VIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задачи с "изюминкой" или работа над ошибками
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Ошибки делать легко, труднее на них учиться.
Математика на протяжении всей истории человечества была и остается составной частью человеческой культуры, ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса. Математическое образование является неотъемлемой частью гуманитарного образования в широком понимании этого слова, существенным элементом формирования личности.
На понятийном уровне математическая культура личности означает единство математических знаний, убеждений, навыков и норм деятельности поведения. Все эти составляющие в духовной структуре личности выражают меру освоения культуры общества.
Главное значение математики в том, что она представляет собой одну из важнейших составляющих духовной культуры. Математика – это также и феномен мировой культуры. Уровень математической культуры общества отражает и уровень его культуры в целом.
Поэтому, если человек соображает в математике, то он, скорее всего, будет грамотным и в общем понимании этого слова. В последнее время грамотность подрастающего поколения оставляет желать лучшего, и не секрет, что в советское время люди были более грамотными, так как много читали, занимались самостоятельно, ходили в библиотеки. Но в наш информационный век у молодежи больше возможностей для развития, и современное поколение лучше разбирается в компьютерных технологиях. Однако не сам компьютер правильно решает задачи. Умный тот, кто работает за ним, и кто умеет думать, анализировать, сравнивать, критически мыслить.
Актуальность работы обусловлена тем, что умение критически мыслить позволяет человеку правильно решать проблему и добиваться нужных результатов, не делая при этом ошибок. Математическая культура в полной мере формируется у человека, который умеет видеть красоту математики, правильно применять школьный математический язык, обосновывать свои суждения и действия, понимать математический материал, работать с различными источниками информации, владеть рациональными приемами вычислений и способами решения задач. В данной работе мы попытались отразить свой уровень понимания и формирования математической культуры.
Цель исследования: по учебникам, используемым при изучении дисциплины «Математика», найти математические задачи, в которых есть недочеты в условиях и предоставленных ответах, исправить допущенные неточности, привести примеры с ошибками из окружающей действительности.
Объект исследования: математические задачи.
Предмет исследования: неточности в условиях задач и ответах.
В соответствии с целью были определены задачи и план исследования:
1. Систематизировать информацию по теме исследовательской работы путем изучения дополнительной литературы, в том числе Интернет-ресурсов.
2. Собрать банк математических задач с ошибками.
3. Собрать примеры ошибок из жизни.
4. Оформить презентацию с результатами работы.
Научная новизна исследования: собрана и систематизирована информация о задачах с неточностями из некоторых пособий, используемых в учебных заведениях среднего профессионального образования; отражена информация из сети Интернет и собственных наблюдений с примерами «ляпов» в окружающей действительности.
Практическая значимость работы: предложенные в данной работе математические задачи и результаты исследований могут быть использованы преподавателями и обучающимися других учебных заведений в своей работе на занятиях, во внеаудиторных мероприятиях, на классных часах. Это поможет преподавателям заинтересовать обучающихся своей дисциплиной, а обучающиеся приобретут ценный опыт критического мышления. Список этих задач может быть дополнен новыми примерами.
Математическая культура и критическая оценка результата
Не знаешь, что делать, – ошибайся.
Математика есть часть общего образования. Сейчас ни одна область человеческой деятельности не может обходиться без математики – как без конкретных математических знаний, так и интеллектуальных качеств, развивающихся в ходе овладения этой учебной дисциплиной. Огромно значение математического образования в воспитании всесторонне развитой личности, ведь оно способствует: овладению конкретными знаниями, необходимыми для ориентации в современном мире; приобретению навыков логического и алгоритмического мышления; развитию воображения и интуиции; формированию мировоззрения; формированию нравственных черт; воспитанию способности к эстетическому восприятию мира; обогащению запаса историко-научных знаний.
Культурное значение математики не исчерпывается только ее влиянием на гуманитарную сферу и важностью для естественных наук. Математическая культура сама по себе – неотъемлемая часть общей культуры. С одной стороны, математика дисциплинирует ум, приучает к систематическому мышлению, с другой – развивает воображение, интуицию, сообразительность. Известны слова немецкого математика Д. Гильберта (1862-1943) о человеке, который был сначала математиком, а потом стал поэтом: «Чтобы заниматься математикой, у него было слишком мало воображения». Наконец, она развивает эстетическое чувство: все, что человек воспринимает как прекрасное, в высокой степени упорядочено, а занятия математикой приучают ценить это качество и наслаждаться им.
