VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Нетрадиционные способы решения тригонометрических неравенств

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Захаров Е.А. 1

---

1МБОУ "Лицей №9 им. К. Э. Циолковского" г. Калуга

Рылова И.Г. 1

---

1МБОУ "Лицей №9 им. К. Э. Циолковского" г. Калуга

Работа в формате PDF

617.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях обучения. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических - бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является наличие не единственного способа формы записи ответа.

Цель исследований: изучить различные способы решения тригонометрических уравнений и неравенств и отобрать самые рациональные из них для практического применения.

Задачи исследования:

Изучить найденную литературу по данному вопросу.

Рассмотреть особенности каждого найденного способа.

Определить закономерности в решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Выяснить, какой из рассмотренных способов решения тригонометрических уравнений и неравенств является универсальным, и какой является рациональным.

Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов.

Распространить опыт решения тригонометрических уравнений и неравенств среди учащихся 8-11 классов.

Гипотеза: при изучении различных способов решения тригонометрических уравнений и неравенств смогу ли я найти такие, которые помогут не прибегать к традиционному решению по формулам, а найти корни рациональнее и быстрее.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Элементарные тригонометрические уравнения - это уравнения вида  , где  - одна из тригонометрических функций:  ,  ,  .

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению   удовлетворяют следующие значения:  ,  ,  ,  и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения  , где  , такова:

Здесь   может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения)  называют параметром. Записывают обычно  , подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.

Решения уравнения  , где  , находятся по формуле

Особо отметим некоторые частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема. Если   - основной период функции  , то число   является основным периодом функции  .

Периоды функций   и   называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа   и , что  .

Теорема. Если периодические функции   и  , имеют соизмеримые  и  , то они имеют общий период  , который является периодом функций  ,  , .

В теореме говорится о том, что   является периодом функции  ,  ,, и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций   и   - , а основной период их произведения  .

НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Графический метод решения тригонометрических неравенств

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения неравенств. Рассмотрим сущность метода на конкретных примере.

Пример. Решить неравенство: .

Решение: При решении неравенств графическим методом необходимо как можно более точно построить графики функций. Преобразуем данное неравенство к виду: .

Построим в одной системе координат графики функций и y=3x-1.(рис. 1)

рис. 1

Графики функций пересекаются в точке A с координатами x  0,6 ; y  0,8 . На промежутке ; 0,6 точки графика ниже точек графика . А при x  0,6 значения функций совпадают. Поэтому при x  0,6.

Ответ: x ; 0,6.

II. Метод подстановки

Довольно часто исходное тригонометрическое неравенство путем удачно выбранной подстановки удается свести к алгебраическому (рациональному или иррациональному) неравенству. Рассмотрим на конкретных примере применение этого метода.

Пример. Решить неравенство: .

Решение: Так как , то это неравенство эквивалентно следующему:

Произведем замену переменной: .

Получим:   .

Решим это неравенство методом интервалов.(рис. 2)

рис. 2

Получим:

Следовательно, для отыскания x получаем совокупность неравенств:

Решим графически(рис. 3)

рис. 3

Ответ:

III. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств

Данный метод является аналогом метода параллельных числовых осей при решении систем рациональных неравенств.

Пример. Решить систему тригонометрических неравенств:

Решение: Сначала решим каждое неравенство отдельно(рис. 4)

рис. 4

Далее строим систему концентрических окружностей для аргумента x. Рисуем окружность и заштриховываем ее согласно решению первого неравенства, затем рисуем окружность большего радиуса и заштриховываем ее согласно решению второго, далее строим окружность для третьего неравенства и базовую окружность. Из центра системы через концы дуг проводим лучи так, чтобы они пересекали все окружности. На базовой окружности формируем решение(рис. 5)

рис.5

Ответ:

IV. Метод секторов для решения тригонометрических неравенств

Рассмотрим метод секторов для решения тригонометрических неравенств. Решение неравенств вида , где и – рациональные тригонометрические функции (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы входят в них рационально), аналогично решению рациональных неравенств. Рациональные неравенства удобно решать методом интервалов на числовой оси. Его аналогом при решении рациональных тригонометрических неравенств является метод секторов в тригонометрическом круге, для sin x и cos x ( T  2 ) или тригонометрическом полукруге для tg x и ctg x ( T  ).

1.Неравенства вида .

В методе интервалов каждому линейному множителю числителя и знаменателя вида на числовой оси соответствует точка , и при переходе через эту точку меняет знак. В методе секторов каждому множителю вида , где – одна из функций или и , в тригонометрическом круге соответствуют два угла и , которые делят круг на два сектора. При переходе через и функция меняет знак.

Необходимо помнить следующее:

а) Множители вида и , где , сохраняют знак для всех значений Такие множители числителя и знаменателя отбрасывают, изменяя (если a 1) при каждом таком отбрасывании знак неравенства на противоположный.

