Математика – это наука, зародившаяся еще в древние времена. Многие люди считают, что математика не имеет ничего общего с красотой, ведь представляет собой лишь набор математических формул, различных теорем, законов, геометрических фигур, таких как круг, овал, квадрат и другие. Однако, казалось бы, в простом построении модели тетраэдра или его сечения можно найти свою красоту.

Математика дает возможность познать окружающий нас мир. Многие природные системы имеют настолько сложное строение, что описать их при помощи обычных теорем и формул оказывается просто невозможным. Однако с этой задачей прекрасно справляется такое математическое понятие, как фрактал. Мы часто встречаем в природе и в обычной жизни повторение одного и того же элемента узора, какой-то части единого целого, уменьшенной или увеличенной в несколько раз, однако, даже не подозреваем о том, что все это представляет собой фракталы. Несмотря на это, вряд ли кто-нибудь сможет точно сказать, что такое фракталы и что они из себя представляют.

Ярким примером фракталов может быть кровеносная система человека. Она состоит из сети сосудов и капилляров. От более крупных сосудов ответвляются мелкие сосуды. От них, в свою очередь, еще более мелкие - капилляры, в точности, повторяющие уже существующий узор. Еще одним примеров фракталов в природе является крона дерева. У него есть крупные ветви, от которых ответвляются ветви поменьше и так далее. Все это выражает главное свойство фракталов – самоподобие.⁰

Глядя на фракталы, кажется, что это картина какого-нибудь известного художника абстракциониста и сложно представить, что за этим всем стоят лишь математические формулы. Фракталы выглядят как настоящие и напоминают необыкновенные объекты живой и неживой природы, поэтому их часто используют в своих работах дизайнеры, художники в области компьютерной графики.

Гипотеза: все, что существует в окружающем нас мире – все это фракталы, обладающие удивительной красотой и если изучить правила их построения, то можно их воссоздать в виде определенных моделей.

Актуальность: фрактал применяются во многих сферах жизнедеятельности людей, являются неотъемлемой частью науки и техники.

Цель работы: изучение теории фрактальной геометрии, доказательство того, что математика несет в себе особенную красоту, а не только одни формулы, разработка собственной модели фрактала.

Задачи: изучить историю возникновения понятия «фрактал», изучить необходимую литературу по данной теме, познакомиться с видами и особенностями фракталов, рассмотреть применение фракталов в науке и жизни людей.

Объект исследования: фракталы в математике и в окружающем мире.

Предмет исследования: фрактальная геометрия, модели фракталов, рисунки.

Методы исследования: анализ, моделирование, синтез.

Структура нашей работы трехчастная. Она состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка и приложений (фотоиллюстраций).

Во введении говорится об актуальности работы, определяются цель, объект, предмет исследования, ставятся основные задачи.

Первая глава посвящена теоретическим знаниям по теме фракталы, их истории, свойствам, классификации и применению в науке и технике.

Во второй главе построение модели фрактала как доказательство нашей гипотезы.

Главы разделены на тематические параграфы.

В заключении подводятся основные итоги работы.

Блох больших кусают блошки

Блошек тех – малютки-крошки,

Нет конца тем паразитам,

Как говорят, ad infinitum.

Джонатан Свифт

Глава 1.

Правильный взгляд на математику позволяет увидеть ее особенную красоту. Там где обычные методы исследования и анализа данных не позволяют увидеть сущность теории на помощь приходят необычные фигуры – фракталы.

§1. Определение понятия фрактал и свойства фракталов.

Фрактал — (от лат. дробная размерность), геометрическая фигура, в которой один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе.

Все фракталы обладают определенными свойствами:

Они самоподобны, т.е. любая часть фрактала воспроизводит целое, представляет собой уменьшенную копию единой системы.

Обладают размерностью, т.е. коэффициент, описывающий фракталы на основе оценки их сложности.

Сохраняют сложную структуру при любом изменении масштаба.

§2. История появления понятия фрактал.

Первые предпосылки к появлению понятия фрактал относятся к XIX веку. Однако изучение данных объектов носило эпизодический характер так, как в те времена математики в основном изучали объекты, исследовать которые можно было, используя общие методы и общепризнанные теории.