При решении того или иного задания нередки ситуации, когда обучающийся допускает ошибку в вычислениях и получает абсурдный с точки зрения здравого смысла ответ. Ошибку можно было исправить, если бы он задумался над полученным результатом, оценил его критически. И тогда не было бы ответов типа «скорость пешехода равна 230 км/ч», «высота дома равна 40,5 км», «масса папы 8,076 кг», «скорость течения реки равна -4 км/ч». В советское время об этом даже сняли мультфильм «В стране невыученных уроков», в котором ученик-двоечник получил ответ «работу должны были выполнить полтора землекопа».
В наш век компьютеров и калькуляторов основная роль математики состоит не в обучении решению примеров на вычисления, а в том, чтобы способствовать развитию мышления обучающихся. При решении задач обучающиеся должны анализировать данную ситуацию, сопоставлять данные и искомые величины, конструировать математические модели, синтезировать, отбирая для решения задачи полезную информацию, объективно оценивать полученные при решении задачи результаты.
Задачи «с изюминкой»
На своих ошибках учатся, на чужих - делают карьеру. Михаил Жванецкий
Делать собственные ошибки – дело нехитрое. Гораздо труднее – их обнаружить. Поэтому отыскание ошибок дорогого стоит, и тем ценнее нахождение причин, по которым не сходится ответ с предложенным в учебнике.
Какие задачи с неточностями были обнаружены нами из учебников?
1 . Найдите объем детали, изображенной на рисунке (размеры даны в мм). Проведите вычисления с точностью до 0,01 дм3.
В учебнике приведен ответ: 5,4 дм3. Хотя видно, что объем детали без отверстия V=2∙0,7∙3=4,2(дм3), а объем детали с отверстием будет еще меньше. Причем, в ответе дается число, округленное до десятых, а не до сотых, как сказано в условии задачи.
2. Требуется изготовить бак, имеющий форму куба и вмещающий 125000 литров воды. Сколько квадратных метров оцинкованного железа пойдет на изготовление бака, если производственные отходы составляют 10%? Проведите вычисления с точностью до 0,1 м2.
Правильный ответ: 137,5 м2 при условии, что бак без крышки и 165 м2, если учитывать крышку. В учебнике приведен ответ: 1,4 м2. Тот, кто умеет критически мыслить, сразу сопоставит объем 125000 литров и 1,4 м2 и увидит явную ошибку. Ответ совпадет, если условие задачи исправить: 125 литров или 125000 миллилитров. Тогда 1,4 м2 нужно на бак без крышки, а на бак с крышкой необходимо 1,65 м2.
3. Цилиндрическая цистерна, внутренний радиус которой 18 м, имеет высоту 10,5 м. Какое количество нефти вмещает цистерна, если плотность нефти 850 кг/м3? Вычисление произвести с точностью до 1 т.
В учебнике приведен ответ: 2271 т. Однако при решении задачи после округления получается 2270 т., причем если считать, что не радиус равен 18 м, а диаметр, т.е. радиус равен 9 м.
4. Цилиндрический паровой котел имеет длину 3,8 м, диаметр 0,7 м. Найдите силу давления пара на полную поверхность котла, если на 1 см2 пар давит с силой 100 Н.
В учебнике приведен ответ: 19,782 МН. Это число будет правильным, если не диаметр котла равен 0,7 м, а радиус.
5. Коническая крыша силосной башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размеры листа 0,7м*1,4м, а на швы и обрезки тратится 10% от общей площади крыши?
Ответ в учебнике: 40 листов. На самом деле после округления 39 листов.
6. Коническая крыша силосной башни имеет диаметр 6 м и высоту 3 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размеры листа 0,7м*1,4м, а на швы и обрезки тратится 10% от общей площади крыши?
