточно прост: 583
Еще пример. Не подглядывая и не записывая, скажите, чему равно: 81 × 11? У вас получилось 891? Но пока не слишком воодушевляйтесь: это лишь половина того, что необходимо знать. Допустим, задача такая: 85 × 11
Несмотря на то что 8 + 5 = 13, ответ НЕ 8135! Как и прежде цифра 3 ставится между цифрами 8 и 5, но 1 добавляется к цифре 8 для получения правильного ответа 935.
Вот еще пример. Попробуйте перемножить 57 × 11. Так как 5 + 7 = 12, ответ: 627
Можно ли использовать этот метод для умножения трехзначных (или более «значных») чисел на 11? Безусловно. Например, для задачи 314 × 11 ответ все еще будет начинаться с 3 и заканчиваться на 4. Так как 3 + 1 = 4 и 1 + 4 = 5, ответ будет равен 3454.
Заключение
В итоге хочется сказать, что если бы нам преподавали математику как магию чисел, то, бесспорно, число ее поклонников было бы куда больше! А ведь это не только лучшая тренировка для мозга, но еще и полезные, нужные нам каждый день навыки быстрого счета. К счастью, любви все возрасты покорны. И, пожалуй, никому из нас еще не поздно закрутить с математикой увлекательнейший роман. Магия нам в помощь!
Литература
1. М.Б. Бланк, Г.Д.Бланк « Математика после уроков», 1971
2. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1970
3. М.Гарднер «Математические головоломки и развлечения» «Мир», 1999
4. А. Бенджамин, М. Шермер «Магия чисел» «Манн, Иванов, Фербер», 2014
12. Я.И.Перельман «Фокусы и развлечения» Римис, 2008