В 1883 году за исследование принялся немецкий математик Георг Кантор, создатель теории бесконечных множеств. Он брал замкнутый единичный отрезок и из него исключал среднюю треть. Далее с оставшимися двумя замкнутыми отрезками он повторял то же самое действие и так до бесконечности. Таким образом, то, что оставалось от данного единичного отрезка и стало примером, так называемого множества Кантора или Пылью Кантора.⁰

В 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано описал непрерывную кривую, которая проходила через все точки квадрата. Вначале он взял прямую и заменил ее на 9 отрезков, которые были в 3 раза меньше существующей прямой. Затем он проделывал ту же самую операцию с каждым новым получившимся отрезком и осуществлял данную комбинацию до бесконечности. Данная прямая получила название кривой Пеано.⁰

До конца XX века шло накопление знаний и теорий об этих странных объектах, у которых до их открытия не было аналогов. Однако с приходом Бенуа Мандельброта положение дел изменилось. Его можно с уверенностью считать отцом фрактальной геометрии и самого понятия фрактал.⁰

Бенуа Мандельброт - французский и американский математик. В 1958 году Бенуа Мандельброт приступил к работе в научно-исследовательской компании IBM. В то время перед компанией стояла задача разработки способов передачи данных на большие расстояния. В ходе исследований ученые определили, что из-за шумовых помех происходят сильные потери. Мандельброт долгое время изучал шумы в электронных схемах, которые нельзя было описать, используя привычные всем методы сбора, анализа и представления информации. Просматривая результаты измерений, ученый обратил внимание на одну странность – все графики шумов в разных масштабах выглядели абсолютно одинаково, вне зависимости от времени и даты измерений. Проанализировав все полученные данные, математик пришел к открытию нового, ранее не существующего направления в математике – фрактальной геометрии.

Слово фрактал Бенуа Мандельброт придумал сам, позаимствовав латинское причастие «fractus», которое дословно означает «дробленный». Мандельброт дал ему такое определение: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

В 1977 году ученый выпустил свою знаменитую книгу «Фрактальная геометрия природы», которая и принесла ему большую известность в мире. Благодаря красивым иллюстрациям и научной составляющей, книга быстро стала бестселлером, а вместе с ней и фракталы стали известны и понятны широкой публике.

С открытием данного понятия оказалось, что мы буквально окружены фракталами. К ним относится кровеносная, лимфатическая, нервная системы человека и животных, узоры листьев, морские ракушки, кораллы, линии побережий, бассейны рек, облака, снежинки и многое другое.⁰

Первый рисунок фрактала был создан французским математиком Гастоном Морисом Жюлием. Его рисунок – множество Жюлиа является интерпретацией множества Мандельброта.⁰

§3. Классификация фракталов:

Среди большого разнообразия фрактальных рисунков принято выделять следующие группы:

- геометрические или конструктивные фракталы;

- алгебраические или динамические фракталы;

- стохастические или случайные фракталы.

Геометрические фракталы.

Данный тип фракталов можно получить, используя простые геометрические построения. Для начала необходимо построить группу отрезков, с помощью которых и будет строиться кривая. Далее к этим отрезкам применяется определенный набор правил, которые превращают его в какую-нибудь геометрическую фигуру. Затем к каждой части получившейся фигуры применяется уже используемый ранее набор правил. С каждым новым построением фигура становится все сложнее и сложнее, и если совершить бесконечное количество преобразований, то можно получить геометрический фрактал.

Ярким примером геометрических фракталов являются Снежинка или кривая Коха, треугольник Серпинского и кривая Леви⁰.

За необычное сходство кривой Леви с буквой «С» ее также называют C-кривой Леви. Существует множество способ ее построения, один из которых построение при помощи буквы «П».⁰

Кривая Леви также напоминает крону дерева Пифагора.⁰ Используя те же построения можно получить Остров Леви, если взять за основу построения квадрат.

Алгебраические фракталы.