Ответ в учебнике 86 листов. Решая эту задачу аналогично предыдущей, учитывая, что высота 3 м, после округления получаем ответ 45 листов.
7. Куча щебня имеет форму конуса, образующая которого равна 5 м, а радиус основания 4 м. Сколько рейсов должен совершить 3-тонный грузовик, чтобы перевезти кучу щебня? Плотность щебня 2200 кг/м3.
В учебнике приведен ответ: 37 рейсов. Ответ совпадает с ответом в учебнике. Эту задачу привели для того, чтобы сравнить ее со следующей.
8. Куча песка имеет форму конуса, образующая которого равна 7,1 м, длина окружности основания кучи 31,4 м. За сколько рейсов 5-тонный самосвал перевезет кучу песка, если плотность песка 1000 кг/м3?
В учебнике приведен ответ: 52. Решая эту задачу аналогично предыдущей, выразив радиус R из формулы длины окружности С=2πR, получаем ответ 27 рейсов.
9. Радиус основания конуса 6 см, его высота 12 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси конуса на расстоянии 2 см от нее.
В разных учебниках одного и того же автора приводятся ответы: 25π и 32√2 см2. Хотя первый ответ будет правильным в том случае, если сечение проведено параллельно основанию конуса, а не оси конуса. А если сечение конуса параллельно оси конуса, то оно будет ограничено гиперболой и его площадь вычислить достаточно сложно. Второй ответ получится лишь в том случае, если представить это сечение в виде равнобедренного треугольника, подобного осевому сечению.
10. Сосуд имеет форму усеченного конуса. Высота сосуда 54 см, а длины окружностей оснований 1,32 см и 1,92 см. Найдите вместимость сосуда в литрах (вычислите с точностью до 1 л).
В учебнике приведен ответ: 114 л. Тот, кто умеет критически мыслить, сразу сопоставит высоту 54 см, длины окружностей оснований 1,32 см и 1,92 см и увидит явную ошибку, что длины окружностей оснований скорее всего 1,32 м и 1,92 м. Именно тогда ответ совпадет с предложенным в учебнике.
11. Требуется покрасить наружную поверхность 200 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрами 26 и 16 см и образующей 28 см. Сколько потребуется краски, если на 1 м2 расходуется 200 г? Проведите вычисления с точностью до 100 г.
В учебнике приведен ответ: 5 кг. Хотя при решении получается 8,2 кг, тем более, что в условии задачи сказано о вычислении с точностью до 100 г.
12. Бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 35 см. Найдите относительную погрешность, которая получится, если объем бревна считать равным произведению площади среднего поперечного сечения бревна на его длину.
В учебнике приведен ответ: 2 %. Хотя правильный ответ при подсчете объема бревна в виде усеченного конуса по формуле объема цилиндра со средним поперечным сечением показывает, что погрешность всего 0,275%.
13. Найдите массу 1 погонного метра карниза, сделанного из известняка, если плотность материала 2200 кг/м3 (размеры даны в см). Проведите вычисления с точностью до 1 кг.
В задачнике предоставлен первый рисунок, и задачу можно было решить, если были бы известны все данные. На втором рисунке из другого учебника (1971 г. издания) видно, что все размеры известны.
14. Требуется сшить палатку, имеющую форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4,5 м, апофема 7,5 м. Сколько метров полотна шириной 60 см нужно израсходовать, если расходы на швы и отходы составляют 8 %?
В учебнике приведен ответ: 121,5 м, который получается в предположении, что палатка без дна, т.е. материал идет только на боковую поверхность палатки в виде правильной четырехугольной пирамиды.
1 5. А здесь, как говорится, комментарии излишни. Кто просмотрел две досадные ошибки в записи «0,0950870,96» на обложке книги с таким громким названием? Может внутри учебника и все в порядке, но осадок остался. А может это вовсе и не ошибка, и так было задумано автором?
1 6. В сборнике по подготовке к ЕГЭ была обнаружена следующая задача:
В решении дается неравенство m(t)>10, хотя в условии сказано, что масса не меньше 10 мг, а это означает, что m(t)≥10.
17. При решении дифференциального уравнения, описывающего свободное падение тела в атмосферной среде, в учебнике «Алгебра и начала анализа» даются сведения по поводу скорости парашютиста при приземлении.