б) Множители вида и также отбрасываются. При этом, если это множители знаменателя, то в эквивалентную систему неравенств добавляются неравенства вида и . Если это множители числителя, то в эквивалентной системе ограничений им соответствуют неравенства и в случае строгого исходного неравенства, и равенства и в случае нестрогого исходного неравенства. При отбрасывании множителя или знак неравенства изменяется на противоположный.

Пример. Решить неравенства: a) ; б) .

Решение: В тригонометрическом круге уравнению соответствуют два угла и . Они делят круг на два сектора, в каждом из которых функция сохраняет знак. (рис. 6)

рис. 6

В секторе имеем . В секторе , очевидно, . Период функции .

Ответ: а) ; б) .

2. Неравенства вида .

Каждому множителю вида , где одна из функций tg x или ctg x , в тригонометрическом полукруге (или ) соответствует один угол такой, что . При переходе через функция (f(x)-a) меняет знак. Кроме того, ctg x не определен при , и слева, и справа от этих точек имеет разные знаки. Аналогично, ctg x не определен при x  0 и x  , и слева, и справа от этих точек имеет разные знаки.

Пример. Решить неравенства а) ; б) .

Решение: В тригонометрическом полукруге уравнению соответствует один угол . При функция не определена. Указанные три угла делят полукруг на два сектора, в каждом из которых функция сохраняет знак.(рис. 7)

рис.7

В секторе имеем .

В секторе , очевидно, .

Функция y = tg x имеет период T  .

Ответ: а) ; б) .

V. Метод интервалов на тригонометрической окружности

Рассмотрим денный способ на конкретном примере:

Решить неравенство .

Решение. Приведем неравенство к виду . Далее будем работать с уравнением

Решим данные уравнения:

Будем отмечать на тригонометрическом круге корни первого уравнения (∆), а корни второго (*). Получим:(рис. 8)

рис. 8

Теперь на круге видно несколько промежутков. Подставим в исходное уравнение корни из этих промежутков и узнаем какой знак имеет каждый из них. Получим решение уравнения.

Ответ:

Результаты и обсуждение

Для того что бы сравнить пригодность и выявить плюсы и минусы различных методов решения тригонометрических неравенств, я решил одно тригонометрическое неравенство всеми доступными для него способами. Это неравенство: .

1 способ (Графический метод)

Представим данное неравенство в виде двух функций: , и начертим их графики (рис. 9).

Рис. 9

Как видно из рисунка, графики пересекаются в точках и . Период функции равен , следовательно при

Ответ:

2 способ (Метод секторов)

Определим точки в которых функция равна . Это точки и . Отметим их на тригонометрической окружности (рис. 10):

Рис. 10

Далее проверим в каких секторах неравенство больше , а в каких меньше. В ответ запишем, те корни, когда .

Ответ:

3 способ (Метод интервалов)

Отметим на тригонометрической окружности корни уравнения (рис. 11):

Рис. 11

Далее проверим в каких интервалах неравенство больше , а в каких меньше. В ответ запишем, те корни, когда .

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таблица 1

В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме (Таблица 1), изучить различные способы решения тригонометрических уравнений и неравенств, научиться тригонометрические уравнения и неравенства уравнения 5 способами, помимо тех, которые изучаются в школе. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них по-своему интересен. С моей точки зрения, наиболее рациональным для использования будет метод интервалов на тригонометрической окружности.

Я провел исследование на тему моей работы. Сначала я предложил своим одноклассникам решить различные тригонометрические уравнения, которые решаются разными способами. Вот результаты которые они показали(Диаграмма 1):

Диаграмма 1

После того, как я объяснил одноклассникам различные способы решения тригонометрических неравенств, то они снова написали эту же работу. Результаты повторной работы представлены в диаграмме 2:

Диаграмма 2

Подводя итоги, можно сделать вывод: так как тригонометрические уравнения и неравенства играют огромную роль в математике, найденные и освоенные новые знания могут пригодиться не только в школе и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни. Также, можно понять, что в современных учебниках по алгебре мало внимания уделяется различным способам решения тригонометрических уравнений и неравенств, что не является положительным моментом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для учащихся 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. – М.: Просвещение, 1994.

2. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства / М.И. Башмаков – М.: Наука, 1976.

3. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Беллман – М.: Мир, 1965.

4. Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства / А.Ш. Блох, Т.Л. Трухан – Минск: Народная Асвета, 1972.

5. Ваховский Е.Б., Рывкин А.А. Задачи по элементарной математике / Е.Б. Ваховский Е.Б., А.А. Рывкин – М.: Наука, 1971.

6. Виленкин Н.Я., Гутер Р.С., Шварцбурд С.И., Овчинский Б.В., Ашкинузе В.Г. Алгебра. Учебное пособие для 9-10 классов средних школ с математической специализацией. / Н.Я. Виленкин, Р.С. Гутер, С.И. Шварцбурд и др. – М.: Просвещение, 1968.

7. Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Гусева О.В. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств // Математика в школе. – 1999. – №4. – С.73-74.