Еще одна группа фракталов – алгебраические фракталы. Свое название данная группа фракталов получила из-за того, что их построения основываются на математических формулах. Способов получения динамических фракталов очень много. Одним из них считается расчет функции , где Z – некоторое комплексное число, f – некоторая функция.

Ярким примером алгебраических фракталов являются множество Мендельброта и множество Жюлиа.

Множество Мандельброта строится на основе функции , где с – некоторое комплексное число. Все значения с, при условии, что последовательность имеет границы, представляют собой множество Мандельброта.⁰

Множество Жюлиа было построено французским математиком Гастоном Морисом Жюлиа. Оно образуется по той же формуле, что множество Мандельброта и является его графической интерпретацией.⁰

Стохастические фракталы

Еще одним классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в процессе повторения какого-либо действия и изменения его определенных параметров.

Ярким примером стохастических фракталов является плазма. Для ее построения необходим прямоугольник, каждый угол которого имеет определенный цвет. Далее в этом прямоугольнике необходимо найти центральную точку и закрасить ее цветом, равным среднему арифметическому всех цветов прямоугольника, прибавляя некоторое случайное число. Чем больше это число – тем более раздробленный будет рисунок.⁰

§4. Применение фракталов.

Фракталы лежат в основе многих областей повседневных и научных знаний и помогают понять многие явления из разных сфер нашей жизни.

Природные фракталы.

Рассмотрим строение листа папоротника. Он представляет собой лист, состоящий из так называемых перышек или перьев второго порядка. Если рассмотреть строение этих перышек, то можно увидеть тот же лист папоротника, только в заметно уменьшенном размере. Далее если рассмотреть лопасти перышка, то опять же они будут являться подобием изначального листа. Можно продолжать рассматривать его снова и снова, однако в конечном итоге все, что мы получим – это крошечные копии листа папоротника.⁰

Естественные науки

Фракталы нашли широкое распространение в различных областях науки.

В физике фракталы появляются при моделировании нелинейных процессов таких, как пламя, течение жидкости и другое. Также они играют большую роль при изучении турбулентности так, как потоки турбулентности очень хаотичны, и сложно построить их модели, используя обычные методы построения.

В биологии учение о фракталах применяется для описания внутренних органов, жизненно важных систем таких, как нервная система, кровеносная, лимфатическая.

В нефтехимии фракталы применяются при создании пористых материалов.

Теле- и радиокоммуникации

Для передачи данных на большие расстояния используются антенны фрактальной формы, что обеспечивает боле качественный прием сигналов, уменьшает размер и вес антенн.

Компьютерные системы и технологии

Главное применение фракталов – компьютерная графика. С их помощью можно создавать объекты сложной и причудливой формы, с помощью изменения параметров.

Фракталы применяются для построения изображений природных объектов таких, как деревья, горы, в виртуальном пространстве компьютерных игр. Также с их помощью можно нарисовать не существующие планеты и сказочные миры.

Фракталы в народном творчестве

Главным представителем фракталов в народном творчестве является

матрешка. Ее фрактальные свойства можно с легкостью увидеть, когда все фигурки этой игрушки выстроены в ряд и каждая из них представляет уменьшенную копию предыдущей.⁰

Фракталы в искусстве

Фракталы смогли приобрести свое особое место, в том числе и в компьютерном искусстве.

Фракталы можно найти в некоторых литературных произведениях. Существует особый вид фракталов – текстуальные фракталы, в которых бесконечное количество раз повторяются элементы целого текста. Ярким тому примером является стихотворение Самуила Маршака «Дом, который построил Джек»⁰. Это так называемое бесконечное стихотворение. Оно составлено из большого количества небольших фраз, каждая из которых по своей формулировке похожа на все стихотворение целиком.

Фракталы – это не только набор геометрических фигур или алгебраических формул, они могут быть звуками. Американский композитор, бывший ученый и программист, Джонатан Коултон создает музыку, используя фрактальные алгоритмы. Завоевал популярность в 2007 году после выхода финальной песни «Still Alive» к компьютерной игре Portal от студии Valve. Исполнительницей песни стала Эллен Маклейн.⁰

Фрактальная живопись в наше время создается исключительно с помощью компьютерной графики. Однако одни из самых ранних образов фрактальной геометрии можно найти на изображениях пейзажей древнего и средневекового Китая.