Не нужно быть десантником, чтобы понять неточность в этой информации: скорость парашютиста при приземлении 4-5 м/ч.
1 8. В распространенном учебнике для учреждений СПО в решении системы строгих линейных неравенств с 2 переменными прямые показаны сплошными линиями. В другом школьном учебнике показан правильный рисунок: прямая проведена пунктиром.
19. В условии задачи из контрольно-измерительных материалов по подготовке к ЕГЭ написано «касательная горизонтальна оси ОХ». Хотя правильным было бы выражение «касательная параллельна оси ОХ» или просто «касательная расположена горизонтально». Получилось «масло масляное» и безграмотно.
20-21. Статья одного доцента в известном республиканском методическом журнале попалась на глаза совершенно случайно. Даже детишки обнаружат нестыковки в условиях задач и приведенных ответах.
Перечень таких задач с «изюминкой» и «ляпов» можно продолжить, это очень увлекательное занятие – находить неточности. Михаил Жванецкий справедливо утверждает: «На своих ошибках учатся, на чужих – делают карьеру». А по меткому утверждению британского писателя, публициста, историка и философа шотландского происхождения Томаса Карлейля: «Ничто так не научает, как сознание своей ошибки. Это одно из главных средств самовоспитания».
«Аффтар жжот»
Противник, вскрывающий ваши ошибки, гораздо полезнее, чем друг, скрывающий их. Леонардо да Винчи
Ошибок в нашей окружающей действительности – огромное множество. В последнее время государство требует от учебных заведений выпуска компетентных специалистов, однако зачастую образованность и грамотность не являются синонимами и означают не одно и то же.
Е ще одним поводом к написанию этой работы стала небольшая статья «Аффтар жжот» в журнале Андрея Малахова «Стархит» (№26 от 1 июля 2013г.), в которой были собраны самые нелепые ляпы одной недели. Вот один из них.
« Оказывается, в прошлом году некоторые московские выпускники-отличники получили особенные золотые медали. Вместо бело-сине-красного флага России на них изображен флаг Сербии. Поставщики, изменившие Родине, ошибку признали и обещали все «перекрасить» к середине июля».
А налогичная ситуация описана в газете «Комсомольская правда». «Конфуз в Федеральной службе по контролю за оборотом наркотиков (ФСКН): на баннере, который украшал главное здание службы в Москве, синий и красный цвета флага перепутали местами. Тут вопрос даже не к наркополиции, а к изготовителям плаката. Что курим, товарищи художники?» – удивлялся журналист Евгений Проскуряков в еженедельнике-толстушке «Комсомольская правда» от 8-15 августа 2013 года.
На уроках математики мы также узнали, что очень часто на спортивных мероприятиях болельщики и даже именитые спортсмены поднимают флаг России в перевернутом виде (на фотографии – известная российская биатлонистка, которой при победном финише болельщики неправильно передали флаг).
При составлении флагов нужно знать тему «Элементы комбинаторики» и уметь решать задачи на размещения или перестановки.
В чужом глазу соринку видим, в своем …
Единственная настоящая ошибка – не исправлять своих прошлых ошибок.
Конфуций
Чтобы не получилось, как в пословице «В чужом глазу соринку видим, в своем бревна не замечаем», отметим, что в нашей Республике, в частности, в Уфе также были замечены ошибки. Вот некоторые из них.
Н а одном сайте в августе 2013 года появилась статья: «Власти Республики Башкирия нарушили порядок расположения цветов российского триколора на конструкции «УФА» при въезде в город. Уфимские власти установили на парадном въезде в столицу республики светящиеся двухметровые буквы с названием города Уфы на двух языках – русском и башкирском. Каждую из конструкций чиновники выкрасили в цвета государственных флагов. В башкирском варианте он тоже триколор, только к привычным синему и белому цветам вместо красного добавлен зеленый.
И если в случае с башкирским флагом все хорошо, то с флагом России произошел конфуз. Порядок цветов на государственном флаге Российской Федерации оказался нарушен. Во время изготовления дорогостоящей конструкции рабочие перепутали официальную символику.
