Математическая гармония в музыке

VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Математическая гармония в музыке

Дуборова В.К. 1
1МБОУ "Лицей №9 им. К.Э.Циолковского"
Рылова И.Г. 1
1МБОУ "Лицей №9 им. К.Э.Циолковского"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Музыка издревле была тем, в чем люди видели красоту и гармонию. В Греции существовали особые храмы, куда приходили люди, страдающие от болезней. Главным орудием исцеления в этих храмах была музыка: приводя в гармонию тело и дух человека, она заставляла недуги отступить.

Музыкальное благозвучие появляется, как и математика, благодаря системе, по которой она выстроена. Одним из самых выдающихся мыслителей Греции, чье учение не утратило актуальности и до сей поры, был Пифагор. Этот философ, живший в VI в. до н.э., известен нам как великий посвященный, выдающийся философ, основоположник математики, музыкальных законов, геометрии. Он первым из ученых установил соотношение между музыкальными интервалами.

Гипотеза: существует раздел математики, который позволяет язык нот переложить на язык математики.

Цель: использовать понятие логарифмов для записи музыкальных произведений в виде логарифмических рядов.

Задачи исследования:

-изучить логарифмы;

-найти соответствие в музыкальных и математических законах;

-ограничить ряд логарифмических выражений для записи музыкальных нот;

-записать гимн лицея на языке логарифмов.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Логарифм
 положительного числа   по основанию   (обозначается  ) — это показатель степени, в которую надо возвести  , чтобы получить  . 

Десятичным логарифмом числа называется его логарифм по основанию 10.

Определение. Для любого положительного числа целая часть десятичного логарифма называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой этого логарифма.

Характеристику логарифма любого положительного числа можно найти точно, и делается это с помощью простого правила. Действительно, пусть дано число,  тогда можно указать такие две степени числа 10 с последовательными целыми показателями,  между которыми находится данное число: 

Прологарифмируем эти неравенства по основанию 10:

Например, для N = 378,6 (трехзначная целая часть)

Логарифмируя неравенства, получаем

и видим, что характеристика   логарифма 378,6 равна 2.

Итак, характеристика десятичного логарифма числа, большего единицы, на единицу меньше количества цифр его целой части,

Вычисление логарифма именуют логарифмированием. Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.

Логарифмы в музыке

В своей статье А. Эйхенвальд писал: "Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. "Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой".

Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что,, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах... И действительно, так называемые "ступени" темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.

Положим, что нота «до» самой низкой октавы - будем ее называть нулевой октавой - определена n колебаниями в секунду. Тогда «до» первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы n × 2m колебаний и т. д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон «до» каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон «соль» будет 7-й, «ля» будет 9-й и т. д.; 12-й тон будет опять «до», только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в 12√2 большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой

Npm=n*2m(12√2)p

Логарифмируя эту формулу, получаем:

lоg2Npm = lоg2 n + m lоg2 2 + p lоg2 2/12

или

lоg2Npm = lоg2n + (m + p/12)lоg2 2,

а принимая число колебаний самого низкого «до» за единицу (n = 1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lоg2 2 = 1), имеем:

lоg2Npm = m + p/12.

Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков*. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве** - мантиссу этого логарифма".

* Умноженные на 12.

** Деленный на 12.

\

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ:

Возьмем для примера частоту звучания «до» малой октавы за n. А теперь рассчитаем по формуле частоту звучания «ля» 1 октавы:

lоg2 Npm = lоg2 130.82 + (1 + 9/12)lоg2 2,

Npm = 440

Результат, полученный с помощью формулы сходится с результатом в таблице частот звучания нот. (Рис.1)

Рис.1

Из этого следует, что можно провести обратную операцию по расшифровке позиции ноты из двоичного логарифма ее частоты.

Возьмем, например, «ре-диез» второй октавы.

N = 130,82, а Npm = 622,26.

lоg2 622,26 = lоg2 130,82 + (m + p/12)lоg2 2,

m + p/12 = 2 3/12,

где характеристика логарифма – октава, а мантисса, умноженная на двенадцать – тон.

Но следует ли из этого, что можно из любого логарифма вычислить позицию ноты?

Нет. Логарифм числа должен бытьположительным.

Если искомое число меньше или равно единице, то логарифм получится отрицательным:

Log2 (a/b) = log2 a – log2 b

Пример:

Log2 2/3 = -0,58

Log2 2/3 = log2 2 – log2 3 = 1 – 1,58 = -0,58

Log2 3/2 = 0,58

Log2 3/2 = log2 3 – log2 2= 1,58 – 1= 0,58

Log2 1 = 0

Используем эти навыки, чтобы преобразовать гимн моего лицея в логарифмы:

А что если изобразить музыку планет подобным образом? Тогда, используя формулу lоg2Npm = lоg2n + (m + p/12)lоg2 2, можем преобразовать характеристики планет в музыкальные обозначеня.

Возьмем за nрасстояние от Солнца до Земли, а Npm расстояние от Земли до других планет (все числа сокращены а 106 и округлены до целых).

Меркурий

lоg292 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2 – меньше 0

Венера

lоg242 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2 – меньше 0

Марс

lоg278 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2 – меньше 0

Юпитер

lоg2629 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2 – меньше 0

Сатурн

lоg21280 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2

12m + p= 37,117

m=3 p=0

Уран

lоg22727 = lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2

12m + p= 50,2

m=4 p=2

Нептун

lоg24357= lоg2150 + (m + p/12)lоg2 2

12m + p = 58,3

m=4 p=10

Отсчитывая от большой октавы, можно воспроизвести звучание Сатурна, Урана и Нептуна как ноты «до», «ми» и «ля». (См. Приложение №1)

Дроби и музыка Пифагорейцы, много занимавшихся музыкой и обожествлявшие число, считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет никаких оснований, чтобы она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Солнце же, Луна и 5 планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает прекрасная музыка – музыка сфер. Обнаружилось, что одновременное звучание двух струн приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, поэтому учение о дробях использовалось в греческой теории музыки, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «число правит миром»…

октава 2/1

квинта 3/2

кварта 4/3

б.терция 5/4

м.терция 6/5

б.кв.терция 7/6

м.кв.терция 8/7

ц.тон 9/8

м.тон 10/9

полутон 16/15

тритон 10/7

м.секста 8/5

б.секста 5/3

ув.б.секста 12/7

ум.м.секста 7/4

м.септима 16/9

б.септима 15/8

ув.б.септима 19/10

В ходе исследований былообнаружено, что ближе всего к дробям музыкальных интервалов оказались

соотношения диаметров планет:

(5:6 большая терция)

(2:1 октава)

(7:6 большая квартовая терция);

соотношения расстояний между планетами:

(3/2 квинта)

(15/8 большая септима);
(16/9 малая септима);

соотношения средних плотностей планет:

(10/7 тритон);
(8/7 малая квартовая терция).

ВЫВОДЫ

Все задачи исследования были выполнены, а гипотеза была подтверждена. Нахождение взаимосвязей между разными науками помогает нам приблизиться к новым открытиям и совершенствованиям жизни. Так мы можем увидеть удивительные связи между такими науками как музыка и математика, которые были выявлены нами в работе. Не даром Готфрид Вильгельм Лейбниц говорил: «Музыка есть бессознательное упражнение души в арифметике».

БИБЛИОГРАФИЯ:

1.Перельман Я.И. 'Занимательная алгебра' - Москва: Наука, 1967

2.Логарифмы. –Режим доступа:http://edu.glavsprav.ru/info/logarifmy Дата обращения: 25.10.19

Просмотров работы: 32