В ХХ веке фрактальная живопись появилась в таких стилях: оп-арт т.е. оптическое искусство и имп-арт от английского слова impossible – невозможный. Одним из первых художников в стиле оп-арта стал французский художник Виктор Вазарели. Его знаменитыми работами являются «Клонопин», «Гуива»

В стиле имп-арта работал нидерландский художник Мауриц Корнелис Эшер. Его известные работы: «Бабочки», «Все меньше и меньше».

Эшер практиковался в изображении фигур, создающих оптические иллюзии, например, «Чувство», «Сфера спиралей», «Водовороты».⁰

Вывод: Фракталы – геометрические фигуры, главным свойством которых является самоподобие. Отцом этих причудливых фигур стал Бенуа Мандельброт, американский математик, посвятивший немало научных трудов изучению и анализу фракталов. За свою долгую историю открытия фракталы приобрели свою особую классификацию по группам: геометрические, алгебраические или динамические и стохастические фракталы. Представители каждой группы имеют свои особенности в построении и изучении, каждые имеют свой ряд характеристик. Фракталы нашли свое предназначение во многих областях науки и техники. Однако главная их особенность заключается в том, что они одни из немногих математических термином нашли свое отражение в искусстве: в живописи, музыке, литературе. Фракталы обладают неземной, фантастической красотой и каждый при желании с помощью компьютерных программ может создать свою сказочную фрактальную реальность.

Глава 2.

Математика вся пронизана красотой и гармонией,

Только эту красоту надо увидеть.

Б. Мандельброт

Для того, чтобы доказать то, что математика несет в себе определенную красоту, а не только одни формулы мы решили построить собственную модель фрактала. Для разработки модели фрактала мы использовали редактор фрактальной графики Apophysis. Наш фрактал будет строиться на основе четырех треугольников разных размеров.

Для начала мы создали первый треугольник, на нашем рисунке он красного цвета, и задали ему такие параметры: в плагине Liner 3D вместо единицы, мы подставили 0, для плагина Julian задали значение 1. После чего, зайдя во вкладку Variables, мы приравняли плагин Julianpower к 9, а Juliandist к 2. От этих двух плагинов зависит количество «лепестков», которое будет у нашего будущей модели. После этого, найдя параметр Weight, задали ему значение 0.67. Далее мы перетащили наш треугольник на 2/3 от его начального положения. У нас получился контур нашего фрактала, внешне напоминающий очертания цветка.⁰

После этого, мы создали еще один треугольник, на нашем рисунке он желтого цвета, и обнулили плагины Liner 3D и Julian. Для плагина Blur 3D мы подставили значение 0.042, а к параметру Weight значение 0.5. В отличие от предыдущего треугольника, данный треугольник мы оставили на его первоначальном месте. В результате чего на нашем рисунке появились точки, на основе которых и будет отражаться в разных масштабах наш узор фрактала.⁰

Мы создали третий треугольник, зеленого цвета, но на этот раз в параметре Liner 3D вместо 0 мы оставили 1. Далее мы уменьшили наш треугольник на три клетки с обеих сторон так, что у нас появились самоподобные узоры фрактала. Также, как и во втором треугольнике к параметру Weight мы подставили 0.5.

Затем мы построили еще один, заключительный треугольник, на нашем рисунке он голубого цвета, и задали ему те же параметры, что и для предыдущего треугольника.

После всех проделанных построений у нас получилась заготовка будущего фрактала.⁰

Чтобы придать нашей модели больше красоты и изящности, мы решили повернуть наш первый и четвертый треугольники на несколько градусов, один в правую, а другой в левую сторону.⁰ После этого, нам осталось только выбрать для каждого треугольника свои цвета, чтобы наш фрактал выглядел более гармонично. Так, для красного треугольника мы выбрали цвет со значением 0.675, для желтого - 0.906, для зеленого - 0.403 и для голубого мы выбрали цвет 0.859. После чего, наш фрактал приобрел розовые, фиолетовые, синие и золотистые оттенки.⁰

Для завершения нашей модели фрактала во вкладке Xaos мы для каждого треугольника подставили определенные значения, чтобы сделать наш рисунок выразительнее и ярче. Для первого треугольника к плагину Weightmodifier мы подставили 2, для второго треугольника – 0, для третьего – 2, а для четвертого мы выбрали 1.