В администрации города, как оказалось, об этой проблеме знают. Начальник пресс-службы администрации города Уфы прокомментировал ситуацию так: «Я даже сам не раз указывал на эту ошибку. Работы по монтажу данного стенда производило предприятие «УфаГорСвет», я не могу сказать, сколько стоили изготовление и установка, это достаточно крупные суммы. Мы ведем с ними переговоры, пытаемся решить проблему».
Р уководство предприятия «УфаГорСвет» от официальных комментариев отказывается. В администрации города заверили, что проблему решат в самое ближайшее время и вернут цвета российского флага на свои места». Кстати, к состоявшимся 9-10 июля 2015 года саммитам стран ШОС и БРИКС буквы перекрасили, и к привычным надписям на русском и башкирском языках добавилось англоязычное «UFA».
В сети Интернет очень много роликов о курьезных ситуациях из разных регионов с разноцветными полосами на флагах. Неправильно вывешенные флаги России или Республики –распространенное явление (12 июня 2015 года в Уфе на Дне России перепутали цвета флага РФ, но ошибку оперативно исправили).
Т ипографский бланк благодарственного письма с неправильно раскрашенным флагом Республики (вручен руководителю работы на одной из научно-практических конференций).
В случае трехцветных флагов России или Республики Башкортостан количество комбинаций равно количеству перестановок из 3 элементов: Р3=3!=1∙2∙3=6, причем важен порядок цветов. И тогда неправильно поднятый флаг России станет гражданским флагом Сербии, а флаг нашей Республики станет флагом государства Сьерра-Леоне в Западной Африке.
С наступлением жарких дней появляется просто «хит» летнего сезона: распространенная ошибка на объявлениях о стоимости кваса. Стоит отметить, что в последнее время чаще стали появляться правильные ценники.
Будучи студенткой автотранспортного колледжа, нельзя не сказать о дорожных знаках. Знак 2.5 «Проезд без остановки запрещен» по нормативным документам (ГОСТ) устанавливается на пересечении проезжих частей при видимости менее 50 метров. На объездной дороге в один крупный поселок видимость отличная, о чем свидетельствуют фотографии одного нашего неравнодушного преподавателя.
Тот же запрещающий знак «Проезд без остановки запрещен» по нормативным документам не устанавливается на регулируемых железнодорожных переездах, т.е. оснащенных световой и звуковой сигнализацией. Фотография доказывает обратное.
П осле обращений в соответствующие инстанции несоответствия были исправлены, и дорожные знаки не противоречат действительности.
Приведенные примеры с ошибками показывают, что многие из них совершены из-за незнания, непонимания и просто равнодушия к математическому материалу (и не только к математическому), а порой и элементарной невнимательности. А исправление ошибок – это просто средство привлечь внимание к повышению общего уровня культуры.
Заключение
Ошибки молодых – неиссякаемый источник опыта для тех, кто постарше.
Польский литератор, сатирик Веслав Брудзиньский
Нашу жизнь можно сравнить с чистой школьной доской. Нас вызывают, и мы начинаем решать, задачку за задачкой. Доска заполняется нашими решениями: и правильными, и неправильными...
В жизни не всегда получается стереть ошибки. Но всегда в жизни каждый может сделать правильные выводы. Как говорится: даже отрицательный результат является результатом.
Результат – опыт, который позволяет понять ошибки и идти по жизни. Как мы заполним эту учебную доску, какие будут ответы и какие задачи придется решать – это зависит лично от каждого. Искать, решать и находить решения – таким должен быть девиз и в учебе, и в работе, и в жизни.
Тема, поднятая в работе, злободневная. В последнее время замечена тенденция к снижению уровня грамотности, особенно математической. «Уровень математической культуры общества отражает и уровень его культуры вообще. Снижение уровня математического образования – прямая угроза национальной безопасности, экономической, военной и прочей. Высокий уровень математического образования является необходимым условием успешного экономического, технологического, военного и любого другого реформирования страны.» (из письма математика и педагога И. Ф. Шарыгина президенту РФ Б. Н. Ельцину в 1997 году).
