VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математическая гармония в музыке
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Музыка издревле была тем, в чем люди видели красоту и гармонию. В Греции существовали особые храмы, куда приходили люди, страдающие от болезней. Главным орудием исцеления в этих храмах была музыка: приводя в гармонию тело и дух человека, она заставляла недуги отступить.
Музыкальное благозвучие появляется, как и математика, благодаря системе, по которой она выстроена. Одним из самых выдающихся мыслителей Греции, чье учение не утратило актуальности и до сей поры, был Пифагор. Этот философ, живший в VI в. до н.э., известен нам как великий посвященный, выдающийся философ, основоположник математики, музыкальных законов, геометрии. Он первым из ученых установил соотношение между музыкальными интервалами.
Гипотеза: существует раздел математики, который позволяет язык нот переложить на язык математики.
Цель: использовать понятие логарифмов для записи музыкальных произведений в виде логарифмических рядов.
Задачи исследования:
-изучить логарифмы;
-найти соответствие в музыкальных и математических законах;
-ограничить ряд логарифмических выражений для записи музыкальных нот;
-записать гимн лицея на языке логарифмов.
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Логарифм положительного числа по основанию (обозначается ) — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
Десятичным логарифмом числа называется его логарифм по основанию 10.
Определение. Для любого положительного числа целая часть десятичного логарифма называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой этого логарифма.
Характеристику логарифма любого положительного числа можно найти точно, и делается это с помощью простого правила. Действительно, пусть дано число, тогда можно указать такие две степени числа 10 с последовательными целыми показателями, между которыми находится данное число:
Прологарифмируем эти неравенства по основанию 10:
Например, для N = 378,6 (трехзначная целая часть)
Логарифмируя неравенства, получаем
и видим, что характеристика логарифма 378,6 равна 2.
Итак, характеристика десятичного логарифма числа, большего единицы, на единицу меньше количества цифр его целой части,
Вычисление логарифма именуют логарифмированием. Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.
Логарифмы в музыке
В своей статье А. Эйхенвальд писал: "Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. "Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой".
Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что,, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах... И действительно, так называемые "ступени" темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.
Положим, что нота «до» самой низкой октавы - будем ее называть нулевой октавой - определена n колебаниями в секунду. Тогда «до» первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы n × 2m колебаний и т. д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон «до» каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон «соль» будет 7-й, «ля» будет 9-й и т. д.; 12-й тон будет опять «до», только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в 12√2 большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой
Npm=n*2m(12√2)p
Логарифмируя эту формулу, получаем:
lоg2Npm = lоg2 n + m lоg2 2 + p lоg2 2/12
или
lоg2Npm = lоg2n + (m + p/12)lоg2 2,
а принимая число колебаний самого низкого «до» за единицу (n = 1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lоg2 2 = 1), имеем:
lоg2Npm = m + p/12.
Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков*. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве** - мантиссу этого логарифма".
* Умноженные на 12.
** Деленный на 12.
\
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ:
Возьмем для примера частоту звучания «до» малой октавы за n. А теперь рассчитаем по формуле частоту звучания «ля» 1 октавы:
lоg2 Npm = lоg2 130.82 + (1 + 9/12)lоg2 2,
Npm = 440
Результат, полученный с помощью формулы сходится с результатом в таблице частот звучания нот. (Рис.1)
Рис.1
Из этого следует, что можно провести обратную операцию по расшифровке позиции ноты из двоичного логарифма ее частоты.
Возьмем, например, «ре-диез» второй октавы.
N = 130,82, а Npm = 622,26.
lоg2 622,26 = lоg2 130,82 + (m + p/12)lоg2 2,
m + p/12 = 2 3/12,
где характеристика логарифма – октава, а мантисса, умноженная на двенадцать – тон.
Но следует ли из этого, что можно из любого логарифма вычислить позицию ноты?
Нет. Логарифм числа должен бытьположительным.
Если искомое число меньше или равно единице, то логарифм получится отрицательным:
Log2 (a/b) = log2 a – log2 b
Пример:
Log2 2/3 = -0,58
Log2 2/3 = log2 2 – log2 3 = 1 – 1,58 = -0,58
Log2 3/2 = 0,58
Log2 3/2 = log2 3 – log2 2= 1,58 – 1= 0,58
Log2 1 = 0
Используем эти навыки, чтобы преобразовать гимн моего лицея в логарифмы:
А что если изобразить музыку планет подобным образом? Тогда, используя формулу lоg2Npm = lоg2n + (m + p/12)lоg2 2, можем преобразовать характеристики планет в музыкальные обозначеня.
Возьмем за nрасстояние от Солнца до Земли, а Npm расстояние от Земли до других планет (все числа сокращены а 106 и округлены до целых).
Меркурий
lоg292 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2 – меньше 0
Венера
lоg242 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2 – меньше 0
Марс
lоg278 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2 – меньше 0
Юпитер
lоg2629 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2 – меньше 0
Сатурн
lоg21280 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2
12m + p= 37,117
m=3 p=0
Уран
lоg22727 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2
12m + p= 50,2
m=4 p=2
Нептун
lоg24357= lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2
12m + p = 58,3
m=4 p=10
Отсчитывая от большой октавы, можно воспроизвести звучание Сатурна, Урана и Нептуна как ноты «до», «ми» и «ля». (См. Приложение №1)
Дроби и музыка Пифагорейцы, много занимавшихся музыкой и обожествлявшие число, считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет никаких оснований, чтобы она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Солнце же, Луна и 5 планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает прекрасная музыка – музыка сфер. Обнаружилось, что одновременное звучание двух струн приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, поэтому учение о дробях использовалось в греческой теории музыки, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «число правит миром»…
октава 2/1
квинта 3/2
кварта 4/3
б.терция 5/4
м.терция 6/5
б.кв.терция 7/6
м.кв.терция 8/7
ц.тон 9/8
м.тон 10/9
полутон 16/15
тритон 10/7
м.секста 8/5
б.секста 5/3
ув.б.секста 12/7
ум.м.секста 7/4
м.септима 16/9
б.септима 15/8
ув.б.септима 19/10
В ходе исследований былообнаружено, что ближе всего к дробям музыкальных интервалов оказались
соотношения диаметров планет:
(5:6 большая терция)
(2:1 октава)
(7:6 большая квартовая терция);
соотношения расстояний между планетами:
(3/2 квинта)
(15/8 большая септима);
(16/9 малая септима);
соотношения средних плотностей планет:
(10/7 тритон);
(8/7 малая квартовая терция).
ВЫВОДЫ
Все задачи исследования были выполнены, а гипотеза была подтверждена. Нахождение взаимосвязей между разными науками помогает нам приблизиться к новым открытиям и совершенствованиям жизни. Так мы можем увидеть удивительные связи между такими науками как музыка и математика, которые были выявлены нами в работе. Не даром Готфрид Вильгельм Лейбниц говорил: «Музыка есть бессознательное упражнение души в арифметике».
БИБЛИОГРАФИЯ:
1.Перельман Я.И. 'Занимательная алгебра' - Москва: Наука, 1967
2.Логарифмы. –Режим доступа:http://edu.glavsprav.ru/info/logarifmy Дата обращения: 25.10.19