Таким образом, у нас получилась красивая модель фрактала, про которую сложно сказать, что она построена исключительно благодаря компьютерной графике и математическим построениям.⁰

Все вышесказанное доказывает то, что на основе алгебраических формул и геометрических построений строятся не только задачи и уравнения, которые мы привыкли видеть на уроках математики, но и удивительные фигуры, обладающие свойством самоподобия – фракталы.

Заключение

Подводя итог нашему исследованию, мы можем отметить следующее: большинство объектов, которые окружают нас в нашей повседневной жизни, являются фракталами или фрактально подобными объектами.

Фракталы – фигуры, главным свойством которых является самоподобие. Отцом этих причудливых фигур стал Бенуа Мандельброт. Слово фрактал Бенуа Мандельброт придумал сам, позаимствовав латинское причастие «fractus», которое дословно означает «дробленный». Мандельброт дал ему такое определение: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

С открытием данного понятия оказалось, что мы буквально окружены фракталами. К ним относится кровеносная, лимфатическая, нервная системы человека и животных, узоры листьев, морские ракушки, кораллы, линии побережий, бассейны рек, облака, снежинки и многое другое.

За свою долгую историю открытия фракталы приобрели свою особую классификацию по группам: геометрические, алгебраические или динамические и стохастические фракталы.

Фракталы нашли свое предназначение во многих областях науки и техники.

В физике фракталы появляются при моделировании нелинейных процессов таких, как пламя, течение жидкости и другое.

В биологии учение о фракталах применяется для описания внутренних органов, жизненно важных систем таких, как нервная система, кровеносная, лимфатическая.

В нефтехимии фракталы применяются при создании пористых материалов.

Для передачи данных на большие расстояния используются антенны фрактальной формы, что обеспечивает более качественный прием сигналов, уменьшает размер и вес антенн.

Фракталы применяются для построения изображений природных объектов таких, как деревья, горы, в виртуальном пространстве компьютерных игр. Также с их помощью можно нарисовать не существующие планеты и сказочные миры.

Однако главная их особенность заключается в том, что они одни из немногих математических термином нашли свое отражение в искусстве: в живописи, музыке, литературе.

Узнаваемым представителем фракталов в народном творчестве является матрешка.

Ярким примером фракталов в литературе является стихотворение Самуила Маршака «Дом, который построил Джек».

Фрактальная живопись берет свои истоки еще в глубокой древности. Одни из самых первых образов фрактальной геометрии можно найти на изображениях пейзажей древнего и средневекового Китая.

Однако в ХХ веке фрактальная живопись появилась в таких стилях: оп-арт т.е. оптическое искусство и имп-арт от английского слова impossible – невозможный. Одним из первых художников в стиле оп-арта стал французский художник Виктор Вазарели. Его знаменитыми работами являются «Клонопин», «Гуива»

В стиле имп-арта работал нидерландский художник Мауриц КорнелисЭшер. Его известные работы: «Бабочки», «Все меньше и меньше».

Эшер практиковался в изображении фигур, создающих оптические иллюзии, например, «Чувство», «Сфера спиралей», «Водовороты».

Фракталы могут быть и звуками. Американский композитор Джонатан Коултон создает музыку, используя фрактальные алгоритмы. Завоевал популярность в 2007 году после выхода финальной песни «Still Alive» к компьютерной игре Portal от студии Valve. Исполнительницей песни стала Эллен Маклейн. Сам композитор утверждает, что его мелодии соответствуют природной гармонии.