И только Указом Президента Российской Федерации В. В. Путина от 7.05.12 Правительству РФ было поручено «обеспечить разработку и утверждение Концепции развития математического образования». Распоряжением Председателя Правительства РФ Д. А. Медведева от 24 декабря 2013 г. Концепция была утверждена. Одна из ключевых идей гласит, что математика является важным элементом национальной культуры, национальной идеи, предметом нашей гордости и конкурентным преимуществом России.
В газете «Комсомольская правда» от 6.12.2013 была опубликована статья о результатах международного рейтинга PISA-2012. Это международная программа оценки достижений учащихся. Каждые три года 15-летних школьников по всему миру сажают решать задачки по трем предметам. Сейчас в рейтинге участвуют 65 развитых стран. Школьников проверяют по трем показателям: математическая, читательская и естественнонаучная грамотность. Упор сделан на практику. То есть мало просто уметь щелкать формулы. Надо увидеть математическую задачку в жизненной ситуации. Наши школьники не набрали и среднего балла по 65 странам, участвовавшим в исследовании.
Ж урналисты «Комсомолки» предлагают пример задания из теста на математическую грамотность. Мы так и не поняли: в задаче – очередная ошибка или какой-то подвох?
Было очень интересно узнать правильный ответ. На сайте КП мы не смогли найти ответ. Но отыскав в сети Интернет эту статью, мы увидели другую формулу: п/Р=140. И всё стало на свои места. Каково же было наше изумление, когда мы увидели правильный ответ! Сказать, что мы сильно удивились, значит: ничего не сказать. Предлагается ответ: 89,6 м/сек или 5,38 км/ч.
Мы нашли целых три несоответствия. Во-первых, вместо слова «секунда» при сокращении пишут «с» и должно быть «м/с». Во-вторых, 89,6м/с – уже неправильно. Скорее всего: 8,96 м/с. В-третьих, в задаче спрашивают скорость не в «м/с», а в «м/мин». Должно быть 89,6 м/мин. Вот тогда все правильно и совпадает с числом «5,38 км/ч». А в конце статьи прочитали: «В России с этой задачей справились 7,8% 15-летних школьников». За державу обидно! Больше нечего сказать… А если задача написана неправильно, то как ее решить?
Надеемся, что своей работой мы показали пример неравнодушным студентам. И если каждый будет помогать исправлять ошибки, то мир вокруг нас станет «чище», более правильным, грамотным и жить станет интереснее.
Перефразируя Веслава Брудзиньского, можно сказать: «Ошибки тех, кто постарше – неиссякаемый источник опыта для молодых». Умение не ошибиться и сделать правильное решение – это качество, которому человек учится всю жизнь, приобретая жизненный опыт. Об этом статья «В чем секрет успеха?»:
«Как-то раз молодой человек беседовал с успешным и состоятельным бизнесменом.
– Скажите, как вам удалось сколотить такое состояние? Раскройте свой секрет успеха.
– Мой секрет прост, – ответил собеседник, – всего два слова: правильные решения.
– Интересно, и что же помогает принимать вам эти решения?
– Тоже просто. Одно слово – опыт.
– Да, но как вы получаете этот опыт, – не унимался молодой человек.
– Проще простого, – улыбнулся успешный, – два слова: неправильные решения.»
Не бойтесь делать ошибок, набирайтесь жизненного опыта, который не даст совершать ошибок в дальнейшем и позволит стать Вам успешными людьми!
Многие согласятся с нами, что совершать ошибки – это плохо. Гораздо страшнее – не замечать их и не пытаться их исправить. Здесь не может быть равнодушных. И «точку» в этом деле ставить рано!
Список использованной литературы
1. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике. – М., Высшая школа, 1987.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., Высшая школа, 2009.
3. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. Учебное пособие для ССУЗов – М., Дрофа, 2006.
4. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1,2). – М., Новая волна, 2008.
5. Методический журнал «Математика». Приложение к газете «1 сентября», №5, 2012.
6. Журнал «Стархит», №26, 2013.
7. Газета «Комсомольская правда», август, декабрь, 2013 г.
8. https://www.ul.kp.ru/daily/26166/3054238/?share.target.id=739829