Все вышесказанное доказывает то, что на основе алгебраических формул и геометрических построений строятся не только задачи и уравнения, которые мы привыкли видеть на уроках математики, но и удивительные фигуры, обладающие свойством самоподобия – фракталы. Каждый фрактал уникален и необычен по своему и вряд ли где то в природе, компьютерной графике, музыке или в искусстве можно найти абсолютно одинаковые изображения фракталов.

Математика скрывает в себе неземную, фантастическую красоту – фракталы и каждый, при желании, с помощью компьютерных программ может создать свою сказочную фрактальную реальность.

Перспективы дальнейшего исследования проблемы мы видим в более подробном изучении систем интегрируемых функцийи более сложных программ компьютерной графики.

Список источников литературы

Источники:

Ю.И. Фединский, Научно-технический энциклопедический словарь – Издательство «Астрель», М.; 2006; с. 516

Б. Мандельброт, Фрактальная геометрия природы – Издательство «Институт компьютерных исследований», М.; 2002; с. 12, 108

Б. Мандельброт, статья «Какова протяженность побережья Великобритании» – Издательство «Science», США; 1975

П.П. Леви, статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей»; США; 1938

Балханов. В.К. , Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления – Издательство «БГУ», Улан-Удэ; 2013

Интернет – ресурсы:

Исследование мира фракталов [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://sibac.info/studconf/tech/xxix/41100 (26.01.2019)

Фракталы в нашей жизни [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2015/04/07/issledovatelskaya-rabota-fraktaly-v-nashey-zhizni (25.01.2019)

Классификация фракталов. Виды фракталов [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studopedia.ru/6_61280_klassifikatsiya-fraktalov-vidi-fraktalov.html (26.01.2019)

Классификация фракталов[Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studfiles.net/preview/2880122/page:2/ (27.01.2019)

Научно-исследовательская работа "Фракталы - геометрия красоты"[Электронный ресурс] – Режим доступа: https://infourok.ru/nauchnoissledovatelskaya-rabota-fraktali-geometriya-krasoti-3381639.html (23.01.2019)

Фракталы [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://pandia.ru/text/79/026/16103.php (29.12.2018)

Фракталы применения и назначения[Электронный ресурс] – Режим доступа: http://stud24.ru/information/fraktaly-primeneniya-i-naznacheniya/518555-2367124-page1.html (30.12.2018)

Алгебраические фракталы [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studfiles.net/preview/5349012/page:3/ (27.12.2017)

Фрактальная графика [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studfiles.net/preview/5349012/ (27.12.2018)

Понятие размерности и ее расчет [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studfiles.net/preview/5349012/page:2/ (27.12.2019)

Стохастические фракталы [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studfiles.net/preview/5349012/page:4/ (23.12.2018),

Приложения

Приложение ¹

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

Приложение 13

Приложение 14

Вот дом,
Который построил Джек.

А это пшеница,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек.

А это весёлая птица-синица,
Которая часто ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек.

Вот кот,
Который пугает и ловит синицу,
Которая часто ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек.

Вот пёс без хвоста,
Который за шиворот треплет кота,
Который пугает и ловит синицу,
Которая часто ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек.

А это корова безрогая,
Лягнувшая старого пса без хвоста,
Который за шиворот треплет кота,
Который пугает и ловит синицу,
Которая часто ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек.

А это старушка, седая и строгая,
Которая доит корову безрогую,
Лягнувшую старого пса без хвоста,
Который за шиворот треплет кота,
Который пугает и ловит синицу,
Которая часто ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек.

А это ленивый и толстый пастух,
Который бранится с коровницей строгою,
Которая доит корову безрогую,
Лягнувшую старого пса без хвоста,
Который за шиворот треплет кота,
Который пугает и ловит синицу,
Которая часто ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек.

Вот два петуха,
Которые будят того пастуха,
Который бранится с коровницей строгою,
Которая доит корову безрогую,
Лягнувшую старого пса без хвоста,
Который за шиворот треплет кота,
Который пугает и ловит синицу,
Которая часто ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек.⁰

Приложение 15

Приложение 16

1. 2.

3.4.

5. 6.

7.

0Фракталы вокруг нас [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://pandia.ru/text/79/026/16103.php (29.12.2017)

0Приложение 1, с. 20

0Приложение 2, с. 21

0Приложение 3, с. 22

0Приложение 4, с. 23

0Приложение 5, с. 26

0Приложение 6, 7, с .28,29

0Приложение 8, с. 30

0Приложение 9, с. 31

0Приложение 10, с. 32

0Приложение 5, с. 26

0Приложение 11, с. 33

0Приложение 12, с. 34

0Приложение 13, с.35

0Приложение 14, с. 36

0Джонатан Коултон биография [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.last.fm/ru/music/Jonathan+Coulton/+wiki (18.01.2019)

0Приложение 15, с. 38

0Приложение 16, рис. 1

0Приложение 16, рис. 2

0Приложение 16, рис. 3

0Приложение 16, рис. 4,6

0Приложение 16, рис. 4,5

0Приложение 16, рис. 7

0Множество Кантора или Пыль Кантора [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://sibac.info/shcoolconf/natur/v/31852 (17.01.2019)

0Кривая Пеано [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=4&img_url=http%3A%2F%2Fimages.myshared.ru%2F5%2F485443%2Fslide_43.jpg&text=%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE&rpt=simage (17.01.2019)

0Бенуа Мандельброт [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=0&img_url=https%3A%2F%2Fwww.quotationof.com%2Fimages%2Fbenoit-mandelbrot-3 (17.01.2019)

0Лист папоротника, снежинка, береговая линия [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=67&p=2&img_url=https%3A%2F%2Fstorage.needpix.com%2Frsynced_images%2Fblue-snowflake (17.01.2019)

0Шишка, капуста [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=7 (18.01.2019)

0Морская ракушка и кораллы [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=7 (18.01.2019)

0Алое как пример спирали Фибоначчи в природе [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search (18.01.2019)

0Множество Жюлиа [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=2&img_url=https%3A%2F%2Feventil.s3.amazonaws.com%2Fuploads%2Fevent%2Fheader_ (17.01.2019)

0Снежинка Коха [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=0&img_url=https%3A%2F%2Fpetrimazepa.com%2Fbundles%2Fpim%2Fimages%2 (17.01.2019)

0Треугольник Серпинского [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=1&img_url=https%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2Fthumb% (17.01.2019)

0С-кривая Леви [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=1&img_url=https%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2Fthumb% (17.01.2019)

0Дерево Пифагора [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://glebgrenkin.blogspot.com/2014/03/blog-post_22.html (17.01.2019)

0Множество Мандельброта [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Мандельброта (17.01.2019)

0Стохастический фрактал – плазма [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=0&img_url=https%3A%2F%2Fpresentacii.ru%2Fdocuments_2% (17.01.2019)

0Строение листа папоротника [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=0&img_url=https%3A%4F%2Fpresentacii.ru%2Fdments_2% (17.01.2019)

0Матрешка [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?pos=122&p=4&img_url=http%3A%2F%2Fasiamountains-hotels.com%2Fam2%2Fwp- (18.01.2019)

0Стихотворение Самуила Маршака «Дом, который построил Джек» [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://deti-online.com/stihi/stihi-marshaka/dom-kotoryy-postroil-dzhek/ (17.01.2019)

0Фрактальное искусство [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?text=%D1%84%D1%80 (18.01.2019)

0Фрактальное искусство [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://yandex.ru/images/search?text=%D1%84%D1%8075848648 (18.01.2019)

0Ван Мэн[Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ngasanova.livejournal.com/1793579.html (18.01.2019)

0Шен Чжоу [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ngasanova.livejournal.com/1793579.html (18.01.2019)

0Виктор Вазарели «Клонопин»[Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ngasanova.livejournal.com/1793579.html (18.01.2019)

0Мауриц Корнелис Эшер «Бабочки»[Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ngasanova.livejournal.com/1793579.html (18.01.2019)

0Эшер «Водовороты» [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ngasanova.livejournal.com/1793579.html (18.01.2019)

0Кацусика Хокусай «Большая волна в Канагаве» [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ngasanova.livejournal.com/1793579.html (18.